2020-2021学年新初三数学上册知识点讲解 二次函数的应用专题详解

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2020-2021 学年新初三数学上册知识点讲解 二次函数的应用专题详解 专题 03 二次函数的应用..................................................................................................................... 1 22.3 二次函数的应用 ................................................................................................................... 2 知识框架 .................................................................................................................................. 2 一、基础知识点 ...................................................................................................................... 2 知识点 1 列二次函数解决实际问题的一般步骤.......................................................... 2 知识点 2 实际问题中自变量的取值.............................................................................. 3 二、典型题型 .......................................................................................................................... 5 题型 1 面积问题.............................................................................................................. 5 题型 2 利润问题.............................................................................................................. 6 题型 3 球类运动问题...................................................................................................... 9 题型 4 拱桥问题............................................................................................................ 10 三、难点题型 ........................................................................................................................ 13 题型 1 分段函数............................................................................................................ 13 题型 2 二次函数的综合应用........................................................................................ 15 22.3 二次函数的应用 知识框架 { 基础知识点 { 列二次函数解决实际问题的一般步骤 实际问题中自变量的取值 典型题型 { 面积问题 利润问题 球类运动问题 拱桥问题 难点题型 { 分段函数 二次函数的综合应用 一、基础知识点 知识点 1 列二次函数解决实际问题的一般步骤 1）列二次函数解决实际问题的原则，与一元二次方程的实际问题原则类似： ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设出 2 个变量，注意区分自变量和因变量（与一元二次方程不同 的地方）； ③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题； ④解决二次函数，并解答。 注：一元二次方程通常有 2 解，但是，应检验方程的 2 个根是否都符合实际情况。 例 1.某商品现在的销售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件。市场调查发现，若果每降价 1 元，每星期多 少卖 20 件。已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？ 【答案】每件降价 5 元利润最大，最大利润为：6250 元 【解析】①建立等量关系式： 此题是利润问题，等量关系式为：总利润=每件的利润×售出的件数 ②设出 2 个变量： ∵题目研究总利润，∴设总利润为因变量 y，便于研究 ∵每件的利润与售出的件数都与商品降价有关，∴设每件降价 x 元 ③建立函数关系式： 总利润为：y 每件的利润为：（60－x－40）=（20－x）元 售出的件数为：（300+20x）件 ∴函数关系式为：y=（20－x）（ 300+20x） 化简得：y=−10푥2 + 100푥 + 6000 ④解决二次函数问题，并解答： 题干求最值，2 种方法： 方法一：配方法求最值 函数配方得：y=−10(푥 − 5)2 + 6250 ∴当 x=5 时，y 有最大值，为 6250 方法二：利用函数的性质求最值： ∵a=－10＜0，∴函数有最小值 当 x=− 푏 2푎 = − 100 2∙(−10) = 5时有最小值，最小值 y=4푎푐−푏2 4푎 = 4∙（−10）∙6000−1002 4∙（−10） = 6250 ∴降价 5 元时有最大利润，为 6250 元 知识点 2 实际问题中自变量的取值 1）根据二次函数的性质知：函数的顶点为（− 푏 2푎 ，4푎푐−푏2 4푎 ），故当 x=− 푏 2푎 时，函数取得最值，即： ①当 a＞0 时，x=− 푏 2푎 时函数有最小值，最小值 y=4푎푐−푏2 4푎 ②当 a＜0 时，x=− 푏 2푎 时函数有最大值，最大值 y=4푎푐−푏2 4푎 2）在实际问题中，由于受自变量取值的限制，自变量有可能无法取到 x=− 푏 2푎 ，这是就需要根据二次函 数的性质进一步分析了。因此，在解决实际问题中，自变量的取值范围非常重要，必须要着重考虑，则解 决实际问题的步骤为： ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设出 2 个变量，注意区分自变量和因变量； ③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题； ④根据实际问题，确定自变量的取值范围；（添加步骤） ⑤解决二次函数，并解答。 例 1.某商品现在的销售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件。市场调查发现，若果每降价 1 元，每星期多 少卖 20 件。已知商品的进价为每件 40 元，商务部规定商品价格不得低于 56 元，如何定价才能使利润最大？ 【答案】每件降价 5 元利润最大，最大利润为：6250 元 【解析】①建立等量关系式： 此题是利润问题，等量关系式为：总利润=每件的利润×售出的件数 ②设出 2 个变量： ∵题目研究总利润，∴设总利润为因变量 y，便于研究 ∵每件的利润与售出的件数都与商品降价有关，∴设每件降价 x 元 ③建立函数关系式： 总利润为：y 每件的利润为：（60－x－40）=（20－x）元 售出的件数为：（300+20x）件 ∴函数关系式为：y=（20－x）（ 300+20x） 化简得：y=−10푥2 + 100푥 + 6000 ④确定自变量取值范围： 根据题意，x≤60－56，且 x≥0，且 x 为整数 ∴自变量的取值范围为：0≤x≤4（x 为整数） ⑤解决二次函数问题，并解答： ∵a=－10＜0，∴函数有最小值 当 x=− 푏 2푎 = − 100 2∙(−10) = 5时有最小值，但是 x 无法取到 5 根据函数图像性质，当 x=4 时，有最大值，最大值 y=6240 二、典型题型 题型 1 面积问题 解题技巧：面积问题中，常考察矩形的面积，关系式为：面积=长×宽。