全国普通高等学校高考数学模拟试卷理科一

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文档介绍

全国普通高等学校高考数学模拟试卷理科一

‎2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)(一)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)已知集合A={x|﹣x2+4x≥0},,C={x|x=2n,n∈N},则(A∪B)∩C=(  )‎ A.{2,4} B.{0,2} C.{0,2,4} D.{x|x=2n,n∈N}‎ ‎2.(5分)设i是虚数单位,若,x,y∈R,则复数x+yi的共轭复数是(  )‎ A.2﹣i B.﹣2﹣i C.2+i D.﹣2+i ‎3.(5分)已知等差数列{an}的前n项和是Sn,且a4+a5+a6+a7=18,则下列命题正确的是(  )‎ A.a5是常数 B.S5是常数 C.a10是常数 D.S10是常数 ‎4.(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(5分)已知点F为双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点,直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.(5分)已知函数则(  )‎ A.2+π B. C. D.‎ ‎7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.(5分)已知函数(ω>0)的相邻两个零点差的绝对值为,则函数f(x)的图象(  )‎ A.可由函数g(x)=cos4x的图象向左平移个单位而得 B.可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移个单位而得 C.可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移个单位而得 D.可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移个单位而得 ‎9.(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为(  )‎ A.﹣73 B.﹣61 C.﹣55 D.﹣63‎ ‎10.(5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,则该几何体的外接球的表面积是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.(5分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|+|DE|的最小值为(  )‎ A.16 B.20 C.24 D.32‎ ‎12.(5分)若函数y=f(x),x∈M,对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使得定义域M内的任意实数x,都有af(x)=f(x+T)恒成立,此时T为f(x)的类周期,函数y=f(x)是M上的a级类周期函数.若函数y=f(x)是定义在区间[0,+∞)内的2级类周期函数,且T=2,当x∈[0,2)时,函数.若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,+∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,则实数m的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.(5分)已知向量,,且,则=   .‎ ‎14.(5分)已知x,y满足约束条件则目标函数的最小值为   .‎ ‎15.(5分)在等比数列{an}中,a2•a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设bn=a2n﹣1﹣a2n,n∈N*,则数列{bn}的前2n项和为   .‎ ‎16.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,,点E是线段CD上异于点C,D的动点,EF⊥AD于点F,将△DEF沿EF折起到△PEF的位置,并使PF⊥AF,则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为   .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边a,b,c分别满足c=2b=2,2bcosA+acosC+ccosA=0,又点D满足.‎ ‎(1)求a及角A的大小;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎18.(12分)在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,且,∠A1AB=∠A1AD=60°.‎ ‎(1)求证:BD⊥CC1;‎ ‎(2)若动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.‎ ‎19.(12分)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,‎ ‎(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 ‎(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);‎ ‎(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率;‎ ‎②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.‎ 附:①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为;‎ ‎②若,则P(μ﹣σ<Z≤μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z≤μ+2σ)=0.9544.