新人教版八年级数学上册全册教案（共87页）

新人教版八年级数学上册全册教案（共87页）

‎11．1　与三角形有关的线段 ‎11．1.1　三角形的边 ‎1．结合具体的实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素．‎ ‎2．会用符号、字母表示三角形，并了解按边的相等关系对三角形进行分类．‎ ‎3．理解三角形任何两边之和大于第三边与任意两边之差小于第三边的性质，并会初步运用这些性质来解决问题．‎ 重点 三角形的三边关系．‎ 难点 三角形的三边关系．‎ 一、创设情境，引入新课 老师出示一个用硬纸板剪好的三角形，并提出问题；‎ 小学中我们已经认识了三角形，那么你能不能给三角形下一个完整的定义？‎ 老师出示教具，提出问题．让学生观察教具，然后给出三角形的定义．‎ 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．‎ 二、探究问题，形成概念 ‎(一)探究三角形的有关概念 ‎1．三角形的顶点及符号表示方法．‎ ‎2．三角形的内角．‎ ‎3．三角形的边．‎ 教师继续利用教具向学生直接指明相关的概念．‎ 学生注意记忆相关的概念．‎ 教师再出示另外剪好的三角形，各顶点字母与原来不同，然后通过新三角形让学生巩固刚才的有关概念．‎ ‎(二)探究三角形的分类 问题1：小学中已经学过，如何将三角形进行分类？‎ 问题2：如何将三角形按边分类？‎ 教师提出问题，学生举手回答．‎ 教师提示，分类的标准是什么？‎ 学生回答：有两边相等和有三边相等，以及三条边均不相等．‎ 教师进一步提出新的问题，并进一步讲解等边三角形、等腰三角形的有关概念，然后给出三角形按边分类的方法：‎ 87‎ 三角形 之后师生共同归纳三角形的分类方法．按不同的标准分类，可以有不同的分法．‎ ‎(三)探究三角形的三边关系 探究：画出一个△ABC，假设有一只小虫要从B点出发，沿三角形的边爬到C点，它有几种路线可以选择？各条路线的长一样吗？‎ 教师提出问题，学生先画图然后进行讨论，并思考问题，然后教师指定学生回答问题．‎ ‎(1)小虫从点B出发沿三角形的边爬到点C有如下几条路线：‎ a．从B→C b．从B→A→C ‎(2)从B→C路线最短．‎ 然后老师进一步提出问题：这条路线为什么是最短的？‎ 学生举手回答：“两点之间，线段最短．”‎ 然后师生共同归纳得出：‎ AC＋BC＞AB　①‎ AB＋AC＞BC　②‎ AB＋BC＞AC　③‎ 即三角形两边的和大于第三边．‎ 教师提问：(1)由不等式①②③移项，你能得到怎样的不等式？‎ ‎(2)通过刚才得到的不等式，你有什么发现？‎ 学生回答，师生共同归纳：三角形两边的差小于第三边．‎ 教师出示教材第3页例题．‎ 分析：(1)“用一条长18 cm的细绳围成一个等腰三角形”，这句话有什么含义？‎ ‎(2)有一边长为4 cm是什么意思，哪一边的长度是4 cm?‎ 三、练习巩固 练习：教材第4页练习第1，2题．‎ 老师布置练习，学生举手回答即可．第2题注意让学生说明理由．‎ 解决完以后，教师利用投影出示补充练习，学生独立完成．‎ 补充练习：一个三角形有两条边相等，周长为20 cm，一条边长是6 cm，求其他两条边长．‎ 四、小结与作业 小结：谈谈本节课的收获．‎ 老师引导学生主要从对三角形的分类和三边关系的认识方面进行小结．‎ 布置作业：习题11.1第1，2，7题．‎ 三角形的三边关系是在学生了解了三角形的一些基本特征的基础上学习的，学生虽然知道了三角形有三条边，但三角形“边”的研究却是学生首次接触，让学生自己动手操作，初步感知三条边之间的关系，接着重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系？”通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论。这样教学符合学生的认知特点，既增加了兴趣，又增强学生的动手能力．‎ 87‎ ‎11．1.2　三角形的高、中线与角平分线 ‎11．1.3　三角形的稳定性 ‎1．掌握三角形的高、中线、角平分线、重心的定义中体现出来的性质．‎ ‎2．会画三角形的高、中线、角平分线．‎ ‎3．了解三角形的稳定性．‎ 重点 了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，了解三角形具有稳定性这一性质．‎ 难点 ‎1．三角形的角平分线与角的平分线的区别，三角形的高与垂线的区别．‎ ‎2．钝角三角形高的画法．‎ ‎3．不同的三角形三条高的位置关系．‎ 一、情境导入 生活实例演示：‎ 人字型屋顶钢架、风筝骨架，并从中抽象出数学图形，引出三角形中的特殊线段．‎ 二、探究新知 ‎(一)三角形的高 问题1：如何求三角形的面积？‎ 问题2：什么是三角形的高，怎样画三角形的高？教师首先提出问题1，学生举手回答，然后教师进一步提出来问题2.引入本节课的第一个概念．‎ 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．如图，AD是△ABC的边BC上高．‎ 想一想，一个三角形有几条高？‎ 87‎ 然后教师要求学生举手画三个不同的三角形，即锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，之后要求学生作出它们的高，然后同学进行交流．‎ 观察：每一个三角形的三条高有什么位置关系？‎ 三条高交于一点．‎ 教师提出问题：各种三角形的高都分别交于一点吗？‎ 学生讨论，交流，然后归纳结果．‎ 练习：教材第5页练习第1题．‎ 学生独立观察，然后交流，归纳．‎ ‎(二)三角形的中线与角平分线的概念及画法 ‎1．三角形的中线及其画法．‎ ‎2．三角形的角平分线及其画法．‎ 教师指出三角形中线的定义及角平分线的定义，然后仿照三角形的高的教学过程，安排学生画一画，并相应地提出类似的问题．‎ 学生动手操作，然后交流，探讨，师生共同归纳总结．‎ 三角形的三条中线都在三角形的内部，且它们交于一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．‎ 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且它们交于一点．‎ 三角形的三条高不一定在三角形的内部，它们也相交于一点．‎ 三角形的高、中线、角平分线都是线段．‎ ‎(三)三角形的稳定性 教师利用折尺让学生先折成三角形的样子，然后拆成四边形的样子，认识三角形的稳定性．‎ 学生认识到三角形的稳定性以后，让学生找出几个生活中利用三角形的稳定性的例子，并完成教材第7页练习．‎ 三、练习巩固 练习：教材第5页练习第2题．‎ 思考：如下图，AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD和△ADC的面积有何关系，为什么？‎ 教师布置练习，学生独立完成，然后举手回答．‎ 教师利用投影出示思考题，学生进行讨论后，再进行归纳．‎ 归纳：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．‎ 思考：高和角平分线是否也有这样的性质呢？‎ 四、小结与作业 小结：谈谈你对三角形的高、中线、角平分线的认识．‎ 教师引导学生归纳三角形的高、中线、角平分线的相关性质．‎ 布置作业：习题11.1第3，4，8题，选做题：第9题．‎ 以学生为本，充分调动学生的学习兴趣，‎ 87‎ 主动参与到新课堂的实践活动．例如：学生在学习了三角形的角平分线、中线后，引导学生及时比较它们的异同点，以免混淆，建立了求同存异的思想。学生在得到了任意三角形的三条角平分线、中线交于一点，且在三角形的内部，这一规律后，就轻易认为三条高线也适用此规律．教师抓住学生的惯性心理，引导学生通过动手发现新问题，从而解决它．在教学三角形的稳定性时，尽可能利用多媒体引导学生探寻三角形稳定性的数学含义，进而用三角形的稳定性解释“为什么不易变形”，再回归生活，运用三角形的稳定性解释为什么要用上三角形和用三角形解决生活中的问题．‎ ‎11．2　与三角形有关的角 ‎11．2.1　三角形的内角 ‎1．理解三角形内角和定理的内容，能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题．‎ ‎2．掌握直角三角形的两个锐角互余，能用有两个角互余的三角形是直角三角形对三角形进行判定．‎ 重点 三角形内角和定理 难点 三角形内角和定理的推理过程．‎ 一、情境导入 我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？小学中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢？‎ 二、探究新知 ‎(一)探究三角形的内角和 ‎1．在所准备的三角形硬纸上标出三个内角的编码．‎ ‎2．让学生动手把一个三角形的两个剪下拼在第三个角的顶点处(如上图)，用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.‎ ‎3．把∠B和∠C剪下按下图拼在一起，用量角器量一量∠MAN的度数，会得到什么结果？‎ 87‎ 教师在学生完成后，提出问题：‎ 在图(2)中直线CM与AB是什么关系？‎ 在图(3)中直线MN与BC是什么关系？‎ 你能从中找到三角形内角和定理的证明方法吗？‎ ‎(二)证明三角形内角和定理 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.‎ 已知：△ABC，如图．‎ 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.‎ 教师引导学生从上面的操作中得到证明三角形内角和定理的方法，然后规范地写出证明过程．注意向学生提示辅助线要用虚线．‎ 这一过程中教师应当注意，必须要写出规范的证明过程．教师可以采用示范一个，练习一个的方式．用如上图的方法进行教师示范，用如下图的方法让学生进行练习．‎ 想一想，还有没有其他的方法？(利用同旁内角互补)‎ 三、举例分析 教师用多媒体出示例1，要求学生独立完成．‎ 学生说出解题过程，教师讲评，规范格式．‎ 老师利用多媒体出示例2，学生先读题，弄懂题意，然后师生共同分析解题．‎ 之后教师可进一步向学生提问：“还有没有其他的方法来解决．”‎ 教师指导学生尝试探究直角三角形的两个锐角之间的关系，要求写出推理过程．‎ 学生汇报结果，师生总结得到“直角三角形的两个锐角互余”．‎ 教师多媒体出示例3，指名板演，集体讲评，注重讲题说理．接着让学生思考：有两个角互余的三角形是否是直角三角形？(简单说明理由)‎ 四、课堂练习 练习：教材练习．‎ 补充练习：‎ ‎1．三角形中最大的角是70°，那么这个三角形是锐角三角形．(　　)‎ ‎2．一个三角形中最多只有一个钝角或直角．(　　)‎ ‎3．一个等腰三角形一定是锐角三角形．(　　)‎ ‎4．一个三角形最少有一个角不大于60°.(　　)‎ ‎5．一个三角形中有两个角分别是40°，50°，则这个三角形是直角三角形．(　　)‎ 五、小结与作业 小结：谈谈本节课的收获．‎ 教师引导学生从定理的证明过程和对例题中解题的思路方法的角度进行小结．‎ 布置作业：习题11.2第1，2，3，7题，选做题：第9题．‎ 在教学中，当引出课题后，先引导学生积极讨论交流探究三角形内角和的方法，‎ 87‎ 再引导学生通过探究活动来得出结论．当学生有困难时，教师也参与学生的研究，适当进行点拨，并充分进行交流反馈，给学生创造了一个宽松和谐的探究氛围．‎ ‎11．2.2　三角形的外角 ‎1．了解三角形的外角．‎ ‎2．知道三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．‎ ‎3．学会运用简单的说理来计算三角形相关的角．‎ 重点 三角形外角的性质．‎ 难点 运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地推理．‎ 一、复习引入 什么是三角形的内角？它是由什么组成的？‎ 三角形内角和定理的内容是什么？‎ 教师提出问题，学生举手回答问题．‎ 二、探究新知 ‎1．探究三角形外角的概念．‎ 教师布置学生自学教材第14页最后一段话的内容，然后完成以下问题：‎ ‎(1)举例说明什么是三角形的外角．(上黑板画图说明)‎ ‎(2)如图，∠ADB，∠BPC，∠BDC，∠DPC分别是哪个三角形的外角？‎ ‎2．探究三角形外角的性质．‎ 老师布置学生自学教材第15页思考的内容，然后同学间进行交流、讨论，归纳三角形的外角有什么性质，并提出以下问题：‎ 你能否用证明的方法说明你所归纳的性质？‎ 学生归纳得出三角形外角的性质：‎ 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 三、举例分析 例1　如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？‎ 教师出示教材例4，先让学生进行分析，教师可以适当加以引导学生，将三角形的外角转化为三角形的内角，然后师生共同写出规范的解答过程．‎ 87‎ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE＝∠2＋∠3，∠CBF＝∠1＋∠3，∠ACD＝∠1＋∠2.‎ 所以∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1＋∠2＋∠3)．‎ 由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°.‎ 四、练习与小结 练习：教材练习．‎ 教师布置练习，学生举手回答．‎ 小结：谈谈你对三角形外角的认识．‎ 教师引导学生谈谈对三角形外角的认识．主要从定义和性质两个方面入手．‎ 五、布置作业 习题11.2第5，6，8题，选做题：第11题．‎ 通过三角形的内角和回顾引入，然后通过学生的预习，在他们的理解基础上，去学习三角形的外角的定义，这样能够加深他们对外角定义的理解，在探索三角形外角定理的时候，我也是采取了学生去探索的思想，让他们自己大胆猜想，然后同学们在老师的引导下去证明自己的猜想，这样以后才能运用自如．‎ ‎11．3　多边形及其内角和 ‎11．3.1　多边形 了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念．‎ 重点 多边形及有关概念．‎ 难点 区分凹凸多边形．‎ 一、情境导入 问题：什么是三角形，什么是三角形的边、内角？‎ 老师提出问题，学生举手回答．‎ 二、探究新知 ‎(一)多边形的有关概念 问题1：观察下列图片，它们由哪些基本图形组成？‎ 问题2：你能说出生活中的多边形吗？‎ 教师利用投影出示图片，学生观察图片，并进行讨论、交流．之后学生自由发言．‎ 然后教师指出相关的概念．‎ 87‎ 多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．按组成多边形线段的条数分为三角形、四边形、五边形……如果一个多边形由n条线段组成，这个多边形叫做n边形．‎ 根据三角形的内角、外角的概念，你能说出多边形的内角和外角的概念吗？‎ 之后教师提出问题2让学生多举几个例子，然后教师给出凸、凹多边形、正多边形的概念．‎ 要点：‎ ‎(1)多边形的概念与三角形相比，多了“在平面内”．‎ ‎(2)正多边形是各边相等，各角也相等，二者缺一不可．‎ ‎(3)凸、凹多边形的区别．‎ ‎(二)多边形的对角线的条数 问题：什么是多边形的对角线？三角形有几条对角线，四边形呢？五边形、六边形、n边形呢？‎ 教师给出多边形对角线的概念，然后提出问题，组织学生进行讨论、探究．‎ 教师可以根据图形适当向学生提示：过四边形的一个顶点可以画几条对角线，四边形一共有几条对角线？‎ 过五边形的一个顶点可以画几条对角线，五边形一共有几条对角线？‎ 六边形呢？这里有什么规律吗？‎ 归纳：多边形的对角线的条数是：，‎ 这里n是多边形的边数．‎ ‎(三)探究凸、凹多边形及正多边形的概念 如图(1)，画出四边形ABCD的任何一条边(例如CD)所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形．而图(2)中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD(或BC)所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧．类似地，画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．本节只讨论凸多边形．‎ 我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等，像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．下图是正多边形的一些例子．‎ 87‎ 教师要求学生自己去解决这两个问题，可以通过讨论、交流的形式去解决，完成以后，教师可以随机地画几个多边形让学生进行凸、凹多边形的区分．对于正多边形的概念，关键让学生掌握住各边都相等，各角都相等，二者缺一不可．‎ 三、练习与小结 教师布置练习，学生完成后举手回答．‎ 小结：谈谈你本节课的收获．‎ 教师引导学生从概念、相关知识等方面进行小结．‎ 四、布置作业 习题11.3第1题．‎ 教学过程中采用与三角形类比的方式进行教学，有利于学生理解概念。在对角线的教学中，先让学生动手探索从一个顶点出发的对角线的条线的规律，并让其观察分成三角形个数的规律；进而才进行探究对角线的总条线．使学生经历了一次自主获取新知的成功体验，正好体现了“重学习过程，轻学习结果”的新理念．‎ ‎11．3.2　多边形的内角和 ‎1．掌握多边形的外角和及内角和公式．‎ ‎2．通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法．‎ ‎3．了解平面镶嵌的条件，会用简单的平面图形进行平面镶嵌．‎ 重点 探索多边形的内角和公式及外角和．‎ 难点 如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和．‎ 一、复习引入 问题：你知道三角形的内角和是多少度吗？‎ ‎1．教师提问，学生思考作答．‎ ‎2．教师总结：三角形的内角和等于180°.‎ ‎3．引出课题：你想知道任意一个多边形的内角和吗？今天我们就来进一步探讨多边形的内角和与外角和．‎ 二、探究新知 ‎(一)四边形的内角和 问题：你知道任意一个四边形的内角和是多少度吗？‎ 学生展示探究成果．‎ 分割成2个三角形，180°×2＝360°.‎ 87‎ 分割成4个三角形，180°×4－360°＝360°.‎ 分割成3个三角形，180°×3－180°＝360°.‎ ‎1．引导学生猜想：四边形的内角和等于360°.‎ ‎2．学生分小组交流与探究，进一步来论证自己的猜想．‎ ‎3．由各小组成员汇报探索的思路与方法，讲明理由．‎ ‎4．教师汇总学生所探索出的不同方法，除测量与拼凑法外，并提出疑问：你们添加辅助线的目的是什么？说一说你的想法．‎ ‎5．教师在学生回答的基础上小结：借助辅助线把四边形分割成几个三角形，利用三角形内角和定理求得四边形的内角和．‎ 教师可点拨学生从正方形、长方形这两个特殊的四边形的内角和入手，进而猜测出四边形的内角和等于360°.‎ ‎(二)五边形的内角和 问题1：你知道任意一个五边形的内角和是多少度吗？‎ 问题2：你知道任意一个n边形的内角和是多少度吗？‎ ‎(n－2)×180°‎ ‎180°n－360°‎ ‎180°(n－1)－180°‎ 板书：‎ 多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)×180°‎ 补充例题：求十五边形内角和的度数．‎ ‎1．教师提出问题，学生思考后分组活动．‎ ‎2．教师深入小组，参与小组活动，及时了解学生探索的情况．‎ ‎3．让学生归纳借助辅助线将五边形分割成三角形的不同分法．‎ ‎4．探究五边形的边数与所分割的三角形个数间的关系，‎ 87‎ 进而得出五边形内角和与边数的关系．‎ ‎5．根据以上分割三角形的方法，引导学生归纳n边形内角和公式及不同公式间的联系，指明为了书写整齐，便于记忆，我们选择(n－2)×180°这个公式．‎ ‎6．通过计算，让学生巩固并掌握n边形内角和公式．‎ ‎(三)多边形的外角和 问题1：小明家有一张六边形的地毯，小明绕各顶点走了一圈，回到起点A，并面对他出发时的方向，他的身体旋转了多少度？‎ 例：六边形外角和等于多少度？‎ 问题2：n边形外角和等于多少度？‎ n边形外角和等于360°.‎ ‎1．学生思考作答，教师作适当点拨．通过课件演示，由学生发现：六边形的外角和等于360°.‎ ‎2．教师引导学生利用多边形内角和公式，进一步论证六边形外角和等于360°，即六个平角减去六边形内角和等于六边形外角和．‎ ‎3．进行类比推理并小结：n边形外角和等于n个平角减去n边形内角和，与边数无关．‎ 三、练习应用 ‎1．教材练习．‎ 补充：‎ ‎2．问题：一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？‎ 四、小结与作业 问题：谈谈本节课你有哪些收获？‎ ‎1．学生反思学习和解决问题的过程．‎ ‎2．鼓励学生大胆表达，并对学生的进步给予肯定，树立学生学好数学的自信心．‎ 作业：习题11.3第2，4，5，6，7，8题，选做题：第9，10题．‎ 这节课通过研究发现由多边形的一个顶点引对角线后原多边形被分成(n－2 )三角形，由此可得多边形的内角和公式为：(n－2 )180，这里充分体现由特殊到一般的推理特点．换一个角度看问题，在多边形内任取一点与各个顶点相连得到n 个三角形，但是这里多算了一个周角，因此可得到公式为：180n－360. 这样培养了学生从多方面探究问题的能力．‎ 第十二章　全等三角形 ‎12．1　全等三角形 ‎1．了解全等形及全等三角形的概念．‎ 87‎ ‎2．理解全等三角形的性质．‎ 重点 探究全等三角形的性质．‎ 难点 掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素．