2018届二轮复习（理）复数学案（全国通用）

2018届二轮复习（理）复数学案（全国通用）

专题10.5 复数 ‎【最新考纲解读】‎ ‎【考点深度剖析】‎ 复数知识均是以填空题的形式并且一般在前三题的位置上进行考查，涉及复数的基本概念，着重考查学生基本运算求解能力.复数知识一般不与其它章节知识结合考查，常单独设置题目，难度较低.‎ ‎【课前检测训练】‎ ‎【判一判】‎ 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　)‎ ‎(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)‎ ‎(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　)‎ ‎(4)原点是实轴与虚轴的交点．(　　)‎ ‎(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　)‎ ‎1. ×2. ×3. ×4. √5. √‎ ‎【练一练】‎ ‎1．设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)等于(　　)‎ A．3＋3i B．－1＋3i C．3＋i D．－1＋i ‎【答案】C ‎【解析】　(1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝1＋i＋2＝3＋i，故选C.‎ ‎2．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于(　　)‎ A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i ‎【答案】C ‎【解析】　由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.‎ ‎3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)‎ A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i ‎【答案】C ‎4．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2等于(　　)‎ A．3－4i B．3＋4i C．4－3i D．4＋3i ‎【答案】A ‎【解析】∵a，b∈R，a＋i＝2－bi，∴a＝2，b＝－1，‎ ‎∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.‎ ‎5．已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________.‎ ‎【答案】2＋i ‎【解析】∵＝＝＝＝2－i，‎ ‎∴z＝2＋i. ‎ ‎【题根精选精析】‎ 考点1 复数的概念 ‎【1-1】【2015年南通高三联考数学】若复数是纯虚数,i是虚数单位,则a的值是 ．‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】,即a=2．‎ ‎【1-2】已知复数若为实数，则实数的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】为实数，则，解得 ‎.‎ ‎【1-3】【无锡2015届高三下学期3月联考】复数（为虚数单位）的虚部是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以该复数的虚部是．本题易错选C，复数的虚部是一个实数.‎ ‎【1-4】【南通2015届高三3月模拟考试】已知复数，则z的共轭复数为 ．‎ ‎【答案】-1+i.‎ ‎【1-5】若复数为虚数单位）为虚数，则实数的值是 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】为虚数，则，解得.‎ ‎【基础知识】‎ ‎1.称为虚数单位,规定；‎ ‎2.形如()的数叫复数，其中分别是它的实部和虚部．若，则为实数；若，则为虚数；若且，则为纯虚数．‎ ‎3.共轭复数：复数称为复数的共轭复数，记为，那么与对应复平面上的点关于实轴对称，且，，， ‎ 与共轭⇔(，)．‎ ‎【思想方法】‎ ‎1.解决复数概念问题的方法及注意事项：(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为()的形式，以确定实部和虚部．‎ ‎2.复数是实数的条件：①；②；③.‎ ‎3.复数是纯虚数的条件: ①是纯虚数且； ②是纯虚数；③是纯虚数.‎ ‎4.复数与实数不同处：任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．‎ ‎【温馨提醒】‎ 这两个题都是复数的有关概念，解题时一定要先看复数是否为()的形式，以确定实部和虚部，进而求得结论.‎ 考点2复数相等，复数的几何意义 ‎【2-1】设是虚数单位，则等于 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以.‎ ‎【2-2】在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于 象限．‎ ‎【答案】第一 ‎【解析】因对应的点为，所以该复数对应的点位于第一象限.‎ ‎【2-3】为虚数单位，为虚数单位，若则 的值为若则的值为 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，可得.所以.所以.‎ ‎【2-4】已知是虚数单位，,则“”是“”的 条件．‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】当时，，反过来，则，解得或，故是的充分不必要条件 ‎【2-5】【苏州2015届高三模拟】在复平面上，复数对应的点到原点的距离为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【基础知识】‎ ‎1.复数的相等设复数，那么的充要条件是：．特别.‎ ‎2.复数的模：向量的模叫做复数 ()的模，记作或，即.‎ ‎3.复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面轴叫做实轴，轴除去原点叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示虚数.‎ 复数的几何表示：复数 ()可用平面直角坐标系内点来表示．这时称此平面为复平面，这样，全体复数集与复平面上全体点集是一一对应的．‎ 复数的几何意义 ‎（1）复数复平面内的点().‎ ‎（2）复数 ().‎ ‎4.复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：‎ ‎（1）是正常数）轨迹是一个圆.‎ ‎（2）是复常数）轨迹是一条直线.‎ ‎（3）是复常数，是正常数）轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为椭圆；b)当时，轨迹为一条线段；c)当时，轨迹不存在.‎ ‎（4）是正常数）轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为双曲线；b)当时，轨迹为两条射线；c)当时，轨迹不存在.‎ ‎【思想方法】‎ ‎1. 对复数几何意义的理解及应用 ‎(1)复数z、复平面上的点及向量相互联系，即 () ‎ ‎(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与【解析】几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．‎ ‎2. 注意复数相等的充要条件中必须把两个复数都化为“标准的代数形式”． ‎ ‎3. 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数 ()，由它的实部与虚部唯一确定，故复数与点相对应.‎ ‎【温馨提醒】‎ 这两题都是复数的几何意义，与复数相等，解题的关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．‎ 考点3复数的运算 ‎【3-1】【2015高考湖南卷第1题】满足（是虚数单位）的复数 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可得.‎ ‎【3-2】若复数，，则 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ ‎【3-3】【2015辽宁高考理第2题】设复数z满足，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为.‎ ‎【3-4】【扬州2015届高三3月第一次模拟考试】若复数满足：，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于，所以，.‎ ‎【3-5】【2015届第二次大联考数学江苏版】已知，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】．‎ ‎【基础知识】‎ ‎1. 复数的加、减、乘、除运算法则 设,,则 ‎①加法：；‎ ‎②减法：；‎ ‎③乘法：；‎ ‎④除法：‎ ‎2．复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何，有，.‎ ‎3. 复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何 ， ， 及 ，有：， ， ；‎ ‎4.复数集内的三角形不等式是：，其中左边在复数对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数对应的向量共线且同向（反向）时取等号.‎ ‎【思想方法】.‎ ‎1. 几个重要的结论：‎ ‎ ⑴；⑵；⑶若为虚数,则.‎ ‎2. 常用计算结论：‎ ‎⑴；⑵,；⑶；‎ ‎⑷；，，，.‎ ‎3. 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉的特点及熟练应用运算技巧．，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．‎ ‎4.在复数相关问题的处理中，一般要将复数转化为一般形式，明确复数的实部与虚部，在求解复数的过程中，可以利用到复数的四则运算，然后利用相关的知识求解复数的相关问题.‎ ‎5.实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．‎ ‎【温馨提醒】这两个题都是复数的运算，把复数表示成标准的代数形式，即化为的形式，在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．‎ 在解决含有字母参数的集合问题时, 要注意检验集合的元素是否满足互异性.‎ ‎【易错问题大揭秘】‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．‎ ‎2．两个虚数不能比较大小．‎ ‎3．注意复数的虚部是指在a＋bi(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数．‎