四川省成都外国语学校2020-2021学年高二10月月考数学(理)试题

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四川省成都外国语学校2020-2021学年高二10月月考数学(理)试题

成都外国语学校 2020~2021 学年度上期 10 月考试 高二数学试题(理科) 分满分 150 分,测试时间 120 分钟 一、选择题:本题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.直线 1y ax a   的图象可能是( ) A. B. C. D. 2.圆 2 2 4 6 9 0x y x y     的圆心到直线 1 0ax y   的距离为 2,则 a=( ) A. 4 3  B. 3 4  C. 2 D.2 3.若双曲线 C: 2 2 1x ym   的一条渐近线方程为3 2 0x y  ,则 m=( ) A. 4 9 B. 9 4 C. 2 3 D. 3 2 4.已知方程 2 2 11 2 x y m m    表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是( ) A. 2 ( ,) B. 1,2( ) C. 1 1,2  ( , )( ) D. 11 ,3 2         ,( , ) 5.已知椭圆 C: 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的焦距为 6,过右焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,若 AB 中 点坐标为 (1, )1 ,则 C 的方程为( ) A. 2 2 145 36 x y  B. 2 2 118 9 x y  C. 2 2 145 9 x y  D. 2 2 172 36 x y  6.已知 P 为圆 C: 2 2 15 100x y  ( ) 上一个动点,Q 为双曲线 2 2 =14 x y 渐近线上动点,则线段 PQ 长 度的最小值为( ) A. 9 10 B.1 C.2 D. 21 10 7.若直线 2 2 0( 0, 0)ax by a b     始终平分圆 2 2+ +2 4 1 0x y x y   的圆周,则 1 2 a b  的最小值为 ( ) A. 3 2 2 B. 3 2 3 C.4 D.5 8.椭圆 E: 2 2 2 =1( 0)3+x y aa  的右焦点为 F,直线 y x m  与椭圆 E 交于 A,B 两点,若 FAB 周长的最 大值是 8,则 m 的值等于( ) A.0 B.1 C. 3 D.2 9.已知 0 0( )M x y, 是双曲线 C: 2 2 =12 x y 上的一点,F1,F2 是 C 的两个焦点.若 1 2 0MF MF   ,则 y0 的取 值范围是( ) A. 3 3,3 3      B. 3 3,6 6      C. 2 2 2 2,3 3      D. 2 3 2 3,3 3      10.已知点 P 为双曲线 2 2 2 2 =1( 0, 0)x y a ba b   的右支上一点,F1,F2 为双曲线的左、右焦点,若    2 2 0OP OF OP OF       (为坐标原点),且 1 23PF PF  ,则双曲线的离心率为( ) A. 2 1 B. 3 1 C. 6 1 D. 3 1 2  11.已知 F1,F2 是椭圆与双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且 1 2PF PF ,线段 1PF 的垂直平 分线过 F2,若椭圆的离心率为 e1,双曲线的离心率为 e2,则 2 1 2 2 e e  的最小值为( ) A. 6 B.3 C.6 D. 3 12.已知 F 是双曲线 E: 2 2 2 2 =1( 0, 0)x y a ba b   的左焦点,过点 F 且倾斜角为 30°的直线与曲线 E 的两条 渐近线依次交于 A,B 两点,若 A 是线段 FB 的中点,且 C 是线段 AB 的中点,则直线 OC 的斜率为( ) A. 3 B. 3 C. 3 3 D. 3 3 第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题:本题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分. 13.若直线 2 0x y m   与两坐标轴围成的三角形面积不小于 8,则实数 m 的取值范围为________. 14.已知双曲线 2 2 2 2 =1( 0, 0)x y a ba b   的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支有且 只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是________. 15.若圆 2 2+ =25x y 与圆 2 2+ 6 8 0x y x y m    的公共弦长为 8,m=_________. 16.已知椭圆 2 2 2 2 =1( 0)x y a ba b   的左、右焦点分别为 1( ,0)F c , 2 ( ,0)F c ,若椭圆上存在一点 P 使 1 2 2 1sin sin a c PF F PF F   ,则该椭圆离心率的取值范围为________. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知直线 l1: 3 1 0ax y   ,l2: (a 2) 0x y a    . (1)若 1 2l l ,求实数 a 的值; (2)当 1 2/ /l l 时,求直线 l1 与 l2 之间的距离. 18.已知曲线 C 是动点 M 到两个定点 (0,0)O 、 (3,0)A 距离之比为 1 2 的点的轨迹. (1)求曲线 C 的方程; (2)求过点 (1,3)N 且与曲线 C 相切的直线方程. 19.已知椭圆 C: 2 2 2 2 =1( 0)x y a ba b   的长轴长是焦距的 2 倍,且过点 31, 2     . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 ( )P x y, 为椭圆 C 上的动点,F 为椭圆 C 的右焦点,点 P满足 (4 ,0)PP x   .证明: PP PF   为定 值. 20.已知双曲线的方程是 2 24 9 36x y  . (1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程; (2)设 F1 和 F2 是双曲线的左、右焦点,点 P 在双曲线上,且 1 2 16PF PF  ,求 1 2F PF 的大小. 21.已知椭圆 C: 2 2 2 2 =1( 0)x y a ba b   的离心率是 1 2 ,原点到直线 =1x y a b  的距离等于 2 21 7 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l: y kx m  与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 22.已知椭圆 C: 2 2 2 2 =1( 0)x y a ba b   的长轴长为 4,焦距为 2 2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)过动点 ( )( )0 0M m m , 的直线交 x 轴于点 N,交 C 于点 A,P(P 在第一象限),且 M 是线段 PN 的中 点.