中考数学基础知识大串讲共讲
2011年中考数学基础知识大串讲（共10讲）
导读：
中考大串讲按照代数综合、几何综合、概率统计三大块共分成10个串讲专题.“考点串讲”部分是对所讲专题的重要考点的概括，“新题演练”部分是针对所讲专题重要考点的精例及解析，使您做题后，跳出题海，轻松应对中考，决胜中考！
串讲一 数与式
考点串讲
1.实数.
考查重点：（1）有理数、无理数、实数、非负数概念；
（2）相反数、倒数、数的绝对值概念；
（3）在已知中，以非负数a2、|a|、a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题.
（4）考查实数的运算（有理数的运算种类、各种运算法则、运算律、运算顺序、科学计数法、近似数与有效数字、计算器功能鍵及应用.）
2.整式与分式.
整式知识点：代数式、代数式的值、整式、同类项、合并同类项、去括号与去括号法则、幂的运算法则、整式的加减乘除乘方运算法则、乘法公式、因式分解.
整式考查重点：（1）考查列代数式的能力；（2）考查整数指数幂的运算、零指数.
（3）掌握并灵活运用提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）进行因式分解.
分式：
分式考查重点：（1）考查整数指数幂的运算，零运算；（2）考查分式的化简求值.
3.二次根式.式子（a≥0）叫做二次根式．
考查重点：（1）了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式.掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；
（2）掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化.
新题演练：
新题1：在实数－，0，，－3.14，，，－0.1010010001…（每两个1之间依
次多1个0），sin30°这8个实数中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．首先明确无理数的概念，即“无限不循环小数叫做无理数”.一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如=2是有理数，关键在于这个形式上带根号的数的最终结果是不是无限不循环小数．同样，用三角符号表示的数也不一定就是无理数，如sin30°、tan45°等．而－0.1010010001…尽管有规律，但它是无限不循环小数，是无理数．是无理数，而不是分数．在上面所给的实数中，只有，，－0.1010010001…这三个数是无理数，其他五个数都是有理数，故选C.
答案：C
新题2：已知x、y是实数，且+（y2－6y+9）=0，若axy－3x=y，则实数a的值是（ ）
A． B．－ C． D．－
解析：若几个非负数之和等于零，则每个非负数均等于零．这是非负数具有的一个重要性质．本题中∵和（y－3）2均为非负数，它们的和为零，只有3x+4=0，且y－3=0，由此可求得x，y的值，将其代入axy－3x=y中，即求得a的值．
答案：+（y－3）2=0 ∴3x+4=0，y－3=0 ∴x=－，y=3．
∵axy－3x=y，∴－×3a－3×（－）=3 ∴a= ∴选A
新题3：若a，b，c是三角形三边的长，则代数式a2+b2－c2－2ab的值（ ）
A．大于零 B．小于零 C．大于或等于零 D．小于或等于零
解析：本题是确定代数式的取值范围与因式分解的综合题，把所给多项式的部分因式进行因式分解，再结合“a，b，c是三角形的三边”，应满足三角形三边关系是解决这类问题的常用方法．
答案：（1）∵a2+b2－c2－2ab=（a2－2ab+b2）－c2=（a－b）2－c2
=（a－b+c）（a－b－c），
又∵a，b，c是三角形三边的长．
∴a+c>b，a
0，a－b－c<0
∴（a－b+c）（a－b－c）<0
即a2+b2－c2－2ab<0，故选B．
新题4：先化简，然后请你任取一个合适的数作为x的值代入求值．
解析：本题考查整式的因式分解及分式的加减乘除混和运算，要注意运算顺序.先乘除后加减，有括号先算括号里的或按照乘法的分配律去括号.
.取值时要考虑分式的意义，即x≠±2.
答案：原式=
(x只要不取±2均可)
取x=6，得原式=1
串讲二 方程（组）与不等式（组）
考点串讲
1.一元一次方程.
知识点：等式及基本性质、方程、方程的解、解方程、一元一次方程.
