【数学】2020届一轮复习北师大版概率随机变量及其分布作业

【数学】2020届一轮复习北师大版概率随机变量及其分布作业

一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分)‎ ‎1．(2018·海口二模)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课时间为7：50－8：30，课间休息10分钟，某同学请假后返校，若他在8：50－9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率是 A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 解析　他在8：50－9：30之间随机到达教室，区间长度为40，他听第二节课的时间不少于20分钟，则他在8：50－9：00之间随机到达教室，区间长度为10，所以他在8：50－9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率是＝.‎ 答案　B ‎2．(2018·湖南八校联考)甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲的及格概率为，乙的及格概率为，丙的及格概率为，则三人中至少有一人及格的概率为 A. B. C. D. 解析　设“甲及格”为事件A，“乙及格”为事件B，“丙及格”为事件C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，∴P()＝，P()＝，P()＝，则P( )＝P()P()P()＝××＝，∴三人中至少有一人及格的概率P＝1－P( )＝.故选D.‎ 答案　D ‎3．2018年高考前第二次适应性训练考试结束后，对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95，82)的密度曲线拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是 A. B. C. D. 解析　由题意，英语成绩超过95分的概率是，所以在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是C··＝.‎ 答案　D ‎4．(2018·衡水模拟)《中华好诗词》是由河北电视台创办的令广大观众喜闻乐见的节目，旨在弘扬中国古代诗词文化，观众可以选择从A，B，C和河北卫视这四家视听媒体的播放平台中观看，若甲乙两人各自随机选择一家播放平台观看此节目，‎ 则甲乙二人中恰有一人选择在河北卫视观看的概率是 A. B. C. D. 解析　甲、乙两人从A，B，C和河北卫视这四家播放平台随机选择一家有4×4＝16(种)等可能情况，其中甲、乙两人恰有一人选择在河北卫视观看的情况有C×3＝6(种)，‎ ‎∴所求概率为＝.‎ 答案　B ‎5．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为 A. B. C. D. 解析　根据题意没有相邻的两个人站起来包括三种情况：5人都不站起来，或只有1人站起来，或由2人中间隔一人站起来，故没有相邻的两个人站起来的概率为C＋C＋C＝.‎ 答案　B 二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)‎ ‎6．(2018·兰州模拟)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)等于________．‎ 解析　根据题目条件，每次摸到白球的概率都是p＝，满足二项分布，则有E(X)＝np＝5×＝3，解得m＝2，那么D(X)＝np(1－p)＝5××＝.‎ 答案　 ‎7．(2018·张家界三模)已知在[0，1]内任取一个实数x，在[0，2]内任取一个实数y，则点(x，y)位于y＝ex－1上方的概率为________．‎ 解析　由题意知，x，y满足的平面区域长为2，宽为1的矩形，面积为2，其中位于y＝ex－1下方的点构成的区域面积为(ex－1)dx＝e－2，点(x，y)位于y＝ex－1上方的概率为p＝1－＝.‎ 答案　 ‎8．甲、乙两位学生进行五子棋比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，‎ 比赛随即结束．除第五局甲获胜的概率是外，其余每局比赛甲获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立，则甲以3∶1获胜的概率为________．‎ 解析　解法一　设各局比赛甲获胜的事件分别为A，B，C，D，则所求概率P＝P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＝×××＋×××＋×××＝.‎ 解法二　设“甲以3∶1获胜”为事件A，由各局比赛结果相互独立，得P(A)＝C×＝.‎ 答案　 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)‎ ‎9．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．‎ ‎(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；‎ ‎(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．‎ ‎(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；‎ ‎(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？‎ 解析　(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝Cp2(1－p)18.因此f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Cp(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0，0.1)时，f′(p)＞0；‎ 当p∈(0.1，1)时，f′(p)＜0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.