数学冀教版八年级上册教案16-2线段的垂直平分线（3）

数学冀教版八年级上册教案16-2线段的垂直平分线（3）

- 1 - 16.2 线段的垂直平分线（3） 教学目标 【知识与能力】 1.使学生会用尺规作已知线段的垂直平分线. 2.会用尺规作图:经过一已知点作已知直线的垂线. 【过程与方法】 1.学会使用精练准确的语言叙述作图过程. 2.学生用尺规作较简单的图形. 【情感态度价值观】 通过尺规作图的学习,培养学生的作图能力、语言表达能力和逻辑思维能力. 教学重难点 【教学重点】 1.用尺规作线段的垂直平分线. 2.会用尺规作图:经过一已知点作已知直线的垂线. 【教学难点】 用尺规作图:经过一已知点作已知直线的垂线. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 【提出问题】 1.什么叫尺规作图? 只用直尺(没有刻度)和圆规画图的方法叫做尺规作图. 2.我们学过哪些基本的尺规作图? (1)作一条线段等于已知线段; (2)作一角等于已知角. (3)用尺规作三角形. 3.什么叫做线段的垂直平分线? 经过线段的中点并且垂直线段的直线,叫做线段的垂直平分线. 教师说明:我们学习了线段的垂直平分线的定义,那么怎样作一条线段的垂直平分线,又如何 过一点作出已知直线的垂线呢?这节课我们就研究这两个问题. [设计意图] 通过导入,让学生温习以前学过的知识,从而利用知识迁移引出本节课要研究 的内容,激发学生探究的欲望和学习的信心. 导入二: 【课件 1】 如图所示,点 A,B,C 表示三个村庄,现要建一座深井水泵站,向三个村庄分别送 水 , 为 使 三 条 输 水 管 长 度 相 同 , 水 泵 站 应 建 在 何 处 ? 请 画 示 意 图 , 并 说 明 理 由 . - 2 - 〔解析〕 因为向三个村庄分别送水,三条输水管长度相同,所以水泵站应在 AB,BC 的中垂线 的交点处. 说明:那么如何用尺规作图的方法作出线段的中垂线呢?(导出课题) [设计意图] 重新审视线段垂直平分线性质定理的逆定理,让学生明确到线段两个端点距离 相等的点在线段的垂直平分线上,从而引出本节课的学习内容. 二、新知构建： [过渡语] 用直尺和圆规作图的问题,以前我们已经遇到过.现在我们可以进一步用尺 规作有关图形. 活动一:作线段的垂直平分线 思路一 我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线,现在我们学习了线段的垂直平分线的性质和 判定,能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢? 要作出线段的垂直平分线,根据垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上,那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点,这样才能确 定已知线段的垂直平分线. 下面我们一同来写出已知、求作、作法,体会作法中每一步的依据. 【课件 2】 如图所示,已知线段 AB. 求作:线段 AB 的垂直平分线. 〔解析〕 由线段垂直平分线性质定理的逆定理可知,只要作出到这条线段端点距离相等的 两点,连接这两个点,即得所求作的直线. 作法:如图所示. (1)分别以点 A 和点 B 为圆心,a > 1 2 为半径,在线段 AB 的两侧画弧,分别相交于点 C,D. (2)连接 CD. 直线 CD 即为所求. 师:根据上面作法中的步骤,想一想,为什么直线 CD 就是所求作的垂直平分线?请与同伴进行 - 3 - 交流. 生:从作法知 AC=BC=AD=BD, ∴C,D 都在 AB 的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定). CD 就是线段 AB 的垂直平分线(两点确定一条直线). 师:我们曾用刻度尺找线段的中点,当我们学习了线段的垂直平分线的作法时,一旦垂直平分 线作出,线段与线段的垂直平分线的交点就是线段的中点,所以我们也用这种方法找线段的 中点. 思路二 【课件 3】 如图所示,已知 PA=PB,QA=QB,则直线 PQ 是线段 AB 的垂直平分线吗?为什么? 生:是.由题意可知ΔAPQ≌ΔBPQ,所以∠APQ=∠BPQ,设 AB 与 PQ 的交点为 O,所以ΔAPO≌Δ BPO,所以∠AOP=∠BOP,AO=BO,即得 PQ 是线段 AB 的垂直平分线. 师:对于 PA=PB,QA=QB,我们都可以用圆规比较容易地实现,从这里你是否已经看出线段的垂 直平分线的作法了呢? 画一条线段,用尺规作出它的垂直平分线. 明确线段垂直平分线的画法. [知识拓展] 任意作出两条连接圆上不同点的线段,再分别作出它们的垂直平分线,则两条 垂直平分线的交点即为圆心,这个圆心与圆上任意一点的距离即为半径. [设计意图] 通过对线段垂直平分线的证明,让学生探索、发现线段垂直平分线的作法. 活动二:经过一点作已知直线的垂线 经过一点作已知直线的垂线,这一点与已知直线有两种不同的位置关系:点在直线外,点在直 线上.因此要分别按这两种情况作图. 【课件 4】 如图所示,已知直线 AB 及 AB 外一点 P. 求作:经过点 P,且垂直于 AB 的直线. 〔解析〕 在直线 AB 上作出一条线段 CD,使得点 P 在线段 CD 的垂直平分线上.再作出到点 C,D 距离相等的点 Q,连接 PQ,直线 PQ 即为所求. 作 法 : 如 图 所 示 , 以 点 P 为 圆 心 , 适 当 长 为 半 径 画 弧 , 交 直 线 AB 于 点 C,D. - 4 - (2)分别以点 C,D 为圆心,适当长为半径,在直线 AB 的另一侧画弧,两弧相交于点 Q. (3)连接 PQ. 直线 PQ 即为所求. 说明:学生自己探索作法,然后师生共同操作,检验自己所作的步骤是否正确. [过渡语] 我们了解了过直线外一点作已知直线的垂线的方法,如果这个点在直线上, 又怎样过这个点作已知直线的垂线呢? 【课件 5】 (教材第 119 页做一做) 已知:如图所示,点 P 在直线 AB 上. 求作:经过点 P,且垂直于 AB 的直线. 指导学生仿照例 2 完成,然后展示画法. [设计意图] 体会线段垂直平分线性质定理的逆定理在作图中的应用,让学生明确作图的方 法和依据,理解知识之间的相互联系. 三、课堂小结： 1.根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理,只要找到两个到线段两端距离相等的点,那么 过这两点就可以作出线段的垂直平分线. 2.过一点作已知直线的垂线,由于已知点与直线可以有两种不同的位置关系:①点在直线 外;②点在直线上,因此同学们在作图时要掌握这两种方法的区别. 说明:根据作线段垂直平分线的方法,我们可以把一条线段平分;根据过直线外一点作已知直 线的垂线的方法,我们可以作出三角形的高.