【数学】2019届人教B版专题14直线与圆学案

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【数学】2019届人教B版专题14直线与圆学案

‎【考向解读】 ‎ 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系(特别是弦长问题),此类问题难度属于中低档,一般以选择题、填空题的形式出现.‎ ‎【命题热点突破一】 直线的方程及应用 ‎1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1.若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在.‎ ‎2.求直线方程 要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直.而截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.‎ ‎3.两个距离公式 ‎(1)两平行直线l1:Ax+By+C1=0,‎ l2:Ax+By+C2=0间的距离d=.‎ ‎(2)点(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式d=.‎ 例1、【2017江苏,13】在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是 ▲ .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【变式探究】【2016高考新课标3文数】已知直线:与圆交于两点,过分别做的垂线与轴交于两点,若,则__________________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】因为,且圆的半径为,所以圆心到直线的距离为,则由,解得,代入直线的方程,得,所以直线的倾斜角为,由平面几何知识知在梯形中,. ‎ ‎ 【变式探究】(1)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是(  )‎ A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2‎ ‎(2)已知两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m的值为(  )‎ A.0或- B.或-6‎ C.-或 D.0或 答案 (1)C (2)B ‎【特别提醒】(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况;(2)对解题中可能出现的特殊情况,可用数形结合的方法分析研究.‎ ‎【变式探究】 ‎ 已知A(3,1),B(-1,2)两点,若∠ACB的平分线方程为y=x+1,则AC所在的直线方程为(  )‎ A.y=2x+4 B.y=x-3‎ C.x-2y-1=0 D.3x+y+1=0‎ 答案 C ‎ 解析 由题意可知,直线AC和直线BC关于直线y=x+1对称.设点B(-1,2)关于直线y=x+1的对称点为B′(x0,y0),则有⇒即B′(1,0).因为B′(1,0)在直线AC上,‎ 所以直线AC的斜率为k==,‎ 所以直线AC的方程为y-1=(x-3),‎ 即x-2y-1=0.‎ 故C正确. ‎ ‎【命题热点突破二】 圆的方程及应用 ‎1.圆的标准方程 当圆心为(a,b),半径为r时,其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,特别地,当圆心在原点时,方程为x2+y2=r2.‎ ‎2.圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,表示以(-,-)为圆心,为半径的圆.‎ 例2、【2017课标3,文20】在直角坐标系xOy中,曲线与x轴交于A,B两点,点C的坐标为.当m变化时,解答下列问题:‎ ‎(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;‎ ‎(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.‎ ‎【答案】(1)不会;(2)详见解析 由(1)可得,所以AB的中垂线方程为.‎ 联立又,可得 所以过A、B、C三点的圆的圆心坐标为(),半径 ‎ 故圆在y轴上截得的弦长为,即过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.‎ ‎【变式探究】【2016高考新课标2文数】圆的圆心到直线的距离为1,则a=( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)2‎ ‎【答案】A ‎ 【变式探究】(1)若圆C经过(1,0),(3,0)两点,且与y轴相切,则圆C的方程为(  )‎ A.(x-2)2+(y±2)2=3‎ B.(x-2)2+(y±)2=3‎ C.(x-2)2+(y±2)2=4‎ D.(x-2)2+(y±)2=4‎ ‎(2)已知圆M的圆心在x轴上,且圆心在直线l1:x=-2的右侧,若圆M截直线l1所得的弦长为2,且与直线l2:2x-y-4=0相切,则圆M的方程为(  )‎ A.(x-1)2+y2=4 B.(x+1)2+y2=4‎ C.x2+(y-1)2=4 D.x2+(y+1)2=4‎ 答案 (1)D (2)B 解析 (1)因为圆C经过(1,0),(3,0)两点,所以圆心在直线x=2上,又圆与y轴相切,所以半径r=2,设圆心坐标为(2,b),则(2-1)2+b2=4,b2=3,b=±,所以选D.‎ ‎(2)由已知,可设圆M的圆心坐标为(a,0),a>-2,半径为r,得 解得满足条件的一组解为 所以圆M的方程为(x+1)2+y2=4.故选B. ‎ ‎【特别提醒】解决与圆有关的问题一般有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程;(2)代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.