上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 上海交通大学附属中学2019-2020学年度第二学期 高一数学期中考试试卷 ‎（满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）‎ 一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）‎ ‎1.若则x=____.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由反三角函数的定义得，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，，所以，‎ 由反三角函数的定义，，‎ 即，解得.‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题主要考查反三角函数的应用，属于基础题.‎ ‎2.在公差d不为零的等差数列中，且成等比数列，则d=____‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数列是等差数列得，由成等比数列，所以，联立两式求出和即可.‎ ‎【详解】由题意，数列是等差数列，所以①，‎ 又成等比数列，所以，‎ 即②，‎ 联立①②式，解得，，.‎ 故答案为：3‎ - 31 -‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和等比中项的应用，考查学生计算能力，属于基础题.‎ ‎3.已知等比数列中，则____‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数的运算性质，，再由等比数列的下标性质，，即可得到答案.‎ ‎【详解】由对数的运算性质，，‎ 由等比数列下标性质，，‎ 所以，‎ 即.‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的性质和对数的运算性质，属于基础题.‎ ‎4.前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是______.‎ ‎【答案】765‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列，利用求和公式即可得出.‎ ‎【详解】解：前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列.‎ 令，解得.‎ ‎∴前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和为.‎ 故答案为：765.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的求和，重点考查了等差数列的定义，属基础题.‎ - 31 -‎ ‎5.在中，（为常数），且，则的值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知等式可得，再由正弦定理将角化边得到，最后由余弦定理求出代入化简，即可求出参数的值.‎ ‎【详解】解：‎ 由正弦定理可得①‎ 根据余弦定理可知②‎ 由①②得 又因为 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于基础题.‎ ‎6.已知等比数列的各项都是正数，为其前n项和，若则___‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列的公比为，利用等比数列求和公式分别表示出和，再计算即可.‎ ‎【详解】由题意，设等比数列的公比为且，‎ - 31 -‎ 则，，‎ 所以，解得，‎ 又，所以，‎ ‎.‎ 故答案为：120‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的前项和公式，考查学生的计算能力，属于基础题.‎ ‎7.已知函数，，则的最大值是________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出函数在区间上的最大值和最小值，从而得出结果．‎ ‎【详解】由题意可得：，其中，，且．‎ 由，，，‎ ‎，，‎ 当时，．‎ 故答案为：9‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的恒等变化，以及正弦函数图象的性质，正弦函数的最值，把函数化简是解题的关键，属于中档题．‎ - 31 -‎ ‎8.在△ABC中，角A、B、C所对应边分别为a、b、c，∠ABC=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，且则a+4c的最小值为____‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形的面积公式找到和的关系，再结合基本不等式即可求得最小值.‎ ‎【详解】根据题意，，所以，‎ 因为是的平分线，所以，‎ 由三角形面积公式，‎ ‎，‎ ‎，‎ 因为，所以，‎ 化简得，，‎ 所以，‎ 当且仅当，即，即，时，等号成立，‎ 故答案为：18‎ ‎【点睛】本题主要考查三角形面积公式的应用和基本不等式求最值的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.‎ ‎9.已知数列的前n项和数列的前n项和则的最小值____‎ ‎【答案】5‎ - 31 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由和的关系求出数列的通项公式，再根据正负表示出数列的通项公式为，求出，并表示出，再分别求出和时的最小值，即可判断的最小值.