【数学】2019届一轮复习人教A版 几何证明选讲

【数学】2019届一轮复习人教A版 几何证明选讲

几何证明选讲是高考必考内容，主要考查相交弦定理、切割线定理、与圆有关的比例线段的计算与证明等，其中将相似三角形有关知识与相交弦定理、切割线定理相结合进行考查是高考考查的热点．常以解答题形式考查．‎ 相似三角形的判定与性质 ‎(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．‎ 判定定理2：两边对应成比例并且夹角相等，两三角形相似．‎ 判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．‎ ‎(2)性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线、对应角平分线和它们周长的比都等于相似比．‎ 性质定理2：相似三角形的面积比等于相似比的平方．‎ ‎(3)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．‎ 判定两个三角形相似的四种常用方法 ‎(1)两角对应相等，两三角形相似；‎ ‎(2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；‎ ‎(3)三边对应成比例，两三角形相似；‎ ‎(4)相似三角形的定义．‎ ‎[典例]　‎ 如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.‎ 求证：△ABD∽△AEB.‎ ‎(2)如图，已知⊙O和⊙M相交于A，B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为的中点，‎ 连接AG分别交⊙O，BD于点E，F，连接CE.‎ ‎①求证：AG·EF＝CE·GD；‎ ‎②求证：＝.‎ ‎[自主解答]　(1)证明：因为AB＝AC，‎ 所以∠ABD＝∠C.‎ 又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E.‎ 又∠BAE为公共角，所以△ABD∽△AEB.‎ ‎(2)证明：①已知AD为⊙M的直径，连接AB，可知∠ABD＝90°，由弧BE可得∠BCE＝∠BAE，∠CFE＋∠BCE＝∠AFB＋∠BAE＝90°，∠CEF＝∠ABD＝90°，由点G为弧BD的中点可知∠GAD＝∠BAE＝∠FCE，故△CEF∽△AGD，所以有＝，即AG·EF＝CE·GD.‎ ‎②由①知∠DFG＝∠CFE＝∠ADG，‎ 故△AGD∽△DGF，‎ 所以＝＝，即＝.‎ ‎　　解答几何运算问题的三点注意 ‎(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．‎ ‎(2)在证明角或线段相等时，要注意等量代换．‎ ‎(3)在证明线段的乘积相等时，通常用三角形相似或圆的切线定理．‎ ‎[变式训练]‎ ‎　‎ 如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．‎ ‎(1)若＝，＝1，求的值；‎ ‎(2)若EF2＝FA·FB，证明：EF∥CD.‎ 解：(1)∵A，B，C，D四点共圆，‎ ‎∴∠EDC＝∠EBF，又∠AEB为公共角，‎ ‎∴△ECD∽△EAB，∴＝＝，‎ ‎∴＝·＝·＝×＝，‎ ‎∴＝.‎ ‎(2)∵EF2＝FA·FB，∴＝，‎ 又∵∠EFA＝∠BFE，∴△FAE∽△FEB，‎ ‎∴∠FEA＝∠EBF，‎ 又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC＝∠EBF，‎ ‎∴∠FEA＝∠EDC，∴EF∥CD.‎ ‎1．圆的切线的性质及判定定理 ‎(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．‎ 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．‎ 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．‎ ‎(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．‎ ‎2．弦切角的性质 定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．‎ ‎3．直线与圆位置关系的“四定理”应用 ‎(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．‎ ‎(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．‎ ‎(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．‎ ‎(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．‎ 处理与圆有关的比例线段的常见思路有：‎ ‎(1)利用相似三角形；‎ ‎(2)利用圆的有关定理；‎ ‎(3)利用平行线分线段成比例定理及推论；‎ ‎(4)利用面积关系等．