2018届二轮复习专题一第2讲　不等式与线性规划课件（全国通用）

2018届二轮复习专题一第2讲　不等式与线性规划课件（全国通用）

第 2 讲　不等式与线性规划 专题一　集合与常用逻辑用语、不等式 栏目索引 高考 真题体验 1 热点 分类突破 2 高考 押题精练 3 1.(2016· 浙江 ) 已知实数 a ， b ， c ， ( 　　 ) A. 若 | a 2 ＋ b ＋ c | ＋ | a ＋ b 2 ＋ c | ≤ 1 ，则 a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＜ 100 B. 若 | a 2 ＋ b ＋ c | ＋ | a 2 ＋ b － c | ≤ 1 ，则 a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＜ 100 C. 若 | a ＋ b ＋ c 2 | ＋ | a ＋ b － c 2 | ≤ 1 ，则 a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＜ 100 D. 若 | a 2 ＋ b ＋ c | ＋ | a ＋ b 2 － c | ≤ 1 ，则 a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＜ 100 解析　 由于此题为选择题，可用特值排除法找正确选项 . 对选项 A ，当 a ＝ b ＝ 10 ， c ＝－ 110 时，可排除此选项； 对选项 B ，当 a ＝ 10 ， b ＝－ 100 ， c ＝ 0 时，可排除此选项； 对选项 C ，当 a ＝ 10 ， b ＝－ 10 ， c ＝ 0 时，可排除此选项 . 故选 D. 解析 √ 高考真题 体验 1 2 3 4 解析答案 1 2 3 4 3.(2016· 上海 ) 设 x ∈ R ，则不等式 | x － 3|<1 的解集为 ________. 解析　 － 1< x － 3<1 ，即 2< x <4 ，故解集为 (2,4). (2,4) 解析答案 1 2 3 4 解析答案 解析　 由已知得， ab ＝ 1 ，且 a ≠ b ， (2 ，＋ ∞ ) 1 2 3 4 1. 利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点 ； 2 . 一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数取值范围 ； 3 . 利用不等式解决实际问题 . 考情考向分 析 返回 热点一　不等式的解法 1. 一元二次不等式的解法 先化为一般形式 ax 2 ＋ bx ＋ c >0( a ≠ 0) ，再求相应一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a ≠ 0) 的根，最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集 . 热点分类突破 2. 简单分式不等式的解法 3. 指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解 . 例 1 　 (1) 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ax ＋ b ( a ， b ∈ R ) 的值域为 [0 ，＋ ∞ ) ，若关于 x 的不等式 f ( x )< c 的解集为 ( m ， m ＋ 6) ，则实数 c 的值为 ______. 解析 9 答案 ∵ 不等式 f ( x )< c 的解集为 ( m ， m ＋ 6) ， 解析　 当 x 0 ≤ 0 时， 由 > 0 ，得 x 0 ≤ 0 ； 当 x 0 >0 时，由 log 2 x 0 >0 ，得 x 0 >1 ，所以 x 0 的取值范围是 ( － ∞ ， 0] ∪ (1 ，＋ ∞ ). 解析答案 思维升华 ( － ∞ ， 0] ∪ (1 ，＋ ∞ ) (1) 对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化 ； ( 2) 求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用 “ 大于在两边，小于夹中间 ” 得不等式的解集 ； ( 3) 含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论 . 思维 升华 跟踪演练 1 　 (1) 关于 x 的不等式 x 2 － 2 ax － 8 a 2 <0( a >0) 的解集为 ( x 1 ， x 2 ) ，且 x 2 － x 1 ＝ 15 ，则 a ＝ ________. 解析　 由 x 2 － 2 ax － 8 a 2 <0 ，得 ( x ＋ 2 a )( x － 4 a )<0 ， 因为 a >0 ，所以不等式的解集为 ( － 2 a, 4 a ) ， 即 x 2 ＝ 4 a ， x 1 ＝－ 2 a ，由 x 2 － x 1 ＝ 15 ， 得 4 a － ( － 2 a ) ＝ 15 ，解得 a ＝ . 解析答案 (2) 不等式 2 ＜ 4 的解集为 ________. 