‎ ‎【变式探究】‎ ‎(1)经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为________________.‎ ‎(2)已知直线l的方程是x+y-6=0,A,B是直线l上的两点,且△OAB是正三角形(O为坐标原点),则△OAB外接圆的方程是____________________.‎ 答案 (1)(x-2)2+(y-1)2=10 (2)(x-2)2+(y-2)2=8‎ ‎【命题热点突破三】 直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎1.直线与圆的位置关系:相交、相切和相离,判断的方法主要有点线距离法和判别式法.‎ ‎(1)点线距离法:设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则dr⇔直线与圆相离.‎ ‎(2)判别式法:设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:Ax+By+C=0,方程组消去y,得关于x的一元二次方程根的判别式Δ,则直线与圆相离⇔Δ<0,直线与圆相切⇔Δ=0,直线与圆相交⇔Δ>0.‎ ‎2.圆与圆的位置关系有五种,即内含、内切、相交、外切、外离.‎ 设圆C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r,圆C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r,两圆心之间的距离为d,则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下:‎ ‎(1)d>r1+r2⇔两圆外离;‎ ‎(2)d=r1+r2⇔两圆外切;‎ ‎(3)|r1-r2|0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为(  )‎ A.3B.C.2D.2‎ 答案 (1)A (2)D ‎ ‎ ‎【特别提醒】 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量.‎ ‎(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题,可以转化为圆心到点的距离问题;圆上的点与直线上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到直线的距离问题;圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到圆心的距离问题.‎ ‎【变式探究】‎ ‎(1)已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2=-2y+3,直线l过点(1,0)且与直线x-y+1=0垂直.若直线l与圆C交于A、B两点,则△OAB的面积为(  )‎ A.1B.C.2D.2 ‎(2)两个圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)恰有三条公切线,则a+b的最小值为(  )‎ A.-6B.-3C.-3D.3‎ 答案 (1)A (2)C ‎【高考真题解读】‎ ‎1.【2017江苏,13】在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是 ▲ .‎ ‎【答案】 ‎ ‎2.【2017课标3,文20】在直角坐标系xOy中,曲线与x轴交于A,B两点,点C的坐标为.当m变化时,解答下列问题:‎ ‎(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;‎ ‎(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.‎ ‎【答案】(1)不会;(2)详见解析 ‎【解析】‎ ‎(1)不能出现AC⊥BC的情况,理由如下:‎ 设, ,则满足,所以.‎ 又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为,所以不能出现AC⊥BC的情况.‎ ‎(2)BC的中点坐标为(),可得BC的中垂线方程为.‎ 由(1)可得,所以AB的中垂线方程为.‎ 联立又,可得 ‎ 所以过A、B、C三点的圆的圆心坐标为(),半径 故圆在y轴上截得的弦长为,即过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.‎ ‎1.【2016高考新课标2文数】圆的圆心到直线的距离为1,则a=( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)2‎ ‎【答案】A ‎2.【2016高考上海文数】已知平行直线,则 的距离___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】利用两平行线间距离公式得.‎ ‎3.【2016高考新课标3文数】已知直线:与圆交于两点,过分别做的垂线与轴交于两点,若,则__________________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】因为,且圆的半径为,所以圆心到直线的距离为,则由,解得,代入直线的方程,得,所以直线的倾斜角为,由平面几何知识知在梯形中,.‎ ‎4.【2016高考新课标1卷】(本小题满分12分)设圆的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.‎ ‎(I)证明为定值,并写出点E的轨迹方程;‎ ‎(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围. ‎ ‎【答案】(Ⅰ)()(II)‎ ‎(Ⅱ)当与轴不垂直时,设的方程为,,.‎ 由得.‎ 则,.‎ 所以.‎ 过点且与垂直的直线:,到的距离为,所以 ‎.故四边形的面积 ‎.‎ 可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.‎ 当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12.