考查重点：掌握解一元一次方程的一般步骤，能熟练地解一元一次方程.
2.二元一次方程（组）.
了解二元一次方程组及其解法，并灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组.
重点：掌握消元思想，熟练地解二元一次方程组.会用二元一次方程组解决一些简单的实际问题.
难点：图象法解二元一次方程组，数形结合思想.
3.一元二次方程.
知识点：一元二次方程、解一元二次方程及其应用、一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系.
考查重点：（1）了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式；
（2）会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；
（3）能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题.
4.分式方程.
考查重点：（1）会解分式方程，掌握其基本思想是把分式方程转化为整式方程；
（2）分式方程及其实际应用.
5.一元一次不等式（组）.
知识点：不等式概念，不等式基本性质，不等式的解集，解不等式，不等式组，不等式组的解集，解不等式组，一元一次不等式，一元一次不等式组，一元一次不等式组应用.
考查重点：考查解一元一次不等式（组）的能力.
新题演练：
新题1：已知关于x的方程的解是，则m的值是____________．
解析：本题考查了一元一次方程解的意义．因是该方程的解，所以代入后方程仍然成立，即：，解这个关于m的方程得m=2．
答案：m=2
新题2：若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程 的解，则k的值为
A． B. C. D.
解析：由方程组得2x＝14k，y＝－2k．代入，得14k－6k＝6，解得k＝．
答案：B
新题3：解方程：
解析：根据方程的特点, 灵活选用方法解方程.观察本题特点，可用配方法求解.
答案：
新题4：解方程：．
解析：由分式方程的概念可知，此方程是分式方程，因此根据其特点应选择其方法是──去分母法，并且在解此方程时必须验根．去分母法解分式方程的具体做法是：把方程的分母分解因式后，找出分母的最简公分母；然后将方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化成整式方程．注意去分母时，不要漏乘；最后还要注意解分式方程必须验根，并掌握验根的方法．
答案：解：去分母得：(x－2)2－(x2－4)=3．
－4x＝－5． x＝．
经检验，x＝是原方程的解．
新题5：解不等式组：并在数轴上把解集表示出来．
解析：一元一次不等式的解法的一般步骤与一元一次方程相同，不等式中含有分母，应先在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数去掉分母，在去分母时不要漏乘没有分母的项，再作其他变形．注意：①分数线兼有括号的作用，分母去掉后应将分子添上括号．同时，用分母去乘不等式各项时，不要漏乘不含分母的项；②不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变；③在数轴上表示不等式的解集，当解集是x时，不包括数轴上a这一点，则这一点用圆圈表示；当解集是x≤a或x≥a时，包括数轴上a这一点，则这一点用黑圆点表示；④解不等式（组）是中考中易考查的知识点，必须熟练掌握．
答案：解：解不等式（1）得,解不等式（2）得.
-2
0
1
x
所以不等式组的解集为
新题6：在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？
解析：本题主要考查分式方程的应用，解题时要检验，先检验所求x的值是否是方程的解，再检验是否符合题意．
答案：解：（1）设乙队单独完成需天
根据题意，得
解这个方程，得=90
经检验，=90是原方程的解
∴乙队单独完成需90天
（2）设甲、乙合作完成需天，则有
解得（天）
甲单独完成需付工程款为60×3.5=210（万元）
乙单独完成超过计划天数不符题意．
甲、乙合作完成需付工程款为36（3.5+2）=198（万元）
答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．
串讲三 函数
考点串讲
1.函数基本概念.
知识点：常量与变量、函数与自变量、函数表示方法.
考查重点：（1）考查自变量的取值范围，重点考查的是含有二次根式的函数式中自变量的取值范围；（2）函数自变量的取值范围.
2.一次函数.
知识点：正比例函数及其图象、一次函数及其图象.
考查重点：（1）考查正比例函数、一次函数的定义、性质；（2）综合考查正比例、一次函数的图象；（3）考查用待定系数法求正比例、一次函数的解析式.
3.二次函数.
知识点：二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向.
