浙江省中考数学分类讨论型问题名师讲练含答案
第36讲 分类讨论型问题
(建议该讲放第21讲后教学)
内容
特性
分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后逐类进行研究和求解的一种数学解题思想．对于存在的一些不确定因素而无法解答或结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决.
解题
策略
很多数学问题很难从整体上去解决，若将其划分为所包含的各个局部问题，就可以逐个予以解决．分类讨论在解题策略上就是分而治之各个击破．具体是：
(1)确定分类对象；
(2)进行合理分类(理清分类“界限”，选择分类标准，并做到不重复、不遗漏)；
(3)逐类进行讨论；
(4)归纳并得出结论.
基本
思想
分类讨论的基本方法是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复)；再对各个分类逐步进行讨论，分层进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.
类型一 由计算化简时，运用法则、定理和原理的限制引起的讨论
(2016·南通模拟)矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为( )
A．3cm2 B．4cm2 C．12cm2 D．4cm2或12cm2
【解后感悟】解此题的关键是求出AB＝AE，注意AE＝1或3不确定，要进行分类讨论．
1．(1)若关于x的函数y＝kx2＋2x－1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为____________________．
(2)已知平面上有⊙O及一点P，点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为 cm.
(3)若|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，则a＋b＝( )
A．5或－1 B．－5或1 C．5或1 D．－5或－1
类型二 在一个动态变化过程中，出现不同情况引起的讨论
为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.
人均住房面积(平方米)
单价(万元/平方米)
不超过30(平方米)
0.3
超过30平方米不超过m平方米部分(45≤m≤60)
0.5
超过m平方米部分
0.7
根据这个购房方案：
(1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；
(2)设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；
(3)若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60时，求m的取值范围．
【解后感悟】本题是房款＝房屋单价×购房面积在实际生活中的运用，由于单价随人均面积而变化，所以用分段函数的解析式来描述．同时建立不等式组求解，解答本题时求出函数解析式是关键．
2．(1)在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与反比例函数y＝的图象有唯一公共点，若直线y＝－x＋b与反比例函数y＝的图象有2个公共点，则b的取值范围是( )
A．b>2 B．－2
2或b<－2 D．b<－2
(2)如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t(秒)，下列能反映S与t之间函数关系的图象是( )
3．已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A，B(点A，B在原点O两侧)，
与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2＝x＋n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．
类型三 由三角形的形状、关系不确定性引起的讨论
(2017·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx(k＞0)分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连结AC.若△ABC是等腰三角形，则k的值是________．
【解后感悟】解题的关键是用k表示点A、B、C的坐标，再进行分类讨论．
4． (1)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(1，)，M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．8
(2) (2016·北流模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP＝ .
(3) (2016·临淄模拟)如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CD上，且CN＝
CD，若AB＝1，设BM＝x，当x＝ 时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．
类型四 由特殊四边形的形状不确定性引起的讨论
(2017·鄂州模拟)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8cm，AD＝16cm，BC＝22cm，∠ABC＝90°，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形ABQP成为矩形？
(2)当t为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？
(3)四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度(匀速运动)，使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．
【解后感悟】解本题的关键是用方程(组)的思想解决问题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意分类讨论及数形结合．
5．(1)(2016·盐城模拟)在平面直角坐标系中有三点A(1，1)，B(1，3)，C(3，2)，在直角坐标系中再找一个点D，使这四个点构成平行四边形，则D点坐标为 .
(2)(2016·江阴模拟)如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，
点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t(s)，当t＝ s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
(3) (2016·金华模拟)如图，B(6，4)在函数y＝x＋1的图象上，A(5，2)，点C在x轴上，点D在函数y＝x＋1上，以A、B、C、D四个点为顶点构成平行四边形，写出所有满足条件的D点的坐标 .
(4)(2016·萧山模拟)已知在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标依次为(－1，0)，(m，n)，(－1，10)，(－7，p)，且p≤n.若以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是菱形，则n的值是 .
