河南省中考数学试卷

河南省中考数学试卷

中考数学试卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共 10小题，每题 3分，共 30分） 1．（3分）﹣ 的相反数是（ ） A．﹣ B． C．﹣ D． 2．（3分）今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达 214.7亿元，数据“214.7 亿”用科学记数法表示为（ ） A．2.147×102B．0.2147×103 C．2.147×1010 D．0.2147×1011 3．（3分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中， 与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A．厉 B．害 C．了 D．我 4．（3分）下列运算正确的是（ ） A．（﹣x2）3=﹣x5 B．x2+x3=x5 C．x3•x4=x7 D．2x3﹣x3=1 5．（3分）河南省旅游资源丰富，2013～2017年旅游收入不断增长，同比增速分别为：15.3%， 12.7%，15.3%，14.5%，17.1%．关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A．中位数是 12.7% B．众数是 15.3% C．平均数是 15.98% D．方差是 0 6．（3分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人 数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5 钱，还差 45 钱；若每人出 7 钱，还差 3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为 x人，羊价为 y线，根据题意， 可列方程组为（ ） A． B． C． D． 7．（3分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=0 8．（3分）现有 4张卡片，其中 3张卡片正面上的图案是“ ”，1张卡片正面上的图案是“”， 它们除此之外完全相同．把这 4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正 面图案相同的概率是（ ） A． B． C． D． 9．（3分）如图，已知▱ AOBC的顶点 O（0，0），A（﹣1，2），点 B在 x轴正半轴上按以 下步骤作图：①以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边 OA，OB于点 D，E；② 分别以点 D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点 F；③作射线 OF，交边 AC于点 G，则点 G的坐标为（ ） A．（ ﹣1，2） B．（ ，2） C．（3﹣ ，2） D．（ ﹣2，2） 10．（3 分）如图 1，点 F 从菱形 ABCD 的顶点 A出发，沿 A→D→B 以 1cm/s 的速度匀速 运动到点 B，图 2是点 F运动时，△FBC的面积 y（cm2）随时间 x（s）变化的关系图象， 则 a的值为（ ） A． B．2 C． D．2 二、细心填一填（本大题共 5小题，每小题 3分，满分 15分，请把答案填在答題卷相应 题号的横线上） 11．（3分）计算：|﹣5|﹣ = ． 12．（3分）如图，直线 AB，CD相交于点 O，EO⊥AB于点 O，∠EOD=50°，则∠BOC的 度数为 ． 13．（3分）不等式组 的最小整数解是 ． 14．（3分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕 AC的中点 D逆时 针旋转 90°得到△A'B′C'，其中点 B的运动路径为 ，则图中阴影部分的面积为 ． 15．（3分）如图，∠MAN=90°，点 C在边 AM上，AC=4，点 B为边 AN上一动点，连接 BC，△A′BC与△ABC关于 BC所在直线对称，点 D，E分别为 AC，BC的中点，连接 DE 并延长交 A′B所在直线于点 F，连接 A′E．当△A′EF 为直角三角形时，AB的长为 ． 三、计算题（本大题共 8题，共 75分，请认真读题） 16．（8分）先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，其中 x= +1． 17．（9 分）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的 杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情 况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示），并根据调查结果绘制了如下 尚不完整的统计图． 治理杨絮一一您选哪一项？（单选） A．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量 B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树 C．选育无絮杨品种，并推广种植 D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮 E．其他 根据以上统计图，解答下列问题： （1）本次接受调查的市民共有 人； （2）扇形统计图中，扇形 E的圆心角度数是 ； （3）请补全条形统计图； （4）若该市约有 90万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数． 18．（9分）如图，反比例函数 y= （x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P． （1）求反比例函数的解析式； （2）在图中用直尺和 2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个 条件： ①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点 O，点 P； ②矩形的面积等于 k的值． 19．（9分）如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点 O，连接 DA交⊙O于点 C，过点 C作 ⊙O的切线交 DO于点 E，连接 BC交 DO于点 F． （1）求证：CE=EF； （2）连接 AF并延长，交⊙O于点 G．填空： ①当∠D的度数为 时，四边形 ECFG为菱形； ②当∠D的度数为 时，四边形 ECOG为正方形． 