中考数学精选压轴题华东师大版

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中考数学精选压轴题华东师大版

‎2017年中考数学精选压轴题 一、函数与几何综合的压轴题 ‎1.(2004安徽芜湖)如图①,在平面直角坐标系中,AB、CD都垂直于x轴,垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知:A(-2,-6),C(1,-3)‎ (1) 求证:E点在y轴上;‎ (2) 如果有一抛物线经过A,E,C三点,求此抛物线方程.‎ (3) 如果AB位置不变,再将DC水平向右移动k(k>0)个单位,此时AD与BC相交于E′点,如图②,求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.‎ 图②‎ C(1+k,-3)‎ A ‎(2,-6)‎ B D O x E′‎ y C(1,-3)‎ A ‎(2,-6)‎ B D O x E y 图①‎ ‎ ‎ ‎[解] (1)(本小题介绍二种方法,供参考)‎ 方法一:过E作EO′⊥x轴,垂足O′∴AB∥EO′∥DC ‎∴‎ 又∵DO′+BO′=DB ‎∴‎ ‎∵AB=6,DC=3,∴EO′=2‎ 又∵,∴‎ ‎∴DO′=DO,即O′与O重合,E在y轴上 方法二:由D(1,0),A(-2,-6),得DA直线方程:y=2x-2①‎ 再由B(-2,0),C(1,-3),得BC直线方程:y=-x-2 ②‎ 联立①②得 ‎∴E点坐标(0,-2),即E点在y轴上 ‎(2)设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0)过A(-2,-6),C(1,-3)‎ E(0,-2)三点,得方程组 解得a=-1,b=0,c=-2‎ ‎∴抛物线方程y=-x2-2‎ ‎(3)(本小题给出三种方法,供参考)‎ 由(1)当DC水平向右平移k后,过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。‎ 同(1)可得: 得:E′F=2‎ 方法一:又∵E′F∥AB,∴‎ S△AE′C= S△ADC- S△E′DC=‎ ‎==DB=3+k S=3+k为所求函数解析式 方法二:∵ BA∥DC,∴S△BCA=S△BDA ‎∴S△AE′C= S△BDE′‎ ‎∴S=3+k为所求函数解析式.‎ 证法三:S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2‎ 同理:S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4‎ ‎∴‎ ‎∴S=3+k为所求函数解析式.‎ ‎2. (2004广东茂名)已知:如图,在直线坐标系中,以点M(1,0)为圆心、直径AC为的圆与y轴交于A、D两点.‎ ‎(1)求点A的坐标; ‎ ‎(2)设过点A的直线y=x+b与x轴交于点B.探究:直线AB是否⊙M的切线?并对你的结论加以证明; ‎ ‎(3)连接BC,记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2,若,抛物线 y=ax2+bx+c经过B、M两点,且它的顶点到轴的距离为.求这条抛物线的解析式. ‎ ‎[解](1)解:由已知AM=,OM=1, ‎ 在Rt△AOM中,AO=, ‎ ‎∴点A的坐标为A(0,1)‎ ‎(2)证:∵直线y=x+b过点A(0,1)∴1=0+b即b=1  ∴y=x+1‎ 令y=0则x=-1    ∴B(—1,0),‎ AB=‎ 在△ABM中,AB=,AM=,BM=2‎ ‎ ‎ ‎∴△ABM是直角三角形,∠BAM=90°‎ ‎∴直线AB是⊙M的切线 ‎(3)解法一:由⑵得∠BAC=90°,AB=,AC=2, ‎ ‎ ∴BC= ‎ ‎∵∠BAC=90° ∴△ABC的外接圆的直径为BC,‎ A B C D x M ‎·‎ y ‎∴ ‎ 而 ‎ ‎ ,‎ 设经过点B(—1,0)、M(1,0)的抛物线的解析式为:‎ y=a(+1)(x-1),(a≠0)即y=ax2-a,∴-a=±5,∴a=±5‎ ‎∴抛物线的解析式为y=5x2-5或y=-5x2+5 ‎ 解法二:(接上) 求得∴h=5 ‎ ‎ 由已知所求抛物线经过点B(—1,0)、M(1、0),则抛物线的对称轴是y轴,由题意得抛物线的顶点坐标为(0,±5)‎ ‎∴抛物线的解析式为y=a(x-0)2±5‎ ‎ 又B(-1,0)、M(1,0)在抛物线上,∴a±5=0, a=±5‎ ‎∴抛物线的解析式为 y=5x2-5或y=-5x2+5 ‎ 解法三:(接上)求得∴h=5‎ 因为抛物线的方程为y=ax2+bx+c(a≠0)‎ 由已知得 ‎∴抛物线的解析式为 y=5x2-5或y=-5x2+5. ‎ ‎3.