全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全16概率随机变量及其分布

全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全16概率随机变量及其分布

‎2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 ‎ （16概率、随机变量及其分布）‎ 一、选择题：‎ ‎1．(2008福建文)某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（　C　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎2．(2008福建理)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为, 那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（B ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．（2008安徽理）设两个正态分布和的密度函数图像如图所示。则有（ A ）‎ A． ‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎4. (2008湖南理)设随机变量服从正态分布,若,则c= ( B. )‎ A.1 B‎.2 ‎‎ ‎ C.3 D.4 ‎ ‎4．【答案】B ‎4．【解析】‎ ‎ ‎ ‎ 解得=2, 所以选B.‎ ‎5．(2008江西文、理)电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为（ C ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5..一天显示的时间总共有种,和为23总共有4种,故所求概率为.‎ ‎ ‎ ‎6．(2008辽宁文、理) 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ C ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．(2008山东理)在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（ B ）‎ ‎（A）　　（B） （C）　　　（D）‎ ‎8． (2008重庆理)已知随机变量服从正态分布N(3,a2),则P(＜3＝(D )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎9． (2008重庆文)从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的 最大号码是6的概率为( B )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 二、填空题：‎ ‎1．(2008江苏) 一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ．‎ ‎1．【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故 ‎【答案】‎ ‎2.在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率__ ．‎ ‎2．【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．‎ ‎【答案】‎ ‎3.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 0.98 .‎ ‎4．(2008上海文)在平面直角坐标系中，从六个点：中任 取三个，这三点能构成三角形的概率是　　　　（结果用分数表示）．‎ ‎5.(2008上海理)在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 . （结果用分数表示）‎ 三、解答题：‎ ‎1．（2008安徽文）在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.‎ ‎（Ⅰ）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张，测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率。‎ ‎（Ⅱ）若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率。‎ ‎1．解：（1）每次测试中，被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的概率为，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，因而所求的概率为 ‎（2）设表示所抽取的三张卡片中，恰有张卡片带有后鼻音“g”的事件，且其相应的概率为则 ‎ , ‎ ‎ 因而所求概率为 ‎ ‎ ‎2．（2008安徽理）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望，标准差为。‎ ‎（Ⅰ）求n,p的值并写出的分布列；‎ ‎（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率 ‎2． (1)由得,从而 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则 得 ‎ 或 ‎ ‎3．（2008北京文）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；‎ ‎（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.‎ ‎3．解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么 ‎　　　　　　　　　　P（EA）=‎ 即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是 ‎（Ⅱ）记甲、乙两个同时参加同一岗位服务为事件E，那么 P（E）＝‎ 所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P（）=1-P(E)=‎ ‎4．（2008北京理）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；‎ ‎（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；‎ ‎（Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列．‎ ‎4．解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，‎ 即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．‎ ‎（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，‎ 所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．‎ ‎（Ⅲ）随机变量可能取的值为1，2．事件“”是指有两人同时参加岗位服务，‎ 则．‎ 所以，的分布列是 ‎1‎ ‎3‎ ‎5. (2008福建文)三人独立破译同一份密码，已知三人各自译出密码的概率分别为，且他们是否破译出密码互不影响。（1）求恰有二人破译出密码的概率；（2）“密码被破译”与“密码未被破译”的概率那个大？说明理由。‎ ‎5.解：记“第i个人破译出密码”为事件，则：‎ ‎ （1）设“恰好二人破译出密码”为事件B,则有：‎ ‎（2）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D，则有：‎ ‎ , ‎ ‎ 所以密码被破译的概率大 ‎6．(2008福建理)某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科 ‎　　　目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证 ‎　　　书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试 ‎　　　成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.‎ ‎　　（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；‎ ‎　　（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望E.‎ ‎6．本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能力.满分12分.‎ ‎ 解:设“科目A第一次考试合格”为事件A，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B，“科目B补考合格”为事件B.‎ ‎ (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立，‎ 则.‎ 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为.‎ ‎(Ⅱ)由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故 答：该考生参加考试次数的数学期望为.‎ ‎7. (2008广东文)某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表. ‎ 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19 .