20．（9 分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及 若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某 兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答． 如图所示，底座上 A，B两点间的距离为 90cm．低杠上点 C到直线 AB 的距离 CE的长为 155cm，高杠上点 D 到直线 AB 的距离 DF 的长为 234cm，已知低杠的支架 AC 与直线 AB 的夹角∠CAE为 82.4°，高杠的支架 BD与直线 AB的夹角∠DBF为 80.3°．求高、低杠间的 水平距离 CH 的长．（结果精确到 1cm，参考数据 sin82.4°≈0.991， cos82.4°≈0.132， tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850） 21．（10分）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量 y（个）与销售单 价 x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表： 销售单价 x（元） 85 95 105 115 日销售量 y（个） 175 125 75 m 日销售利润 w（元） 875 1875 1875 875 （注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价）） （1）求 y关于 x的函数解析式（不要求写出 x的取值范围）及 m的值； （2）根据以上信息，填空： 该产品的成本单价是 元，当销售单价 x= 元时，日销售利润 w最大，最大值 是 元； （3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销 售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为 90元时，日销售利润不低于 3750元的 销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？ 22．（10分）（1）问题发现 如图 1，在△OAB 和△OCD 中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接 AC，BD 交于点M．填空： ① 的值为 ； ②∠AMB的度数为 ． （2）类比探究 如图 2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接 AC 交 BD的延长线于点M．请判断 的值及∠AMB的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将△OCD 绕点 O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若 OD=1， OB= ，请直接写出当点 C与点M重合时 AC的长． 23．（11分）如图，抛物线 y=ax2+6x+c 交 x轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C．直线 y=x﹣5 经过点 B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点 A的直线交直线 BC于点M． ①当 AM⊥BC时，过抛物线上一动点 P（不与点 B，C重合），作直线 AM的平行线交直线 BC于点 Q，若以点 A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点 P的横坐标； ②连接 AC，当直线 AM与直线 BC的夹角等于∠ACB的 2倍时，请直接写出点M的坐标． 2018年河南省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共 10小题，每题 3分，共 30分） 1．（3分）﹣ 的相反数是（ ） A．﹣ B． C．﹣ D． 【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案． 【解答】解：﹣ 的相反数是： ． 故选：B． 【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键． 2．（3分）今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达 214.7亿元，数据“214.7 亿”用科学记数法表示为（ ） A．2.147×102B．0.2147×103 C．2.147×1010 D．0.2147×1011 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数．确定 n的值时， 要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：214.7亿，用科学记数法表示为 2.147×1010， 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a| ＜10，n为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及 n的值． 3．（3分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中， 与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A．厉 B．害 C．了 D．我 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “的”与“害”是相对面， “了”与“厉”是相对面， “我”与“国”是相对面． 故选：D． 【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入 手，分析及解答问题． 4．（3分）下列运算正确的是（ ） A．（﹣x2）3=﹣x5 B．x2+x3=x5 C．x3•x4=x7 D．2x3﹣x3=1 【分析】分别根据幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则逐一计算即可判 断． 【解答】解：A、（﹣x2）3=﹣x6，此选项错误； B、x2、x3不是同类项，不能合并，此选项错误； C、x3•x4=x7，此选项正确； D、2x3﹣x3=x3，此选项错误； 故选：C． 