广东高考第十九题数列题发散研究

广东高考第十九题数列题发散研究

‎【广东高考】第19题数列题发散研究 每年都有很多老师对高考题目进行研究总结，网上关于数列的文章也多如牛毛，作为过来人，我也来写一篇关于广东高考数列大题的研究，其他省市的同学也可以参考(注：本文属于基础性的文章，适合中上水平的学生，即平时考试得120分左右的学生)‎ ‎【2012广东高考理数，19】设数列的前项和为，满足，且成等差数列。‎ ‎ （1）求的值；（2）求数列的通项公式。‎ ‎（3）证明：对一切正整数，有 ‎【网上解析】（1） 相减得：‎ ‎ ‎ ‎ 成等差数列 ‎ （2）得对均成立 ‎ ‎ ‎ 得：‎ ‎ （3）当时，‎ 当时，‎ ‎ 由上式得：对一切正整数，有 ‎【考点总结】‎ 第（1）问考了两个知识点 i. 对于所有数列都有；‎ ii. 等差中项，若a,b,c成等差数列，则2b=a+c；‎ 第（2）问考了两个知识点 i. 若，则是一个以q为公比的等比数列；‎ ii. 构造法求通项公式；‎ 第（3）问也考了两个知识点 i. 放缩法；‎ i. 分类讨论；‎ ii. 等比数列求和公式；‎ 总的来说，这个题目是一个毫无难度，毫无创意的试题，全是数列的基础方法。当然，唯一值的思考的就是第（3）问的放缩法，即 当时，‎ 其实高中数列的求和方法主要有四种：‎ i. 等差数列求和：‎ ii. 等比数列求和：‎ iii. 错位相减；‎ iv. 裂项相消；‎ 后两种方法下面再详细说明，不难判断对于本题我们只能从等比数列求和及裂项相消这两种中抉择（注：裂项相消有个显著的特征就是各项均为分式），到此只能试一下，我首先想到的是 当时，‎ 这是用肉眼可以看出来的，所以试一试，但结果是 只能小于2，离还差一点点，所以我们需要把这个下限再增大一点，这时就应该能猜测，这个可不是用肉眼能看出的，所以需要论证一下，在草纸上用综合分析方法：‎ 显然当时是成立的，所以就有了本题的解法。‎ 有些同学会问，这里有2也有3，为什么一定要用2不用3，我试了一下，用3也是可以的，还可以用肉眼看出来，如下 当时，‎ 这样看来，貌似用3比用2顺得多。‎ 现在回头看看第（2）问的构造法求通项公式：‎ 很多同学对于这一步是怎么想到的比较费解，如果受过竞赛训练的同学就会知道，这可以用待定系数法来确定，前提是当我们知道需要构造的数列中有，也有，可以设 化简得：‎ 与条件比对可知。‎ 如果将题目改为：，那么该怎么求呢？这时可以设 化简得：‎ 与题目比对得 即 所以是一个等比数列，至此，希望大家可以举一反三，下面还要用到这种方法。‎ 再看看去年的数列题（这个问题我们重点讨论第一问）：‎ ‎【2011广东高考理数，20】设数列满足,‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)证明：对于一切正整数n,.‎ ‎【网上解析】‎ 还是先总结一下这题的考点吧，因为这个是第20题，难度当然比19题要上一个层次：‎ ‎【考点总结】‎ 第（1）问考了三个考点：‎ i. 构造法求通项；‎ ii. 分类讨论；‎ iii. 等比等差数列的概念；‎ ‎（注：这些在上一题也出现过，反反复复考）‎ 第（2）问按以上解法有如下知识点：‎ i. 分类讨论；‎ ii. 不等式的分析综合法；‎ iii. 基本不等式 iv. 等比数列求和公式；‎ 其实我们平时做练习时经常可以看到一种类似且稍微简单的题：‎ 已知数列满足，求；‎ 这个大多出在选择题，好像课本中也有，它的解法一般是先求出前4项，然后叫你根据规律猜测其通项公式。实际上，它的解法是取倒数，如下 即 所以是一个以1为首项，为公差的等差数列，所以 即 如果你对这个题很熟悉，恭喜你，你应该能做现在这个高考题了，如解答：‎ 这里当，它是一个等差数列，略去不说；‎ 当时，这个式子是怎么来的呢？别忘了我们刚说过的待定系统法，已知，我们应该设：‎ 化简得：‎ 对比条件得，解得，这就是的由来。‎ 当然，这些步骤是在草纸上做的，考试时就直接按解答的样子写就可以，省略中间步骤。‎ 再看2012年广州一模理数的一道数列大题：‎ ‎【2012年广州一模理数，19】等比数列的各项均为正数，成等差数列，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【网上解析】‎ ‎（1）解：设等比数列的公比为，依题意，有 即 ‎ 所以 由于，，解之得或 又，所以，‎ 所以数列的通项公式为（）．‎ ‎（2）解：由（1），得．‎ 所以 ‎．‎ 所以 ‎．‎ 故数列的前项和．‎ 这道题我只想讨论一下第（2）问，大家看答案可以看到，这就是我之前说的求和的第四种形式：裂项相消。这起源于一个小学奥数题：‎ 这个奥数题有多种变式，这里不再详细说，只说一种特殊的情况：‎ 已知是一个以d为公差的等差数列，则 另外加几个习题给大家练习巩固体会：‎ 习题1.（全国大纲理20） ‎ 设数列满足且 ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设 习题2．（全国新课标理17） ‎ 已知等比数列的各项均为正数，且．‎ ‎（I）求数列的通项公式．‎ ‎（II）设，求数列的前n项和．‎ 习题3．（浙江理19）‎ 已知公差不为0的等差数列的首项为a（）,设数列的前n项和为，且，，成等比数列 ‎（1）求数列的通项公式及 ‎（2）记，，当时，试比较与的大小．‎ 习题4．（天津理20） ‎ 已知数列与满足：， ，且 ‎．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：是等比数列；‎ ‎（III）设证明：．‎ ‎ ‎ 参考答案 习题1.解：‎ ‎ （I）由题设 ‎ 即是公差为1的等差数列。‎ ‎ 又 ‎ 所以 ‎ （II）由（I）得 ‎ ， …………8分 ‎ …………12分 习题2.解：‎ ‎（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以．‎ 由条件可知c>0，故．‎ 由得，所以．‎ 故数列{an}的通项式为an=．‎ ‎（Ⅱ ）‎ 故 所以数列的前n项和为 习题3（I）解：设等差数列的公差为d，由 得 因为，所以所以 ‎（II）解：因为，所以 因为，所以 当，‎ 即 所以，当 当 习题4 （I）解：由 ‎ 可得 又 ‎（II）证明：对任意 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ ③‎ ‎②—③，得 ④‎ 将④代入①，可得即 又因此是等比数列.‎ ‎（III）证明：由（II）可得，‎ 于是，对任意，有 将以上各式相加，得即，‎ 此式当k=1时也成立.由④式得 从而 所以，对任意，‎ 对于n=1，不等式显然成立.‎ 所以，对任意