考查重点：（1）考查二次函数的定义、性质；（2）综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图象；（3）考查用待定系数法求二次函数的解析式；（4）考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值；（5）考查代数与几何的综合能力，常作为专项压轴题.
4.反比例函数.
知识点：反比例函数意义；反比例函数 反比例函数图象；反比例函数性质；待定系数法确定函数解析式.
考查重点：（1）确定反比例函数表达式；（2）画反比例函数的图象；（3）用反比例函数解决某些实际问题.
新题演练：
新题1：如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点，与轴相交于点轴于点，的面积为1，则的长为 （保留根号）．
y
O
x
A
C
B
解析：本题考查函数图象交点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即，由，且图象在第一象限内，所以，由得点A坐标为(1,2)，而
与x轴的交点坐标为(-1,0)，所以AB=2，BC=2.由勾股定理得
答案：
新题2：某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润恰好是500元，试确定销售单价是多少元？
解析：（1）根据一次函数解析式的特征，直接根据题意列出二元一次方程组，就可以求出一次函数的解析式.（2）在确定函数关系式时，特别注意自变量的取值范围，由本题中“试销期间销售单价不低于成本单价”得≥60，由“获利不得高于45%”得≤（1+45%）×60，即≤87，因此.对于求出二次函数的最值问题，同时要考虑在自变量的取值范围；（3）这个问题是把二次函数问题转化为一元二次方程来考虑，要注意的是求出的结果必须要在二次函数的自变量的取值范围内.注意：在二次函数中通过求函数的最大（小）值以解决求实际问题的最大利润、最优方案等，首先考虑利用二次函数y=ax2+bx+c当x=-时，y取最大（小）值来求，但当x=-不在自变量的取值范围时，可利用二次函数的增减性由一个变量的极端值求另一变量的极值.
答案：（1）根据题意得 解得．
所求一次函数的表达式为．
（2），
抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大，而，
当时，．
当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．
（3）由，得，整理得，，
解得，． 因为，所以，销售单价．
3
2
1
1
2
A
O
B
x
y
新题3：如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为，，，将此三角板绕原点顺时针旋转，得到．
（1）如图，一抛物线经过点A、B、B′，求该抛物线解析式；
（2）设点是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形的面积达到最大时点的坐标及面积的最大值．
解析：函数是用运动的观点观察事物发展的全过程，利用函数的性质可求最大（小）值.在问题2中，用分割方法把四边形分成四个三角形，用点的坐标表示其面积，从而建立函数关系式.
答案：（1）∵抛物线过
设抛物线的解析式为
又∵抛物线过，将坐标代入上解析式得：
图1
3
2
1
1
2
A
O
x
y
B
P
即满足条件的抛物线解析式为
（2）如图1，∵为第一象限内抛物线上一动点，
设则 点坐标满足
连接
=
当时，最大．
此时，．即当动点的坐标为时，
最大，最大面积为
串讲四 三角形
考点串讲
1.三角形的有关概念.
知识点：三角形，三角形的角平分线，中线，高线，三角形三边间的不等关系，三角形的内角和，三角形的分类，全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定.
考查重点：三角形三边关系，三角形内外角性质.
2.等腰三角线与直角三角形.
考查重点：（1）等腰（等边）三角形的判定与性质；（2）运用等腰（等边）三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题；（3）运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题；（4）折叠问题；（5）将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用.
3.全等三角形.
知识点：全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定.
考查重点：论证三角形全等，线段的倍分.
新题演练：
新题1：如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点，所得的三角形的周长可能是（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
解析：本题考查三角形三边关系、中位线定理，三角形的两边分别为3和5，所以第三边一定大于2小于8，连接这个三角形三边中点，所得的三角形的周长等于原三角形周长的一半，所以一定大于5小于8，故选D．
答案：D
新题2：如图，将三角尺的直角顶点放在矩形直尺的一边上，则∠3的度数等于（ ）
A．50° B．30 ° C．20 ° D．15 °
解析：从条件中可得DF//EC，故∠2=∠4．
又∵∠4=∠1+∠3，∴∠2∠1+∠3，
∴∠3=∠2-∠1=50°- 30°=20°．故答案选C
答案：C
新题3：如图，AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sinB等于（ ）
A． B． C． D．
解析：由AD⊥DC，知△ADC为直角三角形．
由勾股定理得：AC2=AD2+DC2=32+42=5，AC=5，
在△ACB中，∵AB2=169，BC2+AC2=52+122=169，
∴AB2=BC2+AC2．
由勾股定理的逆定理知：△ABC是直角三角形．∴sinB＝＝．
答案：A
新题3：如图所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明.