‎ ‎【详解】由题意，数列的前n项和，‎ 所以，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以，‎ 当时，，当时，，‎ 所以，‎ 数列的前n项和，‎ 所以，‎ 当时，，当时，的最小值为6；‎ 当时，，‎ 由对勾函数的性质，当时，有最小值5；‎ 综上所述，的最小值为5‎ 故答案为：5‎ ‎【点睛】本题主要考查由求数列通项公式的求法、等差数列前项和公式、对勾函数的应用，是一道综合性很强的题目，考查学生分析转化能力和计算能力，属于难题.‎ ‎10.在等差数列中，若___‎ - 31 -‎ ‎【答案】990‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列前项和公式，利用、来表示和，求出和，再计算即可.‎ ‎【详解】由题意，设数列公差为，‎ 由等差数列前项和公式，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，，，‎ 所以.‎ 故答案为：990‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的前项和公式，考查学生计算能力，属于基础题.‎ ‎11.设函数函数则方程f（x）=g（x）根的数量为___个.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作函数和的图象，利用数形结合的方法求解即可.‎ ‎【详解】由题意，作函数和的图象，‎ 当时，，，‎ - 31 -‎ 所以时，和没有交点，‎ 时，结合图像，和有5个交点；‎ 当时，和有两个交点，‎ 分别为和；‎ 所以根的数量为7个.‎ 故答案为：7‎ ‎【点睛】本题主要考查方程的根的求法，涉及分段函数的表示，考查学生数形结合的能力，属于中档题.‎ ‎12.已知两个等差数列和的前n项和分别为和且则使得为整数的正整数k有_____个.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列前项和公式和，设出，求出，设出，求出，再得到的表达式，即可求出为整数的正整数的个数.‎ ‎【详解】由，设，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 符合上式，所以；‎ 设，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ - 31 -‎ 符合上式，所以；‎ 则，‎ 当时，为整数，‎ 所以使得为整数的正整数k有3个.‎ 故答案为：3‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.‎ ‎13.设等差数列的各项都是正数，公差为d，前n项和为若数列也是公差为d的等差数列，则的前6项和为_____‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，等差数列的前项和公式，由数列为等差数列，表示出数列的通项公式，联立两式求解出和，即可计算的前6项和.‎ ‎【详解】由题意，等差数列的前项和公式，‎ 又数列为等差数列，则，‎ 所以，‎ 所以，‎ 解得，，‎ 当时，，‎ - 31 -‎ 当时，，‎ 联立两式，解得，，‎ 所以的前6项和 故答案为：9‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的应用和前项和公式，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.‎ ‎14.若等差数列满足则的最大值为_____‎ ‎【答案】1000‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，，令，，则公差，再由等差数列前项和公式得，则，当取最大值时，直线与圆相切，由点到直线的距离公式求出的最大值，即可求出的最大值.‎ ‎【详解】由题意，，即，‎ 令，，则等差数列的公差，‎ 则，‎ ‎，即，‎ 表示以原点为圆心，为半径的圆内（包含圆周），‎ 所以取最大值时，直线与圆相切，‎ 由点到直线的距离公式，，此时的最大值为5，‎ 所以.‎ 故答案为：1000‎ - 31 -‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列前项和公式的应用、直线与圆的位置关系，考查学生分析转化能力，综合性较强，属于难题.‎ 二、选择题（本大题共20题，每题3分，满分60分）‎ ‎15.已知数列为等差数列，若，则的值为（ ）‎ A. - B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质可知, ,求出,再由即可求解.‎ ‎【详解】∵数列为等差数列，，‎ ‎∴由等差数列的性质可得,，‎ 所以，即,‎ 因为,所以，‎ ‎∴.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查等差数列的性质和三角函数的诱导公式;属于基础题.‎ ‎16.内角所对边分别为若，成等差数列，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ B，A，C成等差数列，可得2A＝B+C＝π﹣A，解得A．利用正弦定理可得sinB，即可得出．‎ ‎【详解】∵B，A，C成等差数列，‎ - 31 -‎ ‎∴2A＝B+C＝π﹣A，‎ 解得A．‎ 则sinB，‎ 又a＞b，∴B为锐角．‎ ‎∴B．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理、三角函数求值、等差数列的性质、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎17.若等差数列和的公差均为，则下列数列中不为等差数列的是（ ）‎ A. （为常数） B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的定义对选项逐一进行判断，可得出正确的选项.