【数学】2020届一轮复习人教A版第二章第4节幂函数与二次函数学案
第 4 节 幂函数与二次函数
最新考纲 1.了解幂函数的概念；结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x
1
2
，y＝1
x
的图
象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、
不等式之间的关系解决简单问题.
知 识 梳 理
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如 y＝xα 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α 为常数.
(2)常见的 5 种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当 α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当 α<0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为 f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛
物线)
定义域 R
值域 [4ac－b2
4a
，＋∞) (－∞，4ac－b2
4a ]
对称轴 x＝－ b
2a
顶点坐
标 (－ b
2a
，4ac－b2
4a )
奇偶性 当 b＝0 时是偶函数，当 b≠0 时是非奇非偶函数
单调性
在(－∞，－ b
2a]上是减函数；
在[－ b
2a
，＋∞)上是增函数
在(－∞，－ b
2a]上是增函数；
在[－ b
2a
，＋∞)上是减函数
[微点提醒]
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若 f(x)＝ax 2＋bx＋c(a≠0)，则当 {a > 0，
Δ < 0 时恒有 f(x)>0，当{a < 0，
Δ < 0 时，恒有
f(x)<0.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数 y＝2x
1
3
是幂函数.( )
(2)当 n>0 时，幂函数 y＝xn 在(0，＋∞)上是增函数.( )
(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数.( )
(4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b2
4a .( )
解析 (1)由于幂函数的解析式为 f(x)＝xα，故 y＝2x
1
3
不是幂函数，(1)错.
(3)由于当 b＝0 时，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c 为偶函数，故(3)错.
(4)对称轴 x＝－ b
2a
，当－ b
2a
小于 a 或大于 b 时，最值不是4ac－b2
4a
，故(4)错.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(必修 1P79T1 改编)已知幂函数 f(x)＝k·xα 的图象过点(1
2
， 2
2 )，则 k＋α＝( )
A.1
2 B.1 C.3
2 D.2
解析 因为 f(x)＝k·xα 是幂函数，所以 k＝1.又 f(x)的图象过点(1
2
， 2
2 )，所以(1
2 )
α
＝ 2
2
，所以 α＝1
2
，所以 k＋α＝1＋1
2
＝3
2.
答案 C
3.(必修 1P44A9 改编)若函数 f(x)＝4x2－kx－8 在[－1，2]上是单调函数，则实数 k
的取值范围是________.
解析 由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 x＝k
8
，所以要使 f(x)在[－1，2]上
是单调函数，则有k
8
≤－1 或k
8
≥2，即 k≤－8 或 k≥16.
答案 (－∞，－8]∪[16，＋∞)
4.(2016·全国Ⅲ卷)已知 a＝2
4
3
，b＝3
2
3
，c＝25
1
3
，则( )
A.b
a>b.
答案 A
5.(2019·衡水中学月考)若存在非零的实数 a，使得 f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的
x 恒成立，则函数 f(x)可能是( )
A.f(x)＝x2－2x＋1 B.f(x)＝x2－1
C.f(x)＝2x D.f(x)＝2x＋1
解析 由存在非零的实数 a，使得 f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的 x 恒成立，可得
函数图象的对称轴为 x＝a
2
≠0.只有选项 A 中，f(x)＝x2－2x＋1 关于 x＝1 对称.
答案 A
6.(2018·成都诊断)幂函数 f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8 在(0，＋∞)上为增函数，则
m 的值为________.
解析 由题意知{m2－4m＋4＝1，
m2－6m＋8 > 0，解得 m＝1.
答案 1
考点一 幂函数的图象和性质
【例 1】 (1)幂函数 y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数 y＝f(x)的大致图象是( )
(2)若 a＝(1
2 )
2
3
，b＝(1
5 )
2
3
，c＝(1
2 )
1
3
，则 a，b，c 的大小关系是( )
A.ab＝(1
5 )
2
3
，因为 y＝
(1
2 )x
是减函数，所以 a＝(1
2 )
2
3
1 的取值
确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性
进行比较.
【训练 1】 (1)(2018·洛阳二模)已知点(a，1
2)在幂函数 f(x)＝(a－1)xb 的图象上，则
函数 f(x)是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数
(2)(2018·上海卷)已知 α∈{－2，－1，－1
2
，Error!.若幂函数 f(x)＝xα 为奇函数，且
在(0，＋∞)上递减，则 α＝______.
解析 (1)由题意得 a－1＝1，且1
2
＝ab，因此 a＝2 且 b＝－1.故 f(x)＝x－1 是奇函数，
但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)不是单调函数.