【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方、同类项概念、同底数幂相 乘及合并同类项法则． 5．（3分）河南省旅游资源丰富，2013～2017年旅游收入不断增长，同比增速分别为：15.3%， 12.7%，15.3%，14.5%，17.1%．关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A．中位数是 12.7% B．众数是 15.3% C．平均数是 15.98% D．方差是 0 【分析】直接利用方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义分别分析得出答案． 【解答】解：A、按大小顺序排序为：12.7%，14.5%，15.3%，15.3%，17.1%， 故中位数是：15.3%，故此选项错误； B、众数是 15.3%，正确； C、 （15.3%+12.7%+15.3%+14.5%+17.1%） =14.98%，故选项 C错误； D、∵5个数据不完全相同， ∴方差不可能为零，故此选项错误． 故选：B． 【点评】此题主要考查了方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义，正确把握相 关定义是解题关键． 6．（3分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人 数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5 钱，还差 45 钱；若每人出 7 钱，还差 3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为 x人，羊价为 y线，根据题意， 可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【分析】设设合伙人数为 x人，羊价为 y线，根据羊的价格不变列出方程组． 【解答】解：设合伙人数为 x人，羊价为 y线，根据题意，可列方程组为： ． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键． 7．（3分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=0 【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【解答】解：A、x2+6x+9=0 △=62﹣4×9=36﹣36=0， 方程有两个相等实数根； B、x2=x x2﹣x=0 △=（﹣1）2﹣4×1×0=1＞0 两个不相等实数根； C、x2+3=2x x2﹣2x+3=0 △=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0， 方程无实根； D、（x﹣1）2+1=0 （x﹣1）2=﹣1， 则方程无实根； 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与 △=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时， 方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根． 8．（3 分）现有 4张卡片，其中 3 张卡片正面上的图案是“ ”，1张卡片正面上的图案 是“ ”，它们除此之外完全相同．把这 4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这 两张卡片正面图案相同的概率是（ ） A． B． C． D． 【分析】直接利用树状图法列举出所有可能进而求出概率． 【解答】解：令 3张 用 A1，A2，A3，表示， 用 B表示， 可得： ， 一共有 12种可能，两张卡片正面图案相同的有 6种， 故从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是： ． 故选：D． 【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有的可能是解题关键． 9．（3分）如图，已知▱ AOBC的顶点 O（0，0），A（﹣1，2），点 B在 x轴正半轴上按以 下步骤作图：①以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边 OA，OB于点 D，E；② 分别以点 D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点 F；③作射线 OF，交边 AC于点 G，则点 G的坐标为（ ） A．（ ﹣1，2） B．（ ，2） C．（3﹣ ，2） D．（ ﹣2，2） 【分析】依据勾股定理即可得到 Rt△AOH 中，AO= ，依据∠AGO=∠AOG，即可得到 AG=AO= ，进而得出 HG= ﹣1，可得 G（ ﹣1，2）． 【解答】解：∵▱ AOBC的顶点 O（0，0），A（﹣1，2）， ∴AH=1，HO=2， ∴Rt△AOH中，AO= ， 由题可得，OF平分∠AOB， ∴∠AOG=∠EOG， 又∵AG∥OE， ∴∠AGO=∠EOG， ∴∠AGO=∠AOG， ∴AG=AO= ， ∴HG= ﹣1， ∴G（ ﹣1，2）， 故选：A． 【点评】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时 注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解 决这类问题的基本方法和规律． 10．（3 分）如图 1，点 F 从菱形 ABCD 的顶点 A出发，沿 A→D→B 以 1cm/s 的速度匀速 运动到点 B，图 2是点 F运动时，△FBC的面积 y（cm2）随时间 x（s）变化的关系图象， 则 a的值为（ ） A． B．2 C． D．2 【分析】通过分析图象，点 F从点 A到 D用 as，此时，△FBC的面积为 a，依此可求菱形 的高 DE，再由图象可知，BD= ，应用两次勾股定理分别求 BE和 a． 【解答】解：过点 D作 DE⊥BC于点 E 由图象可知，点 F由点 A到点 D用时为 as，△FBC的面积为 acm2． ∴AD=a ∴ ∴DE=2 当点 F从 D到 B时，用 s ∴BD= Rt△DBE中， BE= ∵ABCD是菱形 ∴EC=a﹣1，DC=a Rt△DEC中， a2=22+（a﹣1）2 解得 a= 故选：C． 【点评】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与 动点位置之间的关系． 二、细心填一填（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，请把答案填在答題卷相应题 号的横线上） 11．