设面积为 y，长（宽）为 x，宽（长） 利用题干中的关系，用 x 表示。 在求解最大面积时，需要注意实际问题中自变量的取值范围。 例 1.投资 1 万元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长 24m，平行于 墙的边的费用为 200 元/m，垂直于墙的边的费用为 150 元/m，设平行于墙的边长为 xm (1)设垂直于墙的一边长为 ym，直接写出 y 与 x 之间的函数关系式 (2)若菜园面积为 384푚2，求 x 的值 (3)求菜园的最大面积 【答案】（1）y=− 2 3 푥 + 100 3 （0＜x≤24） （2）x=18 （3）416푚2 【解析】（1）平行于墙的长度为 x，则费用为 200x 垂直于墙的长度为 y，则费用为 150y∙ 2 = 300y 300y+200x=10000 化简得：y=− 2 3 푥 + 100 3 ∵墙的长度为 24m，∴自变量的取值范围为：0＜x≤24 （2）设面积为 S，则 S=xy=x（− 2 3 푥 + 100 3 ）=− 2 3 푥2 + 100 3 푥 菜园面积为 384푚2，则 384=− 2 3 푥2 + 100 3 푥 解得：푥1 = 18，푥2 = 32 푥1 = 18在取值范围内，符合；푥2 = 32不在取值范围内，舍去 所以当 x=18 时，面积为 384 （3）S=− 2 3 푥2 + 100 3 푥 函数开口向下，最大值为顶点处 顶点横纵标 x=− 100 3 2×（−2 3）=25 x=25 不在取值范围内，而在取值范围的右侧 则最大值为当 x=24 时，最值为 y=− 2 3 × 242 + 100 3 × 24 = 416 所以当 x=24 时，面积最大，为 416푚2。 例 2.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各 留 1m 宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 27m，求能建成的饲养室面积最大值？ 【答案】当垂直于墙的长度为 5m 时，面积最大，为 75푚2 【解析】设垂直于墙的长度为 xm，则中间墙的长度为（x－1）m，平行于墙的长度为[27－x－（ x－1）－ x+2]m 面积 S=x[27－x－（x－1）－x+2]=−3푥2 + 30푥 取值范围为：{ 푥＞0 푥 − 1＞0 27 − x－(x－1)－x＞0 化简得：1＜x＜26 3 二次函数开口向下，最大值为顶点处 顶点横坐标 x=− 30 2×(−3) = 5，在取值范围内 则最大值为当 x=5 时，S=−3 × 52 + 30 × 5=75 当垂直于墙的长度为 5m 时有最大值，最大面积为 75푚2。 题型 2 利润问题 解题技巧：利润问题中，，关系式为：总利润=单件利润×销售件数。设总利润为 y，降价（涨价）为 x，结 合题干信息，用 x 表示单件利润和销售件数。 销售件数=初始件数±增加（减少）件数 在求解最大利润时，同样需要注意实际问题中自变量的取值范围。 例 1.某公式产销一种商品，为保证质量，每个周期产销商品件数控制在 100 以内，产销成本 C 是商品件数 x 的二次函数，调查数据如下表： 产销商品件数（x/件） 10 20 30 产销成本（C/元） 120 180 260 商品的销售价格（单位：元）为 P=35－ 1 10 푥。（每个周期的产销利润=Px－C） （1）直接写出产销成本 C 与商品件数 x 的函数关系式（不要求写自变量的取值范围） （2）该公司每个周期产销多少件商品时，利润达到 220 元？ （3）求该公司每个周期的产销利润的最大值。 【答案】（1）C= 1 10 푥2 + 3푥 + 80 （2）10 件 （3）当 x=90 时有最大利润，为 1180 元 【解析】（1）因为 C 是 x 的二次函数，读表得：A（10,120）， B（20,180）， C（30,260） 设函数为：C = ax2 + bx + c，利用待定系数法，将 3 点代入得： { 120 = a × 102 + b × 10 + c 180 = a × 202 + b × 20 + c 260 = a × 302 + b × 30 + c 解得：{ 푎 = 1 10 푏 = 3 푐 = 80 所以函数为：C= 1 10 푥2 + 3푥 + 80 （2）因为产销商品控制在 100 以内 所以 0＜x≤100 