(2)由题意知 α 可取－1，1，3.又 y＝xα 在(0，＋∞)上是减函数，
∴α<0，取 α＝－1.
答案 (1)A (2)－1
考点二 二次函数的解析式
【例 2】 (一题多解)已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大
值是 8，试确定该二次函数的解析式.
解 法一 (利用“一般式”解题)
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意得{4a＋2b＋c＝－1，
a－b＋c＝－1，
4ac－b2
4a
＝8，
解得{a＝－4，
b＝4，
c＝7.
∴所求二次函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二 (利用“顶点式”解题)
设 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
因为 f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为 x＝2＋（－1）
2
＝1
2
，所以 m＝1
2.
又根据题意，函数有最大值 8，所以 n＝8，
所以 y＝f(x)＝a(x－1
2)2
＋8.
因为 f(2)＝－1，所以 a(2－1
2)2
＋8＝－1，解得 a＝－4，
所以 f(x)＝－4(x－1
2)2
＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三 (利用“零点式”解题)
由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1，
故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即 f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值 8，即4a(－2a－1)－(－a)2
4a
＝8.
解得 a＝－4 或 a＝0(舍).
故所求函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
规律方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰
当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：
【训练 2】 已知二次函数 f(x)的图象经过点(4，3)，它在 x 轴上截得的线段长为
2，并且对任意 x∈R，都有 f(2－x)＝f(2＋x)，则 f(x)＝________.
解析 因为 f(2－x)＝f(2＋x)对 x∈R 恒成立，
所以 y＝f(x)的图象关于 x＝2 对称.
又 y＝f(x)的图象在 x 轴上截得的线段长为 2，
所以 f(x)＝0 的两根为 2－2
2
＝1 或 2＋2
2
＝3.
所以二次函数 f(x)与 x 轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).
因此设 f(x)＝a(x－1)(x－3).
又点(4，3)在 y＝f(x)的图象上，
所以 3a＝3，则 a＝1.
故 f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.
答案 x2－4x＋3
考点三 二次函数的图象及应用
【例 3】 (1)对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)与二次函数 y＝(a－1)x2－x 在同一坐
标系内的图象可能是( )
(2)设函数 f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知 f(m)<0，则( )
A.f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0
C.f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0
解析 (1)若 01，则 y＝loga x 在(0，＋∞)上是增函数，
y＝(a－1)x2－x 图象开口向上，且对称轴在 y 轴右侧，
因此 B 项不正确，只有选项 A 满足.
(2)因为 f(x)的对称轴为 x＝－1
2
，f(0)＝a>0，所以 f(x)的大致图象如图所示.
由 f(m)<0，得－10，所以 f(m＋1)>f(0)>0.
答案 (1)A (2)C
规律方法 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中
有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与 x 轴的
交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.
2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关
系成立的条件.
【训练 3】 一次函数 y＝ax＋b 与二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在同一坐标系中的图象
大致是( )
解析 A 中，由一次函数 y＝ax＋b 的图象可得 a>0，此时二次函数 y＝ax2＋bx＋
c 的图象应该开口向上，A 错误；
B 中，由一次函数 y＝ax＋b 的图象可得 a>0，b>0，此时二次函数 y＝ax2＋bx＋c
的图象应该开口向上，对称轴 x＝－ b
2a<0，B 错误；C 中，由一次函数 y＝ax＋b
的图象可得 a<0，b<0，此时二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象应该开口向下，对称
轴 x＝－ b
2a<0，C 正确；
D 中，由一次函数 y＝ax＋b 的图象可得 a<0，b<0，此时二次函数 y＝ax2＋bx＋c
的图象应该开口向下，D 错误.
答案 C
考点四 二次函数的性质 多维探究
角度 1 二次函数的单调性与最值
【例 4－1】 已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6].
(1)当 a＝－2 时，求 f(x)的最值；
(2)求实数 a 的取值范围，使 y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数.
解 (1)当 a＝－2 时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于 x∈[－4，6]，
∴f(x)在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，
∴f(x)的最小值是 f(2)＝－1，
又 f(－4)＝35，f(6)＝15，
故 f(x)的最大值是 35.
(2)由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 x＝－a，所以要使 f(x)在[－4，6]上是
单调函数，应有－a≤－4 或－a≥6，即 a≤－6 或 a≥4，
故 a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).
角度 2 二次函数的恒成立问题
【例 4－2】 (2019·浙江“超级全能生”模拟)已知在(－∞，1]上递减的函数 f(x)＝
x2－2tx＋1，且对任意的 x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数 t 的取值
范围是( )
A.[－ 2， 2] B.[1， 2]
C.[2，3] D.[1，2]
解析 由于 f(x)＝x2－2tx＋1 的图象的对称轴为 x＝t，
又 y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，所以，t≥1.