‎ ‎20.(12分)已知椭圆C:的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)若直线l:y=kx+2与椭圆C相交于A,B两点,在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和kAD+kBD为定值?若存在,求出点D坐标及该定值,若不存在,试说明理由.‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=ex﹣2(a﹣1)x﹣b,其中e为自然对数的底数.‎ ‎(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围;‎ ‎(2)已知函数g(x)=ex﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,且g(1)=0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围.‎ ‎ ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[‎ 选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(θ为参数,a是大于0的常数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为.‎ ‎(1)求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)分别记直线l:,ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的交点为A,B,若圆C1与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.已知函数f(x)=|2x+1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≤10﹣|x﹣3|的解集;‎ ‎(2)若正数m,n满足m+2n=mn,求证:f(m)+f(﹣2n)≥16.‎ ‎ ‎ ‎2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)(一)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)已知集合A={x|﹣x2+4x≥0},,C={x|x=2n,n∈N},则(A∪B)∩C=(  )‎ A.{2,4} B.{0,2} C.{0,2,4} D.{x|x=2n,n∈N}‎ ‎【解答】解:A={x|﹣x2+4x≥0}={x|0≤x≤4},‎ ‎={x|3﹣4<3x<33}={x|﹣4<x<3},‎ 则A∪B={x|﹣4<x≤4},‎ C={x|x=2n,n∈N},‎ 可得(A∪B)∩C={0,2,4},‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)设i是虚数单位,若,x,y∈R,则复数x+yi的共轭复数是(  )‎ A.2﹣i B.﹣2﹣i C.2+i D.﹣2+i ‎【解答】解:由,‎ 得x+yi==2+i,‎ ‎∴复数x+yi的共轭复数是2﹣i.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)已知等差数列{an}的前n项和是Sn,且a4+a5+a6+a7=18,则下列命题正确的是(  )‎ A.a5是常数 B.S5是常数 C.a10是常数 D.S10是常数 ‎【解答】解:∵等差数列{an}的前n项和是Sn,且a4+a5+a6+a7=18,‎ ‎∴a4+a5+a6+a7=2(a1+a10)=18,‎ ‎∴a1+a10=9,‎ ‎∴=45.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:设AB=2,则BC=CD=DE=EF=1,‎ ‎∴S△BCI=××=,‎ S平行四边形EFGH=2S△BCI=2×=,‎ ‎∴所求的概率为 P===.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)已知点F为双曲线C:(a>0,b>‎ ‎0)的右焦点,直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:设双曲线C:的右焦点F(c,0),‎ 双曲线的渐近线方程为y=x,‎ 由x=a代入渐近线方程可得y=b,‎ 则A(a,b),可得AF的中点为(,b),‎ 代入双曲线的方程可得﹣=1,‎ 可得4a2﹣2ac﹣c2=0,‎ 由e=,可得e2+2e﹣4=0,‎ 解得e=﹣1(﹣1﹣舍去),‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)已知函数则(  )‎ A.2+π B. C. D.‎ ‎【解答】解:∵,‎ ‎=∫cos2tdt=‎ ‎==,‎ ‎∴‎ ‎=()+(﹣cosx)‎ ‎=﹣2.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:第1次循环后,S=,不满足退出循环的条件,k=2;‎ 第2次循环后,S=,不满足退出循环的条件,k=3; ‎ 第3次循环后,S==2,不满足退出循环的条件,k=4; ‎ ‎…‎ 第n次循环后,S=,不满足退出循环的条件,k=n+1;‎ ‎…‎ 第2018次循环后,S=,不满足退出循环的条件,k=2019‎ 第2019次循环后,S==2,满足退出循环的条件,‎ 故输出的S值为2,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)已知函数(ω>0)的相邻两个零点差的绝对值为,则函数f(x)的图象(  )‎ A.可由函数g(x)=cos4x的图象向左平移个单位而得 B.可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移个单位而得 C.