‎ ‎【详解】数列和是公差均为的等差数列，则，，.‎ 对于A选项，，数列（为常数）是等差数列；‎ 对于B选项，，数列是等差数列；‎ 对于C选项，，‎ 所以，数列是等差数列；‎ 对于D选项，‎ - 31 -‎ ‎，不是常数，所以，数列不是等差数列.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式，注意等差数列定义的应用，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎18.在中，角所对的边长分别为，若，，，则这样的三角形解的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 0 D. 不确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理求出即可判断出解的个数 ‎【详解】因为，，‎ 所以由正弦定理得：‎ 即 解得，故无解 故选：C ‎【点睛】本题考查的是正弦定理的运用，较简单.‎ ‎19.已知函数.下列说法中错误的是（ ）‎ A. 函数的定义域是.‎ B. 函数图象与直线没有交点 C. 函数的单调增区间是 D. 函数的周期是2‎ - 31 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正切函数的性质逐个判定即可.‎ ‎【详解】对A, 的定义域满足,.‎ 故A正确.‎ 对B,由A可知B正确.‎ 对C, 单调递增区间即的单调递减区间.‎ 即,化简得.故C错误.‎ 对D, 的周期是 ,故D正确.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了正切型函数的性质判定.属于基础题.‎ ‎20.函数，的值域为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得到，现利用余弦函数的的图象和性质求解.‎ ‎【详解】因为 所以 - 31 -‎ 所以 所以的值域是 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了余弦函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎21.函数y=sinx，的反函数是（ ）‎ A. y=arcsinx，x∈[-1，1] B. y=-arcsinx，x∈[-1，1]‎ C. y=π+arcsinx，x∈[-1，1] D. y=π-arcsinx，x∈[-1，1]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由诱导公式得到，再根据反函数的定义求解即可.‎ ‎【详解】由题意，，则 所以，‎ 所以，，‎ 所以，，‎ 即的反函数是，‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查反函数的求法，属于基础题.‎ ‎22.在中，若的面积为S，且，则的外接圆的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 31 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用求得，由此利用正弦定理求得外接圆的半径，进而求得外接圆的面积.‎ ‎【详解】由得，所以，由于是三角形的内角，所以.设三角形外接圆半径为，由正弦定理得，所以外接圆的面积为.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.‎ ‎23.已知曲线则下面结论正确的是（ ）‎ A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位，得到曲线 B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线 C. 把上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位，得到曲线 D. 把上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 31 -‎ 由诱导公式将化为，再根据图像变换规律，即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，：，‎ 故将上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到；‎ 再把得到的曲线向左平移个单位，得到，‎ 即曲线的图像.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查诱导公式的应用和三角函数图像变换规律，属于基础题.‎ ‎24.已知的图象关于直线对称，若存在，使得对于任意的x都有，且的最小值为，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的最大值和最小值对应的横坐标的距离，求得的半周期，由此求得的值，结合根据的对称轴列方程，求得的值.‎ ‎【详解】依题意存在，使得对于任意的x都有，所以分别是的最小值和最大值，而的最小值为，所以，由解得，所以.由于的图象关于直线对称，所以的值为或，即的值为或 - 31 -‎ ‎，由于，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性和对称性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎25.若等比数列的前n项和则（ ）‎ A. B. 4n-1 C. D. 无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用时，；时，，以及数列为等比数列求出的值，再得到数列是等比数列，再由等比数列前项和公式求解即可.