江西省中考数学试卷word解析考点点评

江西省中考数学试卷word解析考点点评

‎2018年江西省中考数学试卷 ‎　一、选择题（本大共6分，每小题3分，共18分。每小题只有一个正确选项）‎ ‎1．（3.00分）（2018•江西）﹣2的绝对值是（　　）‎ A．﹣2 B．‎2 ‎C．﹣ D．‎ ‎2．（3.00分）（2018•江西）计算（﹣a）2•的结果为（　　）‎ A．b B．﹣b C．ab D．‎ ‎3．（3.00分）（2018•江西）如图所示的几何体的左视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3.00分）（2018•江西）某班组织了针对全班同学关于“你最喜欢的一项体育活动”的问卷调查后，绘制出频数分布直方图，由图可知，下列结论正确的是（　　）‎ A．最喜欢篮球的人数最多 B．最喜欢羽毛球的人数是最喜欢乒乓球人数的两倍 C．全班共有50名学生 D．最喜欢田径的人数占总人数的10%‎ ‎5．（3.00分）（2018•江西）小军同学在网络纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形、如图所示，现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有（　　）‎ A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个 ‎6．（3.00分）（2018•江西）在平面直角坐标系中，分别过点A（m，0），B（m+2，0）作x轴的垂线l1和l2，探究直线l1，直线l2与双曲线y=的关系，下列结论错误的是（　　）‎ A．两直线中总有一条与双曲线相交 B．当m=1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等 C．当﹣2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧 D．当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎7．（3.00分）（2018•江西）若分式有意义，则x的取值范围为　 　．‎ ‎8．（3.00分）（2018•江西）2018年5月13口，中国首艘国产航空母舰首次执行海上试航任务，共排水量超过6万吨，将数60000用科学记数法表示应为　 　．‎ ‎9．（3.00分）（2018•江西）中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x两、y两，依题意，可列出方程组为　 　．‎ ‎10．（3.00分）（2018•江西）如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=FF，则AB的长为　 　．‎ ‎11．（3.00分）（2018•江西）一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1，x2．则x12﹣4x1+2x1x2的值为　 　．‎ ‎12．（3.00分）（2018•江西）在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为　 　．‎ ‎　‎ 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）‎ ‎13．（6.00分）（2018•江西）（1）计算：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣2）2；‎ ‎（2）解不等式：x﹣1≥+3．‎ ‎14．（6.00分）（2018•江西）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．‎ ‎15．（6.00分）（2018•江西）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．‎ ‎（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；‎ ‎（2）在图2中，若BA=BD，画出△ABD的AD边上的高．‎ ‎16．（6.00分）（2018•江西）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．‎ ‎（1）该班男生“小刚被抽中”是　 　事件，“小悦被抽中”是　 　事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为　 　；‎ ‎（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率．‎ ‎17．（6.00分）（2018•江西）如图，反比例函数y=（k≠0）的图象与正比例函数y=2x的图象相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，∠ABC=90°．‎ ‎（1）求k的值及点B的坐标；‎ ‎（2）求tanC的值．‎ ‎　‎ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）‎ ‎18．（8.00分）（2018•江西）‎4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人漱养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：‎ 数据收集：从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：min）‎ ‎30‎ ‎60‎ ‎81‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎110‎ ‎130‎ ‎146‎ ‎90‎ ‎100‎ ‎60‎ ‎81‎ ‎120‎ ‎140‎ ‎70‎ ‎81‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎100‎ ‎81‎ 整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：‎ 课外阅读时间x（min）‎ ‎0≤x＜40‎ ‎40≤x＜80‎ ‎80≤x＜120‎ ‎120≤x＜160‎ 等级 D C B A 人数 ‎3‎ ‎　 　‎ ‎8‎ ‎　 　‎ 分析数据：补全下列表格中的统计量：‎ 平均数 中位数 众数 ‎80‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 得出结论：‎ ‎（1）用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为　 　；‎ ‎（2）如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有多少名？‎ ‎（3）假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，请你选择样本中的一种统计量估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书？‎ ‎19．（8.00分）（2018•江西）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关．图2是其俯视简化示意图，已知轨道AB=‎120cm，两扇活页门的宽OC=OB=‎60m，点B固定，当点C在AB上左右运动时，OC与OB的长度不变．（所有的结果保留小数点后一位）‎ ‎（1）若∠OBC=50°，求AC的长；‎ ‎（2）当点C从点A向右运动‎60cm时，求点O在此过程中运动的路径长．‎ 参考数据：sn50°≈0.77．cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，π取3.14．‎ ‎20．