【数学】2018届一轮复习人教A版命题及其关系、充分条件与必要条件教案

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文档介绍

【数学】2018届一轮复习人教A版命题及其关系、充分条件与必要条件教案

‎ ‎ ‎1.理解命题的概念.‎ ‎2.了解“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.‎ ‎3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.‎ 知识点一 命题及四种命题 ‎ ‎1.命题的概念 用语言、符号或式子表达的,可以________的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做________,判断为假的语句叫做________.‎ ‎2.四种命题及其关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题,它们有________的真假性;‎ ‎②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性________.‎ 答案 ‎1.判断真假 真命题 假命题 ‎2.(1)若q,则p 若綈p,则綈q 若綈q,则綈p (2)①相同 ②没有关系 ‎1.(选修1-1P8习题‎1.1A组第2(1)题改编)命题“若a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题为________.‎ 解析:“a,b都是奇数”的否定为“a,b不都是奇数”,“a+b是偶数”的否定为“a+b不是偶数”,故其逆否命题为“若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数”.‎ 答案:若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数 ‎2.命题“单调函数不是周期函数”的逆否命题是________.‎ 解析:命题可改写为“若函数是单调函数,则函数不是周期函数”,故其逆否命题是“若函数是周期函数,则函数不是单调函数”,简化为“周期函数不是单调函数”.‎ 答案:周期函数不是单调函数 知识点二 充分条件与必要条件 ‎ ‎1.若p⇒q且q⇒p,则p是q的____________条件,q是p的__________条件;‎ 若p⇒q且q⇒p,则p是q的________条件,q也是p的________条件.‎ ‎2.若A、B为两个集合,满足AB,则A是B的__________条件,B是A的__________条件;‎ 若A=B,则A是B的________条件.‎ 答案 ‎1.充分不必要 必要不充分 充分必要 充分必要 ‎2.充分不必要 必要不充分 充分必要 ‎3.(2016·天津卷)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的(  )‎ A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由x>y推不出x>|y|,由x>|y|能推出x>y,所以“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件.‎ 答案:C ‎4.(选修1-1P12习题‎1.2A组第4题改编)圆(x-a)2+(y-b)2=r2经过原点的一个充要条件是(  )‎ A.ab=0 B.a=0且b=0‎ C.a2+b2=r2 D.r=0‎ 解析:圆(x-a)2+(y-b)2=r2经过原点的一个充要条件是:原点(0,0)是此方程的解,即a2+b2=r2,故选C.‎ 答案:C ‎5.设x∈R,则x>2的一个必要不充分条件是(  )‎ A.x>1 B.x<1‎ C.x>3 D.x<3‎ 解析:x>2⇒x>1,但x>1⇒x>2.‎ 答案:A 热点一 四种命题及其关系 ‎ ‎【例1】 (1)命题“若x2+3x-4=0,则x=‎4”‎的逆否命题及其真假性为(  )‎ A.“若x=4,则x2+3x-4=‎0”‎为真命题 B.“若x≠4,则x2+3x-4≠‎0”‎为真命题 C.“若x≠4,则x2+3x-4≠‎0”‎为假命题 D.“若x=4,则x2+3x-4=‎0”‎为假命题 ‎(2)给出以下四个命题:‎ ‎①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;‎ ‎②“全等三角形的面积相等”的否命题;‎ ‎③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;‎ ‎④若ab是正整数,则a,b都是正整数.‎ 其中真命题是________.(写出所有真命题的序号)‎ ‎【解析】 (1)根据逆否命题的定义可以排除A,D,因为x2+3x-4=0,所以x=4或-1,故原命题为假命题,即逆否命题为假命题.‎ ‎(2)①命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若 x,y互为相反数,则x+y=‎0”‎,显然①为真命题;②不全等的三角形的面积也可能相等,故②为假命题;③原命题正确,所以它的逆否命题也正确,故③为真命题;④若ab是正整数,a,b不一定都是正整数,例如a=-1,b=-3,故④为假命题.‎ ‎【答案】 (1)C (2)①③‎ ‎【总结反思】‎ ‎1.写一个命题的其他三种命题时的2个注意点 ‎(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写.‎ ‎(2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.‎ ‎2.命题真假的2种判断方法 ‎(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断.‎ ‎(2)利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进行判断.‎ 设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是(  )‎ A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0‎ B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0‎ C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0‎ D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0‎ 解析:“方程x2+x-m=0有实根”的否定是“方程x2+x-m=0没有实根”;“m>0”的否定是“m≤0”,故命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤‎0”‎.‎ 答案:D 热点二 充分必要条件的判定 ‎ 考向1 定义法判断充分必要条件 ‎【例2】 (2016·天津卷)设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<‎0”‎的(  )‎ A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【解析】 由题意得,an=a1qn-1(a1>0),a2n-1+a2n=a1q2n-2+a1q2n-1=a1q2n-2(1+q).若q<0,因为1+q的符号不确定,所以无法判断a2n-1+a2n的符号;反之,若a2n-1+a2n<0,即a1q2n-2(1+q)<0,可得q<-1<0.