2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4

2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4

4.3 　对　　数 4.3.1 　对数的概念 必备知识 · 自主学习 导思 1. 在指数运算 1.11 x =2 中，怎样计算指数 x ？ 2. 对数有哪些性质？ 1. 对数的概念 (1) 定义： 一般地，如果 a x =N(a>0 ，且 a≠1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x=_____ ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数 . (2) 特殊对数： 常用对数：以 10 为底，记作 _____ ；  自然对数：以 e 为底，记作 _____.  log a N lg N ln N (3) 指数与对数的关系： 当 a>0 ， a≠1 时， a x =N⇔_______. x=log a N 【 思考 】 对数式 log a N 是不是 log a 与 N 的乘积？ 提示： 不是， log a N 是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数 . 2. 对数的性质 (1) 负数和 0 没有 对数； (2)log a 1=__ ； (3)log a a=__. 0 1 【 思考 】 你能否推导出对数的性质 (2)(3) ？ 提示： 因为 a 0 =1 ，所以 log a 1=0 ； 因为 a 1 =a ，所以 log a a=1. 3. 对数恒等式： =__. 【 思考 】 对数恒等式中指数的底数与对数的底数有什么关系？ 提示： 指数的底数与对数的底数相等 . N 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) 因为 (-4) 2 =16 ，所以 log (-4) 16=2. ( 　　 ) (2) 因为 3 x =81 ，所以 log 81 3=x. ( 　　 ) (3)log 2 3=log 3 2. ( 　　 ) 提示： (1) × . 对数的底数不能为负值 . (2) × . 应为 log 3 81=x. (3) × .log 2 3≠log 3 2 ，两个是不同的对数值 . 2. 把对数式 x=log 2 32 改写为指数式 _______.  【 解析 】 对数式 x=log 2 32 改写为指数式为 2 x =32. 答案： 2 x =32 3.( 教材二次开发：练习改编 ) 若 ln e -2 =-x ，则 x=_______.  【 解析 】 因为 ln e -2 =-x ，所以 e -x =e -2 ，所以 x=2. 答案： 2 关键能力 · 合作学习 类型一　对数的概念及应用 ( 数学抽象 ) 【 题组训练 】 1. 若 a 2 020 =b(a>0 且 a≠1) ，则 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.log a b=2 020 B.log b a=2 020 C.log 2 020 a=b D.log 2 020 b=a 2. 在 M=log (x-3) (x+1) 中，要使式子有意义， x 的取值范围为 ( 　　 ) A.(-∞ ， 3] B.(3 ， 4)∪(4 ， +∞) C.(4 ， +∞) D.(3 ， 4) 3.( 多选题 ) 下列指数式与对数式的互化中，正确的是 ( 　　 ) A.10 0 =1 与 lg 10=1 B. 与 C.log 3 9=2 与 =3 D.log 5 5=1 与 5 1 =5 【 解析 】 1. 选 A. 若 a 2 020 =b(a>0 且 a≠1) ， 则 2 020=log a b. 2. 选 B. 由函数的解析式可得 解得 34. 3. 选 BD. 在 A 中， 10 0 =1⇔lg 1=0 ，故 A 错误； 在 B 中， ⇔ log 27 ，故 B 正确； 在 C 中， log 3 9=2⇔3 2 =9 ，故 C 错误； 在 D 中， log 5 5=1⇔5 1 =5 ，故 D 正确 . 【 解题策略 】 关于指数式的范围 　利用式子 log a b⇒ 求字母的范围 . 【 补偿训练 】 在 b=log a (5-a) 中，实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.a>5 或 a<0 B.00 ， 所以 x= ，所以 ② 正确； 由 log 10 100=x 得， 10 x =100. 所以 x=2 ，所以 ③ 错误； 由 -ln e 2 =x 得， x=-2 ，所以 ④ 正确； 所以正确的题号是 ②④ . 