（8.00分）（2018•江西）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径做圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的廷长线于点D，且∠AOD=∠BAD．‎ ‎（1）求证：AB为⊙O的切线；‎ ‎（2）若BC=6，tan∠ABC=，求AD的长．‎ ‎　‎ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）‎ ‎21．（9.00分）（2018•江西）某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．‎ ‎（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；‎ ‎（2）当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？‎ ‎（3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．‎ ‎22．（9.00分）（2018•江西）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．‎ ‎（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是　 　，CE与AD的位置关系是　 　；‎ ‎（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；‎ ‎（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=2，BE=2，求四边形ADPE的面积．‎ ‎　‎ 六、（本大题共12分 ‎23．（12.00分）（2018•江西）小资与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：‎ 求解体验：‎ ‎（1）已知抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b=　 　，顶点坐标为　 　，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是　 　．‎ 抽象感悟：‎ 我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．‎ ‎（2）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．‎ 问题解决：‎ ‎（1）已知抛物线y=ax2+2ax﹣b（a≠0）‎ ‎①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2（b≠0），两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；‎ ‎②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1；其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为yn；其顶点为An…（n为正整数）求AnAn+1的长（用含n的式子表示）．‎ ‎　‎ ‎2018年江西省中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大共6分，每小题3分，共18分。每小题只有一个正确选项）‎ ‎1．（3.00分）（2018•江西）﹣2的绝对值是（　　）‎ A．﹣2 B．‎2 ‎C．﹣ D．‎ ‎【考点】15：绝对值．菁优网版权所有 ‎【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．‎ ‎【解答】解：|﹣2|=2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质．‎ ‎　‎ ‎2．（3.00分）（2018•江西）计算（﹣a）2•的结果为（　　）‎ A．b B．﹣b C．ab D．‎ ‎【考点】‎6A：分式的乘除法．菁优网版权所有 ‎【专题】11 ：计算题；513：分式．‎ ‎【分析】先计算乘方，再计算乘法即可得．‎ ‎【解答】解；原式=a2•=b，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算法则．‎ ‎　‎ ‎3．（3.00分）（2018•江西）如图所示的几何体的左视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网版权所有 ‎【专题】‎55F：投影与视图．‎ ‎【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．‎ ‎【解答】解：从左边看是上大下小等宽的两个矩形，矩形的公共边是虚线，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到而且是存在的线是虚线．‎ ‎　‎ ‎4．（3.00分）（2018•江西）某班组织了针对全班同学关于“你最喜欢的一项体育活动”的问卷调查后，绘制出频数分布直方图，由图可知，下列结论正确的是（　　）‎ A．最喜欢篮球的人数最多 B．最喜欢羽毛球的人数是最喜欢乒乓球人数的两倍 C．全班共有50名学生 D．最喜欢田径的人数占总人数的10%‎ ‎【考点】V8：频数（率）分布直方图．菁优网版权所有 ‎【专题】1 ：常规题型；542：统计的应用．‎ ‎【分析】根据频数分布直方图中的数据逐一判断可得．‎ ‎【解答】解：A、最喜欢足球的人数最多，此选项错误；‎ B、最喜欢羽毛球的人数是最喜欢田径人数的两倍，此选项错误；‎ C、全班学生总人数为12+20+8+4+6=50名，此选项正确；‎ D、最喜欢田径的人数占总人数的×100%=8%，此选项错误 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是根据频数分布直方图得出各分组的具体数据．‎ ‎　‎ ‎5．（3.00分）（2018•江西）小军同学在网络纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形、如图所示，现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有（　　）‎ A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个 ‎【考点】P8：利用轴对称设计图案；Q2：平移的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】1 ：常规题型．‎ ‎【分析】直接利用平移的性质结合轴对称图形的性质得出答案．‎ ‎【解答】解：如图所示：正方形ABCD可以向上、下、向右以及沿AC所在直线，沿BD所在直线平移，‎ 所组成的两个正方形组成轴对称图形．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案以及平移的性质，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．‎ ‎　‎ ‎6．（3.00分）（2018•江西）在平面直角坐标系中，分别过点A（m，0），B（m+2，0）作x轴的垂线l1和l2，探究直线l1，直线l2与双曲线y=的关系，下列结论错误的是（　　）‎ A．两直线中总有一条与双曲线相交 B．当m=1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等 C．当﹣2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧 D．当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2‎ ‎【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有 ‎【专题】534：反比例函数及其应用．