2012高考数学6大解答题最后冲刺(理科) 空间向量与立体几何(36道题详解)

2012高考数学6大解答题最后冲刺(理科) 空间向量与立体几何(36道题详解)

‎2012高考数学理最后冲刺【六大解答题】‎ 空间向量与立体几何专练 ‎1．如图，棱柱ABCD—A1B‎1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，，，侧棱，棱AA1与底面所成的角为，点F为DC1的中点.‎ ‎(I)证明：OF//平面；‎ ‎(II)求三棱锥的体积.‎ ‎2．如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点．‎ ‎(1) 求证：；‎ ‎(2) 当面积的最小值是9时，证明平面．‎ ‎3．如图，在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，‎ PD⊥平面ABCD，E、F分别是PB、AD的中点，PD=2．‎ ‎（1）求证：BC⊥PC； ‎ ‎（2）求证：EF//平面PDC； ‎ ‎（3）求三棱锥B—AEF的体积。‎ ‎4．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。‎ ‎ （Ⅰ）求该几何体的体积；‎ A B C E D M ‎·‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ 左视图 俯视图 ‎ （Ⅱ）求证：EM∥平面ABC；‎ ‎ ‎ ‎5．如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，，交 AC 于点 M，平面，，AC＝4，EA＝3，FC＝1．‎ ‎（I）证明：EM⊥BF；‎ ‎（II）求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值．‎ ‎6．如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，，，．‎ ‎⑴求证：；‎ ‎(2)设点在棱上，，若∥平面，求的值.‎ ‎,为的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求点到面的距离．‎ ‎9．在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC都是边长为的等边三角形，AB＝2，O，D分别是AB，PB的中点．‎ ‎(1)求证：OD∥平面PAC；‎ ‎(2)求证：PO⊥平面ABC；‎ ‎(3)求三棱锥P－ABC的体积．‎ ‎11如图所示,三棱柱中,,A B C A1‎ C1‎ O B1‎ 平面平面,‎ 又,与相交于点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值;‎ ‎12.如图所示，直角梯形与等腰直角所在平面互相垂直，为的中 点，，∥，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面;‎ ‎（Ⅱ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅲ）求四面体的体积.‎ ‎13．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。‎ ‎ （Ⅰ）求该几何体的体积；‎ A B C E D M ‎·‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ 左视图 俯视图 ‎ （Ⅱ）求证：EM∥平面ABC；‎ ‎15．如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥面ABCD，PA=2,过点A作AE⊥PB,AF⊥PC,连接EF．‎ ‎ （1）求证：PC⊥面AEF；‎ ‎ （2）若面AEF交侧棱PD于点G（图中未标出点G）,求多面体P—AEFG的体积。‎ ‎16.如图，在三棱锥中，平面，，为侧棱上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积；‎ ‎（3）在的平分线上确定一点，使得平面，并求此时的长．‎ ‎ 18.‎ ‎17.已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面⊥平面，分别是的中点．‎ ‎（I）求平面平面；‎ ‎（II）若是线段上一点，求三棱锥的体积．‎ ‎（第20题）‎ ‎18.如图，在梯形中，‎ ‎，，，‎ 四边形为矩形，平面平面，‎ ‎．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）设点为中点，‎ 求二面角的余弦值．‎ A B C D E F ‎19.如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF，．‎ ‎（Ⅰ）求证：BE//平面ADF；‎ ‎（Ⅱ）若矩形ABCD的一个边AB =，EF =，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F-BDE的体积为？‎ A B D C M P N ‎(第20题)‎ ‎21. 