‎ 一、情境导入 一位哲人曾经说过：“世界上没有完全相同的叶了”，但是在我们的周围却有着好多形状、大小完全相同的图案．你能举出这样的例子吗？‎ 二、探究新知 ‎1．动手做 ‎(1)和同桌一起将两本数学课本叠放在一起，观察它们能重合吗？‎ ‎(2)把手中三角板按在纸上，画出三角形，并裁下来，把三角板和纸三角形放在一起，观察它们能够重合吗？‎ 得出全等形的概念，进而得出全等三角形的概念．‎ 能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．‎ ‎2．观察 观察△ABC与△A′B′C′重合的情况．‎ 总结知识点：‎ 对应顶点、对应角、对应边．‎ 全等的符号：“≌”，读作：“全等于”．‎ 如：△ABC≌△A′B′C′.‎ ‎3．探究 ‎(1)在全等三角形中，有没有相等的角、相等的边呢？‎ 通过以上探索得出结论：全等三角形的性质．‎ 全等三角形的对应边相等，对应角相等．‎ ‎(2)把△ABC沿直线BC平移、翻折，绕定点旋转，观察图形的大小形状是否变化．‎ 得出结论：平移、翻折、旋转只能改变图形的位置，而不能改变图形的大小和形状．‎ 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，‎ 87‎ 点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角．‎ 三、应用举例 例1　如图，△ADE≌△BCF，AD＝6 cm，CD＝5 cm，求BD的长．‎ 分析：由全等三角形的性质可知，全等三角形的对应边相等，找出对应边即可．‎ 解：∵△ADE≌△BCF，∴AD＝BC.∵AD＝6 cm，‎ ‎∴BC＝6 cm.又∵CD＝5 cm，‎ ‎∴BD＝BC－CD＝6－5＝1(cm)．‎ 四、巩固练习 教材练习第1题．‎ 教材习题12.1第1题．‎ 补充题：‎ ‎1．全等三角形是(　　)‎ A．三个角对应相等的三角形 B．周长相等的三角形 C．面积相等的两个三角形 D．能够完全重合的三角形 ‎2．下列说法正确的个数是(　　)‎ ‎①全等三角形的对应边相等；‎ ‎②全等三角形的对应角相等；‎ ‎③全等三角形的周长相等；‎ ‎④全等三角形的面积相等．‎ A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4‎ ‎3．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EF＝5，求∠DFE的度数与DE的长．‎ 补充题答案：‎ ‎1．D ‎2．D ‎3．∠DFE＝35°，DE＝8‎ 五、小结与作业 ‎1．全等形及全等三角形的概念．‎ ‎2．全等三角形的性质．‎ 作业：教材习题12.1第2，3，4，5，6题．‎ 本节课通过学生在做模型、画图、动手操作等活动中亲身体验，加深对三角形全等、对应含义的理解，即培养了学生的画图识图能力，又提高了逻辑思维能力．‎ 87‎ ‎12．2　三角形全等的判定 第1课时　“边边边”判定三角形全等 ‎1．掌握“边边边”条件的内容．‎ ‎2．能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等．‎ ‎3．会作一个角等于已知角．‎ 重点 ‎“边边边”条件．‎ 难点 探索三角形全等的条件．‎ 一、复习导入 多媒体展示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形的对应边相等，对应角相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．‎ 思考：三角形的六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等吗？‎ 二、探究新知 根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢？如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢？‎ 出示探究1：先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个或两个．你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？‎ ‎(1)三角形的两个角分别是30°，50°.‎ ‎(2)三角形的两条边分别是4 cm，6 cm.‎ ‎(3)三角形的一个角为30°，一条边为3 cm.‎ 学生剪下按不同要求画出的三角形，比较三角形能否和原三角形重合．‎ 引导学生按条件画三角形，再通过画一画，剪一剪，比一比的方式得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．‎ 出示探究2：先任意画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？‎ 让学生充分交流后，教师明确已知三边画三角形的方法，并作出△A′B′C′，通过比较得出结论：三边分别相等的两个三角形全等．‎ 强调在应用时的简写方法：“边边边”或“SSS”．‎ 实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的．‎ 明确：三角形的稳定性．‎ 三、举例分析 例1　如右图，△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．求证：△ABD≌△ACD.‎ 引导学生应用条件分析结论，寻找两个三角形的已有条件，学会观察隐含条件．‎ 87‎ 让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．‎ 教师引导学生作图．‎ 已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.‎ 讨论尺规作图法，作一个角等于已知角的理论依据是什么？‎ 教师归纳：(1)什么是尺规作图；(2)作一个角等于已知角的依据是“边边边”．‎ 四、巩固练习 教材第37页练习第1，2题．‎ 学生板演．‎ 教师巡视，给出个别指导．‎ 五、小结与作业 回顾反思本节课对知识的研究探索过程，小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律．‎ 进一步明确：三边分别相等的两个三角形全等．‎ 布置作业：教材习题12.2第1，9题．‎ 本节课的重点是探索三角形全等的“边边边”的条件；运用三角形全等的“边边边”的条件判别两个三角形是否全等．在课堂上让学生参与到探索的活动中，通过动手操作、实验、合作交流等过程，学会分析问题的方法．通过三角形稳定性的实例，让学生产生学数学的兴趣，学会用数学的眼光去观察、分析周围的事物，为下一节内容的学习打下基础．‎ 第2课时　“边角边”判定三角形全等 ‎1．掌握“边角边”条件的内容．‎ ‎2．能初步应用“边角边”条件判定两个三角形全等．‎ 重点 ‎“边角边”条件的理解和应用．‎ 难点 指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．‎ 一、复习引入 ‎1．什么是全等三角形？‎ ‎2．全等三角形有哪些性质？‎ ‎3．“SSS”具体内容是什么？‎ 二、新知探究 已知△ABC，画一个三角形△A′B′C′，使AB＝A′B′∠B＝∠B′，BC＝B′C′.‎ 教师画一个三角形△ABC.‎ 先让学生按要求讨论画法，再给出正确的画法．‎ 操作：‎ ‎(1)把画好的三角形剪下和原三角形重叠，观察能重合在一起吗？‎ ‎(2)上面的探究说明什么规律？‎ 总结：判定两个三角形全等的方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，‎ 87‎ 简写成“边角边”或“SAS”．‎ 三、举例分析 多媒体出示教材例2.‎ 例2　如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D，使CD＝CA.连接BC并延长到点E，使CE＝CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离，为什么？‎ 分析：如果证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB＝DE.‎ 证明：在△ABC和△DEC中，‎ ‎∴△ABC≌△DEC(SAS)．‎ ‎∴AB＝DE.‎ 归纳解决实际问题的一般方法是：分析实际问题，按要求画出图形，根据图形及已知条件选择对应的方法．‎ 四、课堂练习 如图，已知AB＝AC，点D，E分别是AB和AC上的点，且DB＝EC.求证：∠B＝∠C.‎ 学生先独立思考，然后讨论交流，用规范的书写完成证明过程．‎ 五、小结与作业 ‎1．师生小结：‎ ‎(1)“边角边”判定两个三角形全等的方法．‎ ‎(2)在判定两个三角形全等时，要注意使用公共边和公共角．‎ ‎2．布置作业：教材习题12.2第3，4题．‎ 本节课的重点是让学生认识掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法，让学生自己动手操作，合作交流，通过学生之间的质疑讨论，发现此定理中角必为夹角，从而得出“边角边”的判定方法．不仅学习了知识，也训练了思维能力，对三角形全等的判定(SAS)掌握的也好，但要强调书写的格式的规范，同时让学生感受到在证明分别属于两个三角形的线段或角相等的问题时，通常通过证明这两个三角形全等来解决．‎ 第3课时　“角边角”和“角角边”判定三角形全等 87‎ ‎1．掌握“角边角”及“角角边”条件的内容．‎ ‎2．能初步应用“角边角”及“角角边”条件判定两个三角形全等．‎ 重点 ‎“角边角”条件及“角角边”条件．‎ 难点 分析问题，寻找判定两个三角形全等的条件．‎ 一、复习导入 ‎1．复习旧知：‎ ‎(1)三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？‎ 三个角、三个边、两边一角、两角一边．‎ ‎(2)到目前为止，可以作为判定两三角形全等的方法有几种？各是什么？‎ ‎2．[师]在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，我们接着探究已知两角一边是否可以判定两三角形全等．‎ 二、探究新知 ‎1．[师]三角形中已知两角一边有几种可能？‎ ‎[生](1)两角和它们的夹边；‎ ‎(2)两角和其中一角的对边．‎ 做一做：‎ 三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4 cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？‎ 学生活动：自己动手操作，然后与同伴交流，发现规律．‎ 教师活动：检查指导，帮助有困难的同学．‎ 活动结果展示：‎ 以小组为单位将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．‎ 提炼规律：‎ 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“角边角”或“ASA”)‎ ‎[师]我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个△ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AB＝A′B′呢？‎ ‎[生]能．‎ 学生口述画法，教师进行多媒体课件演示，使学生加深对“ASA”的理解．‎ ‎[生](1)先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长；‎ ‎ (2)画线段A′B′，使A′B′＝AB；‎ ‎(3)分别以A′，B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′，∠EB′A′，使∠DA′B′＝∠CAB，∠EB′A′＝∠CBA；‎ ‎(4)射线A′D与B′E交于一点，记为C′.‎ 即可得到△A′B′C′.‎ 将△A′B′C′与△ABC重叠，发现两三角形全等．‎ ‎[师]‎ 87‎ 于是我们发现规律：‎ 两角和它们的夹边分别相等的两三角形全等．(可以简写成“角边角”或“ASA”)‎ 这又是一个判定两个三角形全等的条件．‎ ‎2．出示探究问题：‎ 如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？‎ 证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝∠D＋∠E＋∠F＝180°，‎ ‎∠A＝∠D，∠B＝∠E，‎ ‎∴∠A＋∠B＝∠D＋∠E.‎ ‎∴∠C＝∠F.‎ 在△ABC和△DEF中，‎ ‎∴△ABC≌△DEF(ASA)．‎ 于是得规律：‎ 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“角角边”或“AAS”)‎ 例　如下图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求证：AD＝AE.‎ ‎[师生共析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中，所以要证AD＝AE，只需证明△ADC≌△AEB即可．‎ 学生写出证明过程．‎ 证明：在△ADC和△AEB中，‎ ‎∴△ADC≌△AEB(ASA)．‎ ‎∴AD＝AE.‎ ‎[师]到此为止，在三角形中已知三个条件探索两个三角形全等问题已全部结束．请同学们把两个三角形全等的判定方法作一个小结．‎ 87‎ 学生活动：自我回忆总结，然后小组讨论交流、补充．‎ 三、随堂练习 ‎1．教材第41页练习第1，2题．‎ 学生板演．‎ ‎2．补充练习 图中的两个三角形全等吗？请说明理由．‎ 四、课堂小结 有五种判定两个三角形全等的方法：‎ ‎1．全等三角形的定义 ‎2．边边边(SSS)‎ ‎3．边角边(SAS)‎ ‎4．角边角(ASA)‎ ‎5．角角边(AAS)‎ 推证两个三角形全等，要学会联系思考其条件，找它们对应相等的元素，这样有利于获得解题途径．‎ 五、课后作业 教材习题12.2第5，6，11题．‎ 在前面研究“边边边”和“边角边”两个判定方法的前提下，本节研究“角边角”和“角角边”对于学生并不困难，让学生通过直观感知、操作确认的方式体验数学结论的发现过程，在这节课的教学中，学生也了解了分类思想和类比思想．‎ 第4课时　“斜边、直角边”判定三角形全等 ‎1．探索和了解直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”．‎ ‎2．会运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等．‎ 重点 探究直角三角形全等的条件．‎ 难点 灵活运用直角三角形全等的条件进行证明．‎ 一、情境引入 ‎(显示图片)舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．‎ 87‎ ‎(1)你能帮他想个办法吗？‎ ‎(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？‎ 方法一：测量斜边和一个对应的锐角(AAS)；‎ 方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA或AAS)．‎ 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”．你相信他的结论吗？‎ 二、探究新知 多媒体出示教材探究5.‎ 任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？‎ 画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.‎ 想一想，怎么样画呢？‎ 按照下面的步骤作一作：‎ ‎(1)作∠MC′N＝90°；‎ ‎(2)在射线C′M上截取线段B′C′＝BC；‎ ‎(3)以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′；‎ ‎(4)连接A′B′.‎ ‎△A′B′C′就是所求作的三角形吗？‎ 学生把画好的△A′B′C′剪下放在△ABC上，观察这两个三角形是否全等．‎ 由探究5可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：‎ 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边、直角边”或“HL”．‎ 多媒体出示教材例5‎ 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD.求证：BC＝AD.‎ 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，‎ ‎∴∠C与∠D都是直角．‎ 在Rt△ABC和Rt△BAD中，‎ ‎∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．‎ ‎∴BC＝AD.‎ 想一想：‎ 你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？‎ 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法：SAS，ASA，AAS，SSS，还有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL”．‎ 三、巩固练习 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，‎ 87‎ 两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．‎ 学生独立思考完成．教师点评．‎ 四、小结与作业 ‎1．判定两个直角三角形全等的方法：斜边、直角边．‎ ‎2．直角三角形全等的所有判定方法：‎ 定义，SSS，SAS，ASA，AAS，HL.‎ 思考：两个直角三角形只要知道几个条件就可以判定其全等？‎ ‎3．作业：教材习题12.2第7题．‎ 本节课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解．在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力．‎ ‎12．3　角的平分线的性质 掌握角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．‎ 重点 角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．‎ 难点 灵活运用角的平分线的性质和判定解题．‎ 一、复习导入 ‎1．提问角的平分线的定义．‎ ‎2．给定一个角，你能不用量角器作出它的平分线吗？‎ 二、探究新知 ‎(一)角的平分线的画法 教师出示：已知∠AOB.‎ 求作：∠AOB的平分线．‎ 然后让学生阅读教材第48页上方思考．(教师演示画图)‎ 通过对分角仪原理的探究，得出用直尺和圆规画已知角的平分线的方法，师生共同完成具体作法．‎ ‎(二)角的平分线的性质 试验：(1)让学生在已经画好的角的平分线上任取一点P；‎ ‎(2)分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为D，E；‎ ‎(3)测量PD和PE的长，观察PD与PE的数量关系；‎ ‎(4)再换一个新的位置看看情况怎样？‎ 87‎ 归纳总结得到角的平分线的性质．‎ 分析讨论PD＝PE的理由．‎ ‎(三)角平分线的判定 教师指出：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．‎ ‎(1)写出已知、求证．‎ ‎(2)画出图形．‎ ‎(3)分析证明过程．‎ 巩固应用：‎ 解决教材第49页思考 ‎(四)三角形的三个内角的平分线相交于一点 ‎1．例题：教材第50页例题．‎ ‎2．针对例题的解答，提出：P点在∠A的平分线上吗？‎ 通过例题明确：三角形的三个内角的平分线相交于一点．‎ 练习：教材第50页练习．‎ 三、归纳总结 引导学生小组合作交流：‎ ‎(1)本节课学到了哪些知识？‎ ‎(2)你有什么收获？‎ 四、布置作业 教材习题12.3第1～4题．‎ 教学始终围绕着角平分线及其性质、判定的问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考，探索问题中所包含的数学知识，让学生经历了知识的形成与应用的过程，从而更好的理解掌握角平分线的性质。发展学生应用数学的意识与能力，增强学生学好数学的愿望和信心．‎ 第十三章　轴对称 ‎13．1　轴对称 ‎13．1.1　轴对称 ‎1．理解轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念．‎ ‎2．了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某直线对称的对称轴、对应点．‎ ‎3．掌握线段垂直平分线的概念．‎ ‎4．理解和掌握轴对称的性质．‎ 重点 轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念．‎ 难点 轴对称图形和两个图形关于某直线对称的区别和联系．‎ 87‎ 一、作品展示 ‎1．让部分学生展示课前的剪纸作品．‎ ‎2．小组活动：‎ ‎(1)在窗花的制作过程中，你是如何进行剪纸的？为什么要这样？‎ ‎(2)这些窗花(图案)有什么共同的特点？‎ 二、概念形成 ‎(一)轴对称图形 ‎1．在学生充分交流的基础上，教师提出“轴对称图形”的概念，并让学生尝试给它下定义，通过逐步地修正形成“轴对称图形”的定义，同时给出“对称轴”．‎ ‎2．结合教材图13.1－1进一步分析轴对称图形的特点，以及对称轴的位置．