类型五 由直线与圆的位置关系不确定性引起的讨论
如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP＝10cm，射线PN与⊙O相切于点Q.A、B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为t(s)．
(1)求PQ的长；
(2)当t为何值时，直线AB与⊙O相切？
【解后感悟】本题是直线与圆的位置关系应用，题目设置具有创新性．解决本题的关键是抓住直线与圆的两种情况位置关系，及其对应数量关系进行分析．
6． (2016·泗洪模拟)如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2－1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 .
【压轴把关题】
如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(－3，0)，(0，6)，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE＝AO，设点P运动的时间为t秒．
(1)当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；
(2)当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
(3)在线段PE上取点F，使PF＝1，过点F作MN⊥PE，截取FM＝2，FN＝1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，设▱PCOD的面积为S.
①当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；
②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC内部(不包括边界)时，直接写出S的取值范围．
【方法与对策】本题是四边形的综合题，对于第(3)题解题的关键是正确分几种不同情况求解．①当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解；
当点C在BO的延长线上时，第一种情况，当点M在DE边上时，由EMF∽△EDP求解，第二种情况，当点N在CE边上时，由△EFN∽△EOC求解；②当1≤t＜时和当＜t≤5时，分别求出S的取值范围．这种双动点型、分类讨论问题是中考命题常用的策略．
【分类讨论应不重复、不遗漏】
在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有________条．
参考答案
第36讲 分类讨论型问题
【例题精析】
例1 ∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE，①当AE＝1cm时，AB＝1cm＝CD，AD＝1cm＋3cm＝4cm＝BC，此时矩形的面积是1cm×4cm＝4cm2；②当AE＝3cm时，AB＝3cm＝CD，AD＝4cm＝BC，此时矩形的面积是：3cm×4cm＝12cm2；故选D.
例2 (1)由题意，得三口之家应缴购房款为：0.3×90＋0.5×30＝42(万元)； (2)由题意，得①当0≤x≤30时，y＝0.3×3x＝0.9x；②当30＜x≤m时，y＝0.9×30＋0.5×3×(x－30)＝1.5x－18；③当x＞m时，y＝0.9×30＋0.5×3(m－30)＋0.7×3×(x－m)＝2.1x－18－0.6m.∴y＝(45≤m≤60)． (3)由题意，得①当50≤m≤60时，y＝1.5×50－18＝57(舍)．②当45≤m＜50时，y＝2.1×50－0.6m－18＝87－0.6m.∵57＜y≤60，∴57＜87－0.6m≤60，∴45≤m＜50.综合①②得45≤m＜50.
例3 ∵点B是y＝kx和y＝的交点，y＝kx＝，解得：x＝，y＝3，∴点B坐标为，点A是y＝kx和y＝的交点，y＝kx＝，解得：x＝，y＝，∴点A坐标为，∵BD⊥x轴，∴点C横坐标为，纵坐标为＝，∴点C坐标为，∴BA≠AC，若△ABC是等腰三角形，①AB＝BC，则＝3－，解得：k＝；②AC＝BC，则＝3－，解得：k＝；故答案为k＝或.