‎ ‎（1）求x的值；‎ ‎（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生, 问应在初三年级抽取多少名？‎ ‎（3）已知，求初三年级中女生比男生多的概率。‎ ‎ ‎ ‎7.解: (1)由,解得,‎ ‎ (2)初三年级人数为,‎ ‎ 设应在初三年级抽取m人，则，解得m=12. ‎ ‎ 答: 应在初三年级抽取12名.‎ ‎ （3）设初三年级女生比男生多的事件为，初三年级女生和男生数记为数对，‎ 由（2）知，则基本事件总数有：‎ 共11个，‎ 而事件包含的基本事件有：‎ 共5个，‎ ‎∴‎ ‎8. (2008广东理)随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获利分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为.‎ ‎(1)求ξ的分布列;‎ ‎(2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望);‎ ‎(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%. 如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?‎ ‎8.解: (1) 依题意得, ξ的所有可能取值为6,2,1,-2. ‎ ‎ ξ=6,2,1,-2分别对应抽取1件产品为一等品、二等品、三等品、次品这四个事件.‎ ‎ 所以,‎ ‎ ,‎ ‎ 所以ξ的分布列为 ‎ ‎ ‎ (2) 1件产品的平均利润为Eξ=60.63+20.25+10.1-20.02=4.34‎ ‎ （3）设三等品率为x,则二等品率为0.29-x，此时ξ的分布列为 ‎ ‎ ‎ 1件产品的平均利润为Eξ=60.7+2(0.29-x)+x-20.01=4.76-x 令Eξ=4.76-x4.73，解得=3%,‎ 答：三等品率最多是3%.‎ ‎9、(2008海南、宁夏文)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10。把这6名学生的得分看成一个总体。（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。‎ ‎9．解：（Ⅰ）总体平均数为．-----------4分 ‎（Ⅱ）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过‎0.5”‎．‎ 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：，，，，，，，，，，，，，，．共15个基本结果．‎ 事件包括的基本结果有：，，，，，，．共有7个基本结果．‎ 所以所求的概率为．-----------------12分 ‎10、(2008海南、宁夏理)A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2。根据市场分析，X1和X2的分布列分别为 X1‎ ‎5%‎ ‎10%‎ X2‎ ‎2%‎ ‎8%‎ ‎12%‎ P ‎0.8‎ ‎0.2‎ P ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎0.3‎ ‎（1）在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1、DY2；（2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值。 （注：D(aX + b) = a2DX）‎ ‎10．解：（Ⅰ）由题设可知和的分布列分别为 ‎ Y1‎ ‎5‎ ‎10‎ P ‎0.8‎ ‎0.2‎ ‎ Y2‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎12‎ P ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎0.3‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎，‎ 当时，为最小值．‎ ‎11. (2008湖北理)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.‎ ‎（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；‎ ‎（Ⅱ）若η=aξ-b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.‎ ‎11.本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分12分）‎ 解：（Ⅰ）的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∴‎ ‎（Ⅱ）由，得a2×2.75＝11，即又所以 当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2; ‎ 当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4. ‎ ‎∴或即为所求.‎ ‎12．(2008湖南文) 甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格 就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试 合格的概率都是，且面试是否合格互不影响。求：‎ ‎（I）至少一人面试合格的概率； （II）没有人签约的概率。‎ ‎12．解：用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A,B,C相互独立，‎ 且 ‎（I）至少有一人面试合格的概率是 ‎（II）没有人签约的概率为 ‎ ‎ ‎13 (2008湖南理)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：‎ ‎（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;‎ ‎（Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望.‎ ‎13．解: 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，‎ 且P（A）＝P（B）＝P（C）＝.‎ ‎（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是 ‎（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.‎ ‎ ‎ ‎ ＝‎ ‎ ＝‎ ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以， 的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 的期望 ‎14．(2008江西文) 因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立．该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4．‎ ‎（1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率；‎ ‎（2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.‎ ‎14．解：（1）令A表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件 ‎ ‎ ‎（2）令B表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件 ‎ ‎ ‎15．(2008江西理) 因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．‎ ‎（1）写出ξ1、ξ2的分布列；‎ ‎（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?‎ ‎（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大?‎ ‎15.解：（1）ξ1的分布列为 ξ1‎ ‎0.8‎ ‎0.9‎ ‎1‎ ‎1.125‎ ‎1.25‎ P1‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.35‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ξ2的分布列为 ξ2‎ ‎0.8‎ ‎0.96‎ ‎1‎ ‎1.2‎ ‎1.44‎ P2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.18‎ ‎0.24‎ ‎0.08‎ ‎（2）由（1）可得P1＞1的概率P（P1＞1）= 0.15 + 0.15 = 0.3，‎ P2＞1的概率P（P2＞1）= 0.24 + 0.08 = 0.32，‎ 可见，P（P2＞1）＞P（P1＞1）‎ ‎∴实施方案2，两年后产量超过灾前概率更大。‎ ‎（3）设实施方案1、2的平均利润分别为利润1、利润2，根据题意 ‎ 利润1 = （0.2 +0.15）×10 + 0.35×15 + （0.15 + 0.15）×20‎ ‎ = 14.75（万元）‎ ‎ 利润2 = （0.3 + 0.2）×10 + 0.18×15 + （0.24 + 0.08）×20‎ ‎ = 14.1（万元）‎ ‎∴利润1＞利润2，‎ ‎∴实施方案1平均利润更大。‎ ‎16．