人教A版数学必修二2-2-3直线与平面平行的性质

人教A版数学必修二2-2-3直线与平面平行的性质

§2.2.3 直线与平面平行的性质 一、教材分析 上节课已学习了直线与平面平行的判定定理,这节课将通过例题让学生体会应用线面平 行的性质定理的难度，进而明确告诉学生：线面平行的性质定理是高考考查的重点，也是最 难应用的两个定理之一.本节重点是直线与平面平行的性质定理的应用. 二、教学目标 1．知识与技能 掌握直线与平面平行的性质定理及其应用. 2．过程与方法 学生通过观察与类比，借助实物模型性质及其应用. 3．情感、态度与价值观 （1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力. （2）进一步体会类比的作用. （3）进一步渗透等价转化的思想. 三、教学重点与难点 教学重点：直线与平面平行的性质定理. 教学难点：直线与平面平行的性质定理的应用. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 （一）复习 回忆直线与平面平行的判定定理： （1）文字语言：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这 个平面平行. （2）符号语言为： （3）图形语言为：如图 1. 图 1 （二）导入新课 思路 1.(情境导入) 教室内日光灯管所在的直线与地面平行，是不是地面内的所有直线都与日光灯管所在的 直线平行？ 思路 2.(事例导入) 观察长方体（图 2），可以发现长方体 ABCD—A′B′C′D′中，线段 A′B 所在的直线与长方 体 ABCD—A′B′C′D′的侧面 C′D′DC 所在平面平行，你能在侧面 C′D′DC 所在平面内作一条 直线与 A′B 平行吗？ 图 2 （三）推进新课、新知探究、提出问题 ①回忆空间两直线的位置关系. ②若一条直线与一个平面平行，探究这条直线与平面内直线的位置关系. ③用三种语言描述直线与平面平行的性质定理. ④试证明直线与平面平行的性质定理. ⑤应用线面平行的性质定理的关键是什么？ ⑥总结应用线面平行性质定理的要诀. 活动:问题①引导学生回忆两直线的位置关系. 问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力. 问题③引导学生进行语言转换. 问题④引导学生用排除法. 问题⑤引导学生找出应用的难点. 问题⑥鼓励学生总结，教师归纳. 讨论结果：①空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面. ②若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交（可用 反证法证明）,所以，该直线与平面内直线的位置关系还有两种，即平行或异面. 怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢（排除异面的情况）？经过这条直线的平面和 这个平面相交，那么这条直线和交线平行. ③直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和 交线平行. 这个定理用符号语言可表示为： 这个定理用图形语言可表示为：如图 3. 图 3 ④已知 a∥α，a  β，α∩β=b.求证：a∥b. 证明： ⑤应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直线作一个平面. ⑥应用线面平行性质定理的要诀：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线”. （四）应用示例 思路 1 例 1 如图 4 所示的一块木料中，棱 BC 平行于面 A′C′. 图 4 (1)要经过面 A′C′内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开，应怎样画线？ (2)所画的线与面 AC 是什么位置关系？ 活动:先让学生思考、讨论再回答，然后教师加以引导. 分析：经过木料表面 A′C′内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开,实际上是经过 BC 及 BC 外一 点 P 作截面,也就是找出平面与平面的交线.我们可以由线面平行的性质定理和公理 4、公理 2 作出. 解：（1）如图 5，在平面 A′C′内，过点 P 作直线 EF,使 EF∥B′C′， 图 5 并分别交棱 A′B′、C′D′于点 E、F.连接 BE、CF. 则 EF、BE、CF 就是应画的线. (2)因为棱 BC 平行于面 A′C′，平面 BC′与平面 A′C′交于 B′C′，所以 BC∥B′C′. 由（1）知，EF∥B′C′， 所以 EF∥BC.因此 BE、CF 显然都与平面 AC 相交. 变式训练 如图 6，a∥α,A 是α另一侧的点，B、C、D∈a，线段 AB、AC、AD 交α于 E、F、G 点， 若 BD=4，CF=4，AF=5，求 EG. 图 6 解：Aa，∴A、a 确定一个平面，设为β. ∵B∈a，∴B∈β. 又 A∈β，∴AB  β. 同理 AC  β，AD  β. ∵点 A 与直线 a 在α的异侧, ∴β与α相交. ∴面 ABD 与面α相交，交线为 EG. ∵BD∥α，BD  面 BAD，面 BAD∩α=EG, ∴BD∥EG. ∴△AEG∽△ABD. ∴ AC AF BD EG  .(相似三角形对应线段成比例) ∴EG= 9 2049 5  BDAC AF . 点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，直线与交线平行，如果再需要 过已知点，这个平面是确定的. 例 2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面. 如图 7. 图 7 已知直线 a,b,平面α,且 a∥b,a∥α,a,b 都在平面α外. 