‎ ‎【分析】A、由m、m+2不同时为零，可得出：两直线中总有一条与双曲线相交；‎ B、找出当m=1时两直线与双曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式可得出：当m=1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等；‎ C、当﹣2＜m＜0时，0＜m+2＜2，可得出：当﹣2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧；‎ D、由y与x之间一一对应结合两交点横坐标之差为2，可得出：当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的距离大于2．此题得解．‎ ‎【解答】解：A、∵m、m+2不同时为零，‎ ‎∴两直线中总有一条与双曲线相交；‎ B、当m=1时，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），‎ 当x=1时，y==3，‎ ‎∴直线l1与双曲线的交点坐标为（1，3）；‎ 当x=3时，y==1，‎ ‎∴直线l2与双曲线的交点坐标为（3，1）．‎ ‎∵=，‎ ‎∴当m=1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等；‎ C、当﹣2＜m＜0时，0＜m+2＜2，‎ ‎∴当﹣2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧；‎ D、∵m+2﹣m=2，且y与x之间一一对应，‎ ‎∴当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的距离大于2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎7．（3.00分）（2018•江西）若分式有意义，则x的取值范围为　x≠1　．‎ ‎【考点】62：分式有意义的条件．菁优网版权所有 ‎【分析】分式有意义，分母不等于零．‎ ‎【解答】解：依题意得 x﹣1≠0，即x≠1时，分式有意义．‎ 故答案是：x≠1．‎ ‎【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：‎ ‎（1）分式无意义⇔分母为零；‎ ‎（2）分式有意义⇔分母不为零；‎ ‎（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．‎ ‎　‎ ‎8．（3.00分）（2018•江西）2018年5月13口，中国首艘国产航空母舰首次执行海上试航任务，共排水量超过6万吨，将数60000用科学记数法表示应为　6×104　．‎ ‎【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 ‎【专题】511：实数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：60000=6×104，‎ 故答案为：6×104．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎9．（3.00分）（2018•江西）中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x两、y两，依题意，可列出方程组为　　．‎ ‎【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有 ‎【专题】34 ：方程思想；521：一次方程（组）及应用．‎ ‎【分析】设每头牛值金x两，每头羊值金y两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．‎ ‎【解答】解：设每头牛值金x两，每头羊值金y两，‎ 根据题意得：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（3.00分）（2018•江西）如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=FF，则AB的长为　3　．‎ ‎【考点】LB：矩形的性质；R2：旋转的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】558：平移、旋转与对称．‎ ‎【分析】由旋转的性质得到AD=EF，AB=AE，再由DE=EF，等量代换得到AD=DE，即三角形AED为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，即为AB的长．‎ ‎【解答】解：由旋转得：AD=EF，AB=AE，∠D=90°，‎ ‎∵DE=EF，‎ ‎∴AD=DE，即△ADE为等腰直角三角形，‎ 根据勾股定理得：AE==3，‎ 则AB=AE=3，‎ 故答案为：3‎ ‎【点评】此题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（3.00分）（2018•江西）一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1，x2．则x12﹣4x1+2x1x2的值为　2　．‎ ‎【考点】AB：根与系数的关系．菁优网版权所有 ‎【专题】523：一元二次方程及应用．‎ ‎【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x12﹣4x1=﹣2、x1x2=2，将其代入x12﹣4x1+2x1x2中即可求出结论．‎ ‎【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1、x2，‎ ‎∴x12﹣4x1=﹣2，x1x2=2，‎ ‎∴x12﹣4x1+2x1x2=﹣2+2×2=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（3.00分）（2018•江西）在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为　2或2或﹣　．‎ ‎【考点】KQ：勾股定理；LE：正方形的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】1 ：常规题型．‎ ‎【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=6，‎ ‎∴AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=∠DAB=90°，‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC===6，‎ ‎∴OA=OB=OC=OD=3，‎ 有三种情况：①点P在AD上时，‎ ‎∵AD=6，PD=2AP，‎ ‎∴AP=2；‎ ‎②点P在AC上时，‎ 设AP=x，则DP=2x，‎ 在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2，‎ ‎（2x）2=（3）2+（3﹣x）2，‎ 解得：x=﹣（负数舍去），‎ 即AP=﹣；‎ ‎③点P在AB上时，‎ 设AP=y，则DP=2y，‎ 在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2，‎ y2+62=（2y）2，‎ 解得：y=2（负数舍去），‎ 即AP=2；‎ 故答案为：2或2或﹣．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了正方形的性质和勾股定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．