则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，
f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，
要使对任意的 x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，
只需 1－(－t2＋1)≤2，解得－ 2≤t≤ 2.
又 t≥1，∴1≤t≤ 2.
答案 B
规律方法 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指
区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分
类讨论的思想求解.
2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是
否已分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤
f(x)min.
【训练 4】 已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R 且 a≠0)，x∈R.
(1)若函数 f(x)的最小值为 f(－1)＝0，求 f(x)的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求 k 的取值范围.
解 (1)由题意知{a > 0，
－ b
2a
＝－1，
f（－1）＝a－b＋1＝0，
解得{a＝1，
b＝2.
所以 f(x)＝x2＋2x＋1，
由 f(x)＝(x＋1)2 知，函数 f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，
单调递减区间为(－∞，－1].
(2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即 k0 时图象经过(0，0)点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0
时图象不过(0，0)点，经过(1，1)点，在第一象限的部分“下降”；
(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1 时曲线下凹，0<α<1 时曲线上凸，α<0 时曲线
下凹；
(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域
和奇偶性定义判断其奇偶性.
2.求二次函数的解析式就是确定函数式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中 a，b，c 的值.应
根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值.
3.二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可直观地
解决与不等式有关的问题.
4.二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图象以及
所给区间与对称轴的关系确定.
[易错防范]
1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否
出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在
两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
2.对于函数 y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足 a≠0，当题目条件
中未说明 a≠0 时，就要讨论 a＝0 和 a≠0 两种情况.
基础巩固题组
(建议用时：40 分钟)
一、选择题
1.(2019·济宁联考)下列命题正确的是( )
A.y＝x0 的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)
C.若幂函数 y＝xα 是奇函数，则 y＝xα 是增函数
D.幂函数的图象不可能出现在第四象限
解析 A 中，点(0，1)不在直线上，A 错；B 中，y＝xα，当 α<0 时，图象不过原
点，B 错；C 中，当 α<0 时，y＝xα 在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，C 错.幂
函数图象一定过第一象限，一定不过第四象限，D 正确.
答案 D
2.若函数 f(x)＝x2＋ax＋b 的图象与 x 轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数 f(x)( )
A.在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增
B.在(－∞，3)上递增
C.在[1，3]上递增
D.单调性不能确定
解析 由已知可得该函数图象的对称轴为 x＝2，又二次项系数为 1>0，所以 f(x)
在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的.
答案 A
3.(2019·安阳模拟)已知函数 f(x)＝－x 2＋4x＋a，x∈[0，1]，若 f(x)有最小值－2，
则 f(x)的最大值为( )
A.1 B.0 C.－1 D.2
解析 f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，
∴函数 f(x)＝－x2＋4x＋a 在[0，1]上单调递增，
∴当 x＝0 时，f(x)取得最小值，当 x＝1 时，f(x)取得最大值，
∴f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1.
答案 A
4.(2018·岳阳一中质检)已知函数 y＝ax2＋bx－1 在(－∞，0]是单调函数，则 y＝2ax
＋b 的图象不可能是( )
解析 ①当 a＝0，b≠0 时，y＝2ax＋b 的图象可能是 A；
②当 a>0 时，－ b
2a
≥0⇒b≤0，y＝2ax＋b 的图象可能是 C；
③当 a<0 时，－ b
2a
≥0⇒b≥0，y＝2ax＋b 的图象可能是 D.
答案 B
5.(2019·巢湖月考)已知 p：|m＋1|<1，q：幂函数 y＝(m 2－m－1)xm 在(0，＋∞)上
单调递减，则 p 是 q 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 p：由|m＋1|<1 得－20，且 Δ＝1－4ab＝0，∴4ab＝1，且 b>0.
故 a＋4b≥2 4ab＝2，
当且仅当 a＝4b，即 a＝1，b＝1
4
时等号成立.
所以 a＋4b 的取值范围是[2，＋∞).
答案 [2，＋∞)
8.已知二次函数 f(x)满足 f(2＋x)＝f(2－x)，且 f(x)在[0，2]上是增函数，若
f(a)≥f(0)，则实数 a 的取值范围是________.
解析 由题意可知函数 f(x)的图象开口向下，对称轴为 x＝2(如图)，若 f(a)≥f(0)，
从图象观察可知 0≤a≤4.
答案 [0，4]
三、解答题
9.已知奇函数 y＝f(x)定义域是 R，当 x≥0 时，f(x)＝x(1－x).