‎ ‎3．学生举例，试举几个在现实生活中你所见到的轴对称例子．‎ ‎4．概念应用：(1)教材第60页练习第1题．‎ ‎(2)补充：判断下面的图形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，它们的对称轴是什么？‎ ‎(二)两个图形关于某条直线对称 ‎1．观察教材中的图13.1－3，思考：图中的每对图形有什么共同的特点？‎ ‎2．两个图形成轴对称的定义．‎ 观察右图：‎ 把△A′B′C′沿直线l对折后能与△ABC重合，则称△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，简称“轴对称”，‎ 点A与点A′对应，点B与B′对应，点C与C′对应，称为对称点，直线l叫做对称轴．‎ ‎3．举例：你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗？‎ ‎4．讨论：轴对称图形和两个图形成轴对称的区别．‎ ‎(三)轴对称的性质 观察教材中图13.1－4，线段AA′与直线MN有怎样的位置关系？你能说明理由吗？‎ 引导学生说出如下关系：PA＝PA′，∠MPA＝∠MPA′＝90°.‎ 类似的，点B和点B′，点C和点C′是否有同样的关系？你能用语言归纳上述发现的规律吗？‎ 结合学生发表的观点，教师总结并板书．‎ 对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．在这个基础上，教师给出线段的垂直平分线的概念，然而把上述规律概括成图形轴对称的性质．‎ 上述性质是对两个成轴对称的图形来说的 87‎ ‎，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也有同样的关系？‎ 从而得出：类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一个对应点所连线段的垂直平分线．‎ 三、归纳小结 主要围绕下列几个问题：‎ ‎(1)概念：轴对称图形，两个图形关于某条直线对称，对称轴，对称点；‎ ‎(2)找轴对称图形的对称轴．‎ 四、布置作业 教材习题13.1第1，2，3题．‎ 数学教学应该选在牵一发而动全身的关键之处进行，轴对称图形的认识的教学就是要抓住“对折”与“完全重合”两个关键之处．不然就是隔靴搔痒. 当“部分重合”与“完全重合”理解了，轴对称图形的概念也会在学生脑海中留下深刻的印象．‎ ‎13．1.2　线段的垂直平分线的性质 第1课时　线段的垂直平分线的性质与判定 掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．‎ 重点 线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．‎ 难点 灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．‎ 一、问题导入 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．那么，线段的垂直平分线有什么性质呢？这节课我们就来研究它．‎ 二、探究新知 ‎(一)线段的垂直平分线的性质 教师出示教材第61页探究，让学生测量，思考有什么发现？‎ 如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3…到点A与点B的距离，你有什么发现？‎ 学生回答，教师小结：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．‎ 性质的证明：‎ 87‎ 教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言可以这样表示：如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上任意一点，连接PA，PB，我们要证明的是PA＝PB.‎ 教师分析证明思路：图中有两个直角三角形，△APC和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB.‎ 教师要求学生自己写已知，求证，自己证明．‎ 学生证明完后教师板书证明过程供学生对照．‎ 已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．求证：PA＝PB.‎ 证明：在△APC和△BPC中，‎ ‎∵PC＝PC(公共边)，∠PCB＝∠PCA(垂直定义)，AC＝BC(已知)，‎ ‎∴△APC≌△BPC(SAS)．‎ ‎∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．‎ 因为点P是线段的垂直平分线上一点，于是就有：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．‎ ‎(二)线段的垂直平分线的判定 你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果…那么…”的形状，要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果…那么…”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论．‎ 原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”．‎ 此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”‎ 写出逆命题后，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行在练习册上完成．‎ 学生给出了如下的四种证法．‎ 已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.‎ 求证：P点在AB的垂直平分线上．‎ 证法一　过点P作已知线段AB的垂线PC，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上．‎ 证法二　取AB的中点C，过P，C作直线．∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．‎ ‎∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．‎ 87‎ 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，∴P点在AB的垂直平分线上．‎ 证法三　过P点作∠APB的平分线．‎ ‎∵PA＝PB，∠1＝∠2，PC＝PC，△APC≌△BPC(SAS)．‎ ‎∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应边相等，对应角相等)．‎ 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P点在AB的垂直平分线上．‎ 证法四　过P作线段AB的垂直平分线PC.‎ ‎∵AC＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P在AB的垂直平分线上．‎ 四种证法由学生表述后，有学生提问：“前三个同学的证明是正确的，而第四个同学的证明我有点弄不懂．”‎ 师生共析：如图(1)，PD⊥AB，D是垂足，但D不平分AB；如图(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB.这说明一般情况下，“过P作AB的垂直平分线”是不可能实现的，所以第四个同学的证法是错误的．‎ 从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题，我们把它称为线段的垂直平分线的判定．‎ 要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．‎ 下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．‎ 例1　尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．‎ 已知：直线AB和AB外一点C.(如下图)‎ 求作：AB的垂线，使它经过点C.‎ 87‎ 作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．‎ ‎(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.‎ ‎(3)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.‎ ‎(4)作直线CF.‎ 直线CF就是所求作的垂线．‎ 师：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？请与同伴进行交流．‎ 生：从作法的第(2)(3)步可知CD＝CE，DF＝EF，‎ ‎∴C，F都在AB的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定)．‎ ‎∴CF就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线)．‎ 师：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法找线段的中点．‎ 三、课堂练习 教材第62页练习第1，2题．‎ 四、课堂小结 本节课我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定，并学会了用尺规作线段的垂直平分线．‎ 五、布置作业 ‎1．教材习题13.1第6题．‎ ‎2．补充题：‎ ‎(1)下图是某跨河大桥的斜拉索，图中PA＝PB，PO⊥AB，则必有AO＝BO，为什么？‎ ‎(2)如左下图，△ABC中，AC＝16 cm，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为26 cm.求BC的长．‎ ‎(3)有A，B，C三个村庄(如右上图)，现准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置．‎ 本节证明了线段的中垂线的性质定理及判定定理、用尺规作线段的中垂线．在课堂中，学生证明过程、作图方法原理的理解及掌握都比较好，但要强调作业中不用三角板等工具而要用尺规来作图，解决实际问题时可以直接用定理而不是借助于全等．‎ 第2课时　画对称轴 87‎ 会画轴对称图形的对称轴．‎ 重点 轴对称图形的对称轴的画法．‎ 难点 轴对称图形的对称轴的画法．‎ 一、提出问题 如果两个平面图形成轴对称，你能用什么办法验证？不经过折叠，你能用什么方法画出它的对称轴？‎ 二、探究新知 我们已经学过，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，所以我们只要找到两个图形的一对对应点，然后画出以对应点为端点的线段的垂直平分线即可，如何作线段的垂直平分线呢？‎ 例1　如图(1)，已知点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？‎ 分析：我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴，为此作出到点A，B距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线．‎ 教师具体分析画法、写出画法，根据画法作出图形．‎ 学生模仿教师的画法，边写画法，边画图．‎ 作法：如图(2)．‎ ‎(1)分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧(想一想，为什么)，两弧相交于C，D两点；‎ ‎(2)作直线CD.‎ CD就是所求作的直线．‎ 这个作法实际上就是线段的垂直平分线的尺规作图．‎ 教师引导学生思考：‎ ‎(1)在作法中为什么有CA＝CB，DA＝DB?‎ ‎(2)可以用这种方法找线段的中点吗？四等分点呢？‎ 三、举例分析 例2　如图(1)，△ABC和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请画出它的对称轴．‎ 87‎ 教学方法：启发学生把问题转化为已解决问题，只要画出点A、点A′连线的垂直平分线即可，如图(2)．‎ 例3　图(1)是一个五角星，请画出它的对称轴．‎ 教学方法：引导学生思考五角星有几条对称轴，点A可以和哪些点成对应点？最后化归到例2，由学生自己完成．‎ 四、巩固练习 教材第64页练习第1，2，3题．‎ 五、课堂小结 本节课你有什么收获？还有哪些不懂的地方吗？‎ 六、布置作业 教材习题13.1第7，8题．‎ 通过前两节的学习，这节画对称轴的习题课就可以全部交由学生自己完成．画轴对称图形的对称轴就是利用两个对称点找到对称轴，即画出这对对应点连线的垂直平分线，让学生用尺规作图，独立完成．‎ ‎13．2　画轴对称图形 第1课时　作轴对称图形 通过实际操作，掌握作轴对称图形的方法．‎ 重点 能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形．‎ 难点 较复杂图形的轴对称图形的画法．‎ 一、问题导入 87‎ 我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质．如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法．‎ 二、探究新知 ‎[活动]　在一张半透明纸的左边部分，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印．这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在的直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，请你再将一个图形做一做，看看能否得到同样的结论．‎ 认真观察，左脚印和右脚印有什么关系？(成轴对称)‎ 对称轴是折痕所在的直线，即直线l，它与图中的线段PP′是什么关系？(直线l垂直平分线段PP′)‎ ‎[思考1]　如何画一个点的对称图形？‎ 例1　画出点A关于直线l的对称点A′.‎ 画法：(1)过点A作对称轴l的垂线，垂足为B；‎ ‎(2)延长AB到A′，使得BA′＝AB.点A′就是点A关于直线l的对称点．‎ ‎[思考2]　如何画一条直线的对称图形？‎ 例2　已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段．‎ 画法：(1)画出点A关于直线l的对称点A′.‎ ‎(2)画出点B关于直线l的对称点B′.‎ ‎(3)连接点A′和点B′成线段A′B′.线段A′B′即为所求．‎ ‎[思考3]　如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？‎ 例3　如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形．‎ 画法：(1)过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′＝OA，A′就是点A关于直线l的对称点．‎ 87‎ ‎(2)同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B′，C′.‎ ‎(3)连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求．‎ 三、课堂练习 ‎1．教材第68页练习第1，2题 ‎2．下列图形中，点P与P′关于直线MN对称的图形是(　　)‎ 四、小结与作业 ‎1．归纳：几何图形都可以看成由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段的端点)，连接这些对称点，就可以得到图形的对称图形．‎ ‎2．作业：教材习题13.2第1题．‎ 几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．‎ 第2课时　用坐标表示轴对称 ‎1．能在直角坐标系中画点关于坐标轴的对称点．‎ ‎2．能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，表示关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标．‎ 重点 用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标．‎ 难点 找对称点的坐标之间的关系．‎ 一、问题导入 教材图13.2－3是一张老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？‎ 二、探究新知 87‎ ‎【探究1】　(1)在直角坐标系中画出下列已知点A(2，－3)，B(－1，2)，C(－6，－5)，D(3，5)，E(4，0)，F(0，－3)；‎ ‎(2)画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点，并填写表格；‎ ‎(3)请你仔细观察点的坐标，你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗？‎ ‎(4)请你想办法检验你所发现的规律的正确性，说说你是如何检验的．‎ 已知点 A(2，－3)‎ B(－1，2)‎ C(－6，－5)‎ D(3，5)‎ E(4，0)‎ F(0，－3)‎ 关于x轴 的对称点 关于y轴 的对称点 ‎　　【归纳】　关于x轴对称的点的坐标规律是：横坐标相同，纵坐标互为相反数．‎ ‎【探究2】　在同一平面直角坐标系内描出以上各点关于y轴的对称点并写出坐标，观察关于y轴对称的两个点的坐标有什么规律？‎ ‎【归纳】　关于y轴对称的点的坐标规律是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．‎ ‎【探究3】　按以上规律，说出点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标，再说出P1关于y轴的对称点P2坐标．‎ 观察点P经过两次轴对称所得点P2的坐标有什么规律？‎ ‎【归纳】　一个点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点坐标规律是：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．在以后学了“中心对称”后，两点被称为关于原点对称．‎ 三、举例分析 ‎【例1】　已知A(2，a)，B(－b，4)，分别根据下列条件求a，b的值．‎ ‎(1)A，B关于y轴对称；‎ ‎(2)A，B关于x轴对称；‎ ‎(3)A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称．‎ ‎【解析】　(1)A，B关于y轴对称，说明纵坐标相同，横坐标相反，a＝4，b＝2；‎ ‎(2)A，B关于x轴对称，说明横坐标相同，纵坐标相反，a＝－4，b＝－2；‎ ‎(3)A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称，说明A，B经过x轴、y轴两次对称变换，即关于原点对称，横、纵坐标各互为相反数，a＝－4，b＝2.‎ ‎【例2】　如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．‎ 学生独立完成，教师用多媒体出示出正确答案并讲评．‎ 四、课堂巩固 ‎1．平面直角坐标系中，点P(4，－5)关于x轴的对称点在(　　)‎ A．第一象限　　　　　　B．第二象限 C．第三象限　　　　　　D．第四象限 87‎ ‎2．已知点P(－2，3)关于y轴对称点为Q(a，b)，则a＋b的值为(　　)‎ A．1　　　　B．－1　　　　C．5　　　　D．－5‎ ‎3．点P(a，b)关于x轴对称的点为P1，点P1关于y轴的对称点为P2，则P2的坐标为(　　)‎ A．(a，b) B．(a，－b)‎ C．(－a，b) D．(－a，－b)‎ ‎4．若点(a，b)与点(m，n)满足a＋m＝0，b－n＝0，则这两点关于(　　)对称．‎ A．x轴 B．y轴 C．x轴或y轴 D．不确定 五、拓展思维 如图，点A(1，4)，B(4，1)，l为第一、三象限角∠xOy的平分线．‎ ‎(1)求证：l垂直平分AB；‎ ‎(2)A，B关于l成轴对称吗？‎ ‎(3)如果点A，B的坐标分别为(6，8)和(8，6)，它们还关于l对称吗？‎ ‎(4)如果你发现了对称点的坐标规律，写出点P(m，n)关于第一、三象限角平分线的对称点Q的坐标．‎ 六、小结与作业 小结：(1)点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段之间的关系来求．‎ ‎(2)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)即横坐标互为相反数，纵坐标相等．‎ 作业：教材习题13.2第3，4题．‎ 本节课通过学生熟悉、向往的北京城内天安门、长安街、东直门等的方位引入新课，能强烈地吸引学生的注意力，较好地激发学生的学习兴趣．其中归纳规律后检验其正确性是科学研究问题的一个必不可少的步骤，并通过一系列的练习培养学生思维的流畅性，也使学生特别是学有困难的学生都能达到基本的学习目标．‎ ‎13．3　等腰三角形 ‎13．3.1　等腰三角形 第1课时　等腰三角形的性质和应用 ‎1．理解并掌握等腰三角形的性质．‎ ‎2．运用等腰三角形的性质进行证明和计算．‎ ‎3．观察等腰三角形的对称性、发展形象思维．‎ 重点 87‎ 等腰三角形的性质及应用．‎ 难点 等腰三角形的性质的证明．