(2004湖北荆门)如图,在直角坐标系中,以点P(1,-1)为圆心,2为半径作圆,交x轴于A、B两点,抛物线过点A、B,且顶点C在⊙P上.‎ ‎(1)求⊙P上劣弧的长;‎ ‎(2)求抛物线的解析式;‎ A B C O x y ‎·‎ P(1,-1)‎ ‎(3)在抛物线上是否存在一点D,使线段OC与PD互相平分?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解] (1)如图,连结PB,过P作PM⊥x轴,垂足为M.‎ ‎ 在Rt△PMB中,PB=2,PM=1,‎ ‎ ∴∠MPB=60°,∴∠APB=120°‎ A B C O x y P(1,-1)‎ ‎·‎ M ‎ 的长= ‎ ‎(2)在Rt△PMB中,PB=2,PM=1,则MB=MA=.‎ 又OM=1,∴A(1-,0),B(1+,0),‎ 由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上,‎ 则C(1,-3). ‎ 点A、B、C在抛物线上,则 ‎  解之得 抛物线解析式为 ‎ ‎(3)假设存在点D,使OC与PD互相平分,则四边形OPCD为平行四边形,且PC∥OD.‎ 又PC∥y轴,∴点D在y轴上,∴OD=2,即D(0,-2). ‎ 又点D(0,-2)在抛物线上,故存在点D(0,-2),‎ 使线段OC与PD互相平分. ‎ ‎4.(2004湖北襄樊)如图,在平面直角坐标系内,Rt△ABC的直角顶点C(0,)在轴的正半轴上,A、B是轴上是两点,且OA∶OB=3∶1,以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E,交BC于点F.直线EF交OC于点Q.‎ ‎(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;‎ ‎(2)请猜想:直线EF与两圆有怎样的位置关系?并证明你的猜想.‎ A y x B E F O1‎ Q O O2‎ C ‎(3)在△AOC中,设点M是AC边上的一个动点,过M作MN∥AB交OC于点N.试问:在轴上是否存在点P,使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解] (1)在Rt△ABC中,OC⊥AB,‎ ‎∴△AOC≌△COB.‎ ‎∴OC2=OA·OB.‎ ‎∵OA∶OB=3∶1,C(0,),‎ B A E F O1‎ Q O O2‎ y x ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ N M P C ‎∴‎ ‎∴OB=1.∴OA=3.‎ ‎∴A(-3,0),B(1,0).‎ 设抛物线的解析式为 则解之,得 ‎∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为 ‎(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切.‎ 证明:连结O1E、OE、OF.‎ ‎∵∠ECF=∠AEO=∠BFO=90°,‎ ‎∴四边形EOFC为矩形.‎ ‎∴QE=QO.‎ ‎∴∠1=∠2.‎ ‎∵∠3=∠4,∠2+∠4=90°,‎ ‎∴EF与⊙O1相切.‎ 同理:EF理⊙O2相切.‎ ‎(3)作MP⊥OA于P,设MN=a,由题意可得MP=MN=a. ‎ ‎∵MN∥OA,‎ ‎∴△CMN∽△CAO.‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 解之,得 此时,四边形OPMN是正方形.‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 考虑到四边形PMNO此时为正方形,‎ ‎∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形.