已知正四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2 的正方形，高为．M为线段PC的中点．‎ ‎(Ⅰ) 求证：PA∥平面MDB；‎ ‎(Ⅱ) N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值．‎ ‎22．如图，已知直四棱柱，底面为菱形，，‎ 为线段的中点，为线段的中点． ‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）当的比值为多少时，平面，‎ 并说明理由．‎ ‎,．‎ ‎23.如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.‎ ‎(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；‎ ‎(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．‎ ‎24.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当面积的最小值是9时，在线段上是否存在点，使与平面所成角的正切值为2？若存在？求出的值，若不存在，请说明理由 ‎25.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当面积的最小值是9时，在线段上是否存在点，使与平面所成角的正切值为2？若存在？求出的值，若不存在，请说明理由 ‎26.‎ 如图：在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上.‎ ‎(1)求证：BC⊥A1D；‎ ‎(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.‎ ‎27．B A E D C F 如图的几何体中，平面，平面，△为等边三角形， ，为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎28一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示．‎ ‎(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；‎ ‎(2)证明：A‎1C⊥平面AB‎1C1；‎ ‎(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB‎1C1，并证明你的结论．‎ ‎29.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示．‎ ‎(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；‎ ‎(2)证明：A‎1C⊥平面AB‎1C1；‎ ‎(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB‎1C1‎ ‎，并证明你的结论．‎ ‎30.如图，已知矩形的边与正方形所在平面垂直，，，是线段的中点。‎ ‎(1)求异面直线与直线所成的角的大小；‎ ‎(2)求多面体的表面积。‎ ‎31.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。‎ ‎（1）求证：CE⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积 ‎32.如下图（图1）等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且AB⊥PD，AB=BC，AD=2BC，沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为的二面角，连结PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连结PE得到如下图（图2）的一个几何体．‎ ‎ （1）求证：平面PAB平面PCD；‎ 图2‎ ‎ （2）求PE与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎33.如图，在直三棱柱中，90°,,是的中点. ‎ ‎（Ⅰ）求异面直线与所成的角；‎ ‎（Ⅱ）若为上一点，且，求二面角的大小.‎ 解法一：‎ ‎ （Ⅰ）∴异面直线与所成的角为. ……………………………6分 ‎ （Ⅱ） ∴所求二面角为.‎ ‎34.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当面积的最小值是9时，在线段上是否存在点，使与平面所成角的正切值为2？若存在？求出的值，若不存在，请说明理由 ‎35.如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩 P B A C D F E 形，PA=AB=1，,点F是PB的中点，点E在边BC 上移动。