‎ 一、情境导入 ‎【活动1】‎ 教师预先做出各种几何图形，包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等腰三角形、等边三角形等．‎ 让同学们抢答哪些是轴对称图形，提问什么是轴对称图形，什么样的三角形才是轴对称图形．引入今天所要讲的课题——等腰三角形．‎ 我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形．‎ 二、探究新知 如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？‎ 学生活动：学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB＝AC.‎ 教师活动：让学生回顾等腰三角形的概念：‎ 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．如下图．‎ 在△ABC中，若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形，AB，AC是腰，BC是底边，∠A是顶角，∠B和∠C是底角．‎ ‎【活动2】‎ 把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段，填入下表：‎ 重合的线段 重合的角 87‎ ‎　　从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？‎ 学生活动：学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论交流，从表中总结等腰三角形的性质．‎ 教师活动：引导学生归纳．‎ 性质1　等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；‎ 性质2　等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．‎ ‎ 【活动3】‎ 你能用所学知识验证上述性质吗？‎ 如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.‎ 学生活动：学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法，若证∠B＝∠C，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可．‎ 于是可以作辅助线构造两个三角形，作BC边上的中线AD，证明△ABD和△ACD全等即可，根据条件利用“边边边”可以证明．‎ 教师活动：让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性．‎ 证明：作BC边上的中线AD，如图．‎ 在△ABD和△ACD中， 所以△ABD≌△ACD(SSS)，所以∠B＝∠C.‎ 这样，就证明了性质1.‎ 类比性质1的证明你能证明性质2吗？‎ 由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝90°.‎ 从而AD⊥BC，这也就证明了等腰△ABC底边上的中线平分顶角∠A并垂直于底边BC.‎ 添加辅助线的方法多样，让学生再去讨论、交流，即用类似的方法可以证明性质2.‎ 三、应用提高 例1　如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．‎ 87‎ 学生活动：小组合作，分组讨论、交流．‎ 教师活动：引导学生分析图形中关于角的数量关系．(三角形的内角、外角，等腰三角形的底角)‎ 发现：(1)∠ABC＝∠ACB＝∠CDB＝∠A＋∠ABD；‎ ‎(2)∠A＝∠ABD；‎ ‎(3)∠A＋2∠C＝180°.‎ 若设∠A＝x，则有x＋4x＝180°，得到x＝36°，进一步得到两个底角的度数．‎ 四、小结与作业 请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？‎ 师生活动：学生思考后，用自己的语言归纳，教师适时点评，并关注以下几个问题：‎ 小结：(1)等边对等角；(2)等腰三角形的三线合一；(3)等腰三角形常用辅助线作法(作底边上的高、作底边上的中线、作顶角的平分线)．‎ 作业：教材习题13.3第1，3，7题．‎ 本节课重点要让学生通过动手翻折等腰三角形纸片得出等腰三角形“两个底角相等”、“三线合一”的性质．设计理念是让学生通过感官认识、折纸、猜想、验证等腰三角形的性质，然后运用全等三角形的知识加以论证，使学生思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，从而实现教学目的．‎ 第2课时　等腰三角形的判定 ‎1．理解并掌握等腰三角形的判定方法．‎ ‎2．运用等腰三角形的判定进行证明和计算．‎ 重点 等腰三角形的判定方法．‎ 难点 等腰三角形的判定方法的证明．‎ 一、提出问题 出示教材第77页“思考”．‎ 学生思考，回答后教师提问：‎ 在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？‎ 学生猜想它们所对的边相等．‎ 即如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．‎ 如何证明？‎ 二、解决问题 教师引导提示，学生根据提示画出图形，并写出已知、求证．‎ 已知：在△ABC中，∠B＝∠C.‎ 求证：AB＝AC.‎ 87‎ 与学生一起回顾等腰三角形中常添加的辅助线：高、顶角平分线、底边上的中线．让学生逐一尝试，发现可以作AD⊥BC，或AD平分∠BAC，但不能作BC边上的中线．‎ 学生口头证明后，选一种方法写出证明过程．‎ 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，作△ABC的角平分线AD.‎ 在△BAD和△CAD中， ‎ ‎∴△BAD≌△CAD(AAS)，∴AB＝AC.‎ 归纳等腰三角形的判定方法：‎ 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称：“等角对等边”．‎ 三、应用举例 ‎1．出示教材例2.‎ 引导学生根据命题画出图形，利用角平分线的性质及“等边对等角”来证明．‎ 学生讨论后，自己完成证明过程．‎ 例2　求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．‎ 已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC.(如图所示)‎ 求证：AB＝AC.‎ 分析：要证明AB＝AC.可先证明∠B＝∠C.因为∠1＝∠2，所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系．‎ 证明：∵AD∥BC，‎ ‎∴∠1＝∠B(______________________)，‎ ‎∠2＝∠C(______________________)．‎ 而已知∠1＝∠2，所以 ‎∠B＝∠C.‎ ‎∴AB＝AC(______________)．‎ ‎2．出示教材例3.‎ 让学生自学例3.‎ 例3　已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．‎ 87‎ 作法：(1)作线段AB＝a.‎ ‎(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.‎ ‎(3)在MN上取一点C，使DC＝h.‎ ‎(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．‎ 四、课堂小结 ‎1．等腰三角形的判定方法是什么？‎ ‎2．等腰三角形的性质与判定既有区别又有联系，你能总结一下吗？‎ 五、布置作业 教材习题13.3第2，8，10题．‎ 学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识．因此在课堂教学中先引出等腰三角形的判定定理及推论，并能够灵活应用它进行有关论证和计算．发展学生的动手、归纳猜想能力；发展学生证明用文字表述的几何命题的能力；使它们进一步掌握归纳思维方法，领会数学分类思想、转化思想．‎ ‎13．3.2　等边三角形 第1课时　等边三角形的性质和判定 ‎1．掌握等边三角形的定义．‎ ‎2．理解等边三角形的性质与判定．‎ 重点 等边三角形的性质和判定．‎ 难点 等边三角形的性质的应用．‎ 一、问题引入 在等腰三角形中，如果底边与腰相等，会得到什么结论？‎ 二、自主探究 ‎1．等边三角形的定义 底边和腰相等的等腰三角形叫做等边三角形．‎ ‎2．思考：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？‎ 边：三条边都相等．‎ 87‎ 角：三个角都相等，并且每一个角都等于60°.‎ ‎3．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，你能得到AB＝BC＝CA吗？为什么？‎ 你从中能得到什么结论？‎ 三个角都相等的三角形是等边三角形．‎ ‎4．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；‎ ‎(2)如果把∠A＝60°改为∠B＝60°或∠C＝60°，那么结论还成立吗？‎ ‎(3)由上你可以得到什么结论？‎ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．‎ 三、应用举例 ‎1．教材例4.‎ 例4　如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形．‎ 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C.‎ ‎∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，‎ ‎∴∠A＝∠ADE＝∠AED，‎ ‎∴△ADE是等边三角形．‎ ‎2．归纳：在判定三角形是等边三角形时：‎ ‎(1)若三角形是一般三角形，只要找三个角相等或三条边相等；‎ ‎(2)若三角形是等腰三角形，一般是找一个角等于60°.‎ 四、巩固练习 教材第80页练习第1，2题．‎ 补充题：‎ ‎1．如图，已知等边△ABC，点D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF.求证：△DEF是等边三角形．‎ ‎2．如图，已知等边△ABC，点D是AC的中点，且CE＝CD，DF⊥BE.求证：BF＝EF.‎ 　,第2题图)‎ 教师提出要求，补充题1，2可以让学生板书过程．‎ 五、总结提高 小结：通过本节课的学习，你了解到了等边三角形有哪些特点？‎ 怎样判定一个三角形是等边三角形？‎ 布置作业：教材习题13.3第12，14题．‎ 教学中设计了两个问题：把等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？类似地，你又能得到哪些等边三角形的判定方法？让学生先自主探索再合作交流，小组内、小组间充分讨论后概括所得结论．这既巩固应用等腰三角形的知识，‎ 87‎ 又类比探索等边三角形性质定理和判定定理的方法，并使学生加深对等腰三角形与等边三角形的联系与区别的理解．‎ 第2课时　含30°角的直角三角形的性质 掌握含30°角的直角三角形的性质与应用．‎ 重点 含30°角的直角三角形的性质．‎ 难点 含30°角的直角三角形性质的推导．‎ 一、情境导入 将两个含30°的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找出Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的关系吗？‎ 二、探究新知 由题意可判定△ABD是等边三角形，且AC为边BD上的高，可得BC＝CD＝AB.‎ 教师归纳：‎ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．‎ 你能证明这一结论吗？‎ 让学生从以下两个途径探索：‎ ‎(1)△ABD是等边三角形，AC⊥BD于点C，则∠BAD＝____度，BC＝____BD＝____AB.‎ ‎(2)在△ABC中，若AC⊥BC，∠A＝30°，则∠B＝____度，延长BC到点D，使BD＝AB，连接AD，则△ABD是等边三角形，BC＝____＝____．‎ 以上结论是直角三角形的性质之一，在以后的证明和计算中经常用到．‎ 思考：逆命题：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”是否成立？‎ 课堂练习 ‎①在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，AB＝4，则BC＝________，∠BCD＝________，BD＝________．‎ ‎②小明沿倾斜角为30°的山坡从山脚步行到山顶，共走了200 m，求山的高度．‎ 三、举例分析 出示教材例5.‎ 例5　如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°.立柱BC，DE要多长？‎ 87‎ 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，‎ ‎∴BC＝AB，DE＝AD.‎ ‎∴BC＝×7.4＝3.7(m)．‎ 又AD＝AB，‎ ‎∴DE＝AD＝×3.7＝1.85(m)．‎ 答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m.‎ 教师引导学生寻找图中含有30°角的直角三角形，并选择BC，DE所在直角三角形．‎ 由学生口答后，找学生完成板书，其他同学对照．‎ 四、课堂小结 学生小结，教师梳理本节课的知识点，强调含30°的直角三角形性质的应用．‎ 五、布置作业 教材习题13.3第15题．‎ 补充练习：‎ ‎1．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，求证：AD＝2DC.‎ ‎2．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝2 cm，求BC的长．‎ 本节课我采用从生活中创设情境来激发学生们的学习兴趣，采用拼图形的方法创设问题的情境，引导学生自主探究活动，培养学生用类比、猜想、论证的研究方法研究问题，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容．‎ ‎13．4　课题学习　最短路径问题 通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短．‎ 重点 87‎ 应用所学知识解决最短路径问题．‎ 难点 选择合理的方法解决问题．‎ 一、创设情境 多媒体展示：如图，一个圆柱的底面周长为20 cm，高AB为4 cm，BC是底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路径．‎ 这是一个立体图形，要求蚂蚁爬行的最短路径，就是要把圆柱的侧面展开，利用“两点之间，线段最短”求出最短路径．那么怎样求平面图形中的最短路径问题呢？‎ 二、自主探究 探究一：最短路径问题的概念 ‎1．多媒体出示图①和图②，提出问题：‎ ‎(1)图①中从点A走到点B哪条路最短？(2)图②中点C与直线AB上所有的连线中哪条线最短？‎ ‎2．教师总结：“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称之为最短路径问题．‎ 探究二：河边饮马问题 多媒体出示问题1：牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人从河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？‎ 提出问题：如果点A和点B分别位于直线的两侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？‎ 思考：如果点A和点B位于直线的同侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？‎ 教师引导学生讨论，明确找点的方法．‎ 让学生对刚才的方法通过逻辑推理的方法加以证明．‎ 教师巡视指导学生的做题情况，有针对性地进行点拨．‎ 探究三：造桥选址问题 多媒体出示问题2.(教材第86页)‎ 提出问题：‎ ‎(1)根据问题1的探讨你对这道题有什么思路和想法？‎ ‎(2)这个问题有什么不同？‎ ‎(3)要保证路径AMNB最短，应该怎样选址？‎ 87‎ 学生对这个三个问题展开讨论，得出结论：要保证AMNB最短，就是要保证AM＋MN＋NB最小．‎ 尝试选址作出图形．‎ 多媒体展示教材图13.4－7，13.4－8，13.4－9，引导学生分析、观察，让学生根据刚才的分析，完成证明过程．‎ 根据问题1和问题2，你有什么启示？‎ 三、知识拓展 已知长方体的长为2 cm、宽为1 cm、高为4 cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？‎ ‎[让学生讨论有几种爬行的方法，计算出每种方案中的路程，再进行比较]‎ 四、归纳总结 ‎1．本节课你学到了哪些知识？‎ ‎2．怎样解决最短路径问题？‎ 本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题学习，让学生经历将实际问题抽象为数学问题的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小的问题转化为“两点之间，线段最短”问题．‎ 第十四章　整式的乘法与因式分解 ‎14．1　整式的乘法 ‎14．1.1　同底数幂的乘法 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．理解同底数幂的乘法法则．‎ ‎2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．‎ 重点 正确理解同底数幂的乘法法则．‎ 难点 正确理解和应用同底数幂的乘法法则．‎ 一、提出问题，创设情境 复习an的意义：‎ 87‎ an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；a叫做底数，n是指数．‎ ‎(出示投影片)‎ 提出问题：‎ ‎(出示投影片)‎ 问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103秒可进行多少次运算？‎ ‎[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？‎ ‎[生]运算次数＝运算速度×工作时间，‎ 所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1015×103.‎ ‎[师]1015×103如何计算呢？‎ ‎[生]根据乘方的意义可知 ‎1015×103＝(10×10×…×10)15个10×(10×10×10)＝(10×10×…×10)18个10＝1018.‎ ‎[师]很好，通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015，103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法．‎ 二、探究新知 ‎1．做一做 ‎(出示投影片)‎ 计算下列各式：‎ ‎(1)25×22；‎ ‎(2)a3·a2；‎ ‎(3)5m·5n.(m，n都是正整数)‎ 你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．‎ ‎[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．‎ ‎[生](1)25×22＝(2×2×2×2×2)×(2×2)‎ ‎＝27＝25＋2.‎ 因为25表示5个2相乘，22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得 a3·a2＝(a·a·a)(a·a)＝a5＝a3＋2.‎ ‎5m·5n＝(5×5·…·5),sdo4(m个5))×(5×5·…·5),sdo4(n个5))＝5m＋n.‎ ‎[生]我们可以发现下列规律：am·an等于什么(m，n都是正整数)？为什么？‎ ‎(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘；‎ ‎(2)相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．‎ ‎2．议一议 ‎(出示投影片)‎ ‎[师生共析]‎ am·an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：‎ am·an＝(a×a·…·a)m个a·(a×a·…·a)n个a＝a·a·…·a(m＋n)个a＝am＋n 于是有am·an＝am＋n(m，n都是正整数)，用语言来描述此法则即为：‎ 87‎ ‎“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．‎ ‎[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．‎ ‎[生]am表示m个a相乘，an表示n个a相乘，am·an表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有(m＋n)个a相乘，根据乘方的意义可得am·an＝am＋n.‎ ‎[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．‎ ‎3．