‎ 故轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且或 ‎5.(2004湖北宜昌)如图,已知点A(0,1)、C(4,3)、E(,),P是以AC为对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的—个动点,点D在y轴,抛物线y=ax2+bx+1以P为顶点.‎ ‎(1)说明点A、C、E在一条条直线上;‎ ‎(2)能否判断抛物线y=ax2+bx+1的开口方向?请说明理由;‎ ‎(3)设抛物线y=ax2+bx ‎+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧),△GAO与△FAO的面积差为3,且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点.这时能确定a、b的值吗?若能,请求出a、b的值;若不能,请确定a、b的取值范围.‎ X O P D C A B Y ‎(本题图形仅供分析参考用)‎ ‎[解] (1)由题意,A(0,1)、C(4,3)确定的解析式为:y=x+1.‎ 将点E的坐标E(,)代入y=x+1中,左边=,右边=×+1=,‎ ‎∵左边=右边,∴点E在直线y=x+1上,即点A、C、E 在一条直线上.‎ ‎(2)解法一:由于动点P在矩形ABCD内部,∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标,而点A与点P都在抛物线上,且P为顶点,∴这条抛物线有最高点,抛物线的开口向下 解法二:∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为,且P在矩形ABCD内部,∴1<<3,由1<1—得—>0,∴a<0,∴抛物线的开口向下. ‎ X G F O P D E C A B Y ‎(3)连接GA、FA,∵S△GAO—S△FAO=3 ∴GO·AO—FO·AO=3 ∵OA=1,∴GO—FO=6. 设F(x1,0)、G(x2,0),则x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根,且x1<x2,又∵a<0,∴x1·x2=<0,∴x1<0<x2,‎ ‎∴GO= x2,FO= —x1,∴x2—(—x1)=6,‎ 即x2+x1=6,∵x2+x1= — ∴—=6,‎ ‎∴b= —6a, ‎ ‎∴抛物线解析式为:y=ax2—6ax+1, 其顶点P的坐标为(3,1—9a), ∵顶点P在矩形ABCD内部, ‎ 由方程组 y=ax2—6ax+1‎ y=x+1‎ 得:ax2—(6a+)x=0‎ ‎∴1<1—9a<3, ∴—<a<0. ‎ ‎∴x=0或x==6+.‎ 当x=0时,即抛物线与线段AE交于点A,而这条抛物线与线段AE有两个不同的交 点,则有:0<6+≤,解得:—≤a<—‎ 综合得:—<a<— ∵b= —6a,∴<b<‎ ‎0‎ x y ‎6.(2004湖南长沙)已知两点O(0,0)、B(0,2),⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C,⊙A被y轴分成段两圆弧,其弧长之比为3∶1,直线l与⊙A切于点O,抛物线的顶点在直线l上运动. (1)求⊙A的半径; (2)若抛物线经过O、C两点,求抛物线的解析式; (3)过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点,且PC=CE,求点E的坐标; (4)若抛物线与x轴分别相交于C、F两点,其顶点P的横坐标为m,求△PEC的面积关于m的函数解析式.‎ ‎[解] (1)由弧长之比为3∶1,可得∠BAO=90º ‎ 再由AB=AO=r,且OB=2,得r= ‎(2)⊙A的切线l过原点,可设l为y=kx 任取l上一点(b,kb),由l与y轴夹角为45º可得: b=-kb或b=kb,得k=-1或k=1, ∴直线l的解析式为y=-x或y=x 又由r=,易得C(2,0)或C(-2,0) 由此可设抛物线解析式为y=ax(x-2)或y=ax(x+2) 再把顶点坐标代入l的解析式中得a=1 ∴抛物线为y=x2-2x或y=x2+2x ……6分 ‎(3)当l的解析式为y=-x时,由P在l上,可设P(m,-m)(m>0) 