‎ ‎【详解】当时，，‎ 当时，，‎ 因为数列为等比数列，‎ 所以当时，，解得，‎ 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列，‎ 当时，，‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查等比数列的定义、通项公式和前项和公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.‎ - 31 -‎ ‎26.已知等差数列的首项为4，公差为4，其前项和为，则数列的前项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得出数列前项和，再用裂项相消法即可求数列的前项和.‎ ‎【详解】等差数列前项和公式为，又，，所以，所以，数列的前项和.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查求数列前项和，解题的关键是会用裂项相消求数列前项和.‎ ‎27.已知函数f（x）是定义在R上的单调递减函数，且f（x）为奇函数，数列是等差数列，则的值（ ）‎ A. 恒为负数 B. 恒为正数 C. 恒为0 D. 可正可负 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数f（x）是定义在R上的单调递减函数，且f（x）为奇函数，所以，当时，，所以可得，由等差数列的性质可得，即，同理可以得到，，，进而可以得到所求式子的符号.‎ ‎【详解】由题意，函数f（x）是定义在R上的单调递减函数，且f（x）为奇函数，‎ - 31 -‎ 所以，当时，；‎ 因为数列是等差数列，且，所以，‎ 又，所以，‎ 同理，，，，‎ 所以 故选：A ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质，函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于中档题.‎ ‎28.已知函数f（x）=asinx+cosx的一条对称轴为则函数g（x）=sinx-acosx的一条对称轴可以为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由辅助角公式化简，其中，由的一条对称轴是求出，再根据辅助角公式化简，其中，利用，求出和的关系，即可求出的一条对称轴.‎ ‎【详解】由题意，，其中，‎ 因为的一条对称轴是，所以，‎ 解得，‎ 函数，其中，‎ 所以的对称轴是，‎ 因为，所以，‎ 即，‎ - 31 -‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以的一条对称轴，‎ 当时，.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，两角和差的余弦公式和三角函数的性质，考查学生的分析转化能力，属于中档题.‎ ‎29.《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ）‎ A. 一尺五寸 B. 二尺五寸 C. 三尺五寸 D. 四尺五寸 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从冬至日起各节气日影长设为，可得为等差数列，根据已知结合前项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为，‎ 是其前项和，则尺，‎ 所以尺，由题知，‎ 所以，所以公差，‎ 所以尺。‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前项和与通项公式的基本量运算，属于中档题.‎ - 31 -‎ ‎30.已知等差数列、，其前项和分别为、，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的前项和公式以及等差中项的性质得出，于此可得出结果．‎ ‎【详解】由等差数列的前项和公式以及等差中项的性质得，‎ 同理可得，因此，，故选A．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前和公式以及等差中项性质的应用，解题关键在于等差数列下标性质的应用，能起到简化计算的作用，考查计算能力，属于中等题．‎ ‎31.已知是等比数列的前n项和，若存在m∈N*满足，则数列的公比为（ ）‎ A. B. 2 C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列前项和公式分别表示和，利用可求得，再根据等比数列通项公式分别表示和，利用可求得，再计算的值即可.‎ ‎【详解】由题意，设等比数列的公比为，‎ 由等比数列前项和公式，，，‎ - 31 -‎ 所以，即，‎ 由等比数列通项公式，，，‎ 所以，解得，‎ 由，解得.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查等比数列通项公式和前项和公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.‎ ‎32.已知数列是等比数列，其前n项和为则下列结论正确的是（ ）‎ A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 四个选项中，由等比数列通项公式和前项和公式，分别对和进行讨论，即可得到正确答案.‎ ‎【详解】由题意，设等比数列的公比为，‎ 对选项A，，即，那么，‎ 当时，，故错误；‎ 对选项B，，可得，‎ ‎，即，当时不成立，故错误；‎ 对选项C，，时，，成立，‎ - 31 -‎ 当时，，‎ 当时，，，所以成立；‎ 当时，，，所以成立；‎ 当时，，，所以成立；故正确；‎ 对选项D，，时，，成立，‎ 当时，，‎ 当时，，，所以，故错误.