‎ ‎⑴求三棱锥E-PAD的体积；‎ ‎⑵当E点为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的 位置关系，并说明理由；‎ ‎⑶证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF。‎ ‎36．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在四棱锥P - ABCD中，平面PAD上平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD =2AD =8，AB =2DC =。 ‎ ‎ （I）设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD； ‎ ‎ （Ⅱ）求三棱锥C—PAB的体积 答 案 ‎1．如图，棱柱ABCD—A1B‎1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，，，侧棱，棱AA1与底面所成的角为，点F为DC1的中点.‎ ‎(I)证明：OF//平面；‎ ‎(II)求三棱锥的体积.‎ 解：（I）四边形ABCD为菱形且，‎ ‎ 是的中点 . ....................2分 ‎ 又点F为的中点, 在中，, ...................................4分 ‎ 平面，平面 , 平面..........6分 ‎ ‎（II）四边形ABCD为菱形,‎ ‎ , 又，‎ 且平面 ,‎ ‎ 平面, ‎ ‎ 平面 , ‎ ‎ 平面平面. ......................8分 ‎ 在平面内过作，则，‎ 是与底面所成的角，. ................................10分 在， ‎ 故三棱锥 底面上的高为，又，‎ 所以，三棱锥的体积 .‎ ‎2．如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点．‎ ‎(1) 求证：；‎ ‎(2) 当面积的最小值是9时，证明平面．‎ ‎.解：（1）证明：连接，设与相交于点。 因为四边形是菱形，‎ 所以。 又因为平面，平面 为上任意一点，平面，所以------------------------- ------ 7分 ‎（2）连．由（I），知平面，平面，所以．‎ 在面积最小时，最小，则．‎ ‎，解得-------------------10分 由且得平面则，‎ 又由 得，而，故平面--‎ ‎3．如图，在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，‎ PD⊥平面ABCD，E、F分别是PB、AD的中点，PD=2．‎ ‎（1）求证：BC⊥PC； ‎ ‎（2）求证：EF//平面PDC； ‎ ‎（3）求三棱锥B—AEF的体积。‎ 解证：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形 ‎ ∴BCDC 又PD面ABCD, BC面ABCD ‎∴BCPD, 又PDDC=D ‎∴BC面PDC 从而BCPC--------------------４分 ‎（Ⅱ）取PC的中点G，连结EG，GD，则 ‎ ∴四边形EFGD是平行四边形。 ∴EF//GD, ‎ 又　　‎ ‎ ∴EF//平面PDC．…………………---------------------８分 ‎（Ⅲ）取BD中点O，连接EO，则ＥO//PD，‎ ‎ ∵PD⊥平面ABCD，　∴EO⊥底面ABCD， ‎ ‎ ------------12分 ‎4．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。‎ ‎ （Ⅰ）求该几何体的体积；‎ ‎ （Ⅱ）求证：EM∥平面ABC；‎ ‎ (Ⅰ)∵EA平面ABC,∴EAAB,又ABAC, ∴AB平面ACDE ‎………………6分 ‎∵M为BD的中点，　∴MG∥CD且MG＝CD,于是MG∥AE,且MG＝AE,‎ 所以四边形AGME为平行四边形,∴EM∥AG, ∴EM∥平面ABC ‎ ‎5．如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，，交 AC 于点 M，平面，，AC＝4，EA＝3，FC＝1．‎ ‎（I）证明：EM⊥BF；‎ ‎（II）求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值．‎ ‎，即（也可由勾股定理证得）．‎ ‎， 平面．‎ 而平面，‎ ‎． ………………………………………………………………………………6分 ‎（2）延长交于，连，过作，连结．‎ 由（1）知平面，平面，‎ ‎．‎ 而，平面．‎ 平面，‎ ‎，‎ 为平面与平面所成的 二面角的平面角． ……………………8分 在中，，，‎ ‎．‎ 由，得．‎ ‎，则．‎ 是等腰直角三角形，．‎ 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．‎ ‎6．如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，，，．‎ ‎⑴求证：；‎ ‎(2)设点在棱上，，若∥平面，求的值.‎ ‎（1）证明：由题意知 则 ‎ ------------- 6分 （2） 过作//交于 连结，‎ ‎ ∵∥，∴∥平面.