解析：首先进行判断：OE⊥AB，由已知条件不难证明△BAC≌△ABD，得∠OBA＝∠OAB再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论.解决此类问题，要熟练掌握三角形全等的判定、等腰三角形的性质等知识.
答案：OE⊥AB．
证明：在△BAC和△ABD中，
∴△BAC≌△ABD． ∴∠OBA＝∠OAB, ∴OA＝OB．
又∵AE＝BE, ∴OE⊥AB．
串讲五 四边形
考点串讲
1.平行四边形.
考查重点：（1）平行四边形的概念和面积的求法；（2）平行四边形的性质和判定；（3）理解平行四边形是中心对称图形，过对称中心的直线把它分成面积相等的两部分；（4）平行四边形中运用全等三角形和相似三角形的知识解题．
2. 矩形、菱形、正方形.
考查重点：矩形、菱形、正方形的概念、性质、判定及它们之间的关系，主要考查边长、对角线长、面积等的计算.
新题演练：
新题1：如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是_____________．
解析：本题考查了学生的空间想象能力和发散思维能力.解答本题最好能将所有的拼法画出来后再进行求解.本题的不同拼法有：
答案：14或16或26
新题2： 如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=( )
A.35° B.45° C.50° D.55°
解析：解答本题应首先延长PF交AB的延长线于点G，根据题意，利用角角边可证明≌，于是得到，PF=FG，所以在中，EF是斜边上的中线，于是得到FE=FG，所以，又因为E、F分别为中点，所以EB=FB，所以，FE=FG=BF，所以，又因为∠A=110°，所以,因此，,解得.
答案：D
新题3：如图1，在正方形中，分别为边上的点，，连接交点为．
（1）如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
图1
D
C
B
A
O
H
G
F
E
E
B
A
D
C
G
F
H
图2
图3
（2）将正方形沿线段剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形的边长为3cm，，则图3中阴影部分的面积为_________．
解析：（1）结合条件观察图形2容易发现：，得出：四边形EFGH是菱形；再由可知：，从而证得四边形是正方形.（2）连接EH、HG、GF、FE，由第（1）小题可知：四边形是正方形，可得阴影部分面积是1.
答案：（1）四边形是正方形．
证明： 四边形是正方形，
.
，．
．．
四边形是菱形．
由知．
，．
．四边形是正方形．
（2）1．
串讲六 圆
考点串讲
1.圆的有关概念与性质.
考查重点：（1）圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念；（2）掌握并灵活运用垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论；（3）理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、四边形等结合的题型也是中考热点.
2.与圆有关的位置关系.
知识点：直线和圆的位置关系、切线的判定和性质、三角形的内切圆、切线长定理、弦切角的定理、相交弦、切割线定理.
考查重点：（1）考查两圆位置关系中的相交及相切的性质；（2）证明直线是圆的切线；（3）论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等，此种结论的证明重点考查了全等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识；
3.与圆有关的计算.