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查等比数列通项公式和前项和公式的应用，注意对公比的分类讨论，属于基础题.‎ ‎33.设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；② ；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（ ）‎ A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，，结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案．‎ ‎【详解】，，，‎ ‎，．‎ ‎，故①正确；‎ ‎，，故②不正确；‎ - 31 -‎ ‎，是数列中的最大项，故③正确；‎ ‎，，‎ 使成立的最大自然数等于4038，故④不正确．‎ 正确结论的序号是①③．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎34.对于无穷数列给出下列命题，其中正确的个数是（ ）‎ ‎①若数列既是等差数列，又是等比数列，则数列是常数列.‎ ‎②若等差数列满足则数列是常数列.‎ ‎③若等比数列满足则数列是常数列.‎ ‎④若各项为正数的等比数列满足则数列是常数列.‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过无穷数列的概念和等差、等比数列的通项公式和有界性对①②③④进行分析即可.‎ ‎【详解】对①，数列既是等差数列，又是等比数列，则数列的各项都是不为0的常数，‎ 故正确；‎ 对②，等差数列满足，因为数列为无穷数列，‎ 且是等差数列，若公差，则无界，故正确；‎ 对③，等比数列满足，如，‎ 满足，但不是常数列，故错误；‎ - 31 -‎ 对④，各项为正数的等比数列满足，即，‎ 则，，当时，无上界，故，‎ 此时是常数列，故正确.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查无穷数列的概念以及等差、等比数列的定义和通项公式，属于基础题.‎ 三、解答题（本大题共2题，满分34分）‎ ‎35.已知函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，满足 ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（3）是否存在正整数n，使得f（x）=0在区间内恰有2020个根.若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）-9；（2）π；（3）存在；‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）将和解析式即可求解的值；‎ ‎（2）由求解最小正周期； ‎ ‎（3）分别讨论当和时的个数，即求出一个周期上的个数，又，所以再讨论附近的情况即可得到答案.‎ ‎【详解】（1）由题意，，‎ 即，解得；‎ ‎（2）由（1）知，，所以 ‎，‎ 所以的最小正周期是；‎ - 31 -‎ ‎（3）当时，，‎ 令，‎ 则，‎ 所以，‎ 令，解得或，‎ 则，或，或，或，‎ 其中；‎ 当时，，‎ 设，‎ 则，‎ 所以，‎ 令，解得，或，‎ 故在上没有实根；‎ 综上所述，上有4个根，‎ 又，所以在上有2020个根，此时，‎ 又，所以在上有2019个根，此时，‎ 当时，在上有2020个根，‎ 综上所述，，或.‎ - 31 -‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数值的计算、函数周期性的应用和求函数零点个数，对于带绝对值的三角函数，可以对其进行分类讨论，属于难题.‎ ‎36.已知前n项和分别记为 ‎（1）若都是等差数列，且满足求；‎ ‎（2）若是等比数列，是等差数列，求 ‎（3）数列都是等比数列，且满足n≤3时，若符合条件的数列唯一，则在数列、中是否存在相等的项，即若存在请找出所有对应相等的项，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）310；（2）960；（3）存在；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用，求出和的关系，即可求出，再由等差数列前项和公式求解即可；‎ ‎（2）由，可得的公比为1，所以，从而得到的通项公式，再由等差数列前项和公式求解即可；‎ ‎（3）由题意，根据，，，求出符合题意的数列，，再求出，即可求出答案.‎ ‎【详解】（1）由题意，当时，，，解得，‎ 当时，，所以，即，‎ 又，所以，当时，也成立，‎ 故，‎ 由等差数列前项和公式，；‎ - 31 -‎ ‎（2）由题意,设的公比为,的公差为，‎ 则，所以，‎ 又，所以，所以，，‎ 由等差数列前项和公式，；‎ ‎（3）由题意,设的公比为，的公比为，‎ 因为时，，‎ 所以，即，‎ ‎，则，‎ ‎，‎ 化简得，，‎ 因为符合条件的唯一，所以该方程有且仅有一个解，或者有一个解为0，‎ ‎①当该方程有且仅有一个解时，‎ ‎，解得，或（舍去），‎ 所以解得，所以，‎ 此时，不成立；‎ ‎②当该方程有一个解为0时，‎ ‎，，‎ 此时，解得，或（舍去），‎ 则，‎ ‎，则，‎ ‎，则，‎ - 31 -‎ ‎，所以，‎ 若，则，‎ 当且仅当，时成立，‎ 所以数列、中存在相等的项，即.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式及前项和公式的应用，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于中档题.‎ - 31 -‎ - 31 -‎