过P作PP′⊥x轴于P′,∴OP′=|m|,PP′=|-m|,∴OP=2m2, 又由切割线定理可得:OP2=PC·PE,且PC=CE,得PC=PE=m=PP′7分 ∴C与P′为同一点,即PE⊥x轴于C,∴m=-2,E(-2,2)…8分 同理,当l的解析式为y=x时,m=-2,E(-2,2) ‎ ‎(4)若C(2,0),此时l为y=-x,∵P与点O、点C不重合,∴m≠0且m≠2, 当m<0时,FC=2(2-m),高为|yp|即为-m, ∴S= 同理当0<m<2时,S=-m2+2m;当m>2时,S=m2-2m; ‎ ‎∴S= 又若C(-2,0), 此时l为y=x,同理可得;S=‎ A A B ‎(-2,0)C C(2,0)‎ l O P E P′‎ x y ‎(2,0)‎ P C l O y x C F F F P P ‎7.(2006江苏连云港)如图,直线与函数的图像交于A、B两点,且与x、y轴分别交于C、D两点.‎ ‎(1)若的面积是的面积的倍,求与之间的函数关系式;‎ y x ‎(2)在(1)的条件下,是否存在和,使得以为直径的圆经过点.若存在,求出和的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解](1)设,(其中),‎ 由,得 ‎∴··(····),, ‎ 又,∴,即, ‎ 由可得,代入可得 ①‎ y x ‎ ∴,,       ‎ ‎∴,即. ‎ 又方程①的判别式,‎ ‎∴所求的函数关系式为. ‎ ‎(2)假设存在,,使得以为直径的圆经过点. ‎ 则,过、分别作轴的垂线,垂足分别为、.‎ ‎∵与都与互余,∴ . ‎ ‎∴Rt∽Rt,∴. ‎ ‎∴,∴, ∴, ‎ 即 ②‎ 由(1)知,,代入②得,‎ ‎∴或,又,∴或,‎ ‎∴存在,,使得以为直径的圆经过点,且或. ‎ ‎8.(2004江苏镇江)已知抛物线与x轴交于两点、,与y轴交于点C,且AB=6.‎ ‎ (1)求抛物线和直线BC的解析式.‎ ‎ (2)在给定的直角坐标系中,画抛物线和直线BC.‎ ‎ (3)若过A、B、C三点,求的半径.‎ ‎ (4)抛物线上是否存在点M,过点M作轴于点N,使被直线BC分成面积比为的两部分?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解](1)由题意得: ‎ x y O 解得 ‎ 经检验m=1,∴抛物线的解析式为:‎ 或:由得,或 ‎ ‎ 抛物线的解析式为 ‎ 由得 ‎∴A(-5,0),B(1,0),C(0,-5).‎ 设直线BC的解析式为 则 ‎∴直线BC的解析式为 ‎ ‎(2)图象略.‎ ‎(3)法一:在中,‎ ‎.‎ 又 ‎∴的半径 ‎ 法二:‎ 由题意,圆心P在AB的中垂线上,即在抛物线的对称轴直线上,设P(-2,-h)(h>0), ‎ 连结PB、PC,则,‎ 由,即,解得h=2. ‎ 的半径.‎ 法三:‎ 延长CP交于点F.‎ 为的直径,‎ 又 ‎ 又 的半径为 ‎ ‎(4)设MN交直线BC于点E,点M的坐标为则点E的坐标为 若则 解得(不合题意舍去), ‎ 若则 解得(不合题意舍去),‎ 存在点M,点M的坐标为或(15,280). ‎ ‎9. 如图,⊙M与x轴交于A、B两点,其坐标分别为、,直径CD⊥x轴于N,直线CE切⊙M于点C,直线FG切⊙M于点F,交CE于G,已知点G的横坐标为3.‎ (1) 若抛物线经过A、B、D三点,求m的值及点D的坐标.‎ (2) 求直线DF的解析式.‎ (3) 是否存在过点G的直线,使它与(1)中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4?若存在,请求出满足条件的直线的解析式;若不存在,请说明理由.‎ ‎(第9题图)‎ A y x O N M G F E D C B ‎[解] (1) ∵抛物线过A、B两点,‎ ‎ ∴,m=3.‎ ‎ ∴抛物线为. ‎ ‎ 又抛物线过点D,由圆的对称性知点D为抛物线的顶点.‎ ‎ ∴D点坐标为. ‎ ‎(2) 由题意知:AB=4.‎ ‎∵CD⊥x轴,∴NA=NB=2. ∴ON=1.‎ 由相交弦定理得:NA·NB=ND·NC,‎ ‎∴NC×4=2×2. ∴NC=1.‎ ‎∴C点坐标为. ‎ 设直线DF交CE于P,连结CF,则∠CFP=90°.‎ ‎∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°.