考查重点：（1）灵活求解圆周长、弧长以及圆、扇形、弓形和简单的组合图形的面积；
（2）能进行圆柱、圆锥的侧面积、全面积的计算，了解它们的侧面展开图，这也是重点和中考热点．
B
C
D
A
新题演练：
新题1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（ ）
A. B．5 C． D．6
解析：本题考查圆中的有关性质，连接CD，∵∠C＝90°，D是AB中点，AB＝10，∴CD＝AB＝5，∴BC＝5，根据勾股定理得AC＝，故选A．
答案：A
新题2：如图所示，AB是直径，弦于点，且交于点，若．
（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；
（2）当时，求的长．
解析：圆的切线有三种判定方法：①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线．在证明时一定要根据题目已知条件合理选择．
答案：（1）直线和相切．
证明：∵，，
∴．∵，∴．
∴．即．∴直线和相切．
（2）连接．∵AB是直径，∴．
在中，，∴．
∵直径，∴．
由（1），和相切，
∴．∴．
由（1）得，
∴．∴．
∴，解得．
C
A
B
新题3：如图，在中，分别以.为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
解析：本题考查直角三角形，扇形面积，由图可知阴影部分的面积﹦半圆AC的面积+半圆BC的面积-的面积，所以S阴影﹦，故填.
答案：
串讲七 图形的相似
考点串讲
1.相似三角形.
考查重点：（1）了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质；（2）探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题；（3）掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小.
2.锐角三角函数.
考查重点：（1）求三角函数值，特别是记忆30°、45°、60°的三角函数值；（2）考查互余或同角三角函数间关系；（3）求特殊角三角函数值的混合运算；（4）已知三角函数值会求出相应锐角；（5）掌握三角函数与直角三角形的相关应用，这是考试中的热点.
3.解直角三角形及其应用.
考查重点：（1）掌握并灵活应用各种关系解直角三角形；（2）了解测量中的概念，并能灵活应用相关知识解决某些实际问题，而在将实际问题转化为直角三角形问题时，怎样合理构造直角三角形以及如何正确选用直角三角形的边角关系是本节难点，也是中考的热点．
新题演练：
新题1 ：如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC，DE把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．下面结论：①只有一对相似三角形；②EF：
ED=1：2；③S1：S2：S3：S4=1：2：4：5．其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．③ C．① D．①②
解析：∵AB∥DC，∴△AEF∽△CDF，但本题还有一对相似三角形是△ABC≌△CDA（全等是相似的特例）．
∴①是错的． ∵，∴②EF：ED=1：2是错的．
∴S△AEF：S△CDF =1：4，S△AEF：S△ADF =1：2． ∴S1：S2：S3：S4=1：2：4：5，③正确．
点拨 ：①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比；（共底三角形的面积之比等于高之比）②和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形（如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线，注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角形．
答案：B
新题2:已知在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
解析:本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RTΔABC中，∠C=90°，则，和；由知，如果设，则，结合得；∴，所以选A．
答案:A
新题3：如图，为了测量我国最长的跨海大桥南航道A型独塔斜拉桥桥墩的高度，小华站在桥面B处用测角仪测得桥墩顶点E的仰角为45°，在桥面C处用测角仪测得顶点E的仰角为55°，已知测角仪高AB=1米，BC=50米 ，桥面到海平面的距离为6米，求该桥墩海平面以上高度是多少？（精确到1米，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57 ，tan55°≈1.4）
解析：用锐角三角函数解决实际问题.分别在直角△AEF和直角△ECF中正切函数求解线段的长度.解决问题的关键在于寻找合适的直角三角形和合适的三角函数，这样会给解题带来方便.
答案：在△AEF中，. ∴AG=EF.
在△ECF中，∴CG=,
∴≈50
∴EF≈175, EG=176,176+5=181
答：该桥墩海平面以上高度约是181米.
串讲八 视图与投影
考点串讲
知识点：几何体的三视图、侧面展开图、视点、视角、盲区、投影.
考查重点：（1）考查几何体的三视图；（2）考查根据光线的方向辨认实物的阴影；（3）掌握中心投影与平行投影的区别与联系.
新题1：一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高，左视图确定物体的宽和高，俯视图确定物体的长和宽.由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层，右侧一列最高两层；由俯视图可知左侧一行，右侧两行，于是，可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行单层一行两层，出可能两行都是两层.所以图中的小正方体最少4块，最多5块.