‎ ‎[典例]　‎ 如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，＝，DE交AB于点F，且AB＝2BP＝4，‎ ‎(1)求PF的长度；‎ ‎(2)若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．‎ ‎[自主解答]　‎ ‎(1)连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE＝∠AOC，‎ 又∠CDE＝∠P＋∠PFD，∠AOC＝∠P＋∠OCP，‎ 从而∠PFD＝∠OCP，故△PFD∽△PCO，‎ ‎∴＝，‎ 由割线定理知PC·PD＝PA·PB＝12，‎ 故PF＝＝＝3.‎ ‎(2)若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为OF＝2－r＝1即r＝1，‎ 所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT，则PT2＝PB·PO＝2×4＝8，即PT＝2.‎ ‎　　注意“四定理”的应用 ‎(1)已知圆的切线时，第一要考虑切点和圆心的连线；第二应考虑弦切角定理；涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．‎ ‎(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例的计算与证明．在证明角或线段相等时，要注意等量代换．‎ ‎[变式训练]‎ 如图，AB，CD是半径为1的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，若PC＝，OP＝，求PD的长．‎ 解：(1)∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，∴PB＝＝(r为圆O的半径)，又∵PC·PD＝PA·PB＝PB2＝，由PC＝，得PD＝.‎ 圆内接四边形的性质与判定定理 ‎(1)性质：‎ 定理1：圆的内接四边形的对角互补．‎ 定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．‎ ‎(2)判定：‎ 定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．‎ 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．‎ ‎[典例]　‎ 如图，AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H.‎ ‎(1)求证：C，D，E，F四点共圆；‎ ‎(2)若GH＝6，GE＝4，求EF的长．‎ ‎[自主解答]　(1)证明：连接DB(如图)，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°，‎ 在Rt△ABD与Rt△AFG中，∠ABD＝∠AFE，‎ 又∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠AFE，‎ ‎∴C，D，E，F四点共圆．‎ ‎(2)∵C，D，E，F四点共圆，∴GE·GF＝GC·GD，‎ 又GH2＝GC·GD，所以GH2＝GE·GF，‎ 又GH＝6，GE＝4，∴GF＝9，EF＝GF－GE＝5.‎ ‎(1)在平面几何中求角的大小，经常考虑用三角形内角和定理及其推论．‎ ‎(2)在圆中求角的大小经常需要用与圆有关的角的定理．‎ ‎[变式训练]‎ ‎　(2015·濮阳模拟)‎ 如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F.‎ ‎(1)求证：BC∥DE；‎ ‎(2)若D，E，C，F四点共圆，且弧AC与弧BC相等，求∠BAC.‎ 解：(1)证明：DE与圆相切，‎ ‎∠EDC＝∠EAD，∠DCB＝∠DAB，‎ AD平分∠EAB，‎ ‎∴∠EAD＝∠DAB，∴∠EDC＝∠DCB，‎ ‎∴BC∥DE.‎ ‎(2)弧AC与弧BC相等，设∠CAB＝∠CBA＝θ，∠DBC＝∠CAD＝θ，∠EDA＝∠DBA＝∠CBA＋∠DBC＝θ，‎ 又∵D，E，C，F四点共圆，‎ ‎∴∠ACB＝∠EDA＝θ，θ＝π，∴∠BAC＝.‎ ‎1．如图在△ABC中，AB＝AC，过点A的直线与△ABC的外接圆交于点P，交BC的延长线于点D.求证：∠ABP＝∠D.‎ 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，‎ 又∠ACB＝∠APB，∴∠ABC＝∠APB，‎ 又∠BAD＝∠PAB，∴△ABD∽△APB，即∠ABP＝∠D.‎ ‎2．如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB，点F是线段AD上异于A、D的一点，且BD、BF与⊙O分别交于点C、E.求证：＝.‎ 证明：连接AC，EC，‎ ‎∵∠BAC＋∠ABC＝90°，∠ABC＋∠FDB＝90°，‎ ‎∴∠BAC＝∠FDB，‎ 又∠BAC＝∠BEC，‎ ‎∴∠BEC＝∠FDB，‎ 又∠CBE＝∠FBD，‎ ‎∴△BCE∽△BFD，‎ ‎∴＝.