2012中考数学压轴题的解决策略

2012中考数学压轴题的解决策略

中考数学压轴题的解决策略 ‎ 抛物线是初中数学中很重要的一个知识点，也是学好高中数学的基础。不但如此，它更是一根轴，能够把初中数学很多重要的知识点带动起来。因此，近些年，在全国各地的中考试题中，抛物线经常作为重点题和压轴题，来全面考察学生的数学知识和学习潜力。因此，针对这种情况，我们都必须引起高度的重视，认识抛物线，攻克压轴题。‎ 一、 熟悉抛物线的性质 1. 抛物线是轴对称图形。 ‎ 对称轴为直线x= -，顶点坐标(- ， ) ‎ 2. a、b、c的几何含义。‎ a的符号确定抛物线的开口方向，|a|的大小确定抛物线的开口程度；a与b的符号共同确定对称轴的位置；c的符号确定抛物线与y轴交点的位置。‎ 3. 抛物线与X轴的交点（一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况）。‎ Δ= b2‎-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。 　　‎ Δ= b2‎-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 　　‎ Δ= b2‎-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。‎ 4. 抛物线的增减性。‎ 当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在x= -处取得最小值f(-)=，在对称轴的右侧y随x的增大而增大。‎ 当a＜0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在x=-处取得最大值f(-)=，在对称轴的右侧y随x的增大而减小。‎ 二、 了解抛物线解析式的求法 1、 已知三点坐标，选择一般式y=ax2+bx+c 已知抛物线过A（1，-4）、B（2，-3）、C（4,5），求其解析式 分析：y=x2－2x－3‎ 2、 已知顶点坐标，选择顶点式 已知抛物线y=ax2-2ax+b的最低点纵坐标是-9，且过点（-2,0）‎ 分析：y=a(x－1)2－9过(－2,0) ∴a=1，即y=x2－2x－8‎ 3、 已知交点坐标，选择交点式 已知抛物线过A（1，0）、B（3，0）、C（0,6），求其解析式 分析：y=a(x－1)(x－3)过（0，6）‎ ‎∴a=2，即y=2x2－8x+6‎ 点评：这种题型主要考察学生对抛物线基础知识的掌握程度，并能够用待定系数法灵活地求出抛物线的解析式。‎ 一、 运用知识解决抛物线的综合问题 1、 抛物线与面积 如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交与A、B两点(A在B的左边)，与y轴交与点C。P（4,5）在抛物线上。‎ ‎（1）、求S△ABC；‎ 分析：A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）‎ S△ABC=×4×3=6‎ ‎（2）、第四象限的抛物线上是否存在点M,使S△MBC=3?‎ 如图①，MD∥BC交x轴于点D，‎ ‎∴S△MBC=S△DBC=3‎ ‎∴D（5，0） ∴CD：y=x－5‎ ‎∴ 得 ‎（3）、第四象限的抛物线上是否存在点N,使S△NBC＞?‎ 分析：如图②NE∥BC交x轴于E，‎ 若S△NBC=S△EBC=‎ 则E（，0）‎ ‎∴NE：y=x－‎ ‎∴ x2－3x+=0 △=0‎ 此时直线NE与抛物线仅一个公共点，‎ ‎∴当S△NBC＞时，点N不存在.‎ ‎（4）、抛物线上是否存在点Q,使S△PQA=S△PQB?‎ 分析：如图③‎ ‎（i）A、B位于PQ同侧时，Q（－2，5）‎ ‎（ii）A、B位于PQ异侧时，AG=BF，H（1，0）‎ ‎∴PQ：y=x－‎ ‎∴Q（－，－）‎ ‎（5）、抛物线上是否存在点Q,使S△PQA=2S△PQB?‎ 如图④‎ ‎（i）A、B位于PQ同侧时，AM=2BN ‎∴，∴G（7，0），∴PQ：y=x+，‎ ‎∴Q（－，）‎ ‎（ii）A、B们于PQ异侧时，AS=2BT，∴，‎ ‎∴H（，0）‎ ‎∴PS：y=x－，∴Q2（，－）‎ 点评：这种类型的题主要考察面积的转化方法、全等相似的运用、数形结合思想、解析法的思想、分类讨论思想。‎ 1、 抛物线与图形变换 ‎①如图，已知抛物线C1：y=x2+bx+c交x轴与A（1,0），交y轴与B（0,2），顶点为D。将抛物线C1绕平面内某一点旋转 ‎180°得到抛物线C2，其顶点为E。若点D在C2上，点E在C1上。‎ ‎（1）、求抛物线C1的解析式；y=x2-3x+2‎ ‎（2）、若过A、B、E三点的圆的圆心在线段BE上，求抛物线C2的解析式。‎ ‎（3）、在②的条件下，直线x=m（m＞0）分别交抛物线C1 、C2与M、N，抛物线C2交y轴与H点，且BM=HN，求m值。‎ 分析：①待定字数法求得C1:y=x2－3x+2 D（）‎ 并求出旋转中心；y=—（x-5/2）2+3/4 （2，1/4）‎ ‎②过E点作EF⊥x轴于F，连AB、AE、BE，设E（m，n）‎ 由题意知BA⊥EA ‎∴△BOA∽△AFE ‎∴，即 ‎∴E（m，）在C1:y=x2－3x+2图象上 ‎∴m1=，m2=1舍 故C2:y=a()2+，过D（）‎ ‎∴a=－1‎ 即C2:y=－()2+‎ ‎③分类讨论：（i）当四边形BMNH为平行四边形 ‎ △BMG≌△HNQ ‎ ∴MG=NQ，即m2－‎3m=－m2+‎‎5m ‎ ∴m1=4，m2=0舍 ‎ （ii）当四边形BMNH为等腰梯形时 ‎ △BMW≌△HNJ ‎ ∴BW=HJ 即－m2+‎3m=－m2+‎‎5m m=0舍 ‎②、（2011江西南昌）将抛物线C1：y=－x2+沿x轴翻折，得抛物线C2,如图所示.‎ ‎（1）请直接写出抛物线C2的表达式.‎ ‎（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.‎ ‎①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；‎ ‎②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.