设利润 W 为：W=（35－ 1 10 푥）x－（ 1 10 푥2 + 3푥 + 80） 化解得：W=− 1 5 푥2 + 32푥 − 80 利润为 220 则− 1 5 푥2 + 32푥 − 80 = 220 解得：푥1 = 10，푥2 = 150 因为 0＜x≤100 所以푥1 = 10满足，푥2 = 150需要舍去 所以当周销售 10 件时，利润为 220 元 （3）W=− 1 5 푥2 + 32푥 − 80 a＜0，开口向下，顶点处为最大值 顶点横坐标为 x=− 32 2×−1 5 =90 x=90 在取值范围内，即最大值就是函数在顶点处的值 y=− 1 5 × 902 + 32 × 90 − 80=1180 所以当周销售量为 90 件时，利润有最大值，为 1180 元。 例 2.某商家销售一种成本为 20 元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量 y（件）与当天的销售单价 x （元/件）满足一次函数关系，并且当 x＝25 时， y＝550；当 x＝30 时，y＝500．物价部门规定，该商品的 销售单价不能超过 48 元/件。 (1)求出 y 与 x 的函数关系式 (2)问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是 8000 元？ (3)直接写出商家销售该商品每天获得的最大利润 【答案】（1）y=－10x+800 （2）当售价为 40 元时，利润为 8000 元 （3）当售价为 48 元时，有最大利润，为 8960 元 【解析】（1）销量和售价为一次函数，利用待定系数法 设一次函数为 y=kx+b，则 {550 = 25푘 + 푏 500 = 30푘 + 푏 解得：k=－10，b=800 一次函数为：y=－10x+800 （2）设利润为 W，则 W=（－10x+800）（ x－20） 化简得：W=−10푥2 + 1000푥 − 1600 令−10푥2 + 1000푥 − 1600 = 8000 解得：푥1 = 40，푥2 = 60 因为该商品的销售单价不能超过 48 元/件，所以 20＜x≤48 푥1 = 40符合条件，푥2 = 60不符合条件，舍去 所以当售价为 40 元时，利润为 8000 元 （3）W=−10푥2 + 1000푥 − 1600 二次函数开口向下，最大值为顶点处 顶点横坐标 x=− 1000 2×（−10）=50 发现顶点在取值范围右侧，则根据函数图像性质，最大值为当 x=48 时 当 x=48 时，y=−10 × 482 + 1000 × 48 − 1600=8960 所以当售价为 48 元时，有最大值，为 8960 元 例 3.某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量 y（件）是售价 x（元/件）的一次函数， 其售价、周销售量、周销售利润 w（元）的三组对应值如下表： 售价 x（元/件） 50 60 80 周销售量 y（件） 100 80 40 周销售利润 w（元） 1000 1600 1600 注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价） (1)①求 y 关于 x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） ②该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元 (2)由于某种原因，该商品进价提高 m 元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过 65 元/件，该商店 在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是 1400 元，求 m 的值 【答案】（1）①y=－2x+200 （1）②进价为：40，售价是：70，最大利润是：1800 （2）m=5 【分析】：（1）y 是 x 的一次函数，利用待定系数法求解 设 y=kx+b，则 {100 = 50푘 + 푏 80 = 60푘 + 푏 解得：{ 푘 = −2 푏 = 200 所以 y=－2x+200 设利润为 W，则 W=（－2x+200）（ x－40） 化简得：W=−2푥2 + 280푥 − 8000 售价必须高于进价，即 x＞40 售价不能太高，最高只能当高到刚好卖不出产品为止，即 