【数学】2019届一轮复习人教A版用样本估计总体学案

【数学】2019届一轮复习人教A版用样本估计总体学案

突破点7　用样本估计总体 ‎[核心知识提炼]‎ 提炼1 频率分布直方图 ‎(1)频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示，频率＝组距×.‎ ‎(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.‎ ‎(3)利用频率分布直方图估计众数、中位数与平均数．‎ 在频率分布直方图中：‎ ‎①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；‎ ‎②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；‎ ‎③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.‎ 提炼2 样本的数字特征 ‎(1)众数、中位数．‎ ‎(2)样本平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)．‎ ‎(3)样本方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．‎ ‎(4)样本标准差 s＝.‎ ‎[高考真题回访]‎ 回访1　统计图表 ‎1．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．‎ 图71‎ 根据该折线图，下列结论错误的是(　　)‎ A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 A　[对于选项A，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错；‎ 对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；‎ 对于选项C，D，由图可知显然正确．‎ 故选A.]‎ ‎2．(2016·全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图72中A点表示十月的平均最高气温约为‎15 ℃‎，B点表示四月的平均最低气温约为‎5 ℃‎.下面叙述不正确的是(　　)‎ 图72‎ A．各月的平均最低气温都在‎0 ℃‎以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于‎20 ℃‎的月份有5个 D　[对于选项A，由图易知各月的平均最低气温都在‎0 ℃‎以上，A正确；对于选项B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；对于选项C，三月和十一月的平均最高气温均为‎10 ℃‎，所以C正确；对于选项D，平均最高气温高于‎20 ℃‎的月份有七月、八月，共2个月份，故D错误．]‎ ‎3．(2015·全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．‎ A地区用户满意度评分的频率分布直方图 图73①‎ B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ ‎[90,100]‎ 频数 ‎2‎ ‎8‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；‎ B地区用户满意度评分的频率分布直方图 图73②‎ ‎(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．‎ ‎[解] (1)如图所示．‎ ‎3分 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散． 6分 ‎(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大． 8分 记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6， 10分 P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.‎ 所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大． 12分 回访2　样本的数字特征 ‎4．(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用 评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　)‎ A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数 B　[因为可以用极差、方差或标准差 描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选B.]‎ ‎5．(2013·全国卷Ⅰ)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：‎ 服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：‎ ‎0．6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2‎ ‎3．5　2.5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1‎ ‎2．3　2.4‎ 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：‎ ‎3．2　1.7　1.9　0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3‎ ‎1．4　1.6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2‎ ‎2．7　0.5‎ ‎(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？‎ ‎(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？‎ 图74‎ ‎[解] (1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.‎ 由观测结果可得 ＝(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3， 2分 ＝(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6． 4分 由以上计算结果可得＞，因此可看出A药的疗效更好． 6分 ‎(2)由观测结果可绘制茎叶图如图：‎ ‎9分 从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A药的疗效更好． 12分 热点题型1　频率分布直方图和数字特征 题型分析：频率分布直方图多以生活中的实际问题为背景，考查 生运用已知数据分析问题的能力，难度中等．