（3分）计算：|﹣5|﹣ = 2 ． 【分析】直接利用二次根式以及绝对值的性质分别化简得出答案． 【解答】解：原式=5﹣3 =2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 12．（3分）如图，直线 AB，CD相交于点 O，EO⊥AB于点 O，∠EOD=50°，则∠BOC的 度数为 140° ． 【分析】直接利用垂直的定义结合互余以及互补的定义分析得出答案． 【解答】解：∵直线 AB，CD相交于点 O，EO⊥AB于点 O， ∴∠EOB=90°， ∵∠EOD=50°， ∴∠BOD=40°， 则∠BOC的度数为：180°﹣40°=140°． 故答案为：140°． 【点评】此题主要考查了垂直的定义、互余以及互补的定义，正确把握相关定义是解题关键． 13．（3分）不等式组 的最小整数解是 ﹣2 ． 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案． 【解答】解： ∵解不等式①得：x＞﹣3， 解不等式②得：x≤1， ∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1， ∴不等式组的最小整数解是﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集得出不 等式组的解集是解此题的关键． 14．（3分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕 AC的中点 D逆时 针旋转 90°得到△A'B′C'，其中点 B的运动路径为 ，则图中阴影部分的面积为 π ． 【分析】利用弧长公式 L= ，计算即可； 【解答】解：△ABC绕 AC的中点 D逆时针旋转 90°得到△A'B′C'，此时点 A′在斜边 AB上， CA′⊥AB， ∴∠ACA′=∠BCA′=45°， ∴∠BCB′=135°， ∴S 阴= = π． 【点评】本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 属于中考常考题型． 15．（3分）如图，∠MAN=90°，点 C在边 AM上，AC=4，点 B为边 AN上一动点，连接 BC，△A′BC与△ABC关于 BC所在直线对称，点 D，E分别为 AC，BC的中点，连接 DE 并延长交 A′B所在直线于点 F，连接 A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为 4 或 4 ． 【分析】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况： ①当∠A'EF=90°时，如图 1，根据对称的性质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直角三角形 斜边中线的性质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得 AB的长； ②当∠A'FE=90°时，如图 2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得 AB=AC=4． 【解答】解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况： ①当∠A'EF=90°时，如图 1， ∵△A′BC与△ABC关于 BC所在直线对称， ∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB， ∵点 D，E分别为 AC，BC的中点， ∴D、E是△ABC的中位线， ∴DE∥AB， ∴∠CDE=∠MAN=90°， ∴∠CDE=∠A'EF， ∴AC∥A'E， ∴∠ACB=∠A'EC， ∴∠A'CB=∠A'EC， ∴A'C=A'E=4， Rt△A'CB中，∵E是斜边 BC的中点， ∴BC=2A'B=8， 由勾股定理得：AB2=BC2﹣AC2， ∴AB= =4 ； ②当∠A'FE=90°时，如图 2， ∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°， ∴∠ABF=90°， ∵△A′BC与△ABC关于 BC所在直线对称， ∴∠ABC=∠CBA'=45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=AC=4； 综上所述，AB的长为 4 或 4； 故答案为：4 或 4； 【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判 定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题． 三、计算题（本大题共 8 题，共 75 分，请认真读题） 16．（8分）先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，其中 x= +1． 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案， 【解答】解：当 x= +1时， 原式= • =1﹣x =﹣ 【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 17．（9 分）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的 杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情 况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示），并根据调查结果绘制了如下 尚不完整的统计图． 治理杨絮一一您选哪一项？（单选） A．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量 B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树 C．选育无絮杨品种，并推广种植 D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮 E．其他 根据以上统计图，解答下列问题： （1）本次接受调查的市民共有 2000 人； （2）扇形统计图中，扇形 E的圆心角度数是 28.8° ； （3）请补全条形统计图； （4）若该市约有 90万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数． 