0=－2x+200，即 x＜100 所以 40＜x＜100 二次函数开口向下，最值为顶点处 顶点横坐标 x=− 280 2×(−2) = 70，在取值范围内 所以当 x=70 时，函数有最大值，最大值 W=−2 × 70 + 280 × 70 − 8000=1800 （2）W=（－2x+200）（ x－40－m） 取值范围为：40＜x＜65 化简二次函数为：W=−2푥2 + （280 + 2푚）푥 − （8000 + 200푚） 函数开口向下，顶点处取得最大值 顶点横坐标 x=− 280+2푚 2×（−2）=70+푚 2 ＞65 所以顶点横坐标不在取值范围内，而在取值范围的右侧 则函数最大值为当 x=65 时 y=−2 × 652 + (280 + 2푚) × 65 − （8000 + 200푚）=1750－70m 因为最大值为 1400 所以 1750－70m=1400 解得：m=5 题型 3 球类运动问题 解题技巧：球类运动与抛物线息息相关，如运动轨迹、速度的变化等。在分析球类问题时，题干一般并未 告知函数的解析式，仅告知了某些特殊点的坐标，因此，球类问题的解题步骤为： ①根据图形中的特殊点，利用待定系数法，求解函数解析式； ②转化为二次函数问题进行求解，并解答 例 1.如图，校运动会上，一名男生推铅球，出手点 A 距地面5 3m，出手后的运动路线时抛物线，当铅球运行 的水平距离是 4m 时，达到最大高度 3m，那么该名男生的成绩是的多远？ 【答案】10m 【解析】根据题意可得点 A（0，5 3 ），顶点坐标为（4，3） 设函数的解析式为：y=a（푥 − 4）2 + 3 将点 A 代入得：a=− 1 12 ∴函数解析式为：y=− 1 12 （푥 − 4）2 + 3 令 y=0 得：0=− 1 12 （푥 − 4）2 + 3 解得：푥1 = −2（舍），푥2 = 10 ∴成绩为 10m 例 2.如图，有一建筑工人从 10m 高的窗口 A 处用水管向外喷水，喷水的水呈抛物线状，如果抛物线的最高 点 M 离墙 1m，离地面40 3 m，求水流落地点 B 离墙的距离 OB。 【答案】3m 【解析】根据题意，可得点 A（0,10），顶点 M（1，40 3 ） 设函数的解析式为：y=a（푥 − 1）2 + 40 3 将点 A 代入得：a=− 10 3 ∴函数解析式为：y=− 10 3 （푥 − 1）2 + 40 3 令 y=0 得：0=− 10 3 （푥 − 1）2 + 40 3 解得：푥1 = −1（舍），푥2 = 3 ∴OB=3m 题型 4 拱桥问题 解题技巧：此类题型，需要我们自己建立合适坐标系，然后求解函数解析式，最后根据解析式求响应问题。 建立坐标系原则：纵坐标建在对称轴上，横坐标依题意，可随意选择 优点：①顶点坐标容易得出，便于利用二次函数顶点坐标求解解析式； ②函数关于 y 轴对称，函数解析式可设为：푦 = 푎푥2 + 푘 ③二次函数关于 y 轴对称，实际问题方便求解 （2）解题步骤： ①建立合适的坐标系（纵坐标建在对称轴上），得出特殊点的坐标值 ②利用顶点式求出函数解析式 ③实际问题，需确定函数取值范围 ④根据题干要求，分析二次函数解析式，求解相应内容。 例 1.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m．水面下降 2.5m，水面宽度增加___________m 【答案】2 【解析】建立直角坐标系，如下图所示。 则函数顶点坐标为（0,2），与 x 轴交点两个点的坐标分别为（－2,0），（ 2,0） 设函数解析式为：y=a푥2 + 2 代入（－2,0）得：0= a× （ − 2）2 + 2 解得：a=− 1 2 所以函数解析式为：y=− 1 2 푥2 + 2 目前，水面宽度为 2－（－2）=4m 当水面下降 2.5m 时，纵坐标为－2.5，求横坐标 －2.5=− 1 2 푥2 + 2 解得：x=±3 所以，下降后的宽度为：3－（－3）=6m 所以增加的宽度为：6－4=2m 例 2.如图为一座拱桥，桥下面处于目前的水位时，水面宽 AB=10m，如果水位上升 2m，就将达到警戒线 CD， 这时水面的宽为 8m。若洪水到来，水位以每小时 0.1m 的速度上升，经过多少小时会达到拱顶？ 【答案】500 9 时 【解析】建立直角坐标系，以 AB 为 x 轴，AB 中点为原点，作垂线建立 y 轴，与拱桥的顶点交于点 E。 