(2008辽宁文)某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：‎ 周销售量 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 频数 ‎20‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；‎ ‎（Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 ‎（ⅰ）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率；‎ ‎（ⅱ）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率．‎ ‎16．本小题主要考查频率、概率等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． 4分 ‎（Ⅱ）由题意知一周的销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3，故所求的概率为 ‎ （ⅰ）． 8分 ‎ （ⅱ）． 12分 ‎17．(2008辽宁理) 某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：‎ 周销售量 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 频数 ‎20‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；‎ ‎（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望．‎ ‎17．本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． 3分 ‎（Ⅱ）的可能值为8，10，12，14，16，且 P（=8）=0.22=0.04，‎ P（=10）=2×0.2×0.5=0.2，‎ P（=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37，‎ P（=14）=2×0.5×0.3=0.3，‎ P（=16）=0.32=0.09．‎ 的分布列为 ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎14‎ ‎16‎ P ‎0.04‎ ‎0.2‎ ‎0.37‎ ‎0.3‎ ‎0.09‎ ‎ 9分 ‎=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元） 12分 ‎18．(2008全国Ⅱ卷文) 甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2．‎ 设甲、乙的射击相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；‎ ‎（Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率．‎ ‎18．解：记分别表示甲击中9环，10环，‎ 分别表示乙击中8环，9环，‎ 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，‎ 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，‎ 分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数．‎ ‎（Ⅰ）， 2分 ‎． 6分 ‎（Ⅱ）， 8分 ‎，‎ ‎，‎ ‎． 12分 ‎19．(2008全国Ⅱ卷理) 购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为．‎ ‎（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率；‎ ‎（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．‎ ‎19．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，则．‎ ‎（Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当， 2分 ‎，‎ 又，‎ 故． 5分 ‎（Ⅱ）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和．‎ 支出 ，‎ 盈利 ，‎ 盈利的期望为 ， 9分 由知，，‎ ‎．‎ ‎（元）．‎ 故每位投保人应交纳的最低保费为15元． 12分 ‎20．(2008全国Ⅰ卷文)已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：‎ 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．‎ 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．‎ 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．‎ ‎20．解：对于甲：‎ 次数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 概率 ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ 对于乙：‎ 次数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 概率 ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎．‎ ‎21．(2008全国Ⅰ卷理) 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：‎ 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．‎ 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．‎ ‎（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；‎ ‎（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．‎ ‎21．解：（Ⅰ）对于甲：‎ 次数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 概率 ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ 对于乙：‎ 次数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 概率 ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，的期望为．‎ ‎22.(2008山东文)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄语，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．‎ ‎（Ⅰ）求被选中的概率；‎ ‎（Ⅱ）求和不全被选中的概率．‎ ‎22．解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间 ‎{，，‎ ‎，，，‎ ‎，，，‎ ‎}‎ 由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．‎ 用表示“恰被选中”这一事件，则 ‎{，‎ ‎}‎ 事件由6个基本事件组成，‎ 因而．‎ ‎（Ⅱ）用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，‎ 由于{}，事件有3个基本事件组成，‎ 所以，由对立事件的概率公式得．‎ ‎23．(2008山东理)甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.‎ ‎（Ⅰ）求随机变量ε分布列和数学期望； ‎ ‎(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于‎3”‎这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).‎ ‎23．(Ⅰ)解法一：由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且 ‎ ‎ 所以ε的分布列为 ε ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ε的数学期望为 ‎　　　　　Eε=‎ 解法二：根据题设可知 因此ε的分布列为 ‎（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又 由互斥事件的概率公式得 解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1为互斥事件，故事 P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).‎ ‎24．.(2008陕西文)一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.‎ ‎（Ⅰ）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率；‎ ‎（Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率．‎ ‎24. 解：（Ⅰ）从袋中依次摸出2个球共有种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有种结果，则所求概率 ‎．‎ ‎（Ⅱ）第一次摸出红球的概率为，第二次摸出红球的概率为，第三次摸出红球的概率为，则摸球次数不超过3次的概率为 ‎．‎ ‎25．(2008陕西理)某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．‎ ‎（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；‎ ‎（Ⅱ）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望．