【分析】（1）将 A选项人数除以总人数即可得； （2）用 360°乘以 E选项人数所占比例可得； （3）用总人数乘以 D选项人数所占百分比求得其人数，据此补全图形即可得； （4）用总人数乘以样本中 C选项人数所占百分比可得． 【解答】解：（1）本次接受调查的市民人数为 300÷15%=2000人， 故答案为：2000； （2）扇形统计图中，扇形 E的圆心角度数是 360°× =28.8°， 故答案为：28.8°； （3）D选项的人数为 2000×25%=500， 补全条形图如下： （4）估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数为 70×40%=28（万人）． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图 中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统 计图直接反映部分占总体的百分比大小． 18．（9分）如图，反比例函数 y= （x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P． （1）求反比例函数的解析式； （2）在图中用直尺和 2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个 条件： ①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点 O，点 P； ②矩形的面积等于 k的值． 【分析】（1）将 P点坐标代入 y= ，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式； （2）根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可． 【解答】解：（1）∵反比例函数 y= （x＞0）的图象过格点 P（2，2）， ∴k=2×2=4， ∴反比例函数的解析式为 y= ； （2）如图所示： 矩形 OAPB、矩形 OCDP即为所求作的图形． 【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法 求反比例函数解析式，矩形的判定与性质，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键． 19．（9分）如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点 O，连接 DA交⊙O于点 C，过点 C作 ⊙O的切线交 DO于点 E，连接 BC交 DO于点 F． （1）求证：CE=EF； （2）连接 AF并延长，交⊙O于点 G．填空： ①当∠D的度数为 30° 时，四边形 ECFG 为菱形； ②当∠D的度数为 22.5° 时，四边形 ECOG为正方形． 【分析】（1）连接 OC，如图，利用切线的性质得∠1+∠4=90°，再利用等腰三角形和互余 证明∠1=∠2，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论； （2）①当∠D=30°时，∠DAO=60°，证明△CEF 和△FEG 都为等边三角形，从而得到 EF=FG=GE=CE=CF，则可判断四边形 ECFG 为菱形； ②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，利用三角形内角和计算出∠COE=45°，利用对称得 ∠EOG=45°，则∠COG=90°，接着证明△OEC≌△OEG得到∠OEG=∠OCE=90°，从而证明 四边形 ECOG为矩形，然后进一步证明四边形 ECOG为正方形． 【解答】（1）证明：连接 OC，如图， ∵CE为切线， ∴OC⊥CE， ∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°， ∵DO⊥AB， ∴∠3+∠B=90°， 而∠2=∠3， ∴∠2+∠B=90°， 而 OB=OC， ∴∠4=∠B， ∴∠1=∠2， ∴CE=FE； （2）解：①当∠D=30°时，∠DAO=60°， 而 AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠B=30°， ∴∠3=∠2=60°， 而 CE=FE， ∴△CEF为等边三角形， ∴CE=CF=EF， 同理可得∠GFE=60°， 利用对称得 FG=FC， ∵FG=EF， ∴△FEG为等边三角形， ∴EG=FG， ∴EF=FG=GE=CE， ∴四边形 ECFG为菱形； ②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°， 而 OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC=67.5°， ∴∠AOC=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°， ∴∠AOC=45°， ∴∠COE=45°， 利用对称得∠EOG=45°， ∴∠COG=90°， 易得△OEC≌△OEG， ∴∠OEG=∠OCE=90°， ∴四边形 ECOG为矩形， 而 OC=OG， ∴四边形 ECOG为正方形． 故答案为 30°，22.5°． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连 过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了菱形和正方形的判定． 20．（9 分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及 若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某 兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答． 如图所示，底座上 A，B两点间的距离为 90cm．低杠上点 C到直线 AB 的距离 CE的长为 155cm，高杠上点 D 到直线 AB 的距离 DF 的长为 234cm，已知低杠的支架 AC 与直线 AB 的夹角∠CAE为 82.4°，高杠的支架 BD与直线 AB的夹角∠DBF为 80.3°．求高、低杠间的 水平距离 CH 的长．（结果精确到 1cm，参考数据 sin82.4°≈0.991， cos82.4°≈0.132， tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850） 【分析】利用锐角三角函数，在 Rt△ACE和 Rt△DBF中，分别求出 AE、BF的长．计算出 EF．通过矩形 CEFH 得到 CH的长． 