根据坐标系得：点 B（5，0），点 D（4，2） 设函数解析式为：푦 = 푎푥2 + 푘，将点 B、D 代入得： a=− 2 9 ，k=50 9 ，∴函数为：y=− 2 9 푥2 + 50 9 则点 E 的坐标为：（0，50 9 ） ∴时间 t=50 9 ÷ 0.1 = 500 9 时 例 3.一条河上有座抛物线形涵洞，当水面距涵洞顶 5m 时，水面宽 8m。一船宽 4m，高 2，载货后，船露在 水面的部分为 0.75m。问水面涨到距涵洞顶多少米时，船就不能通航？ 【答案】不能通过 【解析】建立如图坐标系 设 AA’是原来的水面位置 由条件知 A（4，－5） 设抛物线的解析式为 y=a푥2，代入点 A 得： a=− 5 16 푥2 当穿棉两侧与抛物线接触是，船不能通过 因为船宽 4m 所以 B 的横坐标为 2 因为 B 在抛物线上，所以 B 的纵坐标 y=− 5 16 × 22=− 5 4 此刻水面距离涵洞顶的距离为：5 4 + 3 4=2m 所以当水面涨到离涵洞顶 2m 时，船不能通过。 三、难点题型 题型 1 分段函数 解题技巧：当单价或者销售量不能用单一函数表示时，这是的函数为分段函数。分段函数求解最值，与二 次函数求最值方法相同，就是增加一步：每一段函数的最值都求解出来，然后比较这几段函数的最值，从 而找出最终的最值。 例 1.某大学生利用暑假 40 天进行社会实践，他参加了一家网店的经营，了解到一种成本为 20 元/件的新型 商品在第 x 天销售的相关信息如表所示： 销售量 P（件） P=50－x 销售单价 q（元/件） 当 1≤x≤20 时，q=30+1 2 푥 当 21≤x≤40 时，q=x （1）请计算第几天该商品的销售单价为 35 元/件？ （2）求该网站第 x 天获得的利润 y 关于 x 的函数关系式。 （3）这 40 天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）10 天或 35 天 （2）y={ − 1 2 푥2 + 15푥 + 500，0 ≤ 푥 ≤ 20 −푥2 + 70푥 − 1000，21 ≤ 푥 ≤ 40 （3）第 15 天有最大值，最大值为：612.5 元 【解析】∵此题销售单价有 2 类情况 ∴此题需要分段考虑 （1）情况一：当 1≤x≤20 时 35=30+1 2 푥，解得：x=10 情况二：当 21≤x≤40 时 30=x，解得：x=35 综上得：第 10 天和 35 天时售价为 35 元/件 （2）情况一：当 1≤x≤20 时 利润 y=p（q－20）得：y=（50－x）（ 30+1 2 푥 − 20），化简得：y=− 1 2 푥2 + 15푥 + 500 情况二：当 21≤x≤40 时 利润 y=P（q－20）得：y=（50－x）（ x－20），化简得：y=−푥2 + 70푥 − 1000 ∴利润 y={ − 1 2 푥2 + 15푥 + 500，0 ≤ 푥 ≤ 20 −푥2 + 70푥 − 1000，21 ≤ 푥 ≤ 40 （3）∵有 2 段函数 ∴要分别讨论这 2 段函数的最大值 情况一：当 y=− 1 2 푥2 + 15푥 + 5000，0 ≤ 푥 ≤ 20 ∵a=− 1 2 ＜0 ∴当 x=− 푏 2푎 = − 15 2∙(−1 2) = 15时有最大值，最大值 y=612.5 情况二：当−푥2 + 70푥 − 1000，21 ≤ 푥 ≤ 40 ∵a=－1＜0 ∴x=− 푏 2푎 = − 70 2∙(−1) = 35时有最大值，最大值 y=225 综上得：第 15 天有最大值，最大值为：612.5 元 例 2.饰品店购进一种新饰品，进价为 40 元，售价为 60 元，每月可卖出 300 件。市场调查反映：调整价格 时，售价每涨 1 元每月少卖 10 件；收件每降 1 元，每月多卖 20 件。为了获得最大利润，先将饰品售价调 整为 60+x（元/件），每月销售量为 y，每月利润为 w。 （1）写出 y 与 x 之间的函数关系； （2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大利润； 【答案】（1）y={ −10푥2 + 100푥 + 6000，0 ≤ 푥 ≤ 30 −20푥2 − 100푥 + 6000， − 20 ≤ 푥 ≤ 0 （2）售价定位 65 元时有最大利润，为 6250 元 【解析】∵有降价和涨价 2 种情况 ∴此题需要分段讨论 （1）情况一：涨价，即 x≥0 时 商品利润为：（60+x－40）=（20+x）元 商品销量为：（300－10x）件 ∴y=（20+x）（ 300－10x），化简得：y=−10푥2 + 100푥 + 6000 