‎ ‎∵GC、GF是切线,‎ F B A y x O N M G E D C P ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎∴GC=GF. ∴∠3=∠4.‎ ‎∴∠1=∠2. ‎ ‎∴GF=GP.‎ ‎∴GC=GP.‎ 可得CP=8.‎ ‎∴P点坐标为 ‎ 设直线DF的解析式为 则 解得 ‎∴直线DF的解析式为: ‎ ‎(3) 假设存在过点G的直线为,‎ 则,∴. ‎ 由方程组 得 ‎ 由题意得,∴. ‎ 当时,,‎ ‎∴方程无实数根,方程组无实数解.‎ ‎∴满足条件的直线不存在. ‎ ‎10.(2004山西)已知二次函数的图象经过点A(-3,6),并与x轴交于点B(-1,0)和点C,顶点为P.‎ ‎(1)求这个二次函数的解析式,并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象;‎ ‎(2)设D为线段OC上的一点,满足∠DPC=∠BAC,求点D的坐标;‎ ‎(3)在x轴上是否存在一点M,使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切?如果存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解] (1)解:∵二次函数的图象过点A(-3,6),B(-1,0)‎ x O y 得         解得 ‎∴这个二次函数的解析式为:‎ 由解析式可求P(1,-2),C(3,0)‎ 画出二次函数的图像 ‎ (2)解法一:易证:∠ACB=∠PCD=45°‎ 又已知:∠DPC=∠BAC   ∴△DPC∽△BAC ‎∴  易求 ‎∴ ∴   ∴‎ ‎ 解法二:过A作AE⊥x轴,垂足为E.‎ 设抛物线的对称轴交x轴于F.‎ 亦可证△AEB∽△PFD、‎ ‎∴.      易求:AE=6,EB=2,PF=2‎ ‎∴ ∴  ∴‎ ‎(3)存在.‎ ‎(1°)过M作MH⊥AC,MG⊥PC垂足分别为H、G,设AC交y轴于S,CP 的延长线交y轴于T ‎∵△SCT是等腰直角三角形,M是△SCT的内切圆圆心,‎ ‎∴MG=MH=OM 又∵且OM+MC=OC ‎∴‎ ‎∴‎ ‎(2°)在x轴的负半轴上,存在一点M′‎ 同理OM′+OC=M′C,‎ 得     ∴M′‎ 即在x轴上存在满足条件的两个点.‎ M′‎ T ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎4‎ ‎-3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎6‎ E ‎-1‎ ‎-2‎ ‎2‎ ‎3‎ A C x y B D M F S G H P ‎11.(2004浙江绍兴)在平面直角坐标系中,A(-1,0),B(3,0).‎ ‎(1)若抛物线过A,B两点,且与y轴交于点(0,-3),求此抛物线的顶点坐标;‎ ‎(2)如图,小敏发现所有过A,B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C,M为抛物线的顶点,那么△ACM与△ACB的面积比不变,请你求出这个比值;‎ A B C M O x y ‎(3)若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E,F,与y轴交于点C,过C作CP∥x轴交l于点P,M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形,求次抛物线的解析式.‎ ‎[解] (1),顶点坐标为(1,-4).‎ ‎(2)由题意,设y=a(x+1)(x-3),‎ 即y=ax2-2ax-3a,‎ ‎∴ A(-1,0),B(3,0),C(0,-3a),‎ M(1,-4a),‎ ‎∴ S△ACB=×4×=6,‎ 而a>0, ∴ S△ACB=6A、‎ 作MD⊥x轴于D,‎ 又S△ACM=S△ACO +SOCMD -S△AMD=·1·3a+(3a+4a)-·2·4a=a,‎ ‎∴ S△ACM:S△ACB=1:6.‎ ‎(3)①当抛物线开口向上时,设y=a(x-1)2+k,即y=ax2-2ax+a+k,‎ 有菱形可知=,a+k>0,k<0,‎ ‎∴ k=,‎ ‎∴ y=ax2-2ax+, ∴ .