答案：D
新题2:（1）如图1是同一时刻的两棵树及其影子，请你在图中画出形成树影的光线，并判断它是太阳光线还是灯光的光线？若是灯光的光线，请确定光源的位置.
·
A
图1
图
图2
图
（2）请判断如图2所示的两棵树的影子是在太阳光下形成的，还是灯光下形成的？并画出同一时刻旗杆的影子（用线段表示）．
分析：本题是由树及其影子寻找光线，具体方法是过树的顶端及其影子的顶端作两条直线作为光线，若两条直线平行，则是太阳光线；若两条直线相交，则是灯光光线，其交点就是光源的位置．
答案：（1）如图1所示是灯光的光线．原因是过一棵树的顶端及其影子的顶端作一条直线，再过另一棵树的顶端及其影子的顶端作一条直线，两直线相交，其交点就是光源的位置．
（2）如图2所示，是太阳光的光线．原因是过一棵树的顶端及其影子的顶端作一条直线，再过另一棵树的顶端及其影子的顶端作一条直线，两直线平行．然后再过旗杆的顶端作一条与已知光线平行的直线，交地面于一点，连接这点与旗杆底端的线段就是旗杆的影子．
串讲九 图形变换
考点串讲
1.轴对称与中心对称.
考查重点：（1）理解轴对称和轴对称图形的联系与区别，会判断一个图形是否是轴对称图形或中心对称图形；（2）掌握轴对称的基本特征，并能用这些特征解决简单的问题（如折叠）；（3）能用轴对称和中心对称的性质设计图案.
2.平移与旋转.
考查重点：（1）主要考查平移和旋转的基本性质；（2）会按要求画出平移图形或进行图案设计；（3）灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计.
新题演练：
新题1：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A、 B、 C、 D、
解析：本题主要考查轴对称、中心对称的概念.由轴对称和中心对称的概念可知，A、B仅为中心对称图形，C仅为轴对称图形，D既是轴对称图形又是中心对称图形.
答案：D
新题2：将△ABC先向右平移5个单位，再向下平移三个单位后得△A′B′C′，已知A′(-2,3)，B′(-4,-1)，则A、B两点的坐标分别为（ ）
A．(3,6)，(1,2) B．(-7,6)，(-9,2)
C．(m-2,m-3)，(m-4,n-4) D．以上都不对
解析：
本题考查的相关知识点：用坐标表示平移；点的平移与点坐标的变化；图形的平移相当于图形上各点的坐标进行相应的变化.解题思路：将△ABC平移，可以看作把△ABC中各点分别平移，向右平移5个单位，相当于各点的横坐标都加上5，向下平移3个单位，相当于各点的纵坐标都减去3，由此可求得A、B的坐标.
答案：B.
新题3：如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，ΔABC的三个顶点均在格点上．
（1）填空：ΔABC是___三角形，它的面积等于____平方单位．
（2）将ΔACB绕点B顺时针方向旋转，在方格图中用直尺画出旋转后对应的ΔA’C’B，则A’点的坐标是（_____，____），
C’点的坐标是（_____，____）．
解析：先根据题意，借助网格图，确定旋转中心和旋转方向以及旋转角度.关键是确定关键点，以点带线，以线带面来进行画图.另外在网格或坐标系中求三角形面积常用的方法是“割补法”.（1）方法一：计算三条边利用勾股定理逆定理来判断三角形的形状.方法二：利用两个三角形全等，判断三角形的形状.（2）旋转中心为B，旋转方向是顺时针，旋转角度为90°，由网格图易得A’，C’ ，在图中描出对应点A’，C’，再画出对应的三角形即可.
答案：（1）等腰直角，5；（2）画图略；（3，3），（0,2）.
串讲十 统计与概率
考点串讲
1.统计部分.
平均数、众数及中位数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，但描述的角度和适用范围有所不同．平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动．众数着眼于对各数据出现的频数的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关．当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量，中位数则仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它的中位数没有影响．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势．
方差：我们通常用表示一组数据的方差，用表示一组数据的平均数，、、…表示各个原始数据．
其中s叫做标准差，即方差的算术平方根.