可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移个单位而得 D.可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移个单位而得 ‎【解答】解:函数=sin(2ωx)﹣•+‎ ‎=sin(2ωx﹣)(ω>0)的相邻两个零点差的绝对值为,‎ ‎∴•=,∴ω=2,f(x)=sin(4x﹣)=cos[(4x﹣)﹣]=cos(4x﹣).‎ 故把函数g(x)=cos4x的图象向右平移个单位,可得f(x)的图象,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为(  )‎ A.﹣73 B.﹣61 C.﹣55 D.﹣63‎ ‎【解答】解:展开式中所有各项系数和为(2﹣3)(1+1)6=﹣64;‎ ‎=(2x﹣3)(1+++…),‎ 其展开式中的常数项为﹣3+12=9,‎ ‎∴所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为 ‎﹣64﹣9=﹣73.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,则该几何体的外接球的表面积是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:如图,可得该几何体是六棱锥P﹣ABCDEF,底面是正六边形,有一PAF侧面垂直底面,且P在底面的投影为AF中点,过底面中心N作底面垂线,过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线,两垂线的交点即为球心O,‎ 设△PAF的外接圆半径为r,,解得r=,∴,‎ 则该几何体的外接球的半径R=,‎ ‎∴表面积是则该几何体的外接球的表面积是S=4πR2=.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|+|DE|的最小值为(  )‎ A.16 B.20 C.24 D.32‎ ‎【解答】解:抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),设直线l1:y=k1(x﹣1),直线l2:y=k2(x﹣1),‎ 由题意可知,则,‎ 联立,整理得:k12x2﹣(2k12+4)x+k12=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,‎ 设D(x3,y3),E(x4,y4),同理可得:x3+x4=2+,‎ 由抛物线的性质可得:丨AB丨=x1+x2+p=4+,丨DE丨=x3+x4+p=4+,‎ ‎∴|AB|+|DE|=8+==,‎ 当且仅当=时,上式“=”成立.‎ ‎∴|AB|+|DE|的最小值24,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)若函数y=f(x),x∈M,对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使得定义域M内的任意实数x,都有af(x)=f(x+T)恒成立,此时T为f(x)的类周期,函数y=f(x)是M上的a级类周期函数.若函数y=f(x)是定义在区间[0,+∞)内的2级类周期函数,且T=2,当x∈[0,2)时,函数.若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,+∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,则实数m的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:根据题意,对于函数f(x),当x∈[0,2)时,,‎ 分析可得:当0≤x≤1时,f(x)=﹣2x2,有最大值f(0)=,最小值f(1)=﹣,‎ 当1<x<2时,f(x)=f(2﹣x),函数f(x)的图象关于直线x=1对称,则此时有﹣<f(x)<,‎ 又由函数y=f(x)是定义在区间[0,+∞)内的2级类周期函数,且T=2;‎ 则在∈[6,8)上,f(x)=23•f(x﹣6),则有﹣12≤f(x)≤4,‎ 则f(8)=2f(6)=4f(4)=8f(2)=16f(0)=8,‎ 则函数f(x)在区间[6,8]上的最大值为8,最小值为﹣12;‎ 对于函数,有g′(x)=﹣+x+1==,‎ 分析可得:在(0,1)上,g′(x)<0,函数g(x)为减函数,‎ 在(1,+∞)上,g′(x)>0,函数g(x)为增函数,‎ 则函数g(x)在(0,+∞)上,由最小值f(1)=+m,‎ 若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,+∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,‎ 必有g(x)min≤f(x)max,即+m≤8,‎ 解可得m≤,即m的取值范围为(﹣∞,];‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.(5分)已知向量,,且,则=  .‎ ‎【解答】解:根据题意,向量,,‎ 若,则•=2sinα﹣cosα=0,则有tanα=,‎ 又由sin2α+cos2α=1,则有或,‎ 则=(,)或(﹣,﹣),‎ 则||=,‎ 则=2+2﹣2•=;‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)已知x,y满足约束条件则目标函数的最小值为  .‎ ‎【解答】解:由约束条件作出可行域如图,‎ 联立,解得A(2,4),‎ ‎=,‎ 令t=5x﹣3y,化为y=,由图可知,当直线y=过A时,‎ 直线在y轴上的截距最大,t有最小值为﹣2.‎ ‎∴目标函数的最小值为.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)在等比数列{an}中,a2•a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设bn=a2n﹣1﹣a2n,n∈N*,则数列{bn}的前2n项和为  .