角度 2 　对数性质的应用  【 典例 】 已知 log 2 [log 4 (log 3 x)]=log 3 [log 4 (log 2 y)]=0 ，则 x+y=_______.  【 思路导引 】 由外向内求出 x ， y 后求和 . 【 解析 】 由题意可得 log 4 (log 3 x)=1 ，所以 log 3 x=4 ，所以 x=3 4 =81 ；同理可得 log 4 (log 2 y)=1 ，所以 log 2 y=4 ， 所以 y=2 4 =16 ，所以 x+y=97. 答案： 97 【 变式探究 】 将等式变为 log 2 [log 4 (log 3 x)]=log 3 [log 4 (log 2 y)]=1 ，试求 x+y. 【 解析 】 由题意， log 4 (log 3 x)=2 ，得 log 3 x=16 ，得 x=3 16 ； log 4 (log 2 y)=3 ， 得 log 2 y=64 ，得 y=2 64 . 所以 x+y=3 16 +2 64 . 【 解题策略 】 1. 关于指数式与对数式的互化 指数式与对数式的互化关键是掌握以下的对应关系： 2. 对数性质在求值中的应用 此类题目一般都有多层，解题方法是利用对数的性质，从外向里逐层求值 . 【 题组训练 】 1.(2020· 乌鲁木齐高一检测 ) 设 m=log a 3 ， log a π=n ，则 a 2m-n = ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 因为 m=log a 3 ， log a π =n. 所以 a m =3 ， a n = π . 所以 a 2m-n = 2. 计算 log 3 [log 3 (log 2 8)] 等于 ( 　　 ) A.1 B.16 C.4 D.0 【 解析 】 选 D. 令 log 2 8=x ，则 2 x =8 ，所以 x=3. 所以 log 3 [log 3 (log 2 8)]=log 3 [log 3 3]=log 3 1=0. 【 补偿训练 】 若 log 2 [log 2 (log 2 x)]=0 ，则 x= ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.4 C.1 D. 【 解析 】 选 B. 若 log 2 [log 2 (log 2 x)]=0 ， 则 log 2 (log 2 x)=1 ，则 log 2 x=2 ，解得： x=4. 类型三　对数恒等式的应用 ( 数学运算 ) 【 典例 】 1. ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 2. 若 x=log 4 3 ，则 2·4 x +4 -x =_______.  【 思路导引 】 1. 先利用指数运算性质拆分，再利用对数恒等式求值 . 2. 利用指数对数互化表示出 x ，再代入利用对数恒等式求值 . 【 解析 】 1. 选 A. 2. 由 x=log 4 3 ， 则 2·4 x +4 -x =2· =2 × 3+ 答案： 【 解题策略 】 关于对数恒等式的应用 首先利用指数运算性质变形，变形为 的形式，再利用对数恒等式计算 求值 . 【 跟踪训练 】 (2020 · 绍兴高一检测 ) 若 a=log 2 3 ，则 2 a +2 -a =_______.   【 解析 】 因为 a=log 2 3 ，所以 2 a +2 -a = =3+ 答案： 课堂检测 · 素养达标 1. +log 2 2 等于 ( 　　 ) A. B.3 C.4 D.5 【 解析 】 选 D. 原式 =4+1=5. 2.(2020· 杭州高一检测 ) 已知 log x 8=3 ，则 x 的值为 ( 　　 ) A. B.2 C.3 D.4 【 解析 】 选 B. 因为 log x 8=3 ，所以 x 3 =8 ，解得 x=2. 3.( 教材二次开发：练习改编 ) 若 10 m = ，则 m=_______.  【 解析 】 因为 10 m = ，则 m=lg . 答案： lg 4.ln(lg 10)=_______.  【 解析 】 ln(lg 10)=ln 1=0. 答案： 0 5. 若对数 ln(x 2 -5x+6) 存在，则 x 的取值范围为 _______.  【 解析 】 因为对数 ln(x 2 -5x+6) 存在， 所以 x 2 -5x+6>0 ，所以解得 x>3 或 x<2 ， 即 x 的取值范围为： (- ∞ ， 2)∪(3 ， + ∞ ). 答案： (- ∞ ， 2)∪(3 ， + ∞ ) 对数的概念 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 变形：对于不能够直接应用对数恒等式求解的情况，需借助指数幂的运算性质进行变形 对数式与指数式互化时，注意字母的位置的变化 对数式的书写要规范，特别是底数的书写 逻辑推理：通过对数概念的形成，培养逻辑推理的核心素养 数学运算：通过对数的运算及对数性质的运用，培养数学运算的核心素养 概念 对数恒等式 性质