【解答】解：在 Rt△ACE中， ∵tan∠CAE= ， ∴AE= = ≈ ≈21（cm） 在 Rt△DBF中， ∵tan∠DBF= ， ∴BF= = ≈ =40（cm） ∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151（cm） ∵CE⊥EF，CH⊥DF，DF⊥EF ∴四边形 CEFH是矩形， ∴CH=EF=151cm 答：高、低杠间的水平距离 CH的长为 151cm． 【点评】本题考查了锐角三角函数解直角三角形．题目难度不大，注意精确度． 21．（10分）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量 y（个）与销售单 价 x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表： 销售单价 x（元） 85 95 105 115 日销售量 y（个） 175 125 75 m 日销售利润 w（元） 875 1875 1875 875 （注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价）） （1）求 y关于 x的函数解析式（不要求写出 x的取值范围）及 m的值； （2）根据以上信息，填空： 该产品的成本单价是 80 元，当销售单价 x= 100 元时，日销售利润 w最大，最大值是 2000 元； （3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销 售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为 90元时，日销售利润不低于 3750元的 销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？ 【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得 y关于 x的函数解析式； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得生产成本和 w的最大值； （3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以取得科技创新后的成本． 【解答】解；（1）设 y关于 x的函数解析式为 y=kx+b， ，得 ， 即 y关于 x的函数解析式是 y=﹣5x+600， 当 x=115时，y=﹣5×115+600=25， 即 m的值是 25； （2）设成本为 a元/个， 当 x=85时，875=175×（85﹣a），得 a=80， w=（﹣5x+600）（x﹣80）=﹣5x2+1000x﹣48000=﹣5（x﹣100）2+2000， ∴当 x=100时，w取得最大值，此时 w=2000， 故答案为：80，100，2000； （3）设科技创新后成本为 b元， 当 x=90时， （﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750， 解得，b≤65， 答：该产品的成本单价应不超过 65元． 【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、不等式的应用，解答本题的关键 是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和数形结合的思想解答． 22．（10分）（1）问题发现 如图 1，在△OAB 和△OCD 中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接 AC，BD 交于点M．填空： ① 的值为 1 ； ②∠AMB的度数为 40° ． （2）类比探究 如图 2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接 AC 交 BD的延长线于点M．请判断 的值及∠AMB的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将△OCD 绕点 O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若 OD=1， OB= ，请直接写出当点 C与点M重合时 AC的长． 【分析】（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得 AC=BD，比值为 1； ②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB=180°﹣ （∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣140°=40°； （2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则 = ，由全等三角形 的性质得∠AMB的度数； （3）正确画图形，当点 C 与点 M 重合时，有两种情况：如图 3 和 4，同理可得： △AOC∽△BOD，则∠AMB=90°， ，可得 AC的长． 【解答】解：（1）问题发现 ①如图 1，∵∠AOB=∠COD=40°， ∴∠COA=∠DOB， ∵OC=OD，OA=OB， ∴△COA≌△DOB（SAS）， ∴AC=BD， ∴ =1， ②∵△COA≌△DOB， ∴∠CAO=∠DBO， ∵∠AOB=40°， ∴∠OAB+∠ABO=140°， 在△AMB 中，∠AMB=180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD） =180°﹣140°=40°， 故答案为：①1；②40°； （2）类比探究 如图 2， = ，∠AMB=90°，理由是： Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°， ∴ ， 同理得： ， ∴ ， ∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠BOD， ∴△AOC∽△BOD， ∴ = ，∠CAO=∠DBO， 在△AMB中，∠AMB=180°﹣（∠MAB+∠ABM）=180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°； （3）拓展延伸 ①点 C与点M重合时，如图 3，同理得：△AOC∽△BOD， ∴∠AMB=90°， ， 设 BD=x，则 AC= x， Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1， ∴CD=2，BC=x﹣2， Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB= ， ∴AB=2OB=2 ， 在 Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2， ， x2﹣x﹣6=0， （x﹣3）（x+2）=0， x1=3，x2=﹣2， ∴AC=3 ； ②点 C与点M重合时，如图 4，同理得：∠AMB=90°， ， 设 BD=x，则 AC= x， 在 Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2， +（x+2）2= x2+x﹣6=0， （x+3）（x﹣2）=0， x1=﹣3，x2=2， ∴AC=2 ； 综上所述，AC的长为 3 或 2 ． 