例题讲解 出示投影片 ‎[例1]计算：‎ ‎(1)x2·x5; (2)a·a6；‎ ‎(3)2×24×23; (4)xm·x3m＋1.‎ ‎[例2]计算am·an·ap后，能找到什么规律？‎ ‎[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？‎ ‎[生1](1)，(2)，(4)可以直接用“ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．‎ ‎[生2](3)也可以，先算两个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．‎ ‎[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．‎ 生板演：‎ ‎(1)解：x2·x5＝x2＋5＝x7；‎ ‎(2)解：a·a6＝a1·a6＝a1＋6＝a7；‎ ‎(3)解：2×24×23＝21＋4·23＝25·23＝25＋3＝28；‎ ‎(4)解：xm·x3m＋1＝xm＋(3m＋1)＝x4m＋1.‎ ‎[师]接下来我们来看例2.受(3)的启发，能自己解决吗？与同伴交流一下解题方法．‎ 解法一：am·an·ap＝(am·an)·ap ‎＝am＋n·ap＝am＋n＋p；‎ 解法二：：am·an·ap＝am·(an·ap)＝am·an＋p＝am＋n＋p；‎ 解法三：am·an·ap＝(a·a…a)m个a·(a·a…a)n个a·(a·a…a)p个a＝am＋n＋p 归纳：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还运用了乘法的结合律；解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．‎ ‎[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．‎ ‎[师]是的，能不能用符号表示出来呢？‎ ‎[生]am1·am2·am3·…amn＝am1＋m2＋m3＋…mn.‎ ‎[师]鼓励学生．那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了．‎ ‎2×24×23＝21＋4＋3＝28.‎ 三、随堂练习 ‎1．m14可以写成(　　)‎ A．m7＋m7 B．m7·m7‎ C．m2·m7 D．m·m14‎ ‎2．若xm＝2，xn＝5，则xm＋n的值为(　　)‎ A．7 B．10 C．25 D．52‎ ‎3．计算：－22×(－2)2＝________；‎ ‎(－x)(－x2)(－x3)(－x4)＝________．‎ ‎4．计算：(1)(－3)2×(－3)5；‎ 87‎ ‎(2)106·105·10；‎ ‎(3)x2·(－x)5；‎ ‎(4)(a＋b)2·(a＋b)6.‎ 四、课堂小结 ‎[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？‎ ‎[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义，了解了同底数幂乘法的运算性质．‎ ‎[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即am·an＝am＋n(m，n是正整数)．‎ 五、课后作业 教材第96页练习．‎ 本课的主要教学任务是“同底数幂乘法的运算性质”：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 在课堂教学时，通过幂的意义引导学生得出这一性质，接着再引导学生深入探讨同底数幂运算，幂的底数可以是“任意有理数、单项式、多项式”，训练学生的整体思想．‎ ‎14．1.2　幂的乘方 ‎1．知道幂的乘方的意义．‎ ‎2．会进行幂的乘方计算．‎ 重点 会进行幂的乘方的运算．‎ 难点 幂的乘方法则的总结及运用．‎ 一、复习引入 ‎(1)叙述同底数幂乘法法则，并用字母表示：‎ ‎(2)计算：①a2·a5·an；②a4·a4·a4.‎ 二、自主探究 ‎1．思考：‎ 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算结果有什么规律：‎ ‎(1)(32)3＝32×32×32＝3(　　)；‎ ‎(2)(a2)3＝a2·a2·a2＝a(　　)；‎ ‎(3)(am)3＝am·am·am＝a(　　)．(m是正整数)‎ ‎2．小组讨论 对正整数n，你认识(am)n等于什么？能对你的猜想给出验证过程吗？‎ 幂的乘方(am)n＝am·am·am…amn个 ‎　　　　　　 ＝am＋m＋m＋…m,sup6(n个m))‎ ‎　　　　　　 ＝amn 87‎ 字母表示：(am)n＝amn(m，n都是正整数)‎ 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．‎ 注意：‎ 幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把(a5)2的结果错误地写成a7，也不能把a5·a2的计算结果写成a10.‎ 三、巩固练习 ‎1．下列各式的计算中，正确的是(　　)‎ A．(x3)2＝x5　　　　　　B．(x3)2＝x6‎ C．(xn＋1)2＝x2n＋1　　　　D．x3·x2＝x6‎ ‎2．计算：‎ ‎(1)(103)5; (2)(a4)4；‎ ‎(3)(am)2; (4)－(x4)3.‎ 四、归纳小结 幂的乘方的意义：‎ ‎(am)n＝amn.(m，n都是正整数)‎ 五、布置作业 教材第97页练习．‎ 运用类比方法，得到了幂的乘方法则．这样的设计起点低，学生学起来更自然，对新知识更容易接受．类比是一种重要的数学思想方法，值得引起注意．‎ ‎14．1.3　积的乘方 ‎1．经历探索积的乘方和运算法则的过程，进一步体会幂的意义．‎ ‎2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．‎ 重点 积的乘方运算法则及其应用．‎ 难点 幂的运算法则的灵活运用．‎ 一、问题导入 ‎[师]　提出的问题：若已知一个正方体的棱长为1.1×103 cm，你能计算出它的体积是多少吗？‎ ‎[生]　它的体积应是V＝(1.1×103)3 cm3.‎ ‎[师]　这个结果是幂的乘方形式吗？‎ ‎[生]　不是，底数是1.1与103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．‎ ‎[师]　积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？用前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥妙．‎ 二、探索新知 老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．‎ 87‎ ‎(出示投影片)‎ ‎1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？‎ ‎(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a(　　)b(　　)；‎ ‎(2)(ab)3＝________＝________＝a(　　)b(　　)；‎ ‎(3)(ab)n＝________＝________＝a(　　)b(　　)．(n是正整数)‎ ‎2．把你发现的规律先用文字语言表述，再用符号语言表达．‎ ‎3．解决前面提到的正方体体积计算问题．‎ ‎4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法．‎ ‎5．完成教材第97页例3.‎ 学生探究的经过：‎ ‎1．(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a2b2，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出(2)，(3)题；‎ ‎(2)(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)‎ ‎＝(a·a·a)·(b·b·b)＝a3b3；‎ ‎(3)(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)n个ab ‎＝a·a·…·an个a·b·b·…·bn个b＝anbn.‎ ‎2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．‎ 用符号语言叙述便是：(ab)n＝an·bn.(n是正整数)‎ ‎3．正方体的V＝(1.1×103)3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：‎ V＝(1.1×103)3＝1.13×(103)3＝1.13×103×3＝1.13×109＝1.331×109(cm3)．‎ 通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：‎ ‎(ab)n＝an·bn.(n为正整数)‎ 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．‎ 再考虑如下问题：(abc)n如何计算？是不是也有类似的规律？3个以上的因式呢？‎ 学生讨论后得出结论：‎ 三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，即(abc)n＝an·bn·cn.(n为正整数)‎ ‎4．积的乘方法则可以进行逆运算．即an·bn＝(ab)n.(n为正整数)‎ 分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：‎ 同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．‎ 看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．‎ 对于an·bn＝(a·b)n(n为正整数)的证明如下：‎ an·bn＝(a×a×…×a)n个a(b×b×…×b)n个b——幂的意义 ‎＝(ab)(ab)(ab)(ab)…(ab)n个(ab)——乘法交换律、结合律 ‎＝(a·b)n——乘方的意义 ‎5．[例3]‎ ‎(1)(2a)3＝23·a3＝8a3；‎ ‎(2)(－5b)3＝(－5)3·b3＝－125b3；‎ ‎(3)(xy2)2＝x2·(y2)2＝x2·y2×2＝x2·y4＝x2y4；‎ ‎(4)(－2x3)4＝(－2)4·(x3)4＝16·x3×4＝16x12.‎ ‎(学生活动时，老师深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获)‎ 87‎ ‎[师]　通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：‎ ‎(1)积的乘方法则：‎ 积的乘方等于每一个因式乘方的积．即(ab)n＝an·bn.(n为正整数)‎ ‎(2)三个或三个以上的因式的积的乘方也是具有这一性质．如(abc)n＝an·bn·cn；(n为正整数)‎ ‎(3)积的乘方法则也可以逆用．即an·bn＝(ab)n，an·bn·cn＝(abc)n.(n为正整数)‎ 三、随堂练习 ‎1．教材第98页练习．‎ ‎(由学生板演或口答)‎ 四、课堂小结 ‎(1)通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？‎ ‎(2)在应用积的运算性质计算时，你觉得应该注意哪些问题？‎ 五、布置作业 ‎(1)(－2xy)3；(2)(5x3y)2；(3)[(x＋y)2]3；(4)(0.5am3n4)2.‎ 本节课属于典型的公式法则课，从实际问题猜想——主动推导探究——理解公式——应用公式——公式拓展，整堂课体现以学生为本的思想。实际问题情境的设置，在于让学生感受到研究新问题的必要性，带着问题思考本节课，更容易理解重点、突破难点．‎ ‎14．1.4　整式的乘法 第1课时　单项式乘单项式和单项式乘多项式 ‎1．探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．‎ ‎2．会进行整式的混合运算．‎ 重点 单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算法则及其应用．‎ 难点 灵活地进行单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算．‎ 一、复习导入 ‎1．知识回顾：‎ 回忆幂的运算性质：‎ am·an＝am＋n(m，n都是正整数)，‎ 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．‎ ‎(am)n＝amn(m，n都是正整数)，‎ 即幂的乘方，底数不变，指数相乘．‎ ‎(ab)n＝anbn(n为整数)，‎ 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．‎ 87‎ 口答：‎ 幂的三个运算性质是学习单项式与单项式、单项式与多项式乘法的基础，所以先组织学生对上述的内容作复习．‎ ‎2．练一练 ‎(a2)2＝____________；‎ ‎(－23)2＝____________；‎ ‎[(－)2]3＝____________；‎ ‎(a3)2·a3____________；‎ ‎23·25＝____________；‎ ‎(xy2)2＝____________；‎ ‎(－)5(－)5＝____________．‎ 二、探究新知 问题：光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米？‎ 注：从实际的问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体系．‎ 地球与太阳的距离约为(3×105)×(5×102)千米．问题是(3×105)×(5×102)等于多少呢？学生提出运用乘法交换律和结合律可以解决：‎ ‎(3×105)×(5×102)＝(3×5)×(105×102)＝15×107(为什么？)‎ 在此处再问学生更加规范的书写是什么？应该是地球与太阳的距离约为1.5×108千米．‎ 请学生回顾，我们是如何解决问题的．‎ 问题：如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，你会算吗？‎ 学生独立思考，小组交流．‎ 注：从特殊到一般，从具体到抽象，在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则．‎ 学生分析：跟刚才的解决过程类似，可以将ac5和bc2分别看成a·c5和b·c2，再利用乘法交换律和结合律．‎ ac5·bc2‎ ‎＝(a·c5)·(b·c2)‎ ‎＝(a·b)·(c5·c2)‎ ‎＝abc5＋2‎ ‎＝abc7.‎ 注：在教学过程中注意运用类比的方法来解决实际问题．‎ ‎[探究一]‎ 类似地，请你试着计算：‎ ‎(1)2c5·5c2；(2)(－5a2b3)·(－b2c)．‎ ac5和bc2，2c5和5c2，(－5a2b3)和(－4b2c)都是单项式，通过刚才的尝试，谁能告诉大家怎样进行单项式乘法？‎ 注：先不给出单项式与单项式相乘的运算法则，而是让学生类比，自己动手试一试，再相互交流，自己小结出如何进行单项式的乘法．要求学生用语言叙述这个性质，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．‎ 87‎ 学生小结：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．‎ ‎3．算一算 例1：教材例4.‎ 在例题教学中应该先让学生观察有哪些运算，如何利用运算性质和法则．分析后再动手做，同时让学生说一说每一步的依据．提醒学生在单项式的运算中应该先确定符号．‎ 例2　小民的步长为a米，他量得家里卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米？‎ 注：将运算法则应用在实际问题中，提高学生解决实际问题的能力．‎ ‎4．辩一辩 教材第99页练习2.‎ 注：辩一辩的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算法则的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力．‎ ‎[探究二]‎ ‎1．师生共同研究教材第99页的问题，对单项式与多项式相乘的方法能有感性认识．‎ 注：这个实际问题来源于学生的实际，所以在教学中通过师生共同探讨，再结合分配律学习不难得到结论．‎ ‎2．试一试 计算：2a2·(3a2－5b)．(根据乘法分配律)‎ 注：因为整式的运算是在数的运算的基础上发展起来的，所以在解决问题时让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，自己尝试得出结论．‎ ‎3．想一想 从上面解决的两个问题中，谁能总结一下，怎样将单项式和多项式相乘？‎ 学生发言，互相补充后得出结论：‎ 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．‎ ‎4．做一做 教材例5.(在学习过程中提醒学生注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号)‎ 注：学生在计算过程中，容易出现符号问题，要特别提醒学生注意．‎ 教材第100页练习．‎ 三、课外巩固 ‎1．必做题：教材第104～105页习题14.1第3，4题．‎ ‎2．备选题：‎ ‎(1)若(－5am＋1b2n－1)(2anbm)＝－10a4b4，则m－n的值为________；‎ ‎(2)计算：(a3b)2·(a2b)3；‎ ‎(3)计算：(3a2b)2＋(－2ab)(－4a3b)；‎ ‎(4)计算：(－xy)·(xy2－2xy＋y)．‎ 本节课采用引导发现法．通过教师精心设计的问题链，引导学生将需要解决的问题转化成用已经学过的知识可以解决的问题，充分体现了教师的主导作用和学生的主体作用，学生始终处在观察思考之中．‎ 第2课时　多项式乘多项式 87‎ 经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则，灵活运用多项式乘以多项式的运算法则．‎ 重点 多项式乘法的运算．‎ 难点 探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算中“漏项”、“负号”的问题．‎ 一、情境导入 教师引导学生复习单项式×多项式运算法则．‎ 整式的乘法实际上就是：‎ 单项式×单项式；‎ 单项式×多项式；‎ 多项式×单项式．‎ 组织讨论：问题　为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m，宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？‎ 如何计算？小组讨论，你从计算过程中发现了什么？‎ 由于(a＋b)(p＋q)和(ap＋aq＋bp＋bq)表示同一个量，‎ 即有(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq.‎ 二、探索新知 ‎(一)探索法则 根据乘法分配律，我们也能得到下面等式：‎ 在学生发言的基础上，教师总结多项式与多项式的乘法法则并板书法则．‎ 让学生体会法则的理论依据：乘法对加法的分配律．‎ 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．‎ ‎(二)例题讲解与巩固练习 ‎1．教材例6计算：‎ ‎(1)(3x＋1)(x＋2)；‎ ‎(2)(x－8y)(x－y)；‎ ‎(3)(x＋y)(x2－xy＋y2)．‎ ‎2．计算下列各题：‎ ‎(1)(x＋2)(x＋3)；‎ ‎(2)(a－4)(a＋1)；‎ ‎(3)(y－)(y＋)；‎ 87‎ ‎(4)(2x＋4)(6x－)；‎ ‎(5)(m＋3n)(m－3n)；‎ ‎(6)(x＋2)2.‎ ‎3．某零件如图所示，求图中阴影部分的面积S.‎ 练习点评：根据学生的具体情况，教师可选择其中几题，分析并板书示范，其余几题，可由学生独立完成．在讲解、练习过程中，提醒学生对法则的灵活、正确应用，注意符号，不要漏乘．‎ 注意　一定要用第一个多项式的每一项依次去乘第二个多项式的每一项，在计算时要注意多项式中每个单项式的符号．‎ 三、课堂小结 指导学生总结本节课的知识点，学习过程的自我评价．主要针对以下方面：‎ ‎1．多项式×多项式．‎ ‎2．多项式与多项式的乘法．‎ 用一个多项式中的每项乘另一个多项式的每一项，不要漏项．在没有合并同类项之前，两个多项式相乘展开后的项数应是这两个多项式项数之积．‎ 四、布置作业 教材第102页练习题．‎ 本节课由计算绿地面积出发，通过几种不同的计算图形面积方法，得出多项式相乘的法则，整个教学过程的主线和重点定在学生如何自主地探索多项式乘法法则的过程以及如何熟练运用法则解决问题，充分调动了学生学习的积极性．教师不仅是教给学生知识，还要重视学习方法的指导和培养．‎ 第3课时　同底数幂相除 ‎1．掌握同底数幂的除法的运算法则．‎ ‎2．会用同底数幂的除法的法则进行计算．‎ 重点 准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算．‎ 难点 根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则．‎ 一、问题导入 ‎1．叙述同底数幂的乘法运算法则．‎ 同底数幂相乘，指数相加，底数不变．即am·an＝am＋n.(m，n是正整数)‎ 87‎ ‎2．问题：一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M(1M＝210K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？