‎ 又∵∥平面，∴平面∥平面，∴∥.‎ 又∵ ‎ ‎ ∴∴，即-‎ ‎7．图，棱柱ABCD—A1B‎1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，，，侧棱，棱AA1与底面所成的角为，点F为DC1的中点.‎ ‎(I)证明：OF//平面；‎ ‎(II)求三棱锥的体积.‎ 解：（I）四边形ABCD为菱形且，‎ ‎ 是的中点 . ....................2分 ‎ 又点F为的中点, 在中，, ...................................4分 ‎ 平面，平面 , 平面..........6分 ‎ ‎（II）四边形ABCD为菱形,‎ ‎ , 又，‎ 且平面 ,‎ ‎ 平面, ‎ ‎ 平面 , ‎ ‎ 平面平面. ......................8分 ‎ 在平面内过作，则，‎ 是与底面所成的角，. ................................10分 在， ‎ 故三棱锥 底面上的高为，又，‎ 所以，三棱锥的体积 ‎ ‎8.已知四棱锥的底面为菱形，且，‎ ‎,为的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求点到面的距离．‎ ‎（I）证明：连接 ‎ ‎ ‎ 为等腰直角三角形 为的中点 ‎ ‎ ……………………2分 ‎ 又 ‎ 是等边三角形 ‎ ，………………………………4分 又 ‎ ，即 ‎ ……………………6分 ‎ ‎ ‎（II）设点到面的距离为 ‎ …………8分 ‎ ,到面的距离 ‎ ‎ ‎ ………………………………10分 ‎ ‎ ‎ 点到面的距离为 ‎9．在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC都是边长为的等边三角形，AB＝2，O，D分别是AB，PB的中点．‎ ‎(1)求证：OD∥平面PAC；‎ ‎(2)求证：PO⊥平面ABC；‎ ‎(3)求三棱锥P－ABC的体积．‎ ‎（1）分别为的中点，∴∥‎ 又平面，平面 ‎∴∥平面．………………………4分 ‎（2）如图，连结 ‎，为中点，,‎ ‎ ∴⊥，．‎ 同理, ⊥，．………………6分 又,∴,∴．‎ ‎∴⊥．⊥,⊥，,‎ ‎⊥平面．…………………………………………………………………8分 ‎（3）由（2）可知垂直平面 ‎∴为三棱锥的高，且 ‎．‎ ‎11如图所示,三棱柱中,, 平面平面,‎ 又,与相交于点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值;‎ ‎【解】(Ⅰ)由题知,,‎ 所以为正三角形,所以,………………1分 又因为,且 所以为正三角形,………………………2分 又平行四边形的对角线相交于点,所以为的中点,‎ 所以…………………………3分 又平面平面,且平面平面,…………4分 且平面………………………………5分 所以平面…………………………6分 ‎(Ⅱ)〖解法一〗连结交于,取中点,连结,,‎ ‎ 则,又平面 ‎ 所以平面,,……7分 ‎ 所以直线与平面所成角为.…………8分 而在等边中,,所以,,‎ 同理可知,,‎ 在中,………………10分 所以中,,.‎ 所以与平面所成角的正弦值为.……………12分 ‎〖解法二〗由于,平面,所以平面,……7分 ‎ 所以点到平面的距离即点到平面的距离,‎ ‎ 由平面,所以到平面的距离即,…………………8分 ‎ 也所以与平面所成角的正弦值为,…………………9分 而在等边中,,所以,‎ 同理可知,,所以,………10分 又易证平面,所以,‎ 也所以,………………………11分 所以 即与平面所成角的正弦值为.‎ ‎12.如图所示，直角梯形与等腰直角所在平面互相垂直，为的中 点，，∥，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面;‎ ‎（Ⅱ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅲ）求四面体的体积.‎ ‎ 解：（Ⅰ）∵面面，面面，,‎ ‎∴面， 2分 又∵面，∴平面平面. 4分 ‎（Ⅱ）取的中点，连结、，则 ,‎ 又∵，∴， 6分 ‎∴四边形是平行四边形，∴∥，‎ 又∵面且面，∴∥面. 8分 ‎（Ⅲ）∵，面面=， ∴面.‎ ‎∴就是四面体的高，且=2. 10分 ‎∵==2=2，∥，‎ ‎∴‎ ‎∴ ∴‎ ‎13．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。‎ ‎ （Ⅰ）求该几何体的体积；‎ ‎ （Ⅱ）求证：EM∥平面ABC；‎ ‎ (Ⅰ)∵EA平面ABC,∴EAAB,又ABAC, ∴AB平面ACDE ‎………………6分 ‎∵M为BD的中点，　∴MG∥CD且MG＝CD,于是MG∥AE,且MG＝AE,‎ 所以四边形AGME为平行四边形,∴EM∥AG, ∴EM∥平面ABC.19. （本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，‎ ‎.(Ⅰ)求证：平面 ‎ （Ⅱ）若求与所成角的余弦值；‎ ‎ （Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长.