‎ 记l与x轴交点为D,‎ 若∠PEM=60°,则∠FEM=30°,MD=DE·tan30°=,‎ ‎∴ k=-,a=,‎ ‎∴ 抛物线的解析式为.‎ 若∠PEM=120°,则∠FEM=60°,MD=DE·tan60°=,‎ ‎∴ k=-,a=,‎ ‎∴ 抛物线的解析式为.‎ ‎②当抛物线开口向下时,同理可得 ‎,.‎ ‎12.(2005北京)已知:在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象与x轴交于点A,抛物线经过O、A两点。‎ ‎(1)试用含a的代数式表示b;‎ ‎(2)设抛物线的顶点为D,以D为圆心,DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折,翻折后的劣弧落在⊙D内,它所在的圆恰与OD相切,求⊙D半径的长及抛物线的解析式;‎ ‎(3)设点B是满足(2)中条件的优弧上的一个动点,抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点P,使得?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。‎ ‎[解] (1)解法一:∵一次函数的图象与x轴交于点A ‎ ∴点A的坐标为(4,0)‎ ‎ ∵抛物线经过O、A两点 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解法二:∵一次函数的图象与x轴交于点A ‎ ∴点A的坐标为(4,0)‎ ‎ ∵抛物线经过O、A两点 ‎ ∴抛物线的对称轴为直线 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (2)由抛物线的对称性可知,DO=DA ‎ ∴点O在⊙D上,且∠DOA=∠DAO ‎ 又由(1)知抛物线的解析式为 ‎ ∴点D的坐标为()‎ ‎ ①当时,‎ ‎ 如图1,设⊙D被x轴分得的劣弧为,它沿x轴翻折后所得劣弧为,显然所在的圆与⊙D关于x轴对称,设它的圆心为D'‎ ‎ ∴点D'与点D也关于x轴对称 ‎ ∵点O在⊙D'上,且⊙D与⊙D'相切 ‎ ∴点O为切点 ‎ ∴D'O⊥OD ‎ ∴∠DOA=∠D'OA=45°‎ ‎ ∴△ADO为等腰直角三角形 ‎ ‎ ‎ ∴点D的纵坐标为 ‎ ‎ ‎ ∴抛物线的解析式为 ‎ ‎ ②当时,‎ ‎ 同理可得:‎ ‎ 抛物线的解析式为 ‎ 综上,⊙D半径的长为,抛物线的解析式为或 ‎ (3)抛物线在x轴上方的部分上存在点P,使得 ‎ 设点P的坐标为(x,y),且y>0‎ ‎ ①当点P在抛物线上时(如图2)‎ ‎ ∵点B是⊙D的优弧上的一点 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 过点P作PE⊥x轴于点E ‎ ‎ ‎ 由解得:(舍去)‎ ‎ ∴点P的坐标为 ‎ ‎ ②当点P在抛物线上时(如图3)‎ ‎ 同理可得,‎ ‎ 由解得:(舍去)‎ ‎ ∴点P的坐标为 ‎ ‎ 综上,存在满足条件的点P,点P的坐标为 ‎ 或 ‎13.(2005北京丰台)在直角坐标系中,⊙经过坐标原点O,分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。‎ ‎ (1)如图,过点A作⊙的切线与y轴交于点C,点O到直线AB的距离为,求直线AC的解析式;‎ ‎ (2)若⊙经过点M(2,2),设的内切圆的直径为d,试判断d+AB的值是否会发生变化,如果不变,求出其值,如果变化,求其变化的范围。‎ ‎[解] (1)如图1,过O作于G,则 ‎ ‎ 设 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (3,0)‎ ‎ AB是⊙的直径 ‎ 切⊙于A,‎ ‎ 在中 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设直线AC的解析式为,则 ‎ ‎ ‎ 直线AC的解析式为 ‎ ‎ (2)结论:的值不会发生变化 ‎ ‎ 设的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T,如图2所示 图2‎ ‎ ‎ ‎ 则 ‎ 在x轴上取一点N,使AN=OB,连接OM、BM、AM、MN ‎ 平分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的值不会发生变化,其值为4。