‎ 移动器的存储量单位与文件大小的单位不一致，所以要先统一单位．移动存储器的容量为26×210＝216K.所以它能存储这种数码照片的数量为218÷28.‎ ‎218，28是同底数幂，同底数幂相除如何计算呢？‎ 二、探究新知 请同学们做如下运算：‎ ‎1．(1)28×28；(2)52×53；(3)102×105；(4)a3·a3.‎ ‎2．填空：‎ ‎(1)(　　)·28＝216；(2)(　　)·53＝55；‎ ‎(3)(　　)·105＝107；(4)(　　)·a3＝a6.‎ 除法与乘法两种运算互逆，要求空内所填数，其实是一种除法运算，所以这四个小题等价于：‎ ‎(1)216÷28＝(　　)；(2)55÷53＝(　　)；‎ ‎(3)107÷105＝(　　)；(4)a6÷a3＝(　　)．‎ 再根据第1题的运算，我们很容易得到答案：‎ ‎(1)28；(2)52；(3)102；(4)a3.‎ 其实我们用除法的意义也可以解决，请同学们思考、讨论．‎ ‎(1)216÷28＝　　　　(2)55÷53＝‎ ‎(3)107÷105＝ (4)a6÷a3＝‎ 从上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系？‎ am÷an＝am－n.(a≠0，m，n都是正整数，且m≥n)‎ 三、例题讲解 例1(教材例7)　计算：‎ ‎(1)x8÷x2；(2)(ab)5÷(ab)2.‎ 解：(1)x8÷x2＝x8－2＝x6；‎ ‎(2)(ab)5÷(ab)2＝(ab)5－2＝(ab)3＝a3b3.‎ 例2　先分别利用除法的意义填空，再利用am÷an＝am－n的方法计算，你能得出什么结论？‎ ‎(1)32÷32＝(　　)；(2)103÷103＝(　　)‎ ‎(3)am÷am＝(　　)(a≠0)．‎ 解：先用除法的意义计算．‎ ‎32÷32＝1；103÷103＝1；am÷am＝1(a≠0)．‎ 再利用am÷an＝am－n的方法计算．‎ ‎32÷32＝32－2＝30；‎ ‎103÷103＝103－3＝100；‎ am÷am＝am－m＝a0(a≠0)．‎ 这样可以总结得a0＝1(a≠0)．‎ 于是规定：‎ a0＝1(a≠0)，‎ 即　任何不等于0的数的0次幂都等于1.‎ 四、课堂小结 通过这节课的学习，你有哪些收获？‎ 师生共同总结：(1)同底数幂相除，底数不变，‎ 87‎ 指数相减；(2)任何不等于0的数的0次幂都等于1.‎ 五、布置作业 教材第104页练习第1题．‎ 同底数幂的除法的主要内容是根据除法是乘法的逆运算，从计算具体的同底数的幂的除法，到计算底数具有一般性的字母，逐步归纳出同底数幂除法的法则，并运用法则熟练、准确地进行计算．本节课是在学习了幂的乘方、积的乘方的基础上进行的，它们构成一个有机整体，为后续的整式除法的学习打下基础．‎ 第4课时　整式的除法 ‎1．单项式除以单项式的运算法则及其应用．‎ ‎2．多项式除以单项式的运算法则及应用．‎ 重点 单项式除以单项式的运算法则及其应用；多项式除以单项式运算法则及其应用．‎ 难点 探索多项式与单项式相除的运算法则的过程．‎ 一、情境导入 问题：木星的质量约是1.90×1024吨，地球的质量约是5.08×1021吨，你知道木星的质量约是地球质量的多少倍吗？‎ 重点研究算式(1.90×1024)÷(5.98×1021)怎样进行计算，目的是给出下面两个单项式相除的模型．‎ 二、探究新知 ‎1．探索法则 ‎(1)计算(1.90×1024)÷(5.98×1021)，说说你计算的根据是什么？‎ ‎(2)你能利用(1)中的方法计算下列各式吗？‎ ‎8a3÷2a；6x3y÷3xy；12a3b2x3÷3ab2.‎ ‎(3)你能根据(2)说说单项式除以单项式的运算法则吗？‎ 教师可以鼓励学生自己发现系数、同底数幂的底数和指数发生的变化，并运用自己的语言进行描述．‎ ‎2．归纳法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．‎ ‎3．应用新知 ‎(1)28x4y2÷7x3y；‎ ‎(2)－5a5b3c÷15a4b.‎ 首先指明28x4y2与7x3y分别是被除式与除式，在这里省去了括号，对本例可以采用学生口述，教师板书的形式完成．口述和板书都应注意展示法则的应用，计算过程要详尽，使学生尽快熟悉法则．‎ ‎4．巩固新知 87‎ 教材第104页练习第2题．‎ 学生自己尝试完成计算题，同桌交流．‎ ‎5．再探新知 计算下列各式：‎ ‎(1)(am＋bm)÷m；‎ ‎(2)(a2＋ab) ÷a；‎ ‎(3)(12a3－6a2＋3a)÷3a.‎ ‎①说说你是怎样计算的．‎ ‎②还有什么发现吗？‎ 在学生独立解决问题之后，及时引导学生反思自己的思维过程，并对自己计算所得的结果进行观察，总结出计算的一般方法和结果的项数特征：商式与被除式的项数相同．‎ ‎6．归纳法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．‎ 你能把这句话写成公式的形式吗？‎ ‎7．解决问题 计算：‎ ‎(1)(21x4y3－35x3y2＋7x2y2)÷(－7x2y)；‎ ‎(2)[(x＋y)2－y(2x＋y)－8x]÷2x.‎ 幂的运算性质是整式除法的关键，符号仍是运算中的重要问题．在此可由学生口答，要求学生说出式子每步变形的依据，并要求学生养成检验的习惯，利用乘除互为逆运算，检验商式的正确性．‎ ‎8．巩固提高 教材第104页练习第3题．‎ 利用投影仪反馈学生解题过程．‎ 三、布置作业 ‎1．必做题：教材第105页习题14.1第6题．‎ ‎2．备选题：下列计算是否正确？如不正确，应怎样改正？‎ ‎(1)－4ab2÷2ab＝2b；‎ ‎(2)(14a3－2a2＋a)÷a＝14a2＝2a.‎ 这节课可以说学生动的多，教师讲的少．学生的主体地位体现的还算可以．主要是以学生的活动为主的，基本符合新课改精神．课堂上教师的指导提示基本到位，学生能够在教师的指导下进行活动，完成了教学任务．‎ ‎14．2　乘法公式 ‎14．2.1　平方差公式 ‎1．经历探索平方差公式的过程．‎ ‎2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．‎ 重点 87‎ 平方差公式的推导和应用．‎ 难点 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．‎ 一、设问引入 探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？‎ ‎(1)(x＋1)(x－1)；‎ ‎(2)(m＋2)(m－2)；‎ ‎(3)(2x＋1)(2x－1)．‎ 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．‎ 二、举例分析 再举几个这样的运算例子．‎ 让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报．‎ 三、归纳概括 计算(a＋b)(a－b)．‎ 让学生计算，归纳算式的特征，说明结果的形式．‎ 然后，教师系统总结平方差公式．‎ 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.‎ 语言叙述：________________．‎ 教师引导学生归纳这个公式的一些特点：如公式左、右两边的结构，教给学生记忆公式的方法．‎ 四、应用新知 教材例1　运用平方差公式计算：‎ ‎(1)(3x＋2)(3x－2)；‎ ‎(2)(－x＋2y)(－x－2y)．‎ 填表：‎ ‎(a＋b)(a－b)‎ a b a2－b2‎ 最后结果 ‎(3x＋2)(3x－2)‎ ‎2‎ ‎(3x)2－22‎ ‎(x＋2y)(－x－2y)‎ ‎　　对本例的前面两个小题可以采用学生独立完成，然后抢答的形式；第二小题可采用小组讨论的形式，要求学生在给出表格所提示的解法之后，思考别的解法：提取后一个因式里的负号，将2y看作“a”，将x看作“b”，然后运用平方差公式计算．‎ 教材例2　计算：‎ ‎(1)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)；‎ ‎(2)102×98.‎ 此处仍先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，允许他们算法的多样化，然后通过比较，优化算法，达到简便计算的目的．‎ 五、巩固练习 教材第108页练习第1，2题．‎ 第1题口述完成；‎ 第2题采用大组竞赛的形式进行，其中(1)(4)由两个大组完成，‎ 87‎ ‎(2)(3)由另两个大组完成．‎ 六、小结与作业 谈一谈：你这节课有什么收获？‎ 作业：教材第112页习题14.2第1题．‎ 平方差公式是特殊的整式的乘法，运用这一公式可以迅速而简捷地计算出符合公式的特征的多项式乘法的结果，运用公式计算一定要看是否符合公式的特征，这两个数分别是什么，公式中的字母a，b不仅可以代表具体的数字，字母，单项式，也可以代表多项式．‎ ‎14．2.2　完全平方公式 ‎1．完全平方公式的推导及其应用．‎ ‎2．完全平方公式的几何解释．‎ 重点 完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用．‎ 难点 理解完全平方公式的结构特征，并能灵活应用公式进行计算．‎ 一、复习引入 你能列出下列代数式吗？‎ ‎(1)两数和的平方；(2)两数差的平方．‎ 你能计算出它们的结果吗？‎ 二、探究新知 你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？‎ 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括；‎ 举例：(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝________________；‎ ‎(2)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝________________；‎ ‎(3)(m＋2)2＝________________；‎ ‎(4)(m－2)2＝________________．‎ 通过几个这样的运算例子，让学生观察算式与结果间的结构特征．‎ 归纳：公式 ‎　　　　　(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2‎ ‎　　　　　(a－b)2＝a2－2ab＋b2‎ 语言叙述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍．这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式．‎ 教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明产生这些特点的原因．‎ 还可以引导学生将(a－b)2的结果用(a＋b)2来解释：‎ ‎(a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2a(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2.‎ 三、举例应用 ‎1．教材例3：运用完全平方公式计算：‎ 87‎ ‎(1)(4m＋n)2；(2)(y－)2.‎ 解：(1)(4m＋n)2＝(4m)2＋2·(4m)·n＋n2‎ ‎＝16m2＋8mn＋n2；‎ ‎(2)(y－)2＝y2－2·y·＋()2‎ ‎＝y2－y＋.‎ 可由学生口答完成，教师多媒体展示结果，提高课堂效率．‎ ‎2．教材例4：运用完全平方公式计算：‎ ‎(1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22‎ ‎＝10 000＋400＋4‎ ‎＝10 404；‎ ‎(2)992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12‎ ‎＝10 000－200＋1‎ ‎＝9 801.‎ 此处可先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求，允许他们算法的多样化，但要求明白每种算法的局限和优越性．‎ 四、再探新知 ‎1．现有下图所示三种规格的卡片各若干张，请你根据二次三项式a2＋2ab＋b2，选取相应种类和数量的卡片，尝试拼成一个正方形，并讨论该正方形的代数意义：‎ ‎2．你能根据下图说明(a－b)2＝a2－2ab＋b2吗？‎ 第1小题由小组合作共同完成拼图游戏，比一比哪个小组快？第2小题借助多媒体课件，直观演示面积的变化，帮助学生联想代数恒等式：(a－b)2＝a2－b2－2b(a－b)＝a2－2ab＋b2.‎ 五、思考讨论 ‎(a＋b)2与(－a－b)2相等吗？(a－b)2与(b－a)2相等吗？(a－b)2与a2－b2相等吗？为什么？‎ 组织学生进行讨论，通过自主推导，互相合作交流，共同解决难题．‎ 六、巩固拓展 教材例5：运用乘法公式计算：‎ ‎(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)；(2)(a＋b＋c)2.‎ 解：(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)‎ 87‎ ‎＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]‎ ‎＝x2－(2y－3)2‎ ‎＝x2－(4y2－12y＋9)‎ ‎＝x2－4y2＋12y－9；‎ ‎(2)(a＋b＋c)2‎ ‎＝[(a＋b)＋c]2‎ ‎＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2‎ ‎＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2‎ ‎＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.‎ 讲解此例之前可先让学生自学教材第111页的“添括号法则”并完成教材第111页练习第1题．然后给出例5题目，让学生思考选择哪个公式．第(1)小题的解决关键是要引导学生比较两个因式的各项符号，分别找出符号相同及相反的项，学会运用整体思想，将其与公式中的字母a，b对照，其中－2y＋3＝－(2y－3)，故应运用平方差公式．第(2)小题可将任意两项之和看作一个整体，然后运用完全平方公式．‎ 在解此例的过程中，应注意边辩析各项的符号特征，边对照两个公式的结构特征，教师应完整详细地书写解题过程，帮助学生理解这一公式的拓展应用，突破难点．‎ 七、课堂小结 谈一谈：你对完全平方公式有了哪些认识？它与平方差公式有什么区别和联系？‎ 作业：教材第112页习题14.2第2题，第3题的(1)(3)(4)，第4题．‎ 在完全平方公式的探求过程中，学生表现出观察角度的差异：有些学生只是侧重观察某个单独的式子，而不知道将几个式子联系起来看；有些学生则观察入微，表现出了较强的观察力．教师要抓住这个契机，适当对学生进行学法指导．对于公式的特点，则应当左右兼顾，特别是公式的左边，它是正确应用公式的前提．‎ ‎14．3　因式分解 ‎14．3.1　提公因式法 ‎1．使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系．‎ ‎2．了解公因式概念和提取公因式的方法．‎ ‎3．会用提取公因式法分解因式．‎ 重点 会用提取公因式法分解因式．‎ 难点 如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．‎ 一、问题导入 同学们，我们先来看下面两个问题：‎ ‎1．630能被哪些整除，说说你是怎样想的？‎ ‎2．当a＝101，b＝99时，求a2－b2的值．‎ 87‎ 对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接把a＝101，b＝99代入进行计算，但如果应用平方差公式应先把a2－b2变形成(a＋b)·(a－b)的形式再代入进行计算，将会使计算过程变得更加简捷．‎ 通过对上面两个问题的解决方法和过程的讨论，使学生感知到把一个数进行质因数分解和把一个多项式变为几个整式的乘积是对数和式的一种恒等变形，能使演算简便．‎ 二、探究新知 ‎1．教材第114页的“探究”．‎ 要在学生充分理解化成整式的积的形式的基础上进行探究，要注意突出写成整式的积的具体含义，使学生联想到可以运用整式的乘法来达到这个目的，为因式分解概念的建立埋下伏笔．‎ ‎2．提出因式分解的概念．‎ 利用教材中的因式分解和整式乘法的关系图，说明因式分解和整式乘法是对一个多项式的两种不同的变形，并强调它们的特点．下列由左到右的变形，是否是因式分解，为什么？‎ ‎(1)(x＋2)(x－2)＝x2－4；‎ ‎(2)x2－4＝(x＋2)(x－2)；‎ ‎(3)x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3x.‎ ‎[探究题使学生进一步认识到多项式可以有不同形式的表示，而所谓因式分解就是把多项式化为积的形式，分清它与整式乘法的关系，对因式分解的概念的建立很有必要．通过这次练习强化因式分解的概念]‎ ‎3．提公因式法 研究多项式pa＋pb＋pc各项中每个因式的特点，提出公因式的概念．‎ 让学生体验：‎ pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)从左到右是怎样得到的，你能对ax＋2ay进行类似的变形吗？‎ 三、举例分析 例1　把8a3b2＋12ab3c分解因式．‎ 分析：先要求学生思考这个问题的最后结果该是怎样的，然后依照教材进行分析，注意讲清确定公因式的具体步骤，从数、字母和字母的次数3个方面进行分析；分解因式完成后要分析公因式和另一个因式之间的关系，并思考：如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？从而把提公因式的“提”的具体含义深刻化，这是提公因式法的正确性的重要保证．‎ 练习　用提公因式法分解因式：‎ ‎(1)3mx－6nx2；‎ ‎(2)4a2b＋10ab－2ab3.‎ 例2　把2a(b＋c)－3(b＋c)因式公解．‎ 分析：可引导学生对该多项式的每项因式的特点进行仔细观察，从而发现把b＋c看作一个“整体”时公因式就是b＋c，再用提公因式法进行分解．‎ 例3　计算：0.84×12＋12×0.6－0.44×12.‎ 让学生观察并分析怎样计算更简单．‎ 思考：说说例1、例2和例3的公因式有什么不同？‎ 四、巩固练习 ‎1．完成教材第115页练习第1，2，3题．‎ ‎2．讨论：怎样检查因式分解是否正确？提公因式后的另一个公因式的项数和原多项式的项数有什么关系？‎ 五、小结提高 87‎ ‎1．举一个例子说说什么是因式分解．‎ ‎2．什么是多项式的公因式？确定公因式该从哪几个方面进行考虑？‎ ‎3．说说提公因式法的一般步骤．‎ ‎(1)确定提取的公因式；(2)用公因式去除这个多项式，所得的商式作为另一个因式；(3)把多项式写成这两个因式的积的形式．‎ 六、布置作业 ‎1．教材第119页习题14.3第1题．‎ ‎2．备选题：(1)下列提公因式法分解因式是否正确，为什么？若不正确，请写出正确答案．‎ ‎①－25a2x2－20a3x2＝－5ax(5x－4ax)；‎ ‎②2a(x－y)3－3b(y－x)2＝(x－y)2[2a(x－y)＋3b]．‎ ‎(2)用提公因式法分解因式．‎ ‎①a2b－ab2；‎ ‎②－x2＋xy；‎ ‎③－2p2(p2＋q2)＋6pq(p2＋q2)；‎ ‎④5a(x－y－z)－2bx＋2by＋2bz.‎ 在学习提取公因式时首先让学生通过小组讨论得到公因式的结构组成，并且引导学生得出提公因式法这一因式分解的方法其实就是将被分解的多项式除以公因式得到余下的因式的计算过程．此处的意图是充分让学生自主探索，合作学习，得出结论．接着通过例题讲解，最后让学生自主完成练习题，老师当堂讲评．‎ ‎14．3.2　公式法 第1课时　平方差公式 ‎1．能说出平方差公式的特点．‎ ‎2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．‎ 重点 应用平方差公式分解因式．‎ 难点 灵活应用平方差公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．‎ 一、问题导入，探究新知 问题1：什么叫因式分解？‎ 问题2：你能将多项式x2－4与多项式y2－25分解因式吗？这两个多项式有什么共同的特点？‎ 对于问题1要强调因式分解是对多项式进行的一种变形，可引导比较它与整式乘法的关系．‎ 对于问题2要求学生先进行思考，教师可视情况作适当的提示，‎ 87‎ 在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的特点．‎ 特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式，对于这种形式的多项式，可以利用平方差公式来分解因式．‎ 即(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来就是：‎ a2－b2＝(a＋b)(a－b)．‎ 要求学生具体说说这个公式的意义．教师用语句清楚地进行表述．‎ 例1　分解因式：‎ ‎(1)4x2－9；‎ ‎(2)(x＋p)2－(x＋q)2.‎ 分析：注意引导学生观察这2个多项式的项数，每个项可以看成是什么“东西”的平方，使之与平方差公式进行对照，确认公式中的字母在每个题目中对应的数或式后，再用平方差公式进行因式分解．‎ 能否用平方差公式进行因式分解，取决于这个多项式是否符合平方差的特征，即两个数的平方差，所以要强调多项式是否可化为(　　)2－(　　)2的形式．括号里的“东西”是一个整体，它可以是具体的数或单项式或多项式，如(2)题中应是多项式．‎ 例2　分解因式：‎ ‎(1)x4－y4；(2)a3b－ab.