【数学】2020届一轮复习（文）人教A版综合检测一
综合检测一(标准卷)
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分150分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M＝{2,3,4,5}，N＝{x|x2－5x＋4<0}，则M∩N为( )
A．{2,3,4,5} B．{2,3}
C．{3,4,5} D．{2,3,4}
答案 B
解析 ∵N＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1
0)的焦点为F，已知点A和B分别为抛物线上的两个动点．且满足∠AFB＝120°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为( )
A. B．1 C. D.
答案 D
解析 如图所示，过A，B分别作准线的垂线AQ，BP，垂足分别为Q，P，设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线的定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b，由余弦定理得：|AB|2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab，整理得|AB|2＝(a＋b)2－ab，因为ab≤2，则(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－2＝(a＋b)2，即|AB|2≥(a＋b)2，所以≥＝3，所以≥，即≤，当且仅当a＝b，即|AF|＝|BF|时取等号，故选D.
12．已知函数f(x)＝，t∈R，若对任意的x∈[1,2]，f(x)>－x·f′(x)恒成立，则实数t的取值范围是( )
A．(－∞，) B.
C．(－∞，3) D.
答案 B
解析 ∵f′(x)＝，
∴对任意的x∈[1,2]，f′(x)·x＋f(x)＞0恒成立⇔对任意的x∈[1,2]，＞0恒成立
⇔对任意的x∈[1,2]，2x2－2tx＋1＞0恒成立⇔t＜＝x＋＝x＋恒成立，令g(x)＝x＋，
又g(x)＝x＋在[1,2]上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝，
∴t＜.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，且b在a上的投影为3，则a与b的夹角为________．
答案
解析 ∵b在a上的投影为3，∴|b|cos〈a，b〉＝|b|·＝＝3，m＝，cos〈a，b〉＝＝＝，∵0≤〈a，b〉≤π，∴向量a与b的夹角为.
14．定义在R上函数f(x)＝则不等式f(x)<－的解集为________．
答案
解析 当x≤1时，f(x)＝2x－1<－，∴2x<⇒x<－1；当x>1时，f(x)＝|x－3|－1<－⇒0)，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，则a的取值范围是____________．
答案 ∪[1，＋∞)
解析 f′(x)＝－4x＋，
若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，
即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0
在[1,2]上恒成立，
即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝4x－，则h(x)在[1,2]上单调递增，
所以≥h(2)或≤h(1)，
即≥或≤3，
又a＞0，所以0＜a≤或a≥1.
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足b2＋c2＝bc＋a2.
(1)求角A的大小；
(2)若等差数列{an}的公差不为零，a1cos A＝1，且a2，a4，a8成等比数列，求的前n项和Sn.
解 (1)∵b2＋c2＝bc＋a2，
∴cos A＝＝＝，
又A∈(0，π)，∴A＝.
(2)设{an}的公差为d，由已知得a1＝＝2，且a＝a2a8，
∴(2＋3d)2＝(2＋d)(2＋7d)．又d不为零，∴d＝2，
∴an＝2n，
∴＝＝－，
∴Sn＝＋＋…＋
＝1－＝.
18．(12分)为选拔选手参加“全市高中数学竞赛”，某中学举行了一次“数学竞赛”活动，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据)．
(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；
(2)在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取2名学生参加“全市高中数学竞赛”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率．
解 (1)由题意可知，样本容量n＝＝50，
y＝＝0.004，x＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.
(2)由题意可知，分数在[80,90)内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90,100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2.抽取的2名学生的所有情况有21
种，分别为：
(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)．
其中2名同学的分数都不在[90,100]内的情况有10种，分别为：
(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)．
∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率P＝1－＝.
19．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB＝2AD＝2，PD＝BD＝AD，且PD⊥底面ABCD.
(1)证明：BC⊥平面PBD；
(2)若Q为PC的中点，求三棱锥A－PBQ的体积．
(1)证明 ∵AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD，
∵AD∥BC，∴BC⊥BD.
又∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC.
∵PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PBD，
∴BC⊥平面PBD.
(2)解 三棱锥A－PBQ的体积VA－PBQ与三棱锥A－QBC的体积相等，
而VA－QBC＝VQ－ABC＝VP－ABC ＝VP－ABCD＝××1××＝.
∴三棱锥A－PBQ的体积VA－PBQ＝.
20．(12分)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)和椭圆C2：＋y2＝1的离心率相同，且点(，1)在椭圆C1上．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设P为椭圆C2上一点，过点P作直线交椭圆C1于A，C两点，且P恰为弦AC的中点，则当点P变化时，试问△AOC的面积是否为常数，若是，请求出此常数，若不是，请说明理由．
解 (1)由题知，＋＝1，且＝，即a2＝4，b2＝2，
椭圆C1的方程为＋＝1.
(2)是． ①当直线AC的斜率不存在时，必有P(±，0)，此时|AC|＝2，S△AOC＝.
②当直线AC的斜率存在时，设其斜率为k，点P(x0，y0)，则AC：y－y0＝k(x－x0)，直线AC与椭圆C1联立，得(1＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(y0－kx0)2－4＝0，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
则x0＝＝－，即x0＝－2ky0，
又x＋2y＝2，∴y＝，
S△AOC＝××·
＝
＝
＝|y0|＝.
综上，△AOC的面积为常数.
21．(12分)已知函数f(x)＝ln x＋ax，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)的两个零点为x1，x2，且≥e2，求证：(x1－x2)f′(x1＋x2)>.
(1)解 函数f(x)＝ln x＋ax，a∈R的定义域为{x|x>0}，f′(x)＝＋a，
①当a≥0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②当a<0时，令f′(x)＝＋a>0,0－，∴f(x)在上单调递减．
(2)证明 ∵ln x1＋ax1＝0，ln x2＋ax2＝0，
∴ln x2－ln x1＝a(x1－x2)，
(x1－x2)f′(x1＋x2)＝(x1－x2)·＝＋a(x1－x2)
＝＋ln ＝＋ln，
令＝t(t≥e2)，令φ(t)＝＋ln t，则φ′(t)＝>0，
∴φ(t)在[e2，＋∞)上单调递增，φ(t)≥φ(e2)＝1＋>1＋＝.
请在第22～23题中任选一题作答．
22．(10分)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程是(t为参数，0≤α<π)．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于两点A，B，且线段AB的中点为M(2,2)，求α.
解 (1)曲线C：ρ＝，即ρsin2θ＝4cos θ，
于是有ρ2sin2θ＝4ρcos θ，
化为直角坐标方程为y2＝4x.
(2)方法一 ⇒(2＋tsin α)2＝4(2＋tcos α)，
即t2sin2α＋(4sin α－4cos α)t－4＝0.
由AB的中点为M(2,2)，得t1＋t2＝0，有4sin α－4cos α＝0，所以k＝tan α＝1，
由0≤α<π 得α＝.
方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
⇒(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
∵y1＋y2＝4，∴k＝tan α＝＝1，
由0≤α<π得α＝.
方法三 设A，B(y10)，且f(x－2)≥0的解集为[－3，－1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c都是正实数，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
(1)解 依题意f(x－2)＝m－|x＋2|≥0，即|x＋2|≤m⇔－m－2≤x≤－2＋m，
∴m＝1.
(2)证明 ∵＋＋＝1(a，b，c>0)，
∴a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)
＝3＋＋＋≥9，
当且仅当a＝2b＝3c，即a＝3，b＝，c＝1时取等号．