过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,延长线 QM 交 C 于点 B. (i)设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k',证明 k k  为定值; (ii)求直线 AB 的斜率的最小值. 成都外国语学校 2020~2021 学年度上期 10 月考试 高二数学试题答案(文科) 一、单选题 1~5:BBADA 6~10:AABAB 11~12:CD 二、填空题 13. 2m  或 2m   14. [2 ),+ 15.m=5 或-55 16. 2 1 1e   三、解答题 17.解:(1)由 1 2l l 知 3(a 2) 0a    ,解得 3 2a  . (2)当 1 2/ /l l 时,有 ( 2) 3 0 3 ( 2) 0 a a a a          ,解得 3a  . 此时 l1:3 3 1 0x y   ,l2: 3 0x y   ,即 l2:3 3 9 0x y   , 则直线 l1 与 l2 之间的距离 2 2 9 1 4 2 33 3 d    . 18.解:(1)在给定的坐标系里,设点 ( )M x y, . 由 1 2 OM AM  及两点间的距离公式,得 2 2 2 2 1 2(x 3) x y y     ,① 将①式两边平方整理得: 2 2 2 3 0x y x    即所求曲线方程为: 2 2 2 3 0x y x    . (2)由(1)得 2 21 =4x y ( ) ,其圆心为 (1,0)C ,半径为 2. i)当过点 (1,3)N 的直线的斜率不存在时,直线方程为 1x  ,显然与圆相切; ii)当过点 (1,3)N 的直线的斜率存在时,设其方程为 3 ( 1)y k x   即 3 0kx y k    由其与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径,得 2 0 3 2 1 k k k       ,解得 5 12k  , 此时直线方程为5 12 31 0x y   所以过点 (1,3)N 与曲线 C 相切的直线方程为 x=1 或5 12 31 0x y   . 19. 解:(1)由题意可得 2a c , 2 2 1 9 =14a b  , 2 2 2a b c  , 解得: 2 4a  , 2 3b  ,所以椭圆的方程为: 2 2 =14 3 x y ; (2)由(1)可得 ( 2,0)A  , (2,0)B , (1,0)F , ①因为 ( )P x y, 为椭圆 C 上的动点, 点 P满足 (4 ,0)PP x   ,所以 2 2 =14 3 x y ;所以 4PP x   2 2 2 2 13 41 1 xx y xPF            ( ) ( ) 2 21 1 1 44 22 4 4 2x x x x     ( ) , 所以: 4 21 42 PP x PF x        ,所以可证 PP PF   为定值 2. 20.解:(1)由 2 29 =36x y4 得 2 2 =19 4 x y ,所以 3a  , 2b  , 13c  , 所以焦点坐标 1 ( 13,0)F   , 2 ( 13,0)F  ,离心率 13 3e  ,渐近线方程为 2 3y x  . (2)由双曲线的定义可知 1 2 6PF PF  , ∴ 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 PF PF F Fcos F PF PF PF      2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 36 32 52 1 2 32 2 PF PF PF PF F F PF PF         ,则 1 2 60F PF   . 21.解:(1)由题意可得, 2 2 2 21 7 abd a b    ,又 1 2 ce a   , 所以 2 2 2 2 2 2 21 7 2 ab a b a c a b c         ,解得 2 2 2 1 3 4 c b a         , 所以椭圆的标准方程为 2 2 =14 3 x y (2)设 1 1)(A x y, 2 2(B x y, ), 联立 2 2 =14 3 x y y kx m     ,消元得 2 22(3 4 ) 8 4( 3) 0x mkk x m    , 则 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 (64 1 3) 06(3 4 ) 3 4 3 4 8= 4( 3) m k m mkx x mx k kx k                又 2 2 1 2 1 2 2 2 21 2 1 2 3( )( )( ) 4 4) 3( my y x m x m x x m kk k k x x mk k        , 因为以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 (2,0)D , ∴ 1AD BDk k   ,即 1 2 1 2 12 2 y y x x    , ∴ 1 2 1 2 1 22( ) 4 0y y x x x x     ∴ 22 2 2 2 2 3( ) 4( 34 3 4 3 4 ) 16 4 03 4 k k k m m k mk      ,∴ 2 29 1 46 0m mk k   , 解得: 1 2m k  , 2 2 7 km   ,且满足 223 4 0k m  , 当时 1 2m k  ,l 的方程为 ( 2)y k x  ,直线过定点 (2,0) ,与已知矛盾. 当时 2 2 7 km   ,l 的方程为 2)7(y xk  ,直线过定点 (2 ,0)7 . 所以直线 l 方程过定点,定点坐标为 (2 ,0)7 . 22.(1)椭圆方程为: 2 2 =14 2 x y (2)设 1( ,0)N x 则 1( ,2 )P x m , 1( , 2 )Q x m , ∴ 1 1 2m m m xk x  , 1 1 2 3m m m xk x     ∴ 3k k    ii)设 AP 直线为:  0y kx m k   由得 2 2 =14 2 y kx m x y    得 2 22(1+2 ) 4 2 4 0x kk mx m    ∴ 2 2 2 2 11+2 (1+2 ) 2 4 2 4 A P Ax x xk k m x m   ∴ yA Akx m  同理可得: 2 2 1(1+18 2 4 )Bx k x m  ∴ y 3B Bkx m   ∴ 2 2 1 1 AB 2 2 2 1 2 2 2 1 2 4 3y y k ( 3 ) 3 (1+2 ) (1+18 )k (1+2 ) (1+ 2 4 2 4 8 ) 4 1 2 A B A B A B A B A B A B x m kx m x x k x k xk kx x x x x x k m m m x m x k                  3 1 6 2 4 2k k    当且仅当 6 6k  时取等号 所以,AB 斜率最小值为 6 2
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