故“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<‎0”‎的必要而不充分条件,选C.‎ ‎【答案】 C 考向2 集合法判断充分必要条件 ‎【例3】 (2017·中原名校联考)已知p:a<0,q:a2>a,则綈p是綈q的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【解析】 因为綈p:a≥0,綈q:0≤a≤1,‎ 所以綈q⇒綈p且綈p⇒綈q,所以綈p是綈q的必要不充分条件.‎ ‎【答案】 B 考向3 等价转化法判断充分必要条件 ‎【例4】 已知p:x+y≠-2,q:x,y不都是-1,则p是q的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【解析】 因为p:x+y≠-2,q:x≠-1,或y≠-1,‎ 所以綈p:x+y=-2,綈q:x=-1且y=-1.‎ 因为綈q⇒綈p但綈p⇒綈q,所以綈q是綈p的充分不必要条件,即p是q的充分不必要条件. 故选A.‎ ‎【答案】 A ‎【总结反思】‎ 充要条件的三种判断方法 ‎(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断.‎ ‎(2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.‎ ‎(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.‎ ‎(1)若p:φ=+kπ,k∈Z,q:f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)是偶函数,则p是q的(  )‎ A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(2)(2017·安徽合肥质检)“x>‎2”‎是“x2+2x-8>‎0”‎成立的(  )‎ A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(3)给定两个命题p,q.若綈p是q的必要而不充分条件,则p是綈q的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:(1)(定义法)若φ=+kπ,k∈Z,则f(x)=sin=cos(ωx+kπ)=所以函数f(x)是偶函数;若f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)是偶函数,则φ=+kπ,k∈Z.故选A.‎ ‎(2)(集合法)记集合A={x|x>2},由x2+2x-8>0,可解得x<-4或x>2,记为集合B={x|x<-4或x>2},因为AB,所以“x>‎2”‎是“x2+2x-8>‎0”‎成立的充分不必要条件.故选B.‎ ‎(3)(等价法)因为綈p是q的必要不充分条件,则q⇒綈p但綈p⇒q,其逆否命题为p⇒綈q但綈q⇒p,所以p是綈q的充分不必要条件.‎ 答案:(1)A (2)B (3)A 热点三 充分必要条件的应用 ‎ ‎【例5】 (1)若“m-1‎0”‎的充分不必要条件,则实数m的取值范围是________.‎ ‎(2)若“xm+‎1”‎是“x2-2x-3>‎0”‎的必要不充分条件,则实数m的取值范围是________.‎ ‎【解析】 (1)由不等式x2-2x-3>0,得x>3或x<-1.‎ 因为“m-1‎0”‎的充分不必要条件,所以{x|m-13或x<-1},所以m+1≤-1或m-1≥3,解得m≤-2或m≥4,故m的取值范围为(-∞,-2]∪[4,+∞).‎ ‎(2)由不等式x2-2x-3>0,得x>3或x<-1.因为“xm+‎1”‎是“x2-2x-3>‎0”‎的必要不充分条件,所以{x|x>3或x<-1}{x|xm+1},所以解得0≤m≤2,故m的取值范围为[0,2].‎ ‎【答案】 (1)(-∞,-2]∪[4,+∞) (2)[0,2]‎ ‎【总结反思】‎ 根据充分条件、必要条件求参数范围时,把问题转化为集合之间的包含关系,通过集合之间的包含关系确定参数范围,但要注意转化的准确性.‎ 设p:实数x满足x2-4ax+‎3a2<0(a<0),q:实数x满足x2-x-6<0或x2+2x-8>0,且綈p是綈q的必要不充分条件,则a的取值范围是________.‎ 解析:∵x2-4ax+‎3a2<0(a<0),∴‎3a0,∴x<-4或x>2,∴q:{x|x<-4或x>-2}.∵綈p是綈q的必要不充分条件,∴p是q的充分不必要条件,∴{x|‎3a-2},∴a≤-4或‎3a≥-2,解得a≤-4或a≥-.又a<0,∴a的取值范围是(-∞,-4]∪.‎ 答案:(-∞,-4]∪[-,0)‎ ‎1.对于命题正误的判断是高考的热点之一,理应引起大家的关注,命题正误的判断可涉及各章节的内容,覆盖面宽,也是学生的易失分点.命题正误的判断的原则是:正确的命题要有依据或者给以论证;不一定正确的命题要举出反例,绝对不要主观臆断,这也是最基本的数学逻辑思维方式.‎ ‎2.判断p是q的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件p能否推得条件q;二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题.‎ ‎【例】 命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是(  )‎ A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数 B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数 C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数 D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数 ‎【解析】 由于一个命题的否命题就是命题的条件与结论分别否定,故原命题的否命题是“①若f(x)不是奇函数;则②f(-x)不是奇函数”.‎ ‎【答案】 B 解题策略:①②中均可能出现否定不当的错误,对“f(x)是奇函数”的否定只能是“f(x)不是奇函数”,而不能是“f(x)是偶函数”,因为除了奇函数和偶函数之外,还有非奇非偶函数,所以在否定时要特别注意细微的差异.‎ ‎(1)命题“若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则loga2<‎0”‎的逆否命题是(  )‎ A.若loga2≥0(a>0,a≠1),则函数f(x)=logax在其定义域内不是减函数 B.若loga2<0(a>0,a≠1),则函数f(x)=logax在其定义域内不是减函数 C.若loga2≥0(a>0,a≠1),则函数f(x)=logax在其定义域内是增函数 D.若loga2<0(a>0,a≠1),则函数f(x)=logax在其定义域内是增函数 ‎(2)命题“若a2+b2=0,则a=b=‎0”‎的否命题是(  )‎ A.若a2+b2≠0,则a≠0且b≠0‎ B.若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0‎ C.若a2+b2=0,则a≠0且b≠0‎ D.若a2+b2=0,则a≠0或b≠0‎ 解析:(1)易知原命题的逆否命题是“若loga2≥0(a>0,a≠1),则函数f(x)=logax在其定义域内不是减函数”.‎ ‎(2)命题“若a2+b2=0,则a=b=‎0”‎的否命题是“若a2+b2≠0,则a≠0或b≠‎0”‎.‎ 答案:(1)A (2)B
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