‎ ‎ 证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.‎ 又因为PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD. 所以BD⊥平面PAC.‎ ‎（Ⅱ）设AC∩BD=O.因为∠BAD=60°，PA=PB=2, 所以BO=1，AO=CO=.‎ 如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则 P（0，—，2），A（0，—，0），B（1，0，0），C（0，，0）.‎ 所以 设PB与AC所成角为，则.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知设P（0，－，t）（t>0），则 设平面PBC的法向量,则 所以令则所以 同理，平面PDC的法向量 ‎ 因为平面PCB⊥平面PDC,所以=0，即解得所以PA=‎ EF= SE=（10分）‎ ‎15．如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥面ABCD，PA=2,过点A作AE⊥PB,AF⊥PC,连接EF．‎ ‎ （1）求证：PC⊥面AEF；‎ ‎ （2）若面AEF交侧棱PD于点G（图中未标出点G）,求多面体P—AEFG的体积。‎ 解析：（1）证明：PA⊥面ABCD,BC在面内，∴ PA⊥BC BA⊥BC,BC∩BA=B,∴BC⊥面PAB，又∵AE在面PAB内∴ BC⊥AEAE⊥PB,BC∩PB=B, ,∴AE⊥面PBC又∵PC在面PBC内AE⊥PC, AE⊥PC, AE∩AF=A, ∴PC⊥面AEF．………5分 ‎ （2）PC⊥面AEF, ∴ AG⊥PC, AG⊥DC ∴PC∩DC=C AG⊥面PDC, ∵GF在面PDC内∴AG⊥GF△AGF是直角三角形，由（1）可知△AEF是直角三角形，AE=AG=,EF=GF=‎ ‎∴, 又AF=,PF=∴,∴ ‎ ‎16.如图，在三棱锥中，平面，，为侧棱上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积；‎ ‎（3）在的平分线上确定一点，使得平面，并求此时的长．‎ ‎ 18.‎ 解：（1）因为平面，所以，‎ 又，所以平面，所以．‎ 由三视图可得，在中，，为中点，所以，‎ 所以平面，…………4分 ‎（2）由三视图可得，‎ 由⑴知，平面，‎ 又三棱锥的体积即为三棱锥的体积，‎ 所以，所求三棱锥的体积．…………8分 ‎（3）取的中点，连接并延长至，使得，点即为所求．‎ 因为为中点，所以，‎ 因为平面，平面，所以平面，‎ 连接，，四边形的对角线互相平分，‎ 所以为平行四边形，所以，又平面，‎ 所以在直角中，．…………12分 ‎17.已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面⊥平面，分别是的中点．‎ ‎（I）求平面平面；‎ ‎（II）若是线段上一点，求三棱锥的体积．‎ ‎（I）证明：，‎ ‎∴平面PAD， ………（6分）‎ ‎∵EF//CD，∴平面PAD，‎ ‎∵平面EFG，∴平面EFG平面PAD； ‎ ‎（II）解：∵CD//EF，∴CD//平面EFG，故CD上的点M到平面EFG的距离 等于D到平面EFG的距离，∴， ‎ ‎，平面EFGH平面PAD于EH， ‎ ‎∴D到平面EFG的距离即三角形EHD的高,等于 ‎∴．‎ ‎18.如图，在梯形中，‎ ‎，，，‎ 四边形为矩形，平面平面，‎ ‎．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）设点为中点，‎ 求二面角的余弦值．‎ ‎ (1)证明：‎ 则，，则得 ‎，面平面，‎ 面平面 平面． ……7分 ‎（II）过作交于点，连,‎ ‎ 则为二面角的平面角，在中，，，则二面角的余弦值为．‎ ‎19.如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF，．‎ ‎（Ⅰ）求证：BE//平面ADF；‎ ‎（Ⅱ）若矩形ABCD的一个边AB =，EF =，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F-BDE的体积为？‎ 解（Ⅰ）过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM．‎ 因为CE//DF，所以四边形CEMD是平行四边形．可得EM = CD且EM //CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BE//AM，而直线BE在平面ADF外，所以BE//平面ADF． ——————6分 ‎ ‎（Ⅱ）由EF =，EM = AB =，得FM = 3且．‎ 由可得FD = 4，从而得DE = 2．————8分 因为，，所以平面CDFE．‎ 所以，． ————10分 因为，，所以．‎ 综上，当时，三棱锥F-BDE的体积为．‎ ‎20.如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF，．‎ ‎（Ⅰ）求证：BE//平面ADF；‎ ‎（Ⅱ）若矩形ABCD的一个边AB =，EF =，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F-BDE的体积为？