‎ 分析：(1)先把它写成平方差的形式，再分解因式，注意它的第2次分解；‎ ‎(2)现在不具备平方差的特征，引导继续观察特点，发现有公因式ab，应先提公因式，再进一步分解．‎ 学生交流体会：因式分解要进行到不能再分解为止，提公因式法和应用公式法的综合应用．‎ 二、巩固练习 完成教材第117页练习第1，2题．‎ 第1题对学生的观察能力和判断能力是一次很好的锻炼，要求学生讲出能否用公式的道理．‎ 第2题是用提公因式法和应用平方差公式进行因式分解的综合应用，要求学生养成先观察多项式的特点的习惯．‎ 注意：要将因式分解进行到不能再分解为止．‎ 三、课堂小结 ‎1．举一个例子说说应用平方差公式和完全平方公式分解因式的多项式应具有怎样的特征．‎ ‎2．谈谈多项式因式分解的思考方向和分解的步骤．‎ ‎3．谈谈多项式分解的注意点．‎ 四、布置作业 ‎1．必做题：教材第119页习题14.3第2题，第4(2)题．‎ ‎2．备选题：‎ ‎(1)下面的因式分解是否正确，为什么？若不正确请写出正确答案．‎ ‎①m2＋n2＝(m＋n)2；‎ ‎②m2－n2＝(m－n)2.‎ ‎(2)分解因式：‎ ‎①x3－9x；②(a2＋b2)2－4a2b2；‎ ‎③(y2－4)2－6(y2－6)＋9.‎ ‎(3)用简便方法计算：‎ 87‎ ‎①16×15；‎ ‎②1 9992－3 998×1 998＋19982；‎ ‎③2992＋599.‎ 在新课引入的过程中，首先让学生回忆前面的乘法公式，接着就让学生利用平方差公式做三个整式乘法的运算．然后将刚才用平方差公式计算得出的三个多项式作为因式分解的题目请学生尝试一下，学生轻而易举地讲出是将原来的平方差公式反过来运用，马上使学生形成了一种逆向的思维方式．之后就能顺利通过例题的讲解、练习的巩固让学生逐步掌握了运用平方差公式进行因式分解．‎ 第2课时　完全平方公式 ‎1．理解完全平方公式的特点．‎ ‎2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．‎ ‎3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．‎ 重点 用完全平方公式分解因式．‎ 难点 灵活应用公式分解因式．‎ 一、复习引入 ‎1．叙述平方差公式，并写出公式．‎ ‎2．把下列各式分解因式：‎ ‎(1)－16＋x2；　　　　　(2)x3－xy2；‎ ‎(3)m4－1; (4)ab(x－y)3＋ab3(y－x)．‎ ‎3．填空：‎ ‎(1)(a＋b)2＝________； (2)(a－b)2＝________．‎ 二、探究新知 完全平方式与完全平方公式 ‎(1)公式：‎ 把乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2和(a－b)2＝a2－2ab＋b2反过来，就可以得到：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.‎ 这就是说，两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．‎ 把a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫做完全平方式．‎ 上面两个公式叫做完全平方公式．‎ ‎(2)完全平方式的形式和特点；‎ 87‎ ‎①项数：三项；‎ ‎②有两项是两个数的平方和，这两项的符号相同；‎ ‎③有一项是这两个数的积的两倍．‎ ‎(3)例子：‎ 把x2＋6x＋9和4x2－20x＋25因式分解．‎ 显然，它们不能用学过的方法，可以用完全平方公式分解吗？‎ 三、应用举例 ‎1．(1)提问：式子x2－4x＋4，1＋16a2，4x2＋4x－1，x2＋xy＋y2，m2＋2nm＋n2是不是完全平方式？‎ ‎(2)填空：‎ m2＋(____)＋4＝(m＋2)2，m2＋(____)＋4＝(2－m)2，a2b2－(____)＋＝(ab－)2；‎ ‎(3)判断下列式子分解因式是否正确：x2＋2x－1＝(x－1)2；－2ab＋a2＋b2＝(－a＋b)2；2x2－4xy＋y2＝(2x－y)2；x2＋x＋＝(x＋)2；－a2＋2ab－b2＝(－a＋b)2；4a2＋6ab＋9b2＝(2a＋3b)2.‎ ‎2．例题 例1　把16x2＋24x＋9和－x2＋4xy－4y2因式分解．‎ 提问：利用完全平方公式来分解因式的关键是看多项式是否符合公式的特点，此题符合吗？‎ 课堂练习：‎ 把下列各式因式分解：‎ ‎(1)x2＋2x＋1; (2)4a2＋4a＋1；‎ ‎(3)1－6y＋9y2; (4)1＋m＋.‎ 例2　分解因式：‎ ‎(1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)(a＋b)2－12(a＋b)＋36.‎ 提问：(1)中有公因式吗？如果把(2)中(a＋b)看作一个整体怎样因式分解？‎ 练习：‎ 把下列各式因式分解：‎ ‎(1)－x2＋2xy－y2; (2)－4－9a2＋12a；‎ ‎(3)－a2－4ab－4b2; (4)－25x2－30xy－9y2.‎ 四、课堂小结 ‎(1)分解因式前注意式子是否符合公式的形式和特点；‎ ‎(2)平方项前面是负数时，先把负号提到括号外面．‎ 五、布置作业 教材第119页习题14.3第3题．‎ 完全平方公式的结构特点：等号左边是一个二项式的平方，等号右边记作：首平方，尾平方，2倍之积中间放．逆用完全平方公式进行因式分解只需要“颠倒使用”即可：等号右边作为“条件”，左边作为“结果”，但对学生来说，还是相当困难的．教学过程中要多讲多练方可达到效果．‎ 87‎ 第十五章　分式 ‎15．1　分　　式 ‎15．1.1　从分数到分式 ‎1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念．‎ ‎2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件．‎ 重点 理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件．‎ 难点 能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．‎ 一、复习引入 ‎1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？‎ ‎2．判断下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？‎ ‎①；②1＋x＋y2；③；④；⑤；⑥；⑦.‎ 二、探究新知 ‎1．分式的定义 ‎(1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？‎ 分析：设江水的流速为v千米/时．‎ 轮船顺流航行90千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间为小时，所以＝.‎ ‎(2)学生完成教材第127页“思考”中的题．‎ 观察：以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？‎ 可以发现，这些式子都像分数一样都是(即A÷B)的形式．分数的分子A与分母B都是整数，而这些式子中的A，B都是整式，并且B中都含有字母．‎ 归纳：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．‎ 巩固练习：教材第129页练习第2题．‎ 87‎ ‎2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？‎ 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义．‎ 学生自学例1.‎ 例1　下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？‎ ‎(1)；(2)；(3)；(4).‎ 解：(1)要使分式有意义，则分母3x≠0，即x≠0；‎ ‎(2)要使分式有意义，则分母x－1≠0，即x≠1；‎ ‎(3)要使分式有意义，则分母5－3b≠0，即b≠；‎ ‎(4)要使分式有意义，则分母x－y≠0，即x≠y.‎ 思考：如果题目为：当x为何值时，分式无意义．你知道怎么解题吗？‎ 巩固练习：教材第129页练习第3题．‎ ‎3．补充例题：当m为何值时，分式的值为0?‎ ‎(1)；(2)；(3).‎ 思考：当分式为0时，分式的分子、分母各满足什么条件？‎ 分析：分式的值为0时，必须同时满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零．‎ 答案：(1)m＝0；(2)m＝2；(3)m＝1.‎ 三、归纳总结 ‎1．分式的概念．‎ ‎2．分式的分母不为0时，分式有意义；分式的分母为0时，分式无意义．‎ ‎3．分式的值为零的条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零．‎ 四、布置作业 教材第133页习题15.1第2，3题．‎ 在引入分式这个概念之前先复习分数的概念，通过类比来自主探究分式的概念，分式有意义的条件，分式值为零的条件，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培养学生利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力．‎ ‎15．1.2　分式的基本性质 第1课时　分式的基本性质 ‎1．了解分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行分式的变形．‎ ‎2．会用分式的基本性质求分式变形中的符号法则．‎ 87‎ 重点 理解并掌握分式的基本性质．‎ 难点 灵活运用分式的基本性质进行分式变形．‎ 一、类比引新 ‎1．计算：‎ ‎(1)×；(2)÷.‎ 思考：在运算过程中运用了什么性质？‎ 教师出示问题．学生独立计算后回答：运用了分数的基本性质．‎ ‎2．你能说出分数的基本性质吗？‎ 分数的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的数，分数的值不变．‎ ‎3．尝试用字母表示分数的基本性质：‎ 小组讨论交流如何用字母表示分数的基本性质，然后写出分数的基本性质的字母表达式．‎ ＝，＝.(其中a，b，c是实数，且c≠0)‎ 二、探究新知 ‎1．分式与分数也有类似的性质，你能说出分式的基本性质吗？‎ 分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．‎ 你能用式子表示这个性质吗？‎ ＝，＝.(其中A，B，C是整式，且C≠0)‎ 如＝，＝，你还能举几个例子吗？‎ 回顾分数的基本性质，让学生类比写出分式的基本性质，这是从具体到抽象的过程．‎ 学生尝试着用式子表示分式的性质，加强对学生的抽象表达能力的培养．‎ ‎2．想一想 下列等式成立吗？为什么？‎ ＝；＝＝－.‎ 教师出示问题．学生小组讨论、交流、总结．‎ 例1　不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号：‎ ‎(1)；(2)；(3)－.‎ 例2　不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数：‎ ‎(1)；(2)；(3).‎ 引导学生在完成习题的基础上进行归纳，使学生掌握分式的变号法则．‎ 例3　填空：‎ ‎(1)＝，＝；‎ 87‎ ‎(2)＝，＝.(b≠0)‎ 解：(1)因为的分母xy除以x才能化为y ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需除以x，即 ＝＝.‎ 同样地，因为的分子3x2＋3xy除以3x才能化为x＋y，所以分母也需除以3x，即 ＝＝.‎ 所以，括号中应分别填入x2和2x.‎ ‎(2)因为的分母ab乘a才能化为a2b，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a，即 ＝＝.‎ 同样地，因为的分母a2乘b才能化为a2b，所以分子也需乘b，即 ＝＝.‎ 所以，括号中应分别填a和2ab－b2.‎ 在解决例题1，2的第(2)小题时，教师可以引导学生观察等式两边的分母发生的变化，再思考分式的分子如何变化；在解决例2的第(1)小题时，教师引导学生观察等式两边的分子发生的变化，再思考分式的分母随之应该如何变化．‎ 三、课堂小结 ‎1．分式的基本性质是什么？‎ ‎2．分式的变号法则是什么？‎ ‎3．如何利用分式的基本性质进行分式的变形？‎ 学生在教师的引导下整理知识、理顺思维．‎ 四、布置作业 教材第133页习题15.1第4，5题．‎ 通过算数中分数的基本性质，用类比的方法给出分式的基本性质，学生接受起来并不感到困难，但要重点强调分子分母同乘(或除)的整式不能为零，让学生养成严谨的态度和习惯．‎ 第2课时　分式的约分、通分 ‎1．类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义，理解最简公分母的概念．‎ ‎2．类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步骤．‎ 87‎ 重点 运用分式的基本性质正确地进行分式的约分与通分．‎ 难点 通分时最简分分母的确定；运用通分法则将分式进行变形．‎ 一、类比引新 ‎1．在计算×时，我们采用了“约分”的方法，分数的约分约去的是什么？分式，相等吗？为什么？‎ 利用分式的基本性质，分式约去分子与分母的公因式a，并不改变分式的值，可以得到.‎ 教师点拨：分式可以化为，我们把这样的分式变形叫做__分式的约分__．‎ ‎2．怎样计算＋？怎样把，通分？‎ 类似的，你能把分式，变成同分母的分式吗？‎ 利用分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，我们把这样的分式变形叫做__分式的通分__．‎ 二、探究新知 ‎1．约分：(1)；(2)；‎ ‎(3).‎ 分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式．‎ 解：(1)＝－＝－；‎ ‎(2)＝＝；‎ ‎(3)＝＝2(x－y)．‎ 若分子和分母都是多项式，则往往需要把分子、分母分解因式(即化成乘积的形式)，然后才能进行约分．约分后，分子与分母没有公因式，我们把这样的分式称为__最简分式__．(不能再化简的分式)‎ ‎2．练习：‎ 约分：；；；；；.‎ 学生先独立完成，再小组交流，集体订正．‎ ‎3．讨论：分式，，的最简公分母是什么？‎ 87‎ 提出最简公分母概念．‎ 一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．‎ 学生讨论、小组交流、总结得出求最简公分母的步骤：‎ ‎(1)系数取各分式的分母中系数最小公倍数；‎ ‎(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；‎ ‎(3)相同字母(或因式)的幂取指数最大的；‎ ‎(4)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积(其中系数都取正数)即为最简公分母．‎ ‎4．通分：(1)与；(2)与 .‎ 分析：为通分，要先确定各分式的公分母．‎ 解：(1)最简公分母是2a2b2c.‎ ＝＝，‎ ＝＝.‎ ‎(2)最简公分母是(x－5)(x＋5)．‎ ＝＝，‎ ＝＝.‎ ‎5．练习：‎ 通分：(1)与；(2)与；(3)与.‎ 教师引导：通分的关键是先确定最简公分母；如果分式的分母是多项式则应先将分母分解因式，再按上述的方法确定分式的最简公分母．‎ 学生板演并互批及时纠错．‎ ‎6．思考：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？‎ 教师让学生讨论、交流，师生共同作以小结．‎ 三、课堂小结 ‎1．什么是分式的约分？‎ 怎样进行分式的约分？‎ 什么是最简分式？‎ ‎2．什么是分式的通分？‎ 怎样进行分式的通分？‎ 什么是最简公分母？‎ ‎3．本节课你还有哪些疑惑？‎ 四、布置作业 教材第133页习题15.1第6，7题．‎ 本节课是在学习了分式的基本性质后学的，重点是运用分式的基本性质正确的约分和通分，约分时要注意一定要约成最简分式，熟练运用因式分解；通分时要将分式变形后再确定最简公分母．‎ 87‎ ‎15．2　分式的运算 ‎15．2.1　分式的乘除 第1课时　分式的乘除法 ‎1．理解并掌握分式的乘除法则．‎ ‎2．运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题．‎ 重点 掌握分式的乘除运算．‎ 难点 分子、分母为多项式的分式乘除法运算．‎ 一、复习导入 ‎1．分数的乘除法的法则是什么？‎ ‎2．计算：×；÷.‎ 由分数的运算法则知×＝；÷＝×＝.‎ ‎3．什么是倒数？‎ 我们在小学学习了分数的乘除法，对于分式如何进行计算呢？这就是我们这节要学习的内容．‎ 二、探究新知 问题1：一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b时，当容器的水占容积的时，水面的高度是多少？‎ 问题2：大拖拉机m天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？‎ 问题1求容积的高·，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的÷倍．‎ 根据上面的计算，请同学们总结一下对分式的乘除法的法则是什么？‎ 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．‎ 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．‎ ·＝；÷＝·＝.‎ 三、举例分析 例1　计算：‎ ‎(1)·；(2)÷.‎ 87‎ 分析：这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算．应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，再计算结果．‎ 解：(1)·＝＝；‎ ‎(2)÷＝·＝－＝－.‎ 例2　计算：‎ ‎(1)·；‎ ‎(2)÷.‎ 分析：这两题是分子与分母是多项式的情况，首先要因式分解，然后运用法则．‎ 解：(1)原式·＝；‎ ‎(2)原式÷ ‎＝·＝－.‎ 例3　“丰收1号”小麦试验田边长为a米(a＞1)的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a－1)米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克．‎ ‎(1)哪种小麦的单位面积产量高？‎ ‎(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？‎ 分析：本题的实质是分式的乘除法的运用．‎ 解：(1)略．‎ ‎(2)÷＝·＝.‎ ‎“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍．‎ 四、随堂练习 ‎1．计算：(1)·；(2)－·；(3)÷(－)；‎ ‎(4)－8xy÷；(5)－·；‎ ‎(6)÷(3－y)．‎ 答案：(1)abc；(2)－；(3)－；(4)－20x2；(5)－；(6).‎ ‎2．教材第137页练习1，2，3题．‎ 五、课堂小结 ‎(1)分式的乘除法法则；‎ ‎(2)运用法则时注意符号的变化；‎ ‎(3)因式分解在分式乘除法中的应用；‎ ‎(4)步骤要完整，结果要最简．最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式，‎ 87‎ 也可以写成一个多项式，如或.‎ 六、布置作业 教材第146页习题15.2第1，2题．‎ 本节课从两个具有实际背景的问题出发，使学生在解决问题的过程中认识到分式的乘除法是由实际需要产生的，进而激发他们学习的兴趣，接着，从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘法法则．有利于学生接受新知识，而且能体现由数到式的发展过程．‎ 第2课时　分式的乘方及乘方与乘除的混合运算 ‎1．进一步熟练分式的乘除法法则，会进行分式的乘、除法的混合运算．‎ ‎2．理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算．‎ 重点 分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混合运算．‎ 难点 分式的乘除法、乘方混合运算，以及分式乘法、除法、乘方运算中符号的确定．‎ 一、复习引入 ‎1．分式的乘除法法则．‎ 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母．‎ 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．‎ ‎2．乘方的意义：‎ an＝a·a·a·…·a(n为正整数)．‎ 二、探究新知 例1(教材例4)　计算÷·.‎ 解：÷· ‎＝··　(先把除法统一成乘法运算)‎ ‎＝.(约分到最简公式)‎ 分式乘除运算的一般步骤：‎ ‎(1)先把除法统一成乘法运算；‎ ‎(2)分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；‎ ‎(3)确定分式的符号，然后约分；‎ ‎(4)结果应是最简分式．‎ ‎1．由整式的乘方引出分式的乘方，并由特殊到一般地引导学生进行归纳．‎ 87‎ ‎(1)()2＝·＝；‎ ‎　　　　　 ↑　　　↑‎ ‎　由乘方的意义　 由分式的乘法法则 ‎(2)同理：‎ ‎()3＝··＝；‎ ‎()n＝··…·n个＝＝.‎ ‎2．