‎ ‎【解答】解:等比数列{an}中,a2•a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为17,‎ 设首项为a1,公比为q,‎ 则:,‎ 整理得:,‎ 解得:.‎ 则:,‎ 所以:bn=a2n﹣1﹣a2n==﹣22n﹣4,‎ 则:T2n==.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,,点E是线段CD上异于点C,D的动点,EF⊥AD于点F,将△DEF沿EF折起到△PEF的位置,并使PF⊥AF,则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为 (0,) .‎ ‎【解答】解:∵PF⊥AF,PF⊥EF,AF∩EF=F,‎ ‎∴PF⊥平面ABCD.‎ 设PF=x,则0<x<1,且EF=DF=x.‎ ‎∴五边形ABCEF的面积为S=S梯形ABCD﹣S△DEF=×(1+2)×1﹣x2=(3﹣x2).‎ ‎∴五棱锥P﹣ABCEF的体积V=(3﹣x2)x=(3x﹣x3),‎ 设f(x)=(3x﹣x3),则f′(x)=(3﹣3x2)=(1﹣x2),‎ ‎∴当0<x<1时,f′(x)>0,‎ ‎∴f(x)在(0,1)上单调递增,又f(0)=0,f(1)=.‎ ‎∴五棱锥P﹣ABCEF的体积的范围是(0,).‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边a,b,c分别满足c=2b=2,2bcosA+acosC+ccosA=0,又点D满足.‎ ‎(1)求a及角A的大小;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎【解答】解:(1)由2bcosA+acosC+ccosA=0及正弦定理得 ‎﹣2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC,‎ 即﹣2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,‎ 在△ABC中,sinB>0,所以.‎ 又A∈(0,π),所以.‎ 在△ABC中,c=2b=2,由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=7,‎ 所以.‎ ‎(2)由,‎ 得=,‎ 所以.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,且,∠A1AB=∠A1AD=60°.‎ ‎(1)求证:BD⊥CC1;‎ ‎(2)若动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.‎ ‎【解答】解:(1)连接A1B,A1D,AC,‎ 因为AB=AA1=AD,∠A1AB=∠A1AD=60°,‎ 所以△A1AB和△A1AD均为正三角形,‎ 于是A1B=A1D.‎ 设AC与BD的交点为O,连接A1O,则A1O⊥BD,‎ 又四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD,‎ 而A1O∩AC=O,所以BD⊥平面A1AC.‎ 又AA1⊂平面A1AC,所以BD⊥AA1,‎ 又CC1∥AA1,所以BD⊥CC1.‎ ‎(2)由,及,知A1B⊥A1D,‎ 于是,从而A1O⊥AO,‎ 结合A1O⊥BD,A1∩AC=O,得A1O⊥底面ABCD,‎ 所以OA、OB、OA1两两垂直.‎ 如图,以点O为坐标原点,‎ 的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系O﹣xyz,‎ 则A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,﹣1,0),A1(0,0,1),C(﹣1,0,0),‎ ‎,,,‎ 由,得D1(﹣1,﹣1,1).‎ 设(λ∈[0,1]),‎ 则(xE+1,yE+1,zE﹣1)=λ(﹣1,1,0),即E(﹣λ﹣1,λ﹣1,1),‎ 所以.‎ 设平面B1BD的一个法向量为,‎ 由得令x=1,得,‎ 设直线DE与平面BDB1所成角为θ,‎ 则,‎ 解得或(舍去),‎ 所以当E为D1C1的中点时,直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,‎ ‎(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);‎ ‎(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率;‎ ‎②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.‎ 附:①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为;‎ ‎②若,则P(μ﹣σ<Z≤μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z≤μ+2σ)=0.9544.‎ ‎【解答】解:(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为.‎ ‎(2)①∵Z服从正态分布N(μ,σ2),且μ=26.5,σ≈11.95,‎ ‎∴P(14.55<Z<38.45)=P(26.5﹣11.95<Z<26.5+11.95)=0.6826,‎ ‎∴Z落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826.‎ ‎②根据题意得X~B(4,),;; ;‎ ‎;.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)已知椭圆C:的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)若直线l:y=kx+2与椭圆C相交于A,B两点,在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和kAD+kBD为定值?