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文档介绍
【数学】2018届一轮复习人教A版命题及其关系、充分条件与必要条件教案
1.理解命题的概念. 2.了解“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系. 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义. 知识点一 命题及四种命题 1.命题的概念 用语言、符号或式子表达的,可以________的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做________,判断为假的语句叫做________. 2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有________的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性________. 答案 1.判断真假 真命题 假命题 2.(1)若q,则p 若綈p,则綈q 若綈q,则綈p (2)①相同 ②没有关系 1.(选修1-1P8习题1.1A组第2(1)题改编)命题“若a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题为________. 解析:“a,b都是奇数”的否定为“a,b不都是奇数”,“a+b是偶数”的否定为“a+b不是偶数”,故其逆否命题为“若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数”. 答案:若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数 2.命题“单调函数不是周期函数”的逆否命题是________. 解析:命题可改写为“若函数是单调函数,则函数不是周期函数”,故其逆否命题是“若函数是周期函数,则函数不是单调函数”,简化为“周期函数不是单调函数”. 答案:周期函数不是单调函数 知识点二 充分条件与必要条件 1.若p⇒q且q⇒p,则p是q的____________条件,q是p的__________条件; 若p⇒q且q⇒p,则p是q的________条件,q也是p的________条件. 2.若A、B为两个集合,满足AB,则A是B的__________条件,B是A的__________条件; 若A=B,则A是B的________条件. 答案 1.充分不必要 必要不充分 充分必要 充分必要 2.充分不必要 必要不充分 充分必要 3.(2016·天津卷)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( ) A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由x>y推不出x>|y|,由x>|y|能推出x>y,所以“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件. 答案:C 4.(选修1-1P12习题1.2A组第4题改编)圆(x-a)2+(y-b)2=r2经过原点的一个充要条件是( ) A.ab=0 B.a=0且b=0 C.a2+b2=r2 D.r=0 解析:圆(x-a)2+(y-b)2=r2经过原点的一个充要条件是:原点(0,0)是此方程的解,即a2+b2=r2,故选C. 答案:C 5.设x∈R,则x>2的一个必要不充分条件是( ) A.x>1 B.x<1 C.x>3 D.x<3 解析:x>2⇒x>1,但x>1⇒x>2. 答案:A 热点一 四种命题及其关系 【例1】 (1)命题“若x2+3x-4=0,则x=4”的逆否命题及其真假性为( ) A.“若x=4,则x2+3x-4=0”为真命题 B.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”为真命题 C.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”为假命题 D.“若x=4,则x2+3x-4=0”为假命题 (2)给出以下四个命题: ①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题; ④若ab是正整数,则a,b都是正整数. 其中真命题是________.(写出所有真命题的序号) 【解析】 (1)根据逆否命题的定义可以排除A,D,因为x2+3x-4=0,所以x=4或-1,故原命题为假命题,即逆否命题为假命题. (2)①命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若 x,y互为相反数,则x+y=0”,显然①为真命题;②不全等的三角形的面积也可能相等,故②为假命题;③原命题正确,所以它的逆否命题也正确,故③为真命题;④若ab是正整数,a,b不一定都是正整数,例如a=-1,b=-3,故④为假命题. 【答案】 (1)C (2)①③ 【总结反思】 1.写一个命题的其他三种命题时的2个注意点 (1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写. (2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. 2.命题真假的2种判断方法 (1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断. (2)利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进行判断. 设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0 解析:“方程x2+x-m=0有实根”的否定是“方程x2+x-m=0没有实根”;“m>0”的否定是“m≤0”,故命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”. 答案:D 热点二 充分必要条件的判定 考向1 定义法判断充分必要条件 【例2】 (2016·天津卷)设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的( ) A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 由题意得,an=a1qn-1(a1>0),a2n-1+a2n=a1q2n-2+a1q2n-1=a1q2n-2(1+q).若q<0,因为1+q的符号不确定,所以无法判断a2n-1+a2n的符号;反之,若a2n-1+a2n<0,即a1q2n-2(1+q)<0,可得q<-1<0.故“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的必要而不充分条件,选C. 【答案】 C 考向2 集合法判断充分必要条件 【例3】 (2017·中原名校联考)已知p:a<0,q:a2>a,则綈p是綈q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 因为綈p:a≥0,綈q:0≤a≤1, 所以綈q⇒綈p且綈p⇒綈q,所以綈p是綈q的必要不充分条件. 【答案】 B 考向3 等价转化法判断充分必要条件 【例4】 已知p:x+y≠-2,q:x,y不都是-1,则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 因为p:x+y≠-2,q:x≠-1,或y≠-1, 所以綈p:x+y=-2,綈q:x=-1且y=-1. 因为綈q⇒綈p但綈p⇒綈q,所以綈q是綈p的充分不必要条件,即p是q的充分不必要条件. 故选A. 【答案】 A 【总结反思】 充要条件的三种判断方法 (1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断. (2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题. (1)若p:φ=+kπ,k∈Z,q:f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)是偶函数,则p是q的( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(2017·安徽合肥质检)“x>2”是“x2+2x-8>0”成立的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (3)给定两个命题p,q.若綈p是q的必要而不充分条件,则p是綈q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:(1)(定义法)若φ=+kπ,k∈Z,则f(x)=sin=cos(ωx+kπ)=所以函数f(x)是偶函数;若f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)是偶函数,则φ=+kπ,k∈Z.故选A. (2)(集合法)记集合A={x|x>2},由x2+2x-8>0,可解得x<-4或x>2,记为集合B={x|x<-4或x>2},因为AB,所以“x>2”是“x2+2x-8>0”成立的充分不必要条件.故选B. (3)(等价法)因为綈p是q的必要不充分条件,则q⇒綈p但綈p⇒q,其逆否命题为p⇒綈q但綈q⇒p,所以p是綈q的充分不必要条件. 答案:(1)A (2)B (3)A 热点三 充分必要条件的应用 【例5】 (1)若“m-1查看更多