‎ 综上,四边形面积的取值范围为.‎ ‎5.【2016高考江苏卷】(本小题满分16分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,已知以为圆心的圆及其上一点 ‎(1)设圆与轴相切,与圆外切,且圆心在直线上,求圆的标准方程;‎ ‎(2)设平行于的直线与圆相交于两点,且,求直线的方程;‎ ‎(3)设点满足:存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。‎ ‎【答案】(1)(2)(3)‎ 而 ‎ 所以,解得m=5或m=-15.‎ 故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.‎ ‎(3)设 ‎ 因为,所以 ……①‎ 因为点Q在圆M上,所以 …….②‎ 将①代入②,得.‎ 于是点既在圆M上,又在圆上,‎ 从而圆与圆没有公共点,‎ 所以 解得.‎ 因此,实数t的取值范围是. ‎ ‎1.(2015·新课标全国Ⅰ,14)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________.‎ ‎2.(2015·江苏,10)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________.‎ 解析 直线mx-y-2m-1=0恒过定点(2,-1),由题意,得半径最大的圆的半径r==.‎ 故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.‎ 答案 (x-1)2+y2=2‎ ‎3.(2015·广东,5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是(  )‎ A.2x-y+=0或2x-y-=0‎ B.2x+y+=0或2x+y-=0‎ C.2x-y+5=0或2x-y-5=0‎ D.2x+y+5=0或2x+y-5=0‎ 解析 设所求切线方程为2x+y+c=0,依题有=,解得c=±5,所以所求切线的直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0,故选D.‎ 答案 D ‎4.(2015·新课标全国Ⅱ,7)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M、N两点,则|MN|=(  )‎ A.2 B.8 C.4 D.10‎ 答案 C ‎5.(2015·重庆,8)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=(  )‎ A.2 B.4 C.6 D.2 解析 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为C(2,1),半径为r=2,因此2+a×1-1=0,a=-1,即A(-4,-1),|AB|==‎ =6,选C.‎ 答案 C ‎6.(2015·山东,9)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为(  )‎ A.-或- B.-或- C.-或- D.-或- 解析 圆(x+3)2+(y-2)2=1的圆心为(-3,2),半径r=1.(-2,-3)关于y轴的对称点为(2,-3).如图所示,反射光线一定过点(2,-3)且斜率k存在,∴‎ 反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.‎ ‎∵反射光线与已知圆相切,‎ ‎∴=1,整理得12k2+25k+12=0,解得k=-或k=-.‎ 答案 D ‎7.(2014·江西,9)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为(  )‎ A.π B.π ‎ C.(6-2)π D.π 答案 A ‎8.(2014·陕西,12)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为____________.‎ 解析 因为点(1,0)关于直线y=x对称点的坐标为(0,1),即圆心C为(0,1),又半径为1,∴圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.‎ 答案 x2+(y-1)2=1‎ ‎9.(2014·四川,14)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________.‎ 解析 易求定点A(0,0),B(1,3).当P与A和B均不重合时,不难验证PA⊥PB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,所以|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|=时,等号成立),当P与A或B重合时,|PA|·|PB|=0,故|PA|·|PB|的最大值是5.‎ 答案 5‎ ‎10.(2014·江苏,11)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P ‎(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是________.‎ 解析 由曲线y=ax2+过点P(2,-5)可得-5=4a+ (1).又y′=2ax-,所以在点P处的切线斜率4a-=- (2).由(1)(2)解得a=-1,b=-2,所以a+b=-3.‎ 答案 -3‎ ‎11.(2015·广东,20)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.‎ ‎(1)求圆C1的圆心坐标;‎ ‎(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;‎ ‎(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.‎
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