(1)求出函数 y＝f(x)的解析式；
(2)写出函数 y＝f(x)的单调递增区间.(不用证明，只需直接写出递增区间即可)
解 (1)当 x<0 时，－x>0，
所以 f(－x)＝－x(1＋x).
又因为 y＝f(x)是奇函数，
所以 f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x).
综上 f(x)＝{x（1－x），x ≥ 0，
x（1＋x），x < 0.
(2)函数 y＝f(x)的单调递增区间是[－1
2
，1
2].
10.已知幂函数 f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2 在(0，＋∞)上单调递增，函数 g(x)＝2x－
k.
(1)求 m 的值；
(2)当 x∈[1，2)时，记 f(x)，g(x)的值域分别为集合 A，B，设 p：x∈A，q：x∈B，
若 p 是 q 成立的必要条件，求实数 k 的取值范围.
解 (1)依题意得：(m－1)2＝1⇒m＝0 或 m＝2，
当 m＝2 时，f(x)＝x－2 在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.
(2)由(1)得，f(x)＝x2，
当 x∈[1，2)时，f(x)∈[1，4)，即 A＝[1，4)，
当 x∈[1，2)时，g(x)∈[2－k，4－k)，
即 B＝[2－k，4－k)，
因 p 是 q 成立的必要条件，则 B⊆A，
则{2－k ≥ 1，
4－k ≤ 4，即{k ≤ 1，
k ≥ 0，得 0≤k≤1.
故实数 k 的取值范围是[0，1].
能力提升题组
(建议用时：20 分钟)
11.(2019·武汉模拟)幂函数 y＝xα，当 α 取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图
象是一组美丽的曲线(如图)，设点 A(1，0)，B(0，1)，连接 AB，线段 AB 恰好被
其中的两个幂函数 y＝xa，y＝xb 的图象三等分，即有 BM＝MN＝NA，那么 a－1
b
＝
( )
A.0 B.1 C.1
2 D.2
解析 BM＝MN＝NA，点 A(1，0)，B(0，1)，
所以 M(1
3
，2
3)，N(2
3
，1
3)，
将两点坐标分别代入 y＝xa，y＝xb，得 a＝log
1
3
2
3
，b＝log
2
3
1
3
，∴a－1
b
＝log
1
3
2
3
－ 1
log
2
3
1
3
＝
0.
答案 A
12.(2017·浙江卷)若函数 f(x)＝x2＋ax＋b 在区间[0，1]上的最大值是 M，最小值是
m，则 M－m( )
A.与 a 有关，且与 b 有关
B.与 a 有关，但与 b 无关
C.与 a 无关，且与 b 无关
D.与 a 无关，但与 b 有关
解析 设 x1，x2 分别是函数 f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，则 m＝x21＋ax1
＋b，M＝x22＋ax2＋b.
∴M－m＝x22－x21＋a(x2－x1)，显然此值与 a 有关，与 b 无关.
答案 B
13.已知函数 f(x)＝mx2＋(2－m)x＋n(m>0)，当－1≤x≤1 时，|f(x)|≤1 恒成立，则
f(2
3 )＝________.
解析 当 x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1 恒成立.
∴{|f（0）| ≤ 1⇒|n| ≤ 1⇒－1 ≤ n ≤ 1；
|f（1）| ≤ 1⇒|2＋n| ≤ 1⇒－3 ≤ n ≤ －1，
因此 n＝－1，∴f(0)＝－1，f(1)＝1.
由 f(x)的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线 x＝0，
∴2－m＝0，m＝2，
∴f(x)＝2x2－1，∴f(2
3 )＝－1
9.
答案 －1
9
14.已知二次函数 f(x)满足 f(x＋1)－f(x)＝2x，且 f(0)＝1.
(1)求 f(x)的解析式；
(2)当 x∈[－1，1]时，函数 y＝f(x)的图象恒在函数 y＝2x＋m 的图象的上方，求实
数 m 的取值范围.
解 (1)设 f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，
则 f(x＋1)－f(x)＝2x，得 2ax＋a＋b＝2x.
所以，2a＝2 且 a＋b＝0，解得 a＝1，b＝－1，
又 f(0)＝1，所以 c＝1.
因此 f(x)的解析式为 f(x)＝x2－x＋1.
(2)因为当 x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在 y＝2x＋m 的图象上方，
所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m 恒成立；
即 x2－3x＋1>m 在区间[－1，1]上恒成立.
所以令 g(x)＝x2－3x＋1＝(x－3
2)2
－5
4
，
因为 g(x)在[－1，1]上的最小值为 g(1)＝－1，
所以 m<－1.故实数 m 的取值范围为(－∞，－1).