求证：b∥α. 证明：过 a 作平面β,使它与平面α相交,交线为 c. ∵a∥α,a β,α∩β=c, ∴a∥c. ∵a∥b,∴b∥c. ∵c  α,b  α,∴b∥α. 变式训练 如图 8,E、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、AD 的中点，平面α过 EH 分别交 BC、 CD 于 F、G.求证：EH∥FG. 图 8 证明：连接 EH. ∵E、H 分别是 AB、AD 的中点, ∴EH∥BD. 又 BD  面 BCD，EH  面 BCD, ∴EH∥面 BCD. 又 EH  α、α∩面 BCD=FG, ∴EH∥FG. 点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，则直线与交线平行. 思路 2 例 1 求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直 线平行.如图 9. 图 9 已知 a∥b,a  α，b  β，α∩β=c. 求证：c∥a∥b. 证明： 变式训练 求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行. 图 10 已知：如图 10,a∥α,a∥β,α∩β=b， 求证： a∥b. 证明：如图 10，过 a 作平面γ、δ，使得γ∩α=c，δ∩β=d，那么有 点评：本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理 4 的过程.这是证明线线平行的一种典型的思路. 例 2 如图 11，平行四边形 EFGH 的四个顶点分别在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、 DA 上，求证：BD∥面 EFGH，AC∥面 EFGH. 图 11 证明：∵EFGH 是平行四边形 变式训练 如图 12，平面 EFGH 分别平行于 CD、AB，E、F、G、H 分别在 BD、BC、AC、AD 上，且 CD=a，AB=b，CD⊥AB. 图 12 （1）求证：EFGH 是矩形； （2）设 DE=m,EB=n,求矩形 EFGH 的面积. (1)证明：∵CD∥平面 EFGH，而平面 EFGH∩平面 BCD=EF, ∴CD∥EF.同理 HG∥CD,∴EF∥HG. 同理 HE∥GF，∴四边形 EFGH 为平行四边形. 由 CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF 为 CD 和 AB 所成的角. 又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF. ∴四边形 EFGH 为矩形. （2）解：由（1）可知在△BCD 中 EF∥CD，DE=m，EB=n, ∴ DB BE CD EF  .又 CD=a,∴EF= anm n  . 由 HE∥AB,∴ DB DE AB HE  . 又∵AB=b,∴HE= bnm m  . 又∵四边形 EFGH 为矩形, ∴S 矩形 EFGH=HE·EF= ab nm mnanm nbnm m 2)(   . 点评：线面平行问题是平行问题的重点，有着广泛应用. （五）知能训练 求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行. 已知：a、b 是异面直线. 求证：过 b 有且只有一个平面与 a 平行. 证明：(1)存在性.如图 13， 图 13 在直线 b 上任取一点 A，显然 Aa. 过 A 与 a 作平面β, 在平面β内过点 A 作直线 a′∥a, 则 a′与 b 是相交直线，它们确定一个平面，设为α, ∵b  α，a 与 b 异面，∴a  α. 又∵a∥a′，a′  α，∴a∥α. ∴过 b 有一个平面α与 a 平行. (2)唯一性. 假设平面γ是过 b 且与 a 平行的另一个平面, 则 b  γ.∵A∈b，∴A∈γ. 又∵A∈β，∴γ与β相交，设交线为 a″，则 A∈a″. ∵a∥γ，a  β，γ∩β=a″,∴a∥a″.又 a∥a′，∴a′∥a″. 这与 a′∩a″=A 矛盾. ∴假设错误，故过 b 且与 a 平行的平面只有一个. 综上所述，过 b 有且只有一个平面与 a 平行. 变式训练 已知：a∥α，A∈α，A∈b，且 b∥a.求证：b α. 证明：假设 b  α，如图 14， 图 14 设经过点 A 和直线 a 的平面为β，α∩β=b′, ∵a∥α，∴a∥b′(线面平行则线线平行). 又∵a∥b，∴b∥b′,这与 b∩b′=A 矛盾. ∴假设错误.故 b  α. （六）拓展提升 已知：a,b 为异面直线,a  α,b  β,a∥β,b∥α,求证:α∥β. 证明：如图 15，在 b 上任取一点 P，由点 P 和直线 a 确定的平面γ与平面β交于直线 c， 则 c 与 b 相交于点 P. 图 15 变式训练 已知 AB、CD 为异面线段，E、F 分别为 AC、BD 中点，过 E、F 作平面α∥AB. （1）求证：CD∥α; （2）若 AB=4，EF= 5 ，CD=2，求 AB 与 CD 所成角的大小. （1）证明：如图 16，连接 AD 交α于 G，连接 GF, 图 16 ∵AB∥α，面 ADB∩α=GF AB∥GF. 又∵F 为 BD 中点, ∴G 为 AD 中点. 又∵AC、AD 相交，确定的平面 ACD∩α=EG,E 为 AC 中点，G 为 AD 中点,∴EG∥CD. （2）解：由（1）证明可知： ∵AB=4,GF=2,CD=2,∴EG=1, EF= 5 . 在△EGF 中，由勾股定理,得∠EGF=90°,即 AB 与 CD 所成角的大小为 90°. （七）课堂小结 知识总结:利用线面平行的性质定理将直线与平面平行转化为直线与直线平行. 方法总结:应用直线与平面平行的性质定理需要过已知直线作一个平面,是最难应用的定 理之一;应让学生熟记:“过直线作平面，把线面平行转化为线线平行”. （八）作业 课本习题 2.2 A 组 5、6.