若存在,求出点D坐标及该定值,若不存在,试说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)由已知可得解得a2=2,b2=c2=1,‎ 所求椭圆方程为.‎ ‎(2)由得(1+2k2)x2+8kx+6=0,‎ 则△=64k2﹣24(1+2k2)=16k2﹣24>0,解得或.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则,,‎ 设存在点D(0,m),则,,‎ 所以==.‎ 要使kAD+kBD为定值,只需6k﹣4k(2﹣m)=6k﹣8k+‎ ‎4mk=2(2m﹣1),k与参数k无关,‎ 故2m﹣1=0,解得,‎ 当时,kAD+kBD=0.‎ 综上所述,存在点,使得kAD+kBD为定值,且定值为0.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=ex﹣2(a﹣1)x﹣b,其中e为自然对数的底数.‎ ‎(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围;‎ ‎(2)已知函数g(x)=ex﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,且g(1)=0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)根据题意,函数f(x)=ex﹣2(a﹣1)x﹣b,‎ 其导数为f'(x)=ex﹣2(a﹣1),‎ 当函数f(x)在区间[0,1]上单调递增时,f'(x)=ex﹣2(a﹣1)≥0在区间[0,1]上恒成立,‎ ‎∴2(a﹣1)≤(ex)min=1(其中x∈[0,1]),解得;‎ 当函数f(x)在区间[0,1]单调递减时,f'(x)=ex﹣2(a﹣1)≤0在区间[0,1]上恒成立,‎ ‎∴2(a﹣1)≥(ex)max=e(其中x∈[0,1]),解得.‎ 综上所述,实数a的取值范围是.‎ ‎(2)函数g(x)=ex﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,‎ 则g'(x)=ex﹣2(a﹣1)x﹣b,‎ 分析可得f(x)=g'(x).‎ 由g(0)=g(1)=0,知g(x)在区间(0,1)内恰有一个零点,‎ 设该零点为x0,则g(x)在区间(0,x0)内不单调,‎ 所以f(x)在区间(0,x0)内存在零点x1,‎ 同理,f(x)在区间(x0,1)内存在零点x2,‎ 所以f(x)在区间(0,1)内恰有两个零点.‎ 由(1)知,当时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,故f(x)在区间(0,1)内至多有一个零点,不合题意.‎ 当时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,‎ 故f(x)在(0,1)内至多有一个零点,不合题意;‎ 所以.‎ 令f'(x)=0,得x=ln(2a﹣2)∈(0,1),‎ 所以函数f(x)在区间[0,ln(2a﹣2)]上单调递减,在区间(ln(2a﹣2),1]上单调递增.‎ 记f(x)的两个零点为x1,x2(x1<x2),‎ 因此x1∈(0,ln(2a﹣2)],x2∈(ln(2a﹣2),1),必有f(0)=1﹣b>0,f(1)=e﹣2a+2﹣b>0.‎ 由g(1)=0,得a+b=e,‎ 所以,‎ 又f(0)=a﹣e+1>0,f(1)=2﹣a>0,‎ 所以e﹣1<a<2.‎ 综上所述,实数a的取值范围为(e﹣1,2).‎ ‎ ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(θ为参数,a是大于0的常数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为.‎ ‎(1)求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)分别记直线l:,ρ∈R与圆C1、圆C2‎ 的异于原点的交点为A,B,若圆C1与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长.‎ ‎【解答】解:(1)圆C1:(θ是参数)消去参数θ,‎ 得其普通方程为(x+1)2+(y+1)2=a2,‎ 将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式并化简,‎ 得圆C1的极坐标方程,‎ 由圆C2的极坐标方程,‎ 得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ.‎ 将x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2代入上式,‎ 得圆C2的直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.‎ ‎(2)由(1)知圆C1的圆心C1(﹣1,﹣1),半径r1=a;‎ 圆C2的圆心C2(1,1),半径,‎ ‎,‎ ‎∵圆C1与圆C2外切,‎ ‎∴,‎ 解得,‎ 即圆C1的极坐标方程为.‎ 将代入C1,‎ 得,‎ 得;‎ 将代入C2,‎ 得,‎ 得;‎ 故.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.已知函数f(x)=|2x+1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≤10﹣|x﹣3|的解集;‎ ‎(2)若正数m,n满足m+2n=mn,求证:f(m)+f(﹣2n)≥16.‎ ‎【解答】解:(1)此不等式等价于或或 解得或或3<x≤4.‎ 即不等式的解集为.‎ ‎(2)证明:∵m>0,n>0,m+2n=mn,,即m+2n≥8,‎ 当且仅当即时取等号.‎ ‎∴f(m)+f(﹣2n)=|2m+1|+|﹣4n+1|≥|(2m+1)﹣(﹣4n+1)|=|2m+4n|=2(m+2n)≥16,‎ 当且仅当﹣4n+1≤0,即时,取等号.‎ ‎∴f(m)+f(﹣2n)≥16.‎ ‎ ‎
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