涨价最大涨至商品销售不出，即 300－10x≥0 ∴自变量的取值范围为：0≤x≤30，且 x 为整数 情况二：降价，即 x≤0 时 商品利润为：（60+x－40）=（20+x）元 商品销量为：（300－20x）件 ∴y=（20+x）（ 300－20x），化简得：y=−20푥2 − 100푥 + 6000 降价最大至商品无利润，即 20+x≥0 ∴自变量的取值范围为：－20≤x≤0，且 x 为整数 综上得：y={ −10푥2 + 100푥 + 6000，0 ≤ 푥 ≤ 30 −20푥2 − 100푥 + 6000， − 20 ≤ 푥 ≤ 0 （2）情况一：当 0≤x≤30 时，푦 = −10푥2 + 100푥 + 6000 ∵a=－10＜0 ∴x=− 푏 2푎 = − 100 2∙(−10) = 5时有最大值，最大值 y=6250 元 情况二：当−20 ≤ 푥 ≤ 0时，푦 = −20푥2 − 100푥 + 6000 ∵a=－20＜0 ∴x=− 푏 2푎 = − −100 2∙(−20) = − 5 2 时有最大值 ∵x 为整数 ∴最大为 x=－3 或 x=－2 时取得，y=6120 元 综上得：当 x=5 时 y 值最大，为 6250 ∴定价为 65 元时有最大利润，为 6250 元。 题型 2 二次函数的综合应用 解题技巧：此类题通常为中考的最后一道大题，型综合性较强，要求读者在平时学习中多钻研与积累。 例 1.已知抛物线 y＝a푥2＋2x＋c 与 x 轴交于 A(－1，0)、B(3，0)两点，一次函数 y＝kx＋b 的图象 l 经过抛物 线上的点 C(m，n) (1)求抛物线的解析式 (2)若 m＝3，直线 l 与抛物线只有一个公共点，求 k 的值 (3) 若 k＝－2m＋2，直线 l 与抛物线的对称轴相交于点 D，点 P 在对称轴上．当 PD＝PC 时，求点 P 的坐标 【答案】（1）y=−푥2 + 2푥 + 3 （2）k=－4 （3）P（1，15 4 ） 【解析】（1）∵点 A（－1，0）， B（3，0）在抛物线 y＝a푥2＋2x＋c 上 ∴0=a－2+c，0=9a+6+c 解得：a=－1，c=3 ∴抛物线解析式为：y=−푥2 + 2푥 + 3 （2）∵C（m，n）在抛物线上 ∴n=−m2 + 2m + 3 当 m=3 时，求得 n=0 ∴C（3，0） ∵直线经过点 C ∴b=－3k，则直线解析式为 y=kx－3k 联立直线与抛物线：kx－3k=−푥2 + 2푥 + 3 化简得：−푥2 + （2 − 푘）푥 + （3 + 3푘） = 0 ∵直线与抛物线只有一个公共点 ∴Δ = （푘 − 2）2 − 4 × (−1) × (3 + 3푘) = 0 解得：k=－4 （3）当 k=－2m+2 时，y=（－2m+2）x+b，且 m≠1 将 C（m，n）代入 y=（－2m+2）+b 中得： n=－푚2+2m+3 ∵n=−푚2 + 2푚 + 3 ∴b=푚2 + 3，直线的解析式为 y=－（－2m+2）x+푚2 + 3 ∵D 为直线与抛物线的交点 ∴D 的横坐标 x=1，y=푚2 − 2푚 + 5 ∴D（1，푚2 − 2푚 + 5）， C（m，−푚2 + 2푚 + 3） 设 P（1，a） ∵PC=PD ∴푃퐶2 = 푃퐷2 即：（푚 − 1）2 +（ − 푚2 + 2푚 + 3 − 푎）2 =（푚2 − 5푚 + 5 − 푎）2 解得：a=15 4 ∴P（1，15 4 ） 例 2.已知抛物线 y＝푥2 + 푏푥 + 3√3与 x 轴交于点 A(1，0)，B(3，0)两点，与 y 轴交于点 C．P 为抛物线的对 称轴上的动点，且在 x 轴的上方，直线 AP 与抛物线交于另一点 D． (1)求抛物线的解析式； (2)如图 1，连接 AC，DC，若∠ACD＝60°，求点 D 的横坐标； (3)如图 2，过点 D 作直线 y=−√3푥的垂线，垂足为点 E，若 PE=√2푃퐷，求点 P 的坐标． 