‎ ‎25．（Ⅰ）设该射手第次击中目标的事件为，则，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3． 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.008‎ ‎0.032‎ ‎0.16‎ ‎0.8‎ ‎.‎ ‎26．(2008四川文) 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。‎ ‎ （Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；‎ ‎（Ⅱ）求进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率。‎ ‎26．【解】：（Ⅰ）记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，‎ ‎ 记表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，‎ 记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）记表示事件：进入商场的3位顾客中都未选购甲种商品，也未选购买乙种商品；‎ ‎ 表示事件：进入商场的1位顾客未选购甲种商品，也未选购买乙种商品；‎ ‎ 表示事件：进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未选购甲种商品，也未选选购乙种商品；‎ ‎【点评】：此题重点考察相互独立事件有一个发生的概率；‎ ‎【突破】：分清相互独立事件的概率求法；对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作用；‎ ‎27．(2008四川理) 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。‎ ‎ （Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；‎ ‎（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；‎ ‎（Ⅲ）记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望。‎ ‎27．【解】：记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，‎ ‎ 记表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，‎ 记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，‎ 记表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ ‎ ‎（Ⅲ），故的分布列 ‎ 所以 ‎【点评】：此题重点考察相互独立事件的概率计算，以及求随机变量的概率分布列和数学期望；‎ ‎【突破】：分清相互独立事件的概率求法，对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作用；‎ ‎28．(2008天津文)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．‎ ‎（Ⅰ）求乙投球的命中率；‎ ‎（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；‎ ‎（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．‎ ‎28．本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件，由题意得 ‎，‎ 解得或（舍去），所以乙投球的命中率为．‎ 解法二：设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件，由题意得 ‎，‎ 于是或（舍去），故．‎ 所以乙投球的命中率为．‎ ‎（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知，，．‎ 故甲投球2次至少命中1次的概率为．‎ 解法二：由题设和（Ⅰ）知，，．‎ 故甲投球2次至少命中1次的概率为．‎ ‎（Ⅲ）解：由题设和（Ⅰ）知，，，，．‎ 甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次．概率分别为 ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为 ‎．‎ ‎29．(2008天津理) 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.‎ ‎（Ⅰ）求乙投球的命中率；‎ ‎（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.‎ ‎29．解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B 由题意得 解得或（舍去），所以乙投球的命中率为 ‎（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知 可能的取值为0，1，2，3，故 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望 ‎30．（2008浙江文）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球，已知袋中共有10个球，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是;从中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.求：‎ ‎ （Ⅰ）从中任意摸出2个球，得到的数是黑球的概率；‎ ‎（Ⅱ）袋中白球的个数。‎ ‎30．本题主要考查排列组合、概率等基础知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力。满分14分。‎ ‎ （Ⅰ）解：由题意知，袋中黑球的个数为 记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球”为事件A，则 ‎（Ⅱ）解：记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B。‎ 设袋中白球的个数为x，则 得到 x=5‎ ‎31．（2008浙江理）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是。‎ ‎ （Ⅰ）若袋中共有10个球，‎ ‎（i）求白球的个数； ‎ ‎（ii）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望。‎ ‎（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。‎ ‎31．本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．满分14分．‎ ‎（Ⅰ）解：（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为，则，‎ 得到．‎ 故白球有5个．‎ ‎（ii）随机变量的取值为0，1，2，3，分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望 ‎．‎ ‎（Ⅱ）证明：设袋中有个球，其中个黑球，由题意得，‎ 所以，，故．‎ 记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则 ‎．‎ 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于．‎ 故袋中红球个数最少．‎ ‎32．(2008重庆文)在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：‎ ‎（Ⅰ）恰有两道题答对的概率;‎ ‎（Ⅱ）至少答对一道题的概率.‎ ‎32．（本小题13分）‎ ‎ 解：视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为.‎ ‎ 由独立重复试验的概率计算公式得：‎ ‎ (Ⅰ)恰有两道题答对的概率为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (Ⅱ)解法一：至少有一道题答对的概率为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解法二：至少有一道题答对的概率为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎33．(2008重庆理)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：‎ ‎（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率；‎ ‎（Ⅱ）比赛停止时已打局数的分别列与期望E.‎ ‎33．（本小题13分）‎ ‎　　　解：令分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.‎ ‎　　　　（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比 赛还未停止的概率为 ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　（Ⅱ）的所有可能值为2，3，4，5，6，且 ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　‎ ‎ 　　　故有分布列 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　从而（局）.‎