浙江省2021届高考数学一轮复习第二章不等式第1节不等关系与不等式一元二次不等式及其解法课件

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浙江省2021届高考数学一轮复习第二章不等式第1节不等关系与不等式一元二次不等式及其解法课件

第 1 节 不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法 考试要求  1. 了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式 ( 组 ) 的实际背景; 2. 会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型; 3. 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系; 4. 会解一元二次不等式. 知 识 梳 理 1 . 两个实数比较大小的方法 > < > < 2 . 不等式的性质 (1) 对称性: a > b ⇔ b < a ; (2) 传递性: a > b , b > c ⇒ a > c ; (3) 可加性: a > b ⇔ a + c ____ b + c ; a > b , c > d ⇒ a + c ____ b + d ; (4) 可乘性: a > b , c > 0 ⇒ ac ____ bc ; a > b > 0 , c > d > 0 ⇒ ac ____ bd ; (5) 可乘方: a > b > 0 ⇒ a n ____ b n ( n ∈ N , n ≥ 1) ; > > > > > > 3 . 三个 “ 二次 ” 间的关系 判别式 Δ = b 2 - 4 ac Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a > 0) 的图象 { x | x > x 2 或 x < x 1 } R { x | x 1 < x < x 2 } ∅ ∅ [ 常用结论与易错提醒 ] 1. 倒数性质 2. 有关分数的性质 若 a > b > 0 , m > 0 ,则 (1) 真分数的性质 (2) 假分数的性质 3. 对于不等式 ax 2 + bx + c >0 ,求解时不要忘记讨论 a = 0 时的情形 . 4. 当 Δ <0 时, ax 2 + bx + c >0( a ≠ 0) 的解集为 R 还是  ,要注意区别 . 诊 断 自 测 1. 判断下列说法的正误 . (1) a > b ⇔ ac 2 > bc 2 .(    ) (2) 若不等式 ax 2 + bx + c < 0 的解集为 ( x 1 , x 2 ) ,则必有 a > 0.(    ) (3) 若方程 ax 2 + bx + c = 0( a < 0) 没有实数根,则不等式 ax 2 + bx + c > 0 的解集为 R .(    ) (4) 不等式 ax 2 + bx + c ≤ 0 在 R 上恒成立的条件是 a < 0 且 Δ = b 2 - 4 ac ≤ 0.(    ) 解析  (1) 由不等式的性质, ac 2 > bc 2 ⇒ a > b ;反之, c = 0 时, a > b ac 2 > bc 2 . (3) 若方程 ax 2 + bx + c = 0( a <0) 没有实根 . 则不等式 ax 2 + bx + c >0 的解集为 ∅ . (4) 当 a = b = 0 , c ≤ 0 时,不等式 ax 2 + bx + c ≤ 0 也在 R 上恒成立 . 答案   (1) ×   (2) √   (3) ×   (4) × 2. 若 a > b > 0 , c < d < 0 ,则一定有 (    ) 答案  B 答案  A 答案  ( - ∞ , 0) 答案 - 12  - 2 6. ( 必修 5P80A3 改编 ) 若关于 x 的一元二次方程 x 2 - ( m + 1) x - m = 0 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围是 ________. 解析  由题意知 Δ = [ - ( m + 1)] 2 + 4 m > 0. 即 m 2 + 6 m + 1 > 0 , 考点一 比较大小及不等式的性质的应用 【例 1 】 (1) 已知实数 a , b , c 满足 b + c = 6 - 4 a + 3 a 2 , c - b = 4 - 4 a + a 2 ,则 a , b , c 的大小关系是 (    ) A. c ≥ b > a B. a > c ≥ b C. c > b > a D. a > c > b (2) 已知非负实数 a , b , c 满足 a + b + c = 1 ,则 ( c - a )( c - b ) 的取值范围为 ________. 解析  (1) ∵ c - b = 4 - 4 a + a 2 = (2 - a ) 2 ≥ 0 , ∴ c ≥ b . 又 b + c = 6 - 4 a + 3 a 2 , ∴ 2 b = 2 + 2 a 2 , ∴ b = a 2 + 1 , ∴ b > a , ∴ c ≥ b > a . 规律方法   (1) 比较大小常用的方法: ① 作差法; ② 作商法; ③ 函数的单调性法 . (2) 判断多个不等式是否成立,常用方法:一是直接使用不等式性质,逐个验证;二是用特殊法排除 . 答案  (1)A   (2)B 考点二 一元二次不等式的解法 角度 1  不含参的不等式 【例 2 - 1 】 求不等式- 2 x 2 + x + 3<0 的解集 . 