‎ 分析： (1)C2 y=x2－.‎ ‎(2)①令－x2+=0，得x1=－1,x2=1,则抛物线C1与x轴的两个交点坐标为（－1，0），（1，0）.∴A（－1－m，0），B（1+m,0）.‎ 当AD=AE时,‎ 如图①，(－1+m)－(－1-m）=[(1+m)－(－1－m)], ∴m=‎ 当AB=AE时，‎ 如图②，(1－m)－(－1－m）=[(1+m)-(-1-m)], ‎ ‎∴m=2.∴当m=或2时，B，D是线段AE的三等分点. ‎ ‎②存在.理由：‎ 依题意可得M，N关于原点O对称， ∴OM=ON.‎ ‎∵A（－1－m，0），E（1+m，0），∴OA=OE，‎ ‎∴四边形ANEM为平行四边形.‎ 当OM=OA，即m2+()2=[－(－1－m)]2, m=1.‎ ‎∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形.‎ ‎ ③、如图：抛物线C1:y=顶点为M，与x轴负半轴交于点A，将抛物线C1沿X轴翻折，再向右平移2个单位得到抛物线C2顶点为N，与x轴正半轴交于点B，P为C1上一点，Q为C2上一点，是否存在点P、Q，使四边形PMQN为菱形？若存在，求P、Q坐标，若不存在，说明理由。‎ 分析：C2:y=－‎ 连结MN交x轴于E，‎ 易证ME=NE E（2，0）‎ 过E作直线PQ交C1于P，交C2于Q，‎ 交y轴于F，‎ ‎△MGE≌△EOF ∴F（0，1）‎ ‎∴PQ:y=‎ 又C1:y= ∴P1（－4，3） P2（） ‎ C2:y= ∴Q1（8，－3） Q2（） ‎ 计算验证MP2=MQ2‎ 点评：将平移、轴对称与中心对称运用于二次函数的图象，是新课标中考对抛物线性质考察的一种新题型，主要考察学生对图形变换的认识、数形结合的思想、分类讨论的思想。‎ 1、 抛物线与方程、不等式 ‎1、（2011武汉中考）．（本题满分12分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-3,0),B(-1,0)两点，‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；‎ ‎（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0,3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问在y轴的负半轴上是否存在一点P,使△PEF的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。‎ 分析：（1）抛物线解析式为y=x2+4x+3‎ ‎ （2）抛物线的顶点M(-2，-1),直线OD的解析式为y=x. ‎ ‎ ∴平移后的抛物线解析式为y=(x-h)+ h ① 当抛物线经过点C时，∵C(0,9) 得h=‎ ‎∴当≤x<时，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点 ② 当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组 得x+(-2h+2)x+ h+ h-9=0 ‎ ‎ ∴⊿=（-2h+2) -4（h+ h-9）=0 解得h=4 ‎ ‎ 此时抛物线y=(x-4)+2与射线CD只有唯一一个公共点为（3,3），符合题意综上所述，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点时，顶点横坐标h的取值范围为h=4或≤x<‎ ‎(3)设直线EF的解析式为y=kx+3(k≠0),点E、F的坐标分别为（m,m）,(n,n)由 得x-kx-3=0 ∴m+n=k m·n=-3 ‎ 作点E关于y轴的对称点R(-m, m）,作直线FR交y轴于点P，‎ 由对称性知∠EPQ=∠FPQ,此时△PEF的内心在y轴上 ∴点P即为所求的点。‎ 由F,R的坐标可得直线FR的解析式为y=(n-m)x+mn记y=(n-m)x-3，‎ 当x=0时，y=-3 ∴p(0,-3)‎ ‎∴y轴的负半轴上存在点P(0，-3)使△PEF的内心在y轴上。‎ ‎2、变式：点Q为y轴正半轴上一点，过Q作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问是否存在一点Q，使△OEF的外心在EF上，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。‎ 分析：设EF:y=kx+b，E（x1，y1），F（x2，y2）依题意有EO⊥OF，∴tan∠1=tan∠2，即，∴x1x2=－y1y2又x2－kx－b=0，‎ x1+x1=k, x1x2=－b,y1y2=(x1x2)2，‎ ‎∴b1=0（舍） b2=1， 即Q(0,1)‎ 点评：这种题型主要考察函数与方程（不等式）的思想、数形结合思想、重要概念（内心、外心）的运用、相似（三角函数）的运用、设而不求的思想以及韦达定理的运用。‎ 练习：‎ ‎1、（杭州市2012年中考数学模拟）如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，‎ ‎ （1）求该抛物线的解析式；[来源:~@中^&教*网]‎ ‎（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.‎ ‎[来源:*中#教&@网~]‎ ‎[来源:zzs*#~te^%p.com]‎ ‎2. (2012年，辽宁省营口市) (14分 )如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.‎ ‎（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；‎ ‎（2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；‎ A B C O D E x y x=2‎ ‎（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.[中^国教#育出~版*&网]‎