我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”求方差，结果常常可以衡量一组数据偏离平均值的情况．
2.概率部分.
考查重点：（1） ；（2）概率计算公式；
（3）求概率的常用的两种方法：列表和画树状图；（4）频率与概率之间的关系.
新题演练：
新题1：某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：
部门经理
小张
这个经理的介绍能反映该公司员工的月工资实际水平吗？
欢迎你来我们公司应聘！我公司员工的月平均工资是2500元，薪水是较高的．
请你根据上述内容，解答下列问题：
（1）该公司“高级技工”有 名；
（2）所有员工月工资的平均数为2500元，
中位数为 元，众数为 元；
（3）小张到这家公司应聘普通工作人员．请你回答右图中小张的问题，并指出用（2）中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些；
（4）去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资（结果保留整数），并判断能否反映该公司员工的月工资实际水平．
解析：各类概念要注意区分.众数是数据中出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．众数有可能不唯一，注意不要遗漏．求中位数要先把数据按大小顺序排列，可以从小到大，也可以从大到小．
答案：（1）16；
（2）因表中数据是按照从大到小顺序排列，则共有50个数据，则第25和第26个数据分别1800和1600，二者的平均数为1700，则所有员工月工资的中位数为1700元，众数则易判断为1600元.
（3）这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资实际水平． 用1700元或1600元来介绍更合理些．
（4）≈1713（元）． 能反映该公司员工的月工资实际水平．
新题2：作为一项惠农强农应对当前国际金融危机、拉动国内消费需求的重要措施，“家电下乡”工作已经国务院批准从2008年12月1日起在某市实施．该市某家电公司营销点自去年12月份至今年5月份销售两种不同品牌冰箱的数量如下图：
（1）完成下表：
（2）请你依据折线图的变化趋势，对营销点今后的进货情况提出建议．
解析：（1）从折线统计图中可得
甲品牌各月销售量为：7，10，8，10，12，13；
乙品牌各月销售量为：9，10，11，9，12，9.
根据平均数和方差计算公式可求解.方差公式，记方差公式最好从结构运算上记忆，“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”.
答案：（1）甲的方差为；乙的平均数为10台.（2）建议如下：从折线图来看，甲品牌冰箱的月销售量呈上升趋势，进货时可多进甲品牌冰箱．
新题3：下列说法错误的是（ ）．
A．必然发生的事件发生的概率为1 B．不可能发生的事件发生的概率为0
C．随机事件发生的概率大于0且小于1 D．不确定事件发生的概率为0
解析：在现实世界中，随机现象是广泛存在的．由于在一定的条件下，有关事件被分为必然事件、不可能事件和随机事件三种．研究事件能否发生，当然离不开“在一定的条件下”这个全体．在一次试验中，事件是否发生虽然带有偶然性，但在大量重复试验下，它的发生呈现出一定的规律性，即事件发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数就叫做这一事件的概率．由于随机事件具有一定的广泛性，命题者常常通过各种“事件”考查考生辨析“广泛存在的随机现象”的能力．必然发生的事件发生的概率为1；不可能发生的事件发生的概率为0；随机事件发生的概率大于0且小于1.
答案：D
新题4：一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色不同外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，从中任意摸出1球是红球的概率为．
（1）试求袋中篮球的个数；
（2）现将一个红球从袋子中取出.根据以下两种取法用列表法计算概率：
①一次性取出两球，有一个红球和一个黄球的概率；
②连续两次，一次一个（不放回）取出一个红球和一个黄球的概率.
试比较两种情况的可能性.
解析：本题第一问考查了概率的定义，根据概率的定义求出篮球的个数，第二问根据不同试验的要求分别求出概率即可.
答案：（1）设篮球有x个，则，解得x=1，∴篮球有1个.
（2）①列表如下：
∴P（一红一黄）
②根据题意，画树状图：
黄
蓝
红
蓝
红
红
黄
蓝
第二次摸球
第一次摸球
黄
∴P（一红一黄），因此两种情况的可能性一样.