【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问 题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想 解决问题，本题是一道比较好的题目． 23．（11分）如图，抛物线 y=ax2+6x+c 交 x轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C．直线 y=x﹣5 经过点 B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点 A的直线交直线 BC于点M． ①当 AM⊥BC时，过抛物线上一动点 P（不与点 B，C重合），作直线 AM的平行线交直线 BC于点 Q，若以点 A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点 P的横坐标； ②连接 AC，当直线 AM与直线 BC的夹角等于∠ACB的 2倍时，请直接写出点M的坐标． 【分析】（1）利用一次函数解析式确定 C（0，﹣5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛 物线解析式； （2）①先解方程﹣x2+6x﹣5=0 得 A（1，0），再判断△OCB 为等腰直角三角形得到 ∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以 AM=2 ，接着根据平行四边形 的性质得到 PQ=AM=2 ，PQ⊥BC，作 PD⊥x轴交直线 BC于 D，如图 1，利用∠PDQ=45° 得到 PD= PQ=4，设 P（m，﹣m2+6m﹣5），则 D（m，m﹣5），讨论：当 P点在直线 BC 上方时，PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=4；当 P点在直线 BC下方时，PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m ﹣5），然后分别解方程即可得到 P点的横坐标； ②作 AN⊥BC于 N，NH⊥x轴于 H，作 AC的垂直平分线交 BC于M1，交 AC于 E，如图 2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定 N（3，﹣2）， AC 的解析式为 y=5x﹣5，E 点坐标为（ ，﹣ ），利用两直线垂直的问题可设直线 EM1 的解析式为 y=﹣ x+b，把 E（ ，﹣ ）代入求出 b得到直线 EM1的解析式为 y=﹣ x﹣ ， 则解方程组 得M1点的坐标；作直线 BC上作点M1关于 N点的对称点M2，如 图 2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设 M2（x，x﹣5），根据中点坐标公式 得到 3= ，然后求出 x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标． 【解答】解：（1）当 x=0时，y=x﹣5=﹣5，则 C（0，﹣5）， 当 y=0时，x﹣5=0，解得 x=5，则 B（5，0）， 把 B（5，0），C（0，﹣5）代入 y=ax2+6x+c得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为 y=﹣x2+6x﹣5； （2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得 x1=1，x2=5，则 A（1，0）， ∵B（5，0），C（0，﹣5）， ∴△OCB为等腰直角三角形， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∵AM⊥BC， ∴△AMB为等腰直角三角形， ∴AM= AB= ×4=2 ， ∵以点 A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ， ∴PQ=AM=2 ，PQ⊥BC， 作 PD⊥x轴交直线 BC于 D，如图 1，则∠PDQ=45°， ∴PD= PQ= ×2 =4， 设 P（m，﹣m2+6m﹣5），则 D（m，m﹣5）， 当 P点在直线 BC上方时， PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得 m1=1，m2=4， 当 P点在直线 BC下方时， PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得 m1= ，m2= ， 综上所述，P点的横坐标为 4或 或 ； ②作 AN⊥BC于 N，NH⊥x轴于 H，作 AC的垂直平分线交 BC于M1，交 AC于 E，如图 2， ∵M1A=M1C， ∴∠ACM1=∠CAM1， ∴∠AM1B=2∠ACB， ∵△ANB为等腰直角三角形， ∴AH=BH=NH=2， ∴N（3，﹣2）， 易得 AC的解析式为 y=5x﹣5，E点坐标为（ ，﹣ ）， 设直线 EM1的解析式为 y=﹣ x+b， 把 E（ ，﹣ ）代入得﹣ +b=﹣ ，解得 b=﹣ ， ∴直线 EM1的解析式为 y=﹣ x﹣ ， 解方程组 得 ，则M1（ ，﹣ ）； 作直线 BC上作点M1关于 N点的对称点M2，如图 2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB， 设M2（x，x﹣5）， ∵3= ， ∴x= ， ∴M2（ ，﹣ ）， 综上所述，点M的坐标为（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）． 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数 的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理 解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．