2021高考数学一轮复习专练33高考大题专练三数列的综合运用含解析理新人教版

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2021高考数学一轮复习专练33高考大题专练三数列的综合运用含解析理新人教版

专练 33 高考大题专练(三) 数列的综合运用 1.已知等差数列{an}满足 a1=3,a5=15,数列{bn}满足 b1=4,b5=31.设 cn=bn-an,且{cn} 为正项等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 2.[2020·全国卷Ⅲ]设数列{an}满足 a1=3,an+1=3an-4n. (1)计算 a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明; (2)求数列{2nan}的前 n 项和 Sn. 3.[2019·全国卷Ⅱ]已知数列{an}和{bn}满足 a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an -4. (1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列; (2)求{an}和{bn}的通项公式. 4.[2020·河南信阳高三测试]设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,an+1=2+Sn.(n∈N*) (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=1+log2(an)2,求证数列 1 bnbn+1 的前 n 项和 Tn<1 6 . 5.[2020·全国卷Ⅰ]设{an}是公比不为 1 的等比数列,a1 为 a2,a3 的等差中项. (1)求{an}的公比; (2)若 a1=1,求数列{nan}的前 n 项和. 专练 33 高考大题专练(三) 数列的综合运用 1.解析:(1)设等差数列{an}的公差为 d,依题意得 a5=a1+4d=3+4d=15,解得 d=3, 因此 an=3+3(n-1)=3n. 设等比数列{cn}的公比为 q(q>0), 由已知得 c1=b1-a1=4-3=1,c5=b5-a5=31-15=16. 因为 c5=c1q4,即 16=1×q4,解得 q=2(负值舍去), 所以 cn=1×2n-1=2n-1. 由 cn=bn-an 得 bn=an+cn,所以 bn=3n+2n-1. (2)由(1)得 bn=3n+2n-1,所以数列{bn}的前 n 项和 Sn=(3+1)+(6+21)+(9+22)+…+(3n+2n-1) =(3+6+9+…+3n)+(1+2+22+…+2n-1) =n 3+3n 2 +1-2n 1-2 =3n+3n2 2 +2n-1. 2.解析:(1)a2=5,a3=7. 猜想 an=2n+1.由已知可得 an+1-(2n+3)=3[an-(2n+1)], an-(2n+1)=3[an-1-(2n-1)], …… a2-5=3(a1-3). 因为 a1=3,所以 an=2n+1. (2)由(1)得 2nan=(2n+1)2n, 所以 Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n.① 从而 2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n+1)×2n+1.② ①-②得 -Sn=3×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)×2n+1. 所以 Sn=(2n-1)2n+1+2. 3.解析:本题主要考查等差数列与等比数列的定义及通项公式,意在考查考生的逻辑 推理能力、运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算. (1)由题设得 4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即 an+1+bn+1=1 2 (an+bn). 又因为 a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为 1,公比为1 2 的等比数列. 由题设得 4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即 an+1-bn+1=an-bn+2. 又因为 a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. (2)由(1)知,an+bn= 1 2n-1,an-bn=2n-1. 所以 an=1 2 [(an+bn)+(an-bn)]=1 2n+n-1 2 , bn=1 2 [(an+bn)-(an-bn)]=1 2n-n+1 2 . 4.解析:(1)∵an+1=2+Sn(n∈N*) ∴当 n≥2 时,an=2+Sn-1,∴an+1-an=Sn-Sn-1=an, ∴an+1=2an(n≥2),又 a2=2+a1=4,又 a1=2, ∴a2=2a1,∴{an}是以 2 为首项以 2 为公比的等比数列, ∴an=2×2n-1=2n. (2)证明:∵bn=1+log2(an)2,则 bn=2n+1, ∴ 1 bnbn+1 =1 2 1 2n+1 - 1 2n+3 , ∴Tn=1 2 1 3 -1 5 +1 5 -1 7 +…+ 1 2n+1 - 1 2n+3 =1 2 1 3 - 1 2n+3 =1 6 - 1 2 2n+3 <1 6 . 5.解析:(1)设{an}的公比为 q,由题设得 2a1=a2+a3,即 2a1=a1q+a1q2. 所以 q2+q-2=0,解得 q1=1(舍去),q2=-2. 故{an}的公比为-2. (2)记 Sn 为{nan}的前 n 项和.由(1)及题设可得,an=(-2)n-1. 所以 Sn=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1, -2Sn=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n. 可得 3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n×(-2)n =1- -2 n 3 -n×(-2)n. 所以 Sn=1 9 - 3n+1 -2 n 9 .
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