‎ 解（Ⅰ）过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM．‎ 因为CE//DF，所以四边形CEMD是平行四边形．可得EM = CD且EM //CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BE//AM，而直线BE在平面ADF外，所以BE//平面ADF． ——————6分 ‎ ‎（Ⅱ）由EF =，EM = AB =，得FM = 3且．‎ 由可得FD = 4，从而得DE = 2．————8分 因为，，所以平面CDFE．‎ 所以，． ————10分 因为，，所以．‎ 综上，当时，三棱锥F-BDE的体积为．‎ ‎21. 已知正四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2 的正方形，高为．M为线段PC的中点．‎ ‎(Ⅰ) 求证：PA∥平面MDB；‎ ‎(Ⅱ) N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值．‎ 本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。‎ ‎(Ⅰ)证明：在四棱锥P－ABCD中，连结AC交BD于点O，连结OM，PO．由条件可得PO＝，AC＝2，PA＝PC＝2，CO＝AO＝．‎ 因为在△PAC中，M为PC的中点，O为AC的中点，‎ 所以OM为△PAC的中位线，得OM∥AP，‎ 又因为AP平面MDB，OM平面MDB，‎ 所以PA∥平面MDB． …………6分 ‎(Ⅱ) 解：设NC∩MO＝E，由题意得BP＝BC＝2，且∠CPN＝90°．‎ 因为M为PC的中点，所以PC⊥BM，‎ 同理PC⊥DM，故PC⊥平面BMD．‎ 所以直线CN在平面BMD内的射影为直线OM，∠MEC为直线CN与平面BMD所成的角，‎ 又因为OM∥PA，所以∠PNC＝∠MEC．‎ 在Rt△CPN中，CP＝2，NP＝1，所以tan∠PNC＝，‎ 故直线 CN与平面BMD所成角的正切值为2‎ ‎22．如图，已知直四棱柱，底面为菱形，，‎ 为线段的中点，为线段的中点． ‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）当的比值为多少时，平面，‎ 并说明理由．‎ ‎（Ⅰ）证明：连接,由题意可知点为的中点．因为点为的中点．‎ 在中，．……………………………………………………………２分 又面，，．……………………６分 ‎（Ⅱ）当时，． ………………………………………７分 四边形为菱形，且，．‎ 四棱柱为直四棱柱，四边形为矩形．‎ 又，，‎ 四边形为正方形， ……………………10分 在直四棱柱中，，，‎ 四边形为菱形，．‎ ‎，．‎ ‎，，又，．…………………13分 ‎,．‎ ‎23.如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.‎ ‎(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；‎ ‎(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．‎ 解：(1)证明：因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1.‎ 又B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，所以B1C⊥平面A1BC1.又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.‎ ‎(2)设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．‎ 因为A1B∥平面B1CD，‎ 所以A1B∥DE.‎ 又E是BC1的中点，‎ 所以D为A1C1的中点，‎ 即A1D∶DC1＝1.‎ ‎24.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当面积的最小值是9时，在线段上是否存在点，使与平面所成角的正切值为2？若存在？求出的值，若不存在，请说明理由 解：（1）证明：连接，设与相交于点。‎ ‎ 因为四边形是菱形，所以。‎ ‎ 又因为平面，平面 ‎ 为上任意一点，平面，所以--------------7分 ‎（2）连．由（I），知平面，平面，所以．‎ 在面积最小时，最小，则．‎ ‎，解得--------------10分 由且得平面则，‎ 又由 得，而，故平面 作交于点，则平面,所以就是与平面所成角.‎ 在直角三角形中，‎ 所以，设，则。‎ 由得。‎ 由得，即--------------14分 ‎25.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当面积的最小值是9时，在线段上是否存在点，使与平面所成角的正切值为2？若存在？求出的值，若不存在，请说明理由 解：（1）证明：连接，设与相交于点。‎ ‎ 因为四边形是菱形，所以。‎ ‎ 又因为平面，平面 ‎ 为上任意一点，平面，所以--------------7分 ‎（2）连．