【数学】辽宁省营口市盖州市第二高级中学2021届高三第一学期期中考试试卷
辽宁省营口市盖州市第二高级中学 2021 届高三第一学期期
中考试数学试卷
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一．选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合 2{ | 1}A x x ， 2{ | 2 0, }B x x x x Z ，则 BA = ( )
A．{ 1} B．{1} C．{ 1,1} D．{ 1,0,1}
2．在复平面内，复数 (2 i)z 对应的点位于第二象限，则复数 z 可取( )
A．2 B． 1 C． i D． 2 i
3．已知 x ， yR ，则“ 1x y ”是“ 1
2x 且 1
2y ”的( )
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充分且必要条件 D．不充分也不必要条件
4．从 3 名男生和 2 名女生共 5 名同学中抽取 2 名同学，若抽到了 1 名女同学，则另 1 名女
同学也被抽到的概率为 ( )
A． 1
10
B． 1
8
C． 1
2
D． 1
7
5． 51( )2x x
的展开式中 3x 的系数为 ( )
A． 5
2
B． 5 C．5 D． 5
2
6．已知函数 e e( ) ln 2
x x
f x
，则( )
A． ( )f x 是奇函数，且在 ( , ) 上单调递增
B． ( )f x 是奇函数，且在 ( , ) 上单调递减
C． ( )f x 是偶函数，且在 (0, ) 上单调递增
D． ( )f x 是偶函数，且在 (0, ) 上单调递减
7．在
△
ABC 中， 1cos 3A ， 2AB ， 3BC ，则
△
ABC 的面积为( )
A．1 B．2 C．3 2 D． 2 2
8．若 1x 是函数 3 2 21( ) ( 1) ( 3)3f x x a x a a x 的极值点，则 a 的值为( )
A． 2 B． 3 C． 2 或 3 D． 3 或 2
二．选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。
9.在某次高中学科知识竞赛中，对 4 000 名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分
布直方图，其中分组的区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，60 分以下
视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是 ( )
A．成绩在[70,80)的考生人数最多 B．不及格的考生人数为 1 000
C．考生竞赛成绩的平均分约为 70.5 分 D．考生竞赛成绩的中位数为 75 分
10.已知函数 f(x)＝ 3cos (2x－π
3)(x∈R)，下列结论错误的是( )
A．函数 f(x)的最小正周期为π B．函数 f(x)的图象关于点(5π
6
，0)对称
C．函数 f(x)在区间[0，π
2]上是减函数 D．函数 f(x)的图象关于直线 x＝π
6
对称
11．已知下列四个结论正确的是 ( )
A．a>b
⇔
ac>bc B．函数 y＝sinx＋ 4
sinx(0
b>0，c>d>0
⇒
a
d>b
c D．函数 y＝2－3x－4
x(x>0)的最大值为 2－4 3
12．若函数 f(x)在 R 上可导，且满足 f(x)－xf′(x)>0，则下列命题正确的是( )
A．3f(1)f(3) C．3f(3)f(4)
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
三．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若两个单位向量 a ， b 的夹角为 60 ，则| 2 | a b ________．
14．学校组织学生参加社会调查，某小组共有 3 名男同学，4 名女同学．现从该小组中选出
3 名同学分别到甲乙丙三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有
________．
15．已知θ是第四象限角，且 tan(θ－π
4)＝－4
3
，则 sin(θ＋π
4)＝______．
16．已知函数 f (x)＝ln(x3－3x)的单调递减区间为______．
四．解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分 10 分）
已知函数 ( ) sin( )( 0, )2 2f x x 的最小正周期是 ，
8x 是它图象的
一条对称轴直线．
（Ⅰ）求 , ；
（Ⅱ）若 10( )2 10f ， 04
，求sin 的值．
18.（本小题满分 12 分）
商品的销售价格与销售量密切相关，为更精准地为商品确定最终售价，商家对商品 A 按以
下单价进行试售，得到部分的数据如下：
单价 x （元） 15 16 17 18 19
销量 y （件） 60 58 55 53 49
（1）求销量 y 关于 x 的线性回归方程；
（2）预计今后的销售中，销量与单价服从（1）中的线性回归方程，已知每件商品 A 的成
本是10 元，为了获得最大利润，商品 A 的单价应定为多少元？（结果保留整数）
（参考数据：
5
1
275i
i
y
，
5
1
4648i i
i
x y
，
5
2
1
1455i
i
x
）
（参考公式：
1 1
2 22
1 1
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nxy
b
x x x nx
， a y bx $ $ ）．
19．（本小题满分 12 分）
已知曲线 2( ) ( 15)exf x x ax ，曲线 ( )y f x 在 0x 处的切线为 9 0x y b ．
（1）求 a ， b 值；
（2）函数 ( )f x 在区间[ 2 ， 2] 上的最大值与最小值．
20．（本小题满分 12 分）
司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命.