‎ ‎【例1】　(2017·黄山二模)全世界越 越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下表：‎ 空气质量指数(μg/m3)‎ ‎[0,50]‎ ‎(50,100]‎ ‎(100,150]‎ ‎(150,200]‎ ‎(200,250]‎ 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 ‎20‎ ‎40‎ m ‎10‎ ‎5‎ ‎(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；‎ 图75‎ ‎(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；‎ ‎(3)在空气质量指数分别为(50,100]和(150,200]的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率．‎ ‎【导 号：04024074】‎ ‎[解] (1)∵0.004×50＝，∴n＝100，‎ ‎∵20＋40＋m＋10＋5＝100，∴m＝25.‎ ＝0.008；＝0.005；＝0.002；＝0.001． 2分 由此完成频率分布直方图，如图：‎ ‎4分 ‎(2)由频率分布直方图得该组数据的平均数为25×0.004×50＋75×0.008×50＋125×0.005×50＋175×0.002×50＋225×0.001×50＝95， 6分 ‎∵[0,50]的频率为0.004×50＝0.2，(50,100)的频率为0.008×50＝0.4，‎ ‎∴中位数为50＋×50＝87.5． 8分 ‎(3)由题意知在空气质量指数为(50,100]和(150,200]的监测天数中分别抽取4天和1天， 9分 在所抽取的5天中，将空气质量指数为(50,100]的4天分别记为a，b，c，d；‎ 将空气质量指数为(150,200]的1天记为e，‎ 从中任取2天的基本事件为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10个， 10分 其中事件A“两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6个， 11分 所以P(A)＝＝． 12分 ‎[方法指津]‎ 解决该类问题的关键是正确理解已知数据的含义，掌握图表中各个量的意义，通过图表对已知数据进行分析．‎ 提醒：(1)小长方形的面积表示频率，其纵轴是，而不是频率．‎ ‎(2)各组数据频率之比等于对应小长方形的高度之比．‎ ‎[变式训练1]　某电子商务公司随机抽取1 000名 络购物者进行调查．这1 000名购物者某年 上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为：[0.3,0.4)，[0.4，0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：‎ 图76‎ 电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：‎ 购物金额分组 ‎[0.3,0.5)‎ ‎[0.5,0.6)‎ ‎[0.6,0.8)‎ ‎[0.8,0.9]‎ 发放金额 ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎200‎ ‎(1)求这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数；‎ ‎(2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．‎ ‎[解] (1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：‎ x ‎0.3≤x<0.5‎ ‎0.5≤x<0.6‎ ‎0.6≤x<0.8‎ ‎0.8≤x≤0.9‎ y ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎200‎ 频率 ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.28‎ ‎0.02‎ 所以这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数为：‎ ＝96． 4分 ‎(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系，有 P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝(2＋0.8)×0.1＝0.28，‎ P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.2×0.1＝0.02， 10分 从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为 P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3． 12分 热点题型2　茎叶图和数字特征 题型分析：结合样本数据和茎叶图对总体作出估计是高考命题的热点，应引起足够的重视，难度中等．‎ ‎【例2】　(2017·武汉二模)在某小 体育素质达标运动会上，对10名男生和10名女生在一分钟内跳绳的次数进行统计，得如下茎叶图：‎ 图77‎ ‎(1)已知男生组数据的中位数为125，女生组数据的平均数为124，求x，y 的值；‎ ‎(2)从一分钟内跳绳次数不低于110次且不高于120次的 生中任取两名，求两名 生中至少有一名男生的概率．‎ ‎[解] (1)∵120＋＝125， 2分 ‎∴x＝3. 3分 ‎∵(100＋110×3＋120×3＋130×2＋140＋9＋y＋5＋8＋4＋5＋6＋3＋5＋1)＝124， 5分 ‎∴y＝4． 6分 ‎(2)不低于110且不高于120的男生有两名，记为A1，A2，不低于110且不高于120的女生有三名，记为B1，B2，B3，‎ 从这5名 生中任取两名 生共有{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共10种情形． 8分 若两名 生中一男一女有{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，共6种情形. 9分 若两名 生均为男生只有{A1，A2}一种情形，‎ 则符合题意的共有m＝6＋1＝7种． 10分 故用古典概型公式可得符合条件的概率P＝＝． 12分 ‎[方法指津]‎ 作茎叶图时先要弄清“茎”和“叶”分别代表什么，根据茎叶图，可以得到数据的众数、中位数，也可从图中直接估计出两组数据的平均数大小与稳定性．‎ ‎[变式训练2]　(名师押题)某车间20名工人年龄数据如下表：‎ 图78‎ ‎(1)求这20名工人年龄的众数与极差；‎ ‎(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；‎ ‎(3)求这20名工人年龄的方差. ‎ ‎【导 号：04024075】‎ ‎[解] (1)由题表中的数据易知，这20名工人年龄的众数是30，极差为40－19＝21． 2分 ‎(2)这20名工人年龄的茎叶图如下：‎ ‎6分 ‎(3)这20名工人年龄的平均数＝(19×1＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40×1)＝30，8分 故方差s2＝[1×(19－30)2＋3×(28－30)2＋3×(29－30)2＋5×(30－30)2＋4×(31－30)2＋3×(32－30)2＋1×(40－30)2]＝×(121＋12＋3＋0＋4＋12＋100)＝12.6． 12分