分式乘方法则：‎ 分式：()n＝.(n为正整数)‎ 文字叙述：分式乘方是把分子、分母分别乘方．‎ ‎3．目前为止，正整数指数幂的运算法则都有什么？‎ ‎(1)an·an＝am＋n；(2)am÷an＝am－n；‎ ‎(3)(am)n＝amn；(4)(ab)n＝anbn；‎ ‎(5)()n＝.‎ 三、举例分析 例2　计算：‎ ‎(1)()2；‎ ‎(2)()3÷·()2.‎ ‎(3)(－)2·(－)3÷(－)4；‎ ‎(4)÷()2.‎ 解：(1)原式＝＝；‎ ‎(2)原式＝··＝－；‎ ‎(3)原式＝·(－)·＝－x5；‎ ‎(4)原式＝·＝.‎ 学生板演、纠错并及时总结做题方法及应注意的地方：①对于乘、除和乘方的混合运算，应注意运算顺序，但在做乘方运算的同时，可将除变乘；②做乘方运算要先确定符号．‎ 例3　计算：‎ ‎(1)·；‎ ‎(2)(xy－x2)÷·；‎ 87‎ ‎(3)()2÷()2.‎ 解：(1)原式＝·＝；‎ ‎(2)原式＝－··＝－y；‎ ‎(3)原式＝·＝.‎ 本例题是本节课运算题目的拓展，对于(1)指数为字母，不过方法不变；(2)(3)是较复杂的乘除乘方混合运算，要进一步让学生熟悉运算顺序，注意做题步骤．‎ 四、巩固练习 教材第139页练习第1，2题．‎ 五、课堂小结 ‎1．分式的乘方法则．‎ ‎2．运算中的注意事项．‎ 六、布置作业 教材第146页习题15.2第3题．‎ 分式的乘方运算这一课的教学先让学生回忆以前学过的分数的乘方的运算方法，然后采用类比的方法让学生得出分式的乘方法则．在讲解例题和练习时充分调动学生的积极性，使大家都参与进来，提高学习效率．‎ ‎15．2.2　分式的加减 第1课时　分式的加减 理解并掌握分式的加减法则，并会运用它们进行分式的加减运算．‎ 重点 运用分式的加减运算法则进行运算．‎ 难点 异分母分式的加减运算．‎ 一、复习提问 ‎1．什么叫通分？‎ ‎2．通分的关键是什么？‎ ‎3．什么叫最简公分母？‎ ‎4．通分的作用是什么？(引出新课)‎ 二、探究新知 ‎1．出示教材第139页问题3和问题4.‎ 教材第140页“思考”．‎ 分式的加减法与分数的加减法类似，它们的实质相同．观察下列分数加减运算的式子：‎ 87‎ ＋＝，－＝－，＋＝＋＝，－＝－＝.你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？‎ 教师提出问题，让学生列出算式，得到分式的加减法法则．‎ 学生讨论：组内交流，教师点拨．‎ ‎2．同分母的分式加减法．‎ 公式：±＝.‎ 文字叙述：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．‎ ‎3．异分母的分式加减法．‎ 分式：±＝±＝.‎ 文字叙述：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．‎ 三、典型例题 例1(教材例6)　计算：‎ ‎(1)－；(2)＋.‎ 解：(1)－ ‎　＝＝＝；‎ ‎(2)＋ ‎　＝＋ ‎　＝＝.‎ 小结：‎ ‎(1)注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号．‎ ‎(2)把分子相加减后，如果所得结果不是最简分式，要约分．‎ 例2　计算：‎ ＋－.‎ 分析：(1)分母是否相同？(2)如何把分母化为相同的？(3)注意符号问题．‎ 解：原式＝－－ ‎　＝ ‎　＝ ‎　＝1.‎ 四、课堂练习 ‎1．教材第141页练习1，2题．‎ 87‎ ‎2．计算：(1)－＋；‎ ‎(2)＋；‎ ‎(3)a＋2－；‎ ‎(4)－.‎ 五、课堂小结 ‎1．同分母分式相加减，分母不变，只需将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号．‎ ‎2．对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分．‎ ‎3．异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否为最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化．‎ ‎4．作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式．‎ 六、布置作业 教材第146页习题15.2第4，5题．‎ 从直观的分数加减运算开始，先介绍同分母分式的加减运算的具体方法，通过类比的思想方法，由数的运算引出式的运算规律，体现了数学知识间具体与抽象、从特殊到一般的内在联系．而后，利用同样的类比方法，安排学习异分母的分式加减运算，这样由简到繁、由易到难，符合学生认知的发展规律，有助于知识的层层落实与掌握．‎ 第2课时　分式的混合运算 ‎1．明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算．‎ ‎2．能灵活运用运算律简便运算．‎ 重点 熟练地进行分式的混合运算．‎ 难点 熟练地进行分式的混合运算．‎ 一、复习引入 回忆：我们已经学习了分式的哪些运算？‎ ‎1．分式的乘除运算主要是通过(　　　　)进行的，分式的加减运算主要是通过(　　　　)进行的．‎ ‎2．分数的混合运算法则是(　　　　)，类似的，分式的混合运算法则是先算(　　　　)，再算(　　　　)，最后算(　　　　)，有括号的先算(　　　　)里面的．‎ 二、探究新知 ‎1．典型例题 87‎ 例1　计算：‎ ‎(＋)÷.‎ 分析：应先算括号里的．‎ 例2　计算：‎ x＋2y＋－.‎ 分析：(1)本题应采用逐步通分的方法依次进行；‎ ‎(2)x＋2y可以看作.‎ 例3　计算：‎ －·(－x－y)．‎ 分析：本题可用分配律简便计算．‎ 例4　[－]÷(－)．‎ 分析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分．‎ 例5(教材例7)　计算()2·－÷.‎ 解：()2·－÷ ‎＝·－· ‎＝－＝－ ‎＝＝ ‎＝.‎ 点拨：式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减．‎ 例6(教材例8)　计算：‎ ‎(1)(m＋2＋)·；‎ ‎(2)(－)÷.‎ 解：(1)(m＋2＋)· ‎＝· ‎＝· ‎＝· ‎＝－2(m＋3)；‎ 87‎ ‎(2)(－)÷ ‎＝[－]· ‎＝· ‎＝ ‎＝.‎ 分式的加、减、乘、除混合运算要注意以下几点：‎ ‎(1)一般按分式的运算顺序法则进行计算，但恰当地使用运算律会使运算简便．‎ ‎(2)要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子，以备约分或通分时用，可避免运算烦琐．‎ ‎(3)注意括号的“添”或“去”、“变大”与“变小”．‎ ‎(4)结果要化为最简分式．‎ 强化练习，引导学生及时纠正在例题中出现的错误，进一步提高运算能力．‎ 三、巩固练习 ‎1．(1)－x－1；‎ ‎(2)(1－)2÷；‎ ‎(3)＋；‎ ‎(4)(＋)÷.‎ ‎2．教材第142页第1，2题．‎ 四、课堂小结 ‎1．分式的混合运算法则是先算(　　　　)，再算(　　　　)，最后算(　　　　)，有括号先算(　　　　)里的．‎ ‎2．一些题应用运算律、公式能简便运算．‎ 五、布置作业 ‎1．教材第146页习题15.2第6题．‎ ‎2．先化简再求值－·，其中x＝－1.‎ 分式的混合运算是分式这一章的重点和难点，涉及到因式分解和通分这两个较难的知识点，可根据学生的具体情况，适当增加例题、习题，让学生熟练掌握分式的运算法则并提高运算能力．‎ ‎15．2.3　整数指数幂 87‎ ‎1．知道负整数指数幂a－n＝.(a≠0，n是正整数)‎ ‎2．掌握整数指数幂的运算性质．‎ ‎3．会用科学记数法表示绝对值小于1的数．‎ 重点 掌握整数指数幂的运算性质，会有科学记数法表示绝对值小于1的数．‎ 难点 负整数指数幂的性质的理解和应用．‎ 一、复习引入 ‎1．回忆正整数指数幂的运算性质：‎ ‎(1)同底数的幂的乘法：am·an＝am＋n(m，n是正整数)；‎ ‎(2)幂的乘方：(am)n＝amn(m，n是正整数)；‎ ‎(3)积的乘方：(ab)n＝anbn(n是正整数)；‎ ‎(4)同底数的幂的除法：am ÷an＝am－n(a≠0，m，n是正整数，m＞n)；‎ ‎(5)分式的乘方：()n＝(n是正整数)．‎ ‎2．回忆0指数幂的规定，即当a≠0时，a0＝1.‎ 二、探究新知 ‎(一)1.计算当a≠0时，a3÷a5＝＝＝，再假设正整数指数幂的运算性质am÷an＝am－n(a≠0，m，n是正整数，m＞n)中的m＞n这个条件去掉，那么a3÷a5＝a3－5＝a－2.于是得到a－2＝(a≠0)．‎ 总结：负整数指数幂的运算性质：‎ 一般的，我们规定：当n是正整数时，a－n＝(a≠0)．‎ ‎2．练习巩固：‎ 填空：‎ ‎(1)－22＝________，　　　　(2)(－2)2＝________，‎ ‎(3)(－2)0＝________， (4)20＝________，‎ ‎(5)2－3＝________， (5)(－2)－3＝________．‎ ‎3．例1　(教材例9)‎ 计算：‎ ‎(1)a－2÷a5；(2)()－2；‎ ‎(3)(a－1b2)3；(4)a－2b2·(a2b－2)－3.‎ 解：(1)a－2÷a5＝a－2－5＝a－7＝；‎ ‎(2)()－2＝＝a4b－6＝；‎ 87‎ ‎(3)(a－1b2)3＝a－3b6＝；‎ ‎(4)a－2b2·(a2b－2)－3＝a－2b2·a－6b6＝a－8b8＝.‎ ‎[分析]　本例题是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式．‎ ‎4．练习：‎ 计算：(1)(x3y－2)2；(2)x2y－2·(x－2y)3；‎ ‎(3)(3x2y－2)2÷(x－2y)3.‎ ‎5．例2　判断下列等式是否正确？‎ ‎(1)am÷an＝am·a－n；(2)()n＝anb－n.‎ ‎[分析]　类比负数的引入使减法转化为加法，得到负指数幂的引入可以使除法转化为幂的乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来，然后再判断等式是否正确．‎ ‎(二)1.用科学记数法表示值较小的数 因为0.1＝＝10－1；0.01＝________＝________；‎ ‎0．001＝________＝________……‎ 所以0.000 025＝2.5×0.000 01＝2.5×10－5.‎ 我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10－n的形式，其中n是正整数，1≤|a|＜10.‎ ‎2．例3(教材例10)　纳米是非常小的长度单位，1纳米＝10－9米，把1纳米的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体？(物体之间的间隙忽略不计)‎ ‎[分析]　这是一个介绍纳米的应用题，是应用科学记数法表示小于1的数．‎ ‎3．用科学记数法表示下列各数：‎ ‎0．00 04，－0.034，0.000 000 45，0.003 009.‎ ‎4．计算：‎ ‎(1)(3×10－8)×(4×103)；(2)(2×10－3)2÷(10－3)3.‎ 三、课堂小结 ‎1．引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍然成立．‎ ‎2．科学记数法不仅可以表示一个值大于10的数，也可以表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意a必须满足1≤|a|＜10，其中n是正整数．‎ 四、布置作业 教材第147页习题15.2第7，8，9题．‎ 本节课教学的主要内容是整数指数幂，将以前所学的有关知识进行了扩充．在本节的教学设计上，教师重点挖掘学生的潜在能力，让学生在课堂上通过观察、验证、探究等活动，加深对新知识的理解．‎ ‎15．3　分式方程 第1课时　分式方程的解法 87‎ ‎1．理解分式方程的意义．‎ ‎2．理解解分式方程的基本思路和解法．‎ ‎3．理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法．‎ 重点 解分式方程的基本思路和解法．‎ 难点 理解解分式方程时可能无解的原因．‎ 一、复习引入 问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等，江水的流速为多少？‎ ‎[分析]设江水的流速为x千米/时，根据题意，得＝.①‎ 方程①有何特点？‎ ‎[概括]方程①中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程．‎ 提问：你还能举出一个分式方程的例子吗？‎ 辨析：判断下列各式哪个是分式方程．‎ ‎(1)x＋y＝5；(2)＝；(3)；(4)＝0；(5)＋2x＝5.‎ 根据定义可得：(1)(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程．‎ 二、探究新知 ‎1．思考：怎样解分式方程呢？‎ 为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：‎ ‎(1)回顾一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？‎ ‎(2)有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？‎ ‎[可先放手让学生自主探索，合作学习并进行总结]‎ 方程①可以解答如下：‎ 方程两边同乘以(30＋v)(30－v)，约去分母，得90(30－v)＝60(30＋v)．‎ 解这个整式方程，得v＝6.‎ 所以江水的流度为6千米/时．‎ ‎[概括]上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解．所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母．‎ ‎2．例1　解方程：＝.②‎ 解：方程两边同乘(x2－25)，约去分母，得x＋5＝10.‎ 解这个整式方程，得x＝5.事实上，当x＝5时，原分式方程左边和右边的分母(x－5)与(x2－25)都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x＝5不是分式方程的根，应当舍去，所以原分式方程无解．‎ 解分式方程的步骤：‎ 在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根．因此，‎ 87‎ 在解分式方程时必须进行检验．‎ ‎3．那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？‎ 解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母)．方程①两边乘(30＋v)(30－v)，得到整式方程，它的解v＝6.当v＝6时，(30＋v)(30－v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同．‎ 方程②两边乘(x－5)(x＋5)，得到整式方程，它的解x＝5.当x＝5时，(x－5)(x＋5)＝0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解．‎ ‎4．验根的方法：‎ 解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零．有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分母)，看它的值是否为零．如果为零，即为增根．‎ 如例1中的x＝5，代入x2－25＝0，可知x＝5是原分式方程的增根．‎ 三、举例分析 例2(教材例1)　解方程＝.‎ 解：方程两边乘x(x－3)，得2x＝3x－9.‎ 解得x＝9.‎ 检验：当x＝9时，x(x－3)≠0.‎ 所以，原分式方程的解为x＝9.‎ 例3(教材例2)　解方程－1＝.‎ 解：方程两边乘(x－1)(x＋2)，得 x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.‎ 解得x＝1.‎ 检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0，因此x＝1不是原分式方程的解．‎ 所以，原分式方程无解．‎ 四、课堂小结 ‎1．分式方程：分母中含有未知数的方程．‎ ‎2．解分式方程的一般步骤如下：‎ 五、布置作业 教材第154页习题15.3第1题．‎ 本节课的重点是探究分式方程的解法，我首先举一道一元一次方程复习其解法，然后通过解一道分式方程，启发引导学生参照一元一次方程的解法，由学生自己探索、归纳分式方程的解法，使学生的思维得到发挥，但要提醒学生注意对增根的理解．‎ 第2课时　分式方程的应用 87‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程．‎ ‎2．使学生能较熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解应用题．‎ 重点 在不同的实际问题中审明题意设未知数，列分式方程，解决实际问题．‎ 难点 在不同的实际问题中，设未知数列分式方程．‎ 一、复习引入 ‎1．解下列方程：‎ ‎(1)＝－2；(2)＋＝.‎ ‎2．列方程解应用题的一般步骤：‎ ‎(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．‎ ‎[概括]　这些解题方法与步骤，对于解分式方程应用题也适用．这节课，我们将学习列分式方程解应用题．‎ 二、探究新知 例1　某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2 640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用了2小时输完．问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？‎ ‎[分析]　(1)如何设元？(2)题目中有几个相等关系？(3)怎样列方程？‎ 本题有两个相等关系：‎ ‎(1)甲速＝2乙速 ‎(2)甲时＋120＝乙时 其中(1)用来设，(2)用来列方程．‎ ‎[概括]　列分式方程解应用题的一般步骤：‎ ‎(1)审清题意；‎ ‎(2)设未知数(要有单位)；‎ ‎(3)根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；‎ ‎(4)解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；‎ ‎(5)写出答案(要有单位)．‎ 例2　A，B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5∶2，求两车的速度．‎ 练习：(1)甲乙两人同时从A地出发，骑自行车到B地，已知AB两地的距离为30 km，甲每小时比乙多走3 km，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走x km，则可列方程为(　　)‎ A.－＝ B.－＝ C.－＝ D.－＝ ‎(2)我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必须是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度．‎ 87‎ 例3(教材例3)　两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？‎ 分析：甲队1个月完成工程的，设乙队单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队半个月完成总工程的________，乙队半个月完成总工程的________，两队半个月完成总工程的________．‎ 本题是工程问题，注意基本公式是：工作量＝工时×工效．‎ 等量关系为：甲、乙两个工程总量总工程量．‎ 列方程：＋＋＝1.‎ 例4(教材例4)　某次列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？‎ 分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km/h，那么提速前列车行驶s km所用时间为________h，提速后列车的平均速度为________km/h，提速后列车运行(s＋50)km所用时间为________h.‎ 本题是列含字母系数的分式方程，解这个方程并且检验是难点，在解题过程中注意把s，v当作已知数．‎ 等量关系：提速前行驶50 km所用的时间＝提速后行驶(s＋50) km所用的时间．‎ 列方程：＝.‎ 练习：教材第154页练习第1，2题．‎ 三、课堂小结 ‎1．列分式方程解应用题的一般步骤：‎ ‎(1)审：审清题意；‎ ‎(2)设：设未知数(要有单位)；‎ ‎(3)列：根据题目中的数量关系找出相等关系，列出方程；‎ ‎(4)解：解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；‎ ‎(5)答：写出答案(要有单位)．‎ ‎2．几种基本题型：‎ ‎(1)行程问题；‎ ‎(2)数字问题；‎ ‎(3)工程问题；‎ ‎(4)顺水逆水问题；‎ ‎(5)利润问题．‎ 四、布置作业 教材第154～155页习题15.3第3，4，5题．‎ 本节课结合具体的数学内容采用“问题情境——建立数学模型——解释应用与拓展”的模式展开，选择有现实意义的，对学生具有一定挑战性的内容，使学生在自主探索和合作交流的过程中建立数学模型，让学生能够自觉的用数学的眼光观察世界，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力．‎ 87‎