‎ ‎(2)由(1)知，p＝0.1‎ ‎(ⅰ)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180，0.1)，‎ X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490.‎ ‎(ⅱ)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．‎ 由于E(X)＞400，故应该对余下的产品作检验．‎ ‎10．(2018·北京)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：‎ 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 ‎140‎ ‎50‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎800‎ ‎510‎ 好评率 ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.25‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．‎ 假设所有电影是否获得好评相互独立．‎ ‎(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；‎ ‎(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；‎ ‎(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢，“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k＝1，2，3，4，5，6)．写出方差D(ξ1)，D(ξ2)，D(ξ3)，D(ξ4)，D(ξ5)，D(ξ6)的大小关系．‎ 解析　(1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部，这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A，‎ 第四类电影中获得好评的电影为200×0.25＝50部，P(A)＝＝＝0.025.‎ ‎(2)设“第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”为事件B，‎ P(B)＝0.25×0.8＋0.75×0.2＝0.35.‎ ‎(3)由题意可知，定义随机变量如下：‎ ξk＝ 则ξk显然服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：‎ 第一类电影：‎ ξ1‎ ‎1‎ ‎0‎ p ‎0.4‎ ‎0.6‎ E(ξ1)＝1×0.4＋0×0.6＝0.4.‎ D(ξ1)＝(1－0.4)2×0.4＋(0－0.4)2×0.6＝0.24.‎ 第二类电影：‎ ξ2‎ ‎1‎ ‎0‎ p ‎0.2‎ ‎0.8‎ E(ξ2)＝1×0.2＋0×0.8＝0.2.‎ Dξ2＝(1－0.2)2×0.2＋(0－0.2)2×0.8＝0.16.‎ 第三类电影：‎ ξ3‎ ‎1‎ ‎0‎ p ‎0.15‎ ‎0.85‎ E(ξ3)＝1×0.15＋0×0.85＝0.15‎ Dξ3＝(1－0.15)2×0.15＋(0－0.15)2×0.85＝0.127 5.‎ 第四类电影：‎ ξ4‎ ‎1‎ ‎0‎ p ‎0.25‎ ‎0.75‎ E(ξ4)＝1×0.25＋0×0.75＝0.25.‎ Dξ1＝(1－0.25)2×0.25＋(0－0.25)2×0.75＝0.187 5.‎ 第五类电影：‎ ξ5‎ ‎1‎ ‎0‎ p ‎0.2‎ ‎0.8‎ E(ξ5)＝1×0.2＋0×0.8＝0.2，‎ Dξ5＝(1－0.2)2×0.2＋(0－0.2)2×0.8＝0.16.‎ 第六类电影：‎ ξ6‎ ‎1‎ ‎0‎ p ‎0.1‎ ‎0.9‎ E(ξ6)＝1×0.1＋0×0.9＝0.1.Dξ6＝(1－0.1)2×0.1＋(0－0.1)2×0.9＝0.09.‎ 综上所述，Dξ1>Dξ4>Dξ2＝Dξ5>Dξ3>Dξ6.(备注：两点分布的方差计算公式Dξ＝p(1－p))‎ ‎11．(2018·揭阳模拟)某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电．如图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X(单位：万立方米)的频率分布直方图(不完整)，已知X∈[0，120]，历年中日泄流量在区间[30，60)的年平均天数为156，一年按364天计．‎ ‎(1)请把频率分布直方图补充完整；‎ ‎(2)该水电站希望安装的发电机尽可能都运行，但每30万立方米的日泄流量才够运行一台发电机，如60≤X<90时才够运行两台发电机．若运行一台发电机，每天可获利润为4 000元；若不运行，则该台发电机每天亏损500元．以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据，问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？‎ 解析　(1)在区间[30，60)的频率为＝，＝＝.设在区间[0，30)上，＝a，‎ 则×30＝1，解得a＝.‎ 补充完整的频率分布直方图如图所示．‎ ‎(2)记水电站日利润为Y元．由(1)知，无法运行发电机的概率为，恰好运行一台发电机的概率为，恰好运行两台发电机的概率为，恰好运行三台发电机的概率为.‎ ‎①若安装一台发电机，则Y的所有可能取值为－500，4 000，其分布列为 Y ‎－500‎ ‎4 000‎ P E(Y)＝－500×＋4 000×＝.‎ ‎②若安装两台发电机，则Y的所有可能取值为－1 000，3 500，8 000，其分布列为 Y ‎－1 000‎ ‎3 500‎ ‎8 000 ‎ P E(Y)＝－1 000×＋3 500×＋8 000×＝.‎ ‎③若安装三台发电机，则Y的所有可能取值为－1 500，3 000，7 500，12 000，其分布列为 Y ‎－1 500‎ ‎3 000‎ ‎7 500‎ ‎12 000‎ P E(Y)＝－1 500×＋3 000×＋7 500×＋12 000×＝.‎ 因为>>，所以要使水电站日利润的期望值最大，‎ 该水电站应安装三台发电机．‎