解析答案 解析　 ∵ 2 ＜ 4 ＝ 2 2 ， ∴ x 2 － x ＜ 2 ， 即 x 2 － x － 2 ＜ 0 ， 解得 － 1< x <2. ( － 1,2) x 2 － x x 2 － x 热点二　基本不等式的应用 例 2 　 (1) 已知向量 a ＝ ( m, 2) ， b ＝ (1 ， n － 1) ，若 a ⊥ b ，则 2 m ＋ 4 n 的最小值为 ( 　　 ) A.2 B.2 C.4 D.8 解析 √ 解析　 因为向量 a ＝ ( m, 2) ， b ＝ (1 ， n － 1) ， a ⊥ b ， 所以 m ＋ 2( n － 1) ＝ 0 ，即 m ＋ 2 n ＝ 2. 所以 2 m ＋ 4 n 的最小值为 4 ，故选 C. (2) 已知正实数 x ， y 满足 xy ＋ x ＋ y ＝ 17 ，则 x ＋ 2 y ＋ 3 的最小值为 ____. 解析答案 思维升华 当且仅当 x ＝ 5 时取等号，故 x ＋ 2 y ＋ 3 的最小值为 12. 12 在利用基本不等式求最值时，要特别注意 “ 拆、拼、凑 ” 等技巧，使其满足基本不等式中 “ 正 ” ( 即条件要求字母为正数 ) 、 “ 定 ” ( 不等式的另一边必须为定值 ) 、 “ 等 ” ( 等号取得的条件 ) 的条件才能应用，否则会出现错误 . 思维 升华 解析 答案 解析　 ∵ 正数 a ， b 满足 a ＋ b ＝ 1 ， 解析 √ 解析 解析　 画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分 ( 包括边界 ) 所示 . ∴ y ＝ f ( t ) 在 (0,1] 上是减函数 . ∴ ( a ＋ b ) min ＝ f (1) ＝ 4 ＋ 1 ＋ 3 ＝ 8. 故选 D. 热点三　简单的线性规划问题 解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点 ( 或边界上的点 ) ，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决 . 解析答案 解析　 可行域为 △ ABC 及其内部，其中 A (1,1) ， B (0,2) ， C ( － 1,0) ，当直线 z ＝ 3 x ＋ y 过点 A 时取最大值 4. 4 解析 思维升华 √ 思维升华 (1) 线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围 . ( 2) 一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得 . 思维 升华 解析 √ 解析　 作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，由图知当目标函数 z ＝ 4 x ＋ y 经过点 B (2,0) 时 z 取得最大值，最大值为 4 × 2 ＋ 0 ＝ 8 ；当目标函数 z ＝ 4 x ＋ y 经过点 O (0,0) 时 z 取得最小值，最小值为 4 × 0 ＋ 0 ＝ 0 ，所以 z ＝ 4 x ＋ y 的取值范围是 [ 0,8 ] ，故选 B. 返回 √ 解析 解析　 由题意作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示， 则 x ＋ 2 y ≥ － 5 恒成立可转化为图中的阴影部分在直线 x ＋ 2 y ＝－ 5 的上方， 返回 则实数 a 的取值范围为 [ － 1,1] . 1 2 3 4 1. 若点 A ( a ， b ) 在第一象限，且在直线 x ＋ 2 y ＝ 1 上，则 ab 的最大值为 ( 　　 ) 押题依据　 基本不等式在历年高考中的地位都很重要，已成为高考的重点和热点，用基本不等式求函数 ( 和式或积式 ) 的最值问题，有时与解析几何、数列等知识相结合 . 解析 押题依据 高考押题精练 √ 1 2 3 4 解析　 因为点 A ( a ， b ) 在第一象限，且在直线 x ＋ 2 y ＝ 1 上 ， 所以 a >0 ， b >0 ，且 a ＋ 2 b ＝ 1 ， 故选 D. 1 2 3 4 解析 押题依据　 不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考中是必考内容 . 往往与函数的单调性相结合，最后转化成一元一次不等式或一元二次不等式 . 押题依据 √ 1 2 3 4 ∴ x 2 － x ＋ 1 ≥ a 2 － a 对任意实数 x 恒成立， 1 2 3 4 解析 押题依据　 线性规划的实质是数形结合思想的应用，利用线性规划的方法求一些线性目标函数的最值是近几年高考的热点 . 押题依据 √ 1 2 3 4 解析 解析　 由题意可得不等式组所表示的可行域为如图中阴影部分所示的四边形 ABCD 及其内部 . 1 2 3 4 1 2 3 4 解析 A.( － 4,2) B.( － ∞ ，－ 4) ∪ (2 ，＋ ∞ ) C.( － ∞ ，－ 2) ∪ (0 ，＋ ∞ ) D.( － 2,0) 押题依据　 “ 恒成立 ” 问题是函数和不等式交汇处的重要题型，可综合考查不等式的性质，函数的值域等知识，是高考的热点 . 押题依据 √ 返回 1 2 3 4 即 a ＝ 4 b 时取等号 ) ，所以 x 2 ＋ 2 x <8 ，解得－ 4< x <2 ，故选 A. 返回