解  化- 2 x 2 + x + 3<0 为 2 x 2 - x - 3>0 , 多维探究 角度 2  含参不等式 【例 2 - 2 】 解关于 x 的不等式 ax 2 - 2 ≥ 2 x - ax ( a ∈ R ). 解  原不等式可化为 ax 2 + ( a - 2) x - 2 ≥ 0. ① 当 a = 0 时,原不等式化为 x + 1 ≤ 0 ,解得 x ≤ - 1. 当 a =- 2 时,不等式的解集为 { - 1} ; 规律方法  含有参数的不等式的求解,往往需要比较 ( 相应方程 ) 根的大小,对参数进行分类讨论: (1) 若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数进行讨论;若不易分解因式,则可对判别式进行分类讨论; (2) 若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式; (3) 其次对相应方程的根进行讨论,比较大小,以便正确写出解集 . 【训练 2 】 (1) ( 角度 1)(2019· 天津卷 ) 设 x ∈ R ,使不等式 3 x 2 + x - 2<0 成立的 x 的取值范围为 ________. (2) 已知不等式 x 2 - 2 x - 3 < 0 的解集为 A ,不等式 x 2 + x - 6<0 的解集为 B ,不等式 x 2 + ax + b < 0 的解集为 A ∩ B ,则 a + b = (    ) A. - 3 B.1 C. - 1 D.3 (2) 由题意得 A = { x | - 1 < x < 3} , B = { x | - 3 < x < 2} ,所以 A ∩ B = { x | - 1 < x < 2} ,由题意知- 1 , 2 为方程 x 2 + ax + b = 0 的两根,由根与系数的关系可知 a =- 1 , b =- 2 ,则 a + b =- 3. 考点三 一元二次不等式的恒成立问题 角度 1  在 R 上恒成立 多维探究 解之得- 3 < k < 0. 答案   D 角度 2  在给定区间上恒成立 【例 3 - 2 】 ( 一题多解 ) 设函数 f ( x ) = mx 2 - mx - 1( m ≠ 0) ,若对于 x ∈ [1 , 3] , f ( x ) <- m + 5 恒成立,则 m 的取值范围是 ________. 解析  要使 f ( x ) <- m + 5 在 [1 , 3] 上恒成立, 则 mx 2 - mx + m - 6 < 0 , 有以下两种方法: 当 m > 0 时, g ( x ) 在 [1 , 3] 上是增函数, 所以 g ( x ) max = g (3) = 7 m - 6 < 0. 当 m < 0 时, g ( x ) 在 [1 , 3] 上是减函数, 所以 g ( x ) max = g (1) = m - 6 < 0. 所以 m < 6 ,所以 m < 0. 角度 3  给定参数范围的恒成立问题 【例 3 - 3 】 已知 a ∈ [ - 1 , 1] 时,不等式 x 2 + ( a - 4) x + 4 - 2 a > 0 恒成立,则 x 的取值范围为 (    ) A.( - ∞ , 2) ∪ (3 ,+ ∞ ) B.( - ∞ , 1) ∪ (2 ,+ ∞ ) C.( - ∞ , 1) ∪ (3 ,+ ∞ ) D.(1 , 3) 解析  把不等式的左端看成关于 a 的一次函数,记 f ( a ) = ( x - 2) a + x 2 - 4 x + 4 , 则由 f ( a ) > 0 对于任意的 a ∈ [ - 1 , 1] 恒成立, 所以 f ( - 1) = x 2 - 5 x + 6 > 0 , 答案  C 规律方法  恒成立问题求解思路 (1) 一元二次不等式在 R 上恒成立确定参数的范围时,结合一元二次方程,利用判别式来求解 . (2) 一元二次不等式 f ( x ) ≥ 0 在 x ∈ [ a , b ] 上恒成立确定参数范围时,要根据函数的单调性求其最小值,让最小值大于等于 0 ,从而求参数的范围 . (3) 一元二次不等式对于参数 m ∈ [ a , b ] 恒成立确定 x 的范围,要注意变换主元,一般地,知道谁的范围就选谁当主元,求谁的范围谁就是参数 . 【训练 3 】 (1) ( 角度 1) 若不等式 x 2 - 2 x + 5 ≥ a 2 - 3 a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 (    ) A.[ - 1 , 4] B.( - ∞ ,- 2] ∪ [5 ,+ ∞ ) C.( - ∞ ,- 1] ∪ [4 ,+ ∞ ) D.[ - 2 , 5] (2) ( 角度 2) 已知函数 f ( x ) = x 2 + mx - 1 ,若对于任意 x ∈ [ m , m + 1] ,都有 f ( x ) < 0 成立,则实数 m 的取值范围是 ________. 解析   (1) 由于 x 2 - 2 x + 5 = ( x - 1) 2 + 4 的最小值为 4 ,所以 x 2 - 2 x + 5 ≥ a 2 - 3 a 对任意实数 x 恒成立,只需 a 2 - 3 a ≤ 4 ,解得- 1 ≤ a ≤ 4. (2) 二次函数 f ( x ) 对于任意 x ∈ [ m , m + 1] , 都有 f ( x ) < 0 成立,
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