【数学】2019届一轮复习人教A版几何证明选讲单元测试-doc

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‎1．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.‎ ‎(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；‎ ‎(2)若OA＝CE，求∠ACB的大小．‎ 解：(1)证明：如图，连接AE，由已知得AE⊥BC，‎ AC⊥AB.‎ 在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.‎ 连接OE，则∠OBE＝∠OEB.‎ 又∠ACB＋∠ABC＝90°，‎ 所以∠DEC＋∠OEB＝90°，‎ 故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切线．‎ ‎(2)设CE＝1，AE＝x.‎ 由已知得AB＝2，BE＝.‎ 由射影定理可得AE2＝CE·BE，‎ 即x2＝，即x4＋x2－12＝0.‎ 解得x＝，所以∠ACB＝60°.‎ ‎2．如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．‎ ‎(1)证明：EF∥BC；‎ ‎(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积．‎ 解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，‎ 所以AD是∠CAB的平分线．‎ 又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，‎ 所以AE＝AF，‎ 故AD⊥EF.从而EF∥BC.‎ ‎(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，‎ 故AD是EF的垂直平分线．‎ 又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．‎ 连接OE，OM，则OE⊥AE.‎ 由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.‎ 因此△ABC和△AEF都是等边三角形．‎ 因为AE＝2，所以AO＝4，OE＝2.‎ 因为OM＝OE＝2，DM＝MN＝，所以OD＝1.‎ 于是AD＝5，AB＝.‎ 所以四边形EBCF的面积为××－×(2)2×＝.‎ ‎3．‎ 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.‎ ‎(1)证明：∠D＝∠E; ‎ ‎(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．‎ 证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，‎ 所以∠D＝∠CBE.‎ 由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.‎ ‎(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．‎ 又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，‎ 故OM⊥AD，即MN⊥AD.‎ 所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.‎ 又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.‎ 由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．‎ ‎4．‎ 如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：‎ ‎(1)BE＝EC；‎ ‎(2)AD·DE＝2PB2.‎ 证明：(1)连接AB，AC.‎ 由题设知PA＝PD，‎ 故∠PAD＝∠PDA.‎ 因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，‎ ‎∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，‎ 所以∠DAC＝∠BAD，从而＝.‎ 因此BE＝EC.‎ ‎(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.‎ 因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.‎ 由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，‎ 所以AD·DE＝2PB2.‎ ‎5．‎ 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.‎ ‎(1)证明：DB＝DC；‎ ‎(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．‎ 解：(1)证明：连接DE，交BC于点G.‎ 由 弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.‎ 又DB⊥BE，所以DE为直径，则∠DCE＝90°，‎ 由勾股定理可得DB＝DC.‎ ‎(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝.‎ 设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°.‎ 从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，‎ 所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.‎ ‎6．‎ 如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．‎ ‎(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；‎ ‎(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．‎ 解：(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知＝，‎ 故△CDB∽△AEF，‎ 所以∠DBC＝∠EFA，所以∠CBA＝∠CFE.‎ 因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CBA＋∠CFE＝180°，‎ 所以∠CBA＝ 90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．‎ ‎(2)连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE.由BD＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，‎ 所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.‎ 而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.‎ ‎7．‎ 如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：‎ ‎(1)CD＝BC；‎ ‎(2)△BCD∽△GBD.‎ 证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.‎ 又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.‎ 因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.‎ ‎(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.‎ 由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.‎ 而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.‎