为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了100 名机动车司机，得到以下统计：
在55名男性司机中，开车时使用手机的有 40 人，开车时不使用手机的有15人；在 45 名女
性司机中，开车时使用手机的有 20 人，开车时不使用手机的有 25 人．
（1）完成下面的 2 2 列联表，并判断是否有99.5% 的把握认为开车时使用手机与司机的性
别有关；
开车时使用手机 开车时不使用手机 合计
男性司机人数
女性司机人数
合计
（2）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检 3
辆，记这 3 辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为 X ，若每次抽检的结果都相互
独立，求 X 的分布列和数学期望 ( )E X ．
参考公式与数据：
参考数据：
2
0P k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
10.828
参考公式
2
2 n ad bc
a b c d a c b d
，其中 n a b c d .
21.（本小题满分 12 分）
已知向量 m＝(cos x，sin x)，n＝(cos x， 3cos x)，x∈R，设函数 f(x)＝m·n＋1
2.
(1)求函数 f(x)的解析式及单调递增区间；
(2)设 a，b，c 分别为△ABC 的内角 A，B，C 的对边，若 f(A)＝2，b＋c＝2 2，△ABC 的面
积为1
2
，求 a 的值．
22.（本小题满分 12 分）
已知关于 x 的函数 g（x）= ﹣alnx（a∈R），f（x）=x2g（x）．
（1）当 a=﹣2 时，求函数 g（x）的单调区间；
（2）若 f（x）在区间（ ，e）内有且只有一个极值点，试求 a 的取值范围．
参考答案
一．选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
二．选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B B D A C D B ABC BC CD BD
三．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13． 3 14.180 种 15．3
5 16．(－1，0)
四．解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分 10 分）
解：（Ⅰ）由题意 2 ， 2 ， …………（2 分）
直线
8x 是 ( )f x 图象的一条对称轴，所以 ( ) 18f ， …………（3 分）
即sin( ) 14
， ( )4k k Z ，
因为
2 2
，所以
4
； …………（5 分）
（Ⅱ）因为 10( )2 10f ，即 10sin( )4 10
，
由 04
得 0 4 4
，
所以 2 3 10cos( ) 1 sin ( )4 4 10
，
因此sin sin[( ) ]4 4
…………（8 分）
sin( )cos cos( )sin4 4 4 4
10 2 3 10 2
10 2 10 2
5
5
． …………（10 分）
18.（本小题满分 12 分）
解：（1）
1 15 16 17 18 19 175x
， …………（2 分）
5
1
1 275 555 i
i
y y
， …………（4 分）
2
1
22
1
4648 5 17 55 2.71455 5 17
n
n
i
i
i i
i
x
x y nxy
b
nx
， …………（6 分）
55 2.7 17 100.9a y bx
. …………（8 分）
销量 y 关于 x 的线性回归方程为 2.7 100.9y x ； …………（10 分）
（2）设商品 A 的单价应定为 x 元，则利润 22.7 100.9 10 2.7 99.9w x x x x x ，
当
99.9 18.5 195.4x 时，获得的利润最大． …………（12 分）
19.（本小题满分 12 分）
解：（1） 2( ) [ ( 2) 15]exf x x a x a ．
由题设 (0) 9f ， (0)f b ，于是 6a ， 15b ． …………（6 分）
（2）由（1）知 2( ) ( 6 15)exf x x x ， ( ) ( 1)( 9)exf x x x ．
令 ( ) 0f x 得 1x 或 9x ，其中1[ 2 ， 2] ， 9 [ 2 ， 2] ．
因为 2( 2) 23ef ， (1) 8ef ， 2(2) ef ，所以函数 ( )f x 在区间[ 2 ，2] 上的最大值为
2e ，最小值为 8e ． …………（12 分）
20．（本小题满分 12 分）
解：（1）由已知数据可得 2 2 列联表如下：
开车时使用手机 开车时不使用手机 合计
男性司机人数 40 15 55
女性司机人数 20 25 45
合计 60 40 100
2
2 100 40 25 15 20 8.249 7.87960 40 55 45
＞
有 99.5% 的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关…………（6 分）
（2）随机抽检1辆，司机为男性且开车时使用手机的概率
40 2
100 5p
有题意可知： X 可取值是 0,1,2,3，且
23 5X B
,
0 3
0
3
2 3 270 5 5 125P X C ；
1 2
1
3
2 3 541 5 5 125P X C ；
2 1
2
3
2 3 362 5 5 125P X C ；
3 0
3
3
2 3 83 5 5 125P X C
则 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P 27
125
54
125
36
125
8
125
数学期望
23 1.25E X
…………（12 分）
21.（本小题满分 12 分）
解：(1)由题意知 f(x)＝cos2x＋ 3sin xcos x＋1
2
＝sin (2x＋π
6)＋1，令 2x＋π
6
∈[－π
2
＋2kπ，π
2
＋2kπ]，
k∈Z，解得 x∈[－π
3
＋kπ，π
6
＋kπ]，k∈Z，
∴函数 f(x)的单调递增区间为[－π
3
＋kπ，π
6
＋kπ]，k∈Z. …………（6 分）
(2)∵f(A)＝sin (2A＋π
6)＋1＝2，∴sin (2A＋π
6)＝1.
∵0
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