‎ ‎14.(2005福建厦门)已知:O是坐标原点,P(m,n)(m>0)是函数y = (k>0)上的点,过点P作直线PA⊥OP于P,直线PA与x轴的正半轴交于点A(a,0)(a>m). 设△OPA的面积为s,且s=1+.‎ ‎ (1)当n=1时,求点A的坐标;‎ ‎ (2)若OP=AP,求k的值;‎ ‎ (3 ) 设n是小于20的整数,且k≠,求OP2的最小值. ‎ ‎[解] 过点P作PQ⊥x轴于Q,则PQ=n,OQ=m (1) 当n=1时, s= ‎ ‎∴ a== ‎ ‎(2) 解1: ∵ OP=AP PA⊥OP ‎ ‎∴△OPA是等腰直角三角形 ‎ ‎∴ m=n= ‎ ‎∴ 1+=·an ‎ 即n4-4n2+4=0 ‎ ‎∴ k2-4k+4=0‎ ‎∴ k=2 ‎ 解2:∵ OP=AP PA⊥OP ‎ ‎∴△OPA是等腰直角三角形 ‎∴ m=n ‎ 设△OPQ的面积为s1‎ 则:s1= ‎∴ ·mn=(1+)‎ 即:n4-4n2+4=0 ‎ ‎∴ k2-4k+4=0‎ ‎∴ k=2 ‎ ‎(3) 解1:∵ PA⊥OP, PQ⊥OA ‎∴ △OPQ∽△OAP ‎ 设:△OPQ的面积为s1,则 = ‎ ‎ 即: = 化简得:2n4+2k2-k n4-4k=0 ‎ ‎(k-2)(2k-n4)=0‎ ‎∴k=2或k=(舍去) ‎ ‎∴当n是小于20的整数时,k=2.‎ ‎∵ OP2=n2+m2=n2+ 又m>0,k=2,‎ ‎∴ n是大于0且小于20的整数 当n=1时,OP2=5‎ 当n=2时,OP2=5‎ 当n=3时,OP2=32+=9+= ‎ 当n是大于3且小于20的整数时,‎ 即当n=4、5、6、…、19时,OP2得值分别是:‎ ‎42+、52+、62+、…、192+ ‎∵192+>182+>…>32+>5 ‎ ‎∴ OP2的最小值是5. ‎ 解2: ∵ OP2=n2+m2=n2+ ‎ =n2+ ‎ =(n-)+4 ‎ 当n= 时,即当n=时,OP2最小;‎ 又∵n是整数,而当n=1时,OP2=5;n=2时,OP2=5 ‎ ‎∴ OP2的最小值是5. ‎ 解3:∵ PA⊥OP, PQ⊥OA ‎∴ △OPQ∽△P AQ ‎ = ‎ = ‎ 化简得:2n4+2k2-k n4-4k=0 ‎ ‎(k-2)(2k-n4)=0‎ ‎∴k=2或k=(舍去) ‎ 解4:∵ PA⊥OP, PQ⊥OA ‎∴ △OPQ∽△P AQ = ‎ 化简得:2n4+2k2-k n4-4k=0 ‎ ‎(k-2)(2k-n4)=0‎ ‎∴k=2或k=(舍去) ‎ 解5:∵ PA⊥OP, PQ⊥OA ‎∴ △OPQ∽△OAP ‎∴ = ‎∴ OP2=OQ·OA 化简得:2n4+2k2-k n4-4k=0 ‎ ‎(k-2)(2k-n4)=0‎ ‎∴k=2或k=(舍去) ‎ ‎15.(2005湖北黄冈课改)如图,在直角坐标系中,O是原点,A、B、C三点的坐标分别为A(18,0),B(18,6),C(8,6),四边形OABC是梯形,点P、Q同时从原点出发,分别坐匀速运动,其中点P沿OA向终点A运动,速度为每秒1个单位,点Q沿OC、CB向终点B运动,当这两点有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动。‎ ‎(1)求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。‎ QA P O C(8,6)‎ B(18,6)‎ A(18,0)‎ x y ‎(2)试在⑴中的抛物线上找一点D,使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等,请直接写出点D的坐标。‎ ‎(3)设从出发起,运动了t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位,试写出点Q的坐标,并写出此时t的取值范围。‎ ‎(4)设从出发起,运动了t秒。当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半,这时,直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分,如有可能,请求出t的值;如不可能,请说明理由。