由（I），知平面，平面，所以．‎ 在面积最小时，最小，则．‎ ‎，解得--------------10分 由且得平面则，‎ 又由 得，而，故平面 作交于点，则平面,所以就是与平面所成角.‎ 在直角三角形中，‎ 所以，设，则。‎ 由得。‎ 由得，即 ‎26.‎ 如图：在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上.‎ ‎(1)求证：BC⊥A1D；‎ ‎(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.‎ 解：(1)因为A1O⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥A1O，‎ 因为BC⊥CD，A1O∩CD＝O，∴BC⊥面A1CD.‎ 因为A1D⊂面A1CD，∴BC⊥A1D.(6分)‎ ‎(2)连结BO，则∠A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角.‎ 因为A1D⊥BC，A1D⊥A1B，A1B∩BC＝B，∴A1D⊥面A1BC.A‎1C⊂面A1BC，∴A1D⊥A‎1C.‎ 在Rt△DA‎1C中，A1D＝3，CD＝5，∴A‎1C＝4.‎ 根据S△A1CD＝A1D·A‎1C＝A1O·CD，得到A1O＝，‎ 在Rt△A1OB中，sin∠A1BO＝＝＝.‎ 所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为.(12分)‎ ‎27． 如图的几何体中，平面，平面，△为等边三角形， ，为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎（1）证明：取的中点，连结．‎ ‎∵为的中点，∴且．‎ ‎∵平面，平面， ‎ ‎∴，∴． 又，∴． ‎ ‎∴四边形为平行四边形，则． ‎ ‎∵平面，平面， ∴平面．…………7分 ‎（2）证明：∵为等边三角形，为的中点，∴ ‎ ‎∵平面，，∴． ‎ ‎∵，∴又， ‎ ‎∴平面．‎ ‎∵平面， ∴平面平面．‎ ‎28一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示．‎ ‎(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；‎ ‎(2)证明：A‎1C⊥平面AB‎1C1；‎ ‎(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB‎1C1，并证明你的结论．‎ ‎29.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示．‎ ‎(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；‎ ‎(2)证明：A‎1C⊥平面AB‎1C1；‎ ‎(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB‎1C1，并证明你的结论．‎ 解：(1)几何体的直观图如图．‎ 四边形BB‎1C1C是矩形，BB1＝CC1＝，BC＝1，四边形AA‎1C1C是边长为的正方形，且垂直于底面BB‎1C1C，∴其体积V＝×1××＝ 4分 ‎(2)证明：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC. ‎ ‎∵三棱柱ABC－A1B‎1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1. ‎ ‎∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC‎1A1，‎ ‎∴BC⊥A‎1C.∵B‎1C1∥BC，∴B‎1C1⊥A‎1C.‎ ‎∵四边形ACC‎1A1为正方形，∴A‎1C⊥AC1.‎ ‎∵B‎1C1∩AC1＝C1，‎ ‎∴A‎1C⊥平面AB‎1C1. 8分 ‎(3)当E为棱AB的中点时，‎ DE∥平面AB‎1C1.‎ 证明：如图，取BB1的中点F，连结EF，FD，DE，‎ ‎∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1. ‎ ‎∵AB1⊂平面AB‎1C1，EF⊄平面AB‎1C1，‎ ‎∴EF∥平面AB‎1C1.‎ 同理可得FD∥平面AB‎1C1，‎ 又EF∩FD＝F，∴平面DEF∥平面AB‎1C1.‎ 而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB‎1C1. 12分 ‎30.如图，已知矩形的边与正方形所在平面垂直，，，是线段的中点。‎ ‎(1)求异面直线与直线所成的角的大小；‎ ‎(2)求多面体的表面积。‎ 解：（1）因为，所以即为异面直线与所成的角（或其补角），…………… 2分 连结，在中，所以，‎ 又，所以，所以是等边三角形，‎ ‎…………… 5分 所以，即异面直线与所成的角为；…………… 6分 ‎（2）…………… 8分 ‎…………… 10分 ‎。‎ ‎31.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。