例4 (1)∵∠ABC＝90°，AP∥BQ，∴当AP＝BQ时，四边形ABQP成为矩形，由运动知，AP＝t，CQ＝3t，∴BQ＝22－3t，∴t＝22－3t，解得t＝.∴当t＝时，四边形ABQP成为矩形； (2)当P、Q两点与A、B两点构成的四边形是平行四边形时，就是(1)中的情形，此时t＝.当P、Q两点与C、D两点构成的四边形是平行四边形时，∵PD∥QC，∴当PD＝QC时，四边形PQCD为平行四边形．此时，16－t＝3t，t＝4；当P、Q两点与B、D两点构成的四边形是平行四边形时，同理，16－t＝22－3t，t＝3；当P、Q两点与A、C两点构成的四边形是平行四边形时，同理，t＝3t，t＝0，不符合题意；故当t＝或t＝4或t＝3时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． （3）四边形PBQD不能成为菱形．理由如下：∵PD∥BQ，∴当PD＝BQ＝BP时，四边形PBQD能成为菱形．由PD＝BQ，得16－t＝22－3t，解得t＝3，当t＝3时，PD＝BQ＝13，AP＝AD－PD＝16－13＝3.在Rt△ABP中，AB＝8，根据勾股定理得，BP＝＝＝≠13，∴四边形PBQD不能成为菱形；如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，由题意得，解得故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在某一时刻为菱形．
例5 (1)连结OQ，∵PN与⊙O相切于点Q，∴OQ⊥PN，即∠OQP＝90°.∵OP＝10，OQ＝6，∴PQ＝＝8(cm)． (2)过点O作OC⊥AB，垂足为C.∵点A的运动速度为5cm/s，点B的运动速度为4cm/s，运动时间为ts，∴PA＝5t，PB＝4t.∵PO＝10，PQ＝8，∴＝＝.∵∠P＝∠P，∴△PAB∽△POQ，∴∠PBA＝∠PQO＝90°.∵∠BQO＝∠CBQ＝∠OCB＝90°，∴四边形OCBQ为矩形，∴BQ＝OC.∵⊙O的半径为6，∴BQ＝OC＝6时，直线AB与⊙O相切．①当AB运动到如图1所示的位置时，BQ＝PQ－PB＝8－4t，由BQ＝6，得8－4t＝6，t＝0.5.②当AB运动到如图2所示的位置时，BQ＝PB－PQ＝4t－8，由BQ＝6，得4t－8＝6，t＝3.5.综上，当t＝0.5s或3.5s时，直线AB与⊙O相切．
【变式拓展】
1．(1)0或－1 (2)4或2 (3)C 2.(1)C (2)D
3．根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或－8.分类讨论：①n＝8时，易得A(－6，0)，如图1，∵抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a＜0，∵AB＝16，且A(－6，0)，∴B(10，0)，而A、B关于对称轴对称，∴对称轴为直线x＝＝2，要使y1随着x的增大而减小，∵a＜0，∴x≥2；②n＝－8时，易得A(6，0)，如图2，∵抛物线过A、C两点，且与x轴交点A，B在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a＞0，∵AB＝16，且A(6，0)，∴B(－10，0)，而A、B关于对称轴对称，∴对称轴为直线x＝＝－2，要使y1随着x的增大而减小，且a＞0，∴x≤－2.
4．(1)C (2)6或12 (3)或 5.(1)(3，0)或(－1，2)或(3，4) (2)2或6 (3)(2，2)或(－6，－2)或(10，6) (4)2，5，18 6.(，2)或(－，2)
【热点题型】
【分析与解】(1)∵OB＝6，C是OB的中点，∴BC＝OB＝3.∴2t＝3，即t＝s.∴OE＝＋3＝，E(，0)． (2)如图1，连结CD交OP于点G，在▱PCOD中，CG＝DG，OG＝PG，∵AO＝PE，∴AG＝EG .∴四边形ADEC是平行四边形． (3)①(Ⅰ)当点C在线段BO上时，第一种情况：如图2，当点M在CE边上时，∵MF∥OC，∴△EMF∽△ECO.∴＝，即＝，解得t＝1.第二种情况：如图3，当点N在DE边时，∵NF∥PD，∴△EFN∽△EPD.∴＝即＝，解得t＝.(Ⅱ)当点C在BO的延长线上时，第一种情况：如图4，当点M在DE边上时，∵MF∥PD，∴EMF∽△EDP.∴＝即＝，解得t＝.第二种情况：如图5，当点N在CE边上时，∵NF∥OC，∴△EFN∽△EOC.∴＝即＝，解得t＝5.综上所述，所有满足条件的t的值为1，，，5.②＜S≤或＜S≤20.
【错误警示】当PD∥BC时，△APD∽△ABC，当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连结PC，∵∠A＝36°，AB＝AC，点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝PC，∠ABC＝∠ACB＝72°，∴∠ACP＝∠PAC＝36°，∴∠PCB＝36°，∴∠B＝∠B，∠PCB＝∠A，∴△CPB∽△ACB，故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：3.