【答案】(1)y＝√3푥2－4√3푥＋3√3 (2)19 5 (3)P（2，1） 【解析】（1）将点 A（1,0）， B（3,0）代入抛物线有： { 0 = 푎 + 푏 + 3√3 ① 0 = 9푎 + 3푏 + 3√3 ② 得 a＝√3，b＝－4√3 （2） 过点 A 作直线 AH⊥CA，交直线 CD 于 H，作 HQ⊥AB 于点 Q， ∵∠COA＝∠CAH＝∠HQA＝90° ∴∠OCA＝∠HAQ，∠CAO＝∠AHQ ∴△COA∽△AQH 又∵△CAH 为直角三角形 ∴퐶퐴 퐴퐻 ＝tan∠CHA＝tan30°＝√3 3 ∴퐻퐴 퐶퐴 ＝퐻푄 푂퐴 ＝퐴푄 퐶푂 ＝√3，OC＝3√3，OA＝1 ∴HQ＝√3，AQ＝9，H（10，√3） 设直线 CH 的解析式为 y＝mx＋n，将点 C（0，3√3）和 H（10，√3）代入有 CH 直线的解析式为 y＝－√3 5 x＋3√3 D 为 CH 与抛物线交点 { 푦 = √3푥2 − 4√3푥 + 3√3 푦 = − √3 5 푥 + 3√3 解得√3푥2－19 5 √3 푥＝0，所以푥1＝0，푥2＝19 5 ，即 D 点的横坐标为19 5 （3） 设直线 AP：y＝kx－k {푦 = √3푥2 − 4√3푥 + 3√3 푦 = 푘푥 − 푘 消去 y 得：√3푥2 − （4√3＋k）x + 3√3＋k=0 ∴푥퐴 푥퐷＝3＋ 푘 √3 ，푥퐴＝1，∴푥퐷＝3＋ 푘 √3 ∴D（3＋ 푘 √3 ，2k＋ 푘 √3 ） ∴E（3＋ 푘 √3 ，－√3） 抛物线的顶点 F（2，－√3），∴直线 y＝－√3经过点 F，点 P（2，k） 过点 D 作 DM⊥PF 于 M，在 Rt△PDM 中，由勾股定理得： 푃퐷2＝（1＋푘2）（ 1 + 푘 √3 ）2 在 Rt△PEF 中，由勾股定理得： 푃퐸2＝（1 + 푘 √3 ）2 ＋3（1 + 푘 √3 ）2 由题意得：푃퐸2＝2푃퐷2 （1 + 푘 √3 ）2 ＋3（1 + 푘 √3 ）2 ＝2（1＋푘2）（ 1 + 푘 √3 ）2 ∴4＝2（1＋푘2） ∴k＝1 或 k＝－1（舍） ∴点 P 的坐标为（2,1） 例 3.抛物线 L：y＝－푥2＋bx＋c 经过点 A(0，1)，与它的对称轴直线 x＝1 交于点 B (1)直接写出抛物线 L 的解析式 (2)如图 1，过定点的直线 y＝kx－k＋4（k＜0）与抛物线 L 交于点 M、N．若△BMN 的面积等于 1，求 k 的值 (3)如图 2，将抛物线 L 向上平移 m（m＞0）个单位长度得到抛物线퐿1，抛物线퐿1与 y 轴交于点 C，过点 C 作 y 轴的垂线交抛物线퐿1于另一点 D．F 为抛物线퐿1的对称轴与 x 轴的交点，P 为线段 OC 上一点．若△PCD 与△POF 相似，并且符合条件的点 P 恰有 2 个，求 m 的值及相应点 P 的坐标。 【答案】（1）y＝－푥2＋2x＋1 （2）－3 （3）m＝2√2－1 时，点 P 的坐标为（0，√2）和（0，2√2 3 ）； m＝2 时，点 P 的坐标为（0,1）和（0,2） 【解析】（1）由题意知： { − 푏 2×(−1) ＝1 푐＝1 解得 b＝2，c＝1. ∴抛物线的解析式为 y＝－푥2＋2x＋1 （2）如图 1， ∵y＝kx－k＋4＝k（x－1）＋4 ∴当 x＝1 时，y＝4，即该直线所过定点 G 坐标为（1,4） ∵y＝－푥2＋2x＋1＝(푥 − 1)2＋2 ∴点 B（1,2） 则 BG＝2, ∵푆△퐵푀푁＝1，即푆△퐵푁퐺－푆△퐵푀퐺＝1 2BG·푥푁－1 2BG·푥푀＝1 ∴푥푁－푥푀＝1 由{y＝kx－k＋4 y＝－푥2＋2x＋1 得푥2＋（k－2）x－k＋3＝0 解得：x＝2−k±√（k−2）2 −4（3−k） 2 ＝2−k±√k2−8 2 则xN＝2−k＋√k2−8 2 ，xM＝2−k−√k2−8 2 由xN－xM＝1 得√k2 − 8＝1 ∴k＝±3， ∵k＜0，∴k＝－3 （3）如图 2 设抛物线퐿1的解析式为 y＝－푥2＋2x＋1＋m， ∴C（0,1＋m）， D（2,1＋m）， F（1,0） 设 P（0，t）， 当△PCD∽△FOP 时，푃퐶 퐶퐷 ＝퐹푂 푂푃 ， ∴1+푚−푡 2 ＝1 푡 ∴푡2 − (1 + 푚)푡 + 2 = 0 ① 当△PCD∽△POF 时，푃퐶 퐶퐷 ＝푃푂 푂퐹 ， ∴1+푚−푡 2 ＝푡 1 ∴t＝1 3 （m + 1） ② 1）当方程①有两个相等实数根时， Δ＝（1 + 푚）2 − 8 = 0 解得：m＝2√2－1（负值舍去） 此时方程①有两个相等实数根t1 = t2 = √2， 方程②有一个实数根 t＝2√2 3 ∴m＝2√2－1 此时点 P 的坐标为（0，√2）和（0，2√2 3 ） 2）当方程①有两个不相等实数根时，把②代入①得： 1 9 （m + 1）2－1 3 （m＋1）＋2＝0 解得 m＝2（负值舍去） 此时，方程①有两个不相等的实数根t1 = 1，t2 = 2 方程①有一个实数根 t＝1 ∴m＝2，此时点 P 的坐标为（0,1）和（0,2） 综上，当 m＝2√2－1 时，点 P 的坐标为（0，√2）和（0，2√2 3 ）； m＝2 时，点 P 的坐标为（0,1）和（0,2）