‎ ‎[解] (1)∵O、C两点的坐标分别为O,C ‎   设OC的解析式为,将两点坐标代入得:‎ ‎   ,,∴ ‎ ‎    ∵A,O是轴上两点,故可设抛物线的解析式为 ‎   再将C代入得:‎ ‎∴ ‎ ‎(2)D ‎(3)当Q在OC上运动时,可设Q,依题意有:‎ ‎∴,∴Q,‎ 当Q在CB上时,Q点所走过的路程为,∵OC=10,∴CQ=‎ ‎∴Q点的横坐标为,∴Q, ‎ ‎(4)∵梯形OABC的周长为44,当Q点OC上时,P运动的路程为,则Q运动的路程为 ‎△OPQ中,OP边上的高为:‎ 梯形OABC的面积=,依题意有:‎ 整理得:  ∵△=,∴这样的不存在 当Q在BC上时,Q走过的路程为,∴CQ的长为:‎ ‎∴梯形OCQP的面积==36≠84×‎ ‎∴这样的值不存在 综上所述,不存在这样的值,使得P,Q两点同时平分梯形的周长和面积 ‎16.(2005湖北荆门)已知:如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,∠ACB=90°,‎ ‎(1)求m的值及抛物线顶点坐标;‎ ‎(2)过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D,连结DM并延长交⊙M于点E,过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G,求直线FG的解析式;‎ ‎(3)在(2)条件下,设P为上的动点(P不与C、D重合),连结PA交y轴于点H,问是否存在一个常数k,始终满足AH·AP=k,如果存在,请写出求解过程;如果不存在,请说明理由.‎ ‎[解] (1)由抛物线可知,点C的坐标为(0,m),且m<0.‎ ‎  设A(x1,0),B(x2,0).则有x1·x2=3m  ‎ 又OC是Rt△ABC的斜边上的高,∴△AOC∽△COB ∴ ‎ A ‎·‎ B C D E F G M x y O ‎∴,即x1·x2=-m2 ‎ ‎∴-m2=3m,解得 m=0 或m=-3 ‎ 而m<0,故只能取m=-3 ‎ 这时,‎ ‎ 故抛物线的顶点坐标为(,-4)‎ ‎(2)解法一:由已知可得:M(,0),A(-,0),B(3,0),‎ C(0,-3),D(0, 3)‎ ‎∵抛物线的对称轴是x=,也是⊙M的对称轴,连结CE ‎∵DE是⊙M的直径,‎ ‎∴∠DCE=90°,∴直线x=,垂直平分CE,‎ ‎∴E点的坐标为(2,-3)‎ ‎∵,∠AOC=∠DOM=90°,‎ ‎∴∠ACO=∠MDO=30°,∴AC∥DE ‎∵AC⊥CB,∴CB⊥DE 又FG⊥DE,  ∴FG∥CB ‎ 由B(3,0)、C(0,-3)两点的坐标易求直线CB的解析式为:‎ y=-3  ‎ 可设直线FG的解析式为y=+n,把(2,-3)代入求得n=-5‎ 故直线FG的解析式为y=-5  ‎ 解法二:令y=0,解-3=0得 x1=-,x2=3‎ 即A(-,0),B(3,0)‎ 根据圆的对称性,易知::⊙M半径为2,  M(,0)‎ 在Rt△BOC中,∠BOC=90°,OB=3,,OC=3‎ ‎∴∠CBO=30°,同理,∠ODM=30°。‎ 而∠BME=∠DMO,∠DOM=90°,∴DE⊥BC ‎∵DE⊥FG, ∴BC∥FG ‎∴∠EFM=∠CBO=30°‎ 在Rt△EFM中,∠MEF=90°,ME=2,∠FEM=30°,‎ ‎∴MF=4,∴OF=OM+MF=5,‎ ‎∴F点的坐标为(5,0)‎ 在Rt△OFG中,OG=OF·tan30°=5×=5‎ ‎∴G点的坐标为(0,-5)‎ ‎∴直线 FG的解析式为y=-5 ‎ ‎(3)解法一:‎ 存在常数k=12,满足AH·AP=12  ‎ 连结CP A ‎·‎ B C D E F G M x y P H O 由垂径定理可知,‎ ‎∴∠P=∠ACH ‎(或利用∠P=∠ABC=∠ACO)‎ 又∵∠CAH=∠PAC,‎ ‎∴△ACH∽△APC ‎∴ 即AC2=AH·AP ‎ 在Rt△AOC中,AC2=AO2+OC2=()2+32=12‎ ‎(或利用AC2=AO·AB=×4=12‎ ‎∴AH·AP=12  ‎ 解法二:‎ 存在常数k=12,满足AH·AP=12‎ 设AH=x,AP=y 由相交弦定理得HD·HC=AH·HP 即 化简得:xy=12‎ 即 AH·AP=12 ‎ 中 考 压 轴 题 ‎【2017】‎
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