‎ ‎3．‎ 如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：‎ ‎(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；‎ ‎(2)FE·FN＝FM·FO.‎ 证明：(1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，‎ CD的中点，‎ 所以OM⊥AB，ON⊥CD，‎ 即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，‎ 因此∠OME＋∠ENO＝180°.‎ 又四边形的内角和等于360°，‎ 故∠MEN＋∠NOM＝180°.‎ ‎(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，‎ 故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.‎ ‎4．如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P.求OD.‎ 解：∵AB为直径，∴∠BCA＝90°.‎ 由OP∥BC，得OP＝BC＝，AC＝＝，‎ ‎∴CP＝PA＝.‎ ‎∵EC为⊙O的切线，∴∠DCP＝∠ABC＝∠AOP.‎ 又∵∠APO＝∠CPD，∴△DCP∽△AOP，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴DP＝，‎ ‎∴OD＝＋＝8.‎ ‎5．‎ 如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E，‎ ‎(1)证明：∠ADE＝∠AED；‎ ‎(2)若AC＝AP，求的值．‎ 解：(1)证明：∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP＝∠C，‎ 又∵∠APD＝∠CPE，∴∠BAP＋∠APD＝∠C＋∠CPE.‎ ‎∵∠ADE＝∠BAP＋∠APD，∠AED＝∠C＋∠CPE.‎ ‎∴∠ADE＝∠AED.‎ ‎(2)由(1)知∠BAP＝∠C，又∠APC＝∠BPA，‎ ‎∴△APC∽△BPA，＝，‎ ‎∵AC＝AP，∠BAP＝∠C＝∠APC，由三角形的内角和定理知：∠C＋∠APC＋∠PAC＝180°，‎ ‎∵BC是圆O的直径，‎ ‎∴∠BAC＝90°，∴∠C＋∠APC＋∠BAP＝90°，‎ ‎∴∠C＝∠APC＝∠BAP＝30°，‎ 在Rt△ABC中，＝，∴＝.‎ ‎6．‎ 如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.‎ ‎(1)证明：∠CBD＝∠DBA；‎ ‎(2)若AD＝3DC，BC＝，求⊙O的直径．‎ 解：(1)证明：因为DE为⊙O直径，‎ 所以∠BED＋∠EDB＝90°.‎ 又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，‎ 从而∠CBD＝∠BED.‎ 又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，‎ 所以∠CBD＝∠DBA.‎ ‎(2)由(1)知BD平分∠CBA，则＝＝3.‎ 又BC＝，从而AB＝3.‎ 所以AC＝＝4，所以AD＝3.‎ 由切割线定理得AB2＝AD·AE，‎ 即AE＝＝6，‎ 故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直径为3.‎ ‎7．已知圆内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一点，AE为圆O的切线．‎ ‎(1)求∠BAE的度数；‎ ‎(2)求证：CD2＝BD·EC.‎ 解：(1)在△EAB与△ECA中，‎ 因为AE为圆O的切线，所以∠EBA＝∠EAC，‎ 又∠E公用，所以∠EAB＝∠ECA.‎ 因为△ACD为等边三角形，‎ 所以∠EAB＝∠ECA＝120°.‎ ‎(2)证明：因为AE为圆O的切线，所以∠ABD＝∠CAE.‎ 因为△ACD为等边三角形，所以∠ADC＝∠ACD，‎ 所以∠ADB＝∠ECA，所以△ABD∽△EAC，‎ 所以＝，即AD·CA＝BD·EC.‎ 因为△ACD为等边三角形，所以AD＝AC＝CD，‎ 所以CD2＝BD·EC.‎ ‎8．‎ 如图：⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，＝，DE交AB于点F.‎ ‎(1)求证：O，C，D，F四点共圆；‎ ‎(2)求证：PF·PO＝PA·PB.‎ 证明：(1)连接OC，OE，‎ 因为＝，所以∠AOC＝∠AOE＝∠COE，‎ 又因为∠CDE＝∠COE，‎ 则∠AOC＝∠CDE，‎ 所以O，C，D，F四点共圆．‎ ‎(2)因为PBA和PDC是⊙O的两条割线，‎ 所以PD·PC＝PA·PB，‎ 因为O，C，D，F四点共圆，‎ 所以∠PDF＝∠POC，‎ 又因为∠DPF＝∠OPC，‎ 则△PDF∽△POC，‎ 所以＝，即PF·PO＝PD·PC，‎ 则PF·PO＝PA·PB.‎