‎ ‎（1）求证：CE⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积 ‎【解析】(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE平面ABCD,所以PA⊥CE,‎ 因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PAAD=A,所以CE⊥平面PAD.‎ ‎(2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD.‎ 又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以 ‎==,又PA⊥平面ABCD,PA=1,‎ 所以四棱锥P-ABCD的体积等于 ‎32.如下图（图1）等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且AB⊥PD，AB=BC，AD=2BC，沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为的二面角，连结PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连结PE得到如下图（图2）的一个几何体．‎ ‎ （1）求证：平面PAB平面PCD；‎ ‎ （2）求PE与平面PBC所成角的正弦值．‎ 解：（1）证明：，又二面角P-AB-D为 ‎ ，又AD=2PA ‎ ‎ 有平面图形易知：AB平面APD，又，，‎ ‎，且 ‎ ，又，平面PAB平面PCD---------7分 ‎ （2）设E到平面PBC的距离为，AE//平面PBC ‎ 所以A 到平面PBC的距离亦为 ‎ 连结AC，则，设PA=2‎ ‎ =‎ ‎ ，设PE与平面PBC所成角为 ‎ ---------------14分 ‎33.如图，在直三棱柱中，90°,,是 的中点. ‎ ‎（Ⅰ）求异面直线与所成的角；‎ ‎（Ⅱ）若为上一点，且，求二面角的大小.‎ 解法一：‎ ‎ （Ⅰ）∴异面直线与所成的角为. ……………………………6分 ‎ （Ⅱ） ∴所求二面角为.‎ ‎34.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当面积的最小值是9时，在线段上是否存在点，使与平面所成角的正切值为2？若存在？求出的值，若不存在，请说明理由 解：（1）证明：连接，设与相交于点。‎ ‎ 因为四边形是菱形，所以。‎ ‎ 又因为平面，平面 ‎ 为上任意一点，平面，所以--------------7分 ‎（2）连．由（I），知平面，平面，所以．‎ 在面积最小时，最小，则．‎ ‎，解得--------------10分 由且得平面则，‎ 又由 得，而，故平面 作交于点，则平面,所以就是与平面所成角.‎ 在直角三角形中，‎ 所以，设，则。‎ 由得。‎ 由得，即 ‎35.如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩 形，PA=AB=1，,点F是PB的中点，点E在边BC 上移动。‎ ‎⑴求三棱锥E-PAD的体积；‎ ‎⑵当E点为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的 位置关系，并说明理由；‎ ‎⑶证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF。‎ 解：‎ ‎（1）因为点E到平面PAD的距离即为1，所以 ‎····················4分 ‎(2)直线EF与平面PAC平行 因为E、F两点分别为边PB和BC的中点，所以EF//PC，且直线EF不在平面PAC内，直线PC在平面PAC内，所以，直线EF//面PAC ‎····················8分 ‎(3)因为PA=AB且F为PB中点，所以AF⊥PB,又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC,由于地面ABCD为矩形，所以BC⊥AB,所以BC⊥面PAB,所以BC⊥AF,所以AF⊥面PBC,所以无论点E在BC上何处时，总有AF⊥PE。‎ ‎36.‎ ‎ 如图，在四棱锥P - ABCD中，平面PAD上平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD =2AD =8，AB =2DC =。 ‎ ‎ （I）设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD； ‎ ‎ （Ⅱ）求三棱锥C—PAB的体积 证明：‎ ‎（Ⅰ）在中，由于，，，‎ 所以．故．……………………………………………2分 又平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面. …………………………………………………………………4分 又平面，故平面平面．…………………………………6分 O P M D C A ‎（Ⅱ）过作交于，‎ 由于平面平面，[来所以平面．‎ 因此为棱锥P－ABC的高.………………8分 又是边长为4的等边三角形．因此．‎ 又，………10分