2020届二轮复习平面向量的数量积及应用教案（全国通用）

2020届二轮复习平面向量的数量积及应用教案（全国通用）

‎2020届二轮复习 平面向量的数量积及应用 教案（全国通用）‎ 例1．已知向量的夹角为（ ）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎【解析】∵，∴是共线向量，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴向量和所成角为，又与共线且方向相反，‎ ‎∴向量和所成角为，从而选项C正确.‎ ‎【总结升华】仍旧是一个向量，本题的关键之处就是注意到，，是共线向量，从而将和的夹角问题进行有效的转化.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知向量与的夹角为120°，，则________‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】 ,‎ ‎∴.‎ ‎【变式2】已知, , 夹角为，则向量与向量的夹角的余弦值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由向量的数量积的定义，得 ‎∵，, ‎ ‎∴‎ 设与的夹角为，则 ‎∴‎ 即向量与的夹角的余弦值为.‎ ‎【变式3】两个非零向量、互相垂直，给出下列各式：①；②；③‎ ‎；④；⑤. 其中正确的式子有（ ）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【答案】B ‎【解析】①显然正确；由向量运算的三角形法则知与长度相等，但方向不同，所以②错误；③正确；由向量数量积的运算律可知④正确；只有在时，与才互相垂直，⑤错误，故①③④正确，故选B.‎ 例2. 若、、均为单位向量，且，，则的最大值为（ ）‎ A． B．‎1 ‎‎ C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】方法一：，，‎ 又、、均为单位向量，且，，‎ ‎，‎ 的最大值为1.‎ 方法二：设=（1，0），=（0，1），=（x，y），则x2+y2=1，‎ ‎ =（1―x，―y）， =（―x，1―y），‎ 则=(1―x)(―x)+(―y)(1―y)=x2+y2―x―y=1―x―y≤0，即x+y≥1.‎ 又 =（1―x，1―y），‎ ‎∴， ①‎ 思路一：如图:‎ ‎=（x，y）对应点在上，而①式的几何意义为P点到上点的距离，其最大值为1.‎ 思路二：‎ ‎ ，‎ 由x+y≥1，∴，最大值为1.‎ ‎【总结升华】考查平面向量数量积和模的问题，特别注意有关模的问题一般采用平方解决，考查我们运用知识分析解决问题的能力. 注意方法一中的整体代换的思想，注意方法二中转换为代数运算求最值问题.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】若、、均为单位向量，且，的最大值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为、、均为单位向量，且，‎ 设=（1，0），=（0，1），,‎ ‎,‎ 故的最大值为.‎ ‎【变式2】设向量，，满足，，则的最大值等于（ ）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得，设，，，则∠AOB=120°，‎ ‎，，∵，‎ ‎∴∠ACB=60°，∴O、A、C、B四点共圆。‎ 的最大值应为圆的直径2R，在△AOB中，OA=OB=1，∠AOB=120°，所以，由正弦定理得. 故选A.‎ ‎【变式3】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为________;‎ 的最大值为________.‎ ‎【答案】1；1‎ ‎【解析】根据平面向量的点乘公式,可知,因此;,而就是向量在边上的射影,要想让最大,即让射影最大,此时点与点重合,射影为,所以长度为1 .‎ 例3. 已知平面向量、（，）满足||=1，且与―的夹角为120°，则||的取值范围是________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 如图，数形结合知，，|AB|=1，C点在圆弧上运动，∠ACB=60°，设 ‎∠ABC=θ，由正弦定理知，∴，当时，取最大值.‎ ‎∴.‎ ‎【总结升华】考查平面向量数量积角度和模的问题，特别注意夹角的方向. 画出示意图，有助于分析解决问题.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】若，，且与的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（ 　）。‎ A. 　　B.（2，+¥） C. D.‎ ‎【答案】A；‎ ‎【解析】∵与的夹角为钝角，‎ ‎∴且与不能反向，即且 故 ‎【高清课堂：平面向量的数量积及应用401196 例1】‎ ‎【变式2】已知、都是非零向量，且+3与7-5垂直，- 4与7-2垂直，求与的夹角。‎ ‎【答案】‎ ‎【变式3】已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 ‎ ‎ ‎ ‎ 其中的真命题是（ ）‎ A．p1，p4 B．p1，p‎3 ‎‎ C．p2，p3 D．p2，p4‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，且，若，则,‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ 若，同理求得，‎ ‎∴，∴，故p1，p4正确，应选A.‎ 类型二、数量积的综合应用 例4.设向量，，.‎ ‎（1）若与垂直，求的值；‎ ‎（2）求的最大值；‎ ‎（3）若，求证：∥.‎ ‎【解析】（1）∵与垂直，∴，即，‎ ‎∴.‎ ‎（2），‎ ‎ ，‎ ‎∴最大值为32，∴的最大值为.‎ ‎（3）证明：由，得，‎ 即，故∥.‎ ‎【总结升华】平面向量有几何和代数两种形式，并通过平面直角坐标系将它们联系起来，所以可以说，向量实际上是解析几何的内容，它把数形很好地结合在一起，这正是数学学习中的一个重要思想方法，因此在解决数学问题时被广泛应用.高考中，除了对平面向量本身的概念、运算加以考察外，更重要的是他与其他知识的联系，即用向量来解决代数、几何等综合问题，从而考察学生综合解决问题的能力.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知向量．‎ ‎（Ⅰ）若，求；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）若，则，‎ 由此得，所以；‎ ‎（Ⅱ）由得 当时，取得最大值，即当时，最大值为.‎ ‎【变式2】已知A、B、C为△ABC的三个内角，=（sinB+cosB，cosC），=（sinC，sinB―cosB）.‎ ‎（1）若，求角A；‎ ‎（2）若，求tan2A.‎ ‎【解析】（1）由已知，得，‎ 化简 ，‎ 即sinA+cosA=0，tanA=－1.‎ 而A∈（0，π），∴‎ ‎（2）∵，‎ 即，‎ ‎∴. ①‎ 对①平方得，‎ ‎∵‎ ‎∴，. ②‎ 联立①②得，，，‎ ‎∴，∴.‎ ‎【变式3】已知| |＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m＋n (m，n∈R)，则等于（ ） ‎ A. 　　　　　　B．‎3 ‎‎ ‎‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】| |＝1，| |＝，·＝0，‎ ‎∴OA⊥OB，且∠OBC＝30°，‎ 又∵∠AOC＝30°，∴⊥.‎ ‎∴(m＋n)·(－)＝0，‎ ‎∴－m2＋n2＝0，‎ ‎∴3n－m＝0，‎ 即m＝3n，∴＝3.‎