‎ ‎　‎ 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）‎ ‎13．（6.00分）（2018•江西）（1）计算：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣2）2；‎ ‎（2）解不等式：x﹣1≥+3．‎ ‎【考点】‎4C：完全平方公式；‎4F：平方差公式；C6：解一元一次不等式．菁优网版权所有 ‎【专题】11 ：计算题；512：整式．‎ ‎【分析】（1）原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值；‎ ‎（2）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集．‎ ‎【解答】解：（1）原式=a2﹣1﹣a2+‎4a﹣4=‎4a﹣5；‎ ‎（2）去分母得：2x﹣2≥x﹣2+6，‎ 移项合并得：x≥6．‎ ‎【点评】此题考查了平方差公式，完全平方公式，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（6.00分）（2018•江西）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．‎ ‎【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【专题】1 ：常规题型．‎ ‎【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD，求出BC=CD=4，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出AE=2CE，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵BD为∠ABC的平分线，‎ ‎∴∠ABD=∠CBD，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠D=∠ABD，‎ ‎∴∠D=∠CBD，‎ ‎∴BC=CD，‎ ‎∵BC=4，‎ ‎∴CD=4，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴△ABE∽△CDE，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AE=2CE，‎ ‎∵AC=6=AE+CE，‎ ‎∴AE=4．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定和等腰三角形的判定、平行线的性质等知识点，能求出AE=2CE和△ABE∽△CDE是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（6.00分）（2018•江西）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．‎ ‎（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；‎ ‎（2）在图2中，若BA=BD，画出△ABD的AD边上的高．‎ ‎【考点】JA：平行线的性质；K2：三角形的角平分线、中线和高；N3：作图—复杂作图．菁优网版权所有 ‎【专题】13 ：作图题．‎ ‎【分析】（1）连接EC，利用平行四边形的判定和性质解答即可；‎ ‎（2）连接EC，ED，FA，利用三角形重心的性质解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图1所示，AF即为所求：‎ ‎（2）如图2所示，BH即为所求．‎ ‎【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎16．（6.00分）（2018•江西）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．‎ ‎（1）该班男生“小刚被抽中”是　不可能　事件，“小悦被抽中”是　随机　事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为　　；‎ ‎（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率．‎ ‎【考点】X1：随机事件；X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有 ‎【专题】1 ：常规题型；543：概率及其应用．‎ ‎【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式解答可得；‎ ‎（2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．‎ ‎【解答】解：（1）该班男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为，‎ 故答案为：不可能、随机、；‎ ‎（2）记小悦、小惠、小艳和小倩这四位女同学分别为A、B、C、D，‎ 列表如下：‎ A B C D A ‎﹣﹣﹣‎ ‎（B，A）‎ ‎（C，A）‎ ‎（D，A）‎ B ‎（A，B）‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎（C，B）‎ ‎（D，B）‎ C ‎（A，C）‎ ‎（B，C）‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎（D，C）‎ D ‎（A，D）‎ ‎（B，D）‎ ‎（C，D）‎ ‎﹣﹣﹣‎ 由表可知，共有12种等可能结果，其中小惠被抽中的有6种结果，‎ 所以小惠被抽中的概率为=．‎ ‎【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎17．（6.00分）（2018•江西）如图，反比例函数y=（k≠0）的图象与正比例函数y=2x的图象相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，∠ABC=90°．‎ ‎（1）求k的值及点B的坐标；‎ ‎（2）求tanC的值．‎ ‎【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有 ‎【专题】11 ：计算题．‎ ‎【分析】（1）先利用正比例函数解析式确定A（1，2），再把A点坐标代入y=中求出k得到反比例函数解析式为y=，然后解方程组得B点坐标；‎ ‎（2）作BD⊥AC于D，如图，利用等角的余角相等得到∠C=∠ABD，然后在在Rt△ABD中利用正切的定义求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）把A（1，a）代入y=2x得a=2，则A（1，2），‎ 把A（1，2）代入y=得k=1×2=2，‎ ‎∴反比例函数解析式为y=，‎ 解方程组得或，‎ ‎∴B点坐标为（﹣1，﹣2）；‎ ‎（2）作BD⊥AC于D，如图，‎ ‎∴∠BDC=90°，‎ ‎∵∠C+∠CBD=90°，∠CBD+∠ABD=90°，‎ ‎∴∠C=∠ABD，‎ 在Rt△ABD中，tan∠ABD===2，‎ 即tanC=2．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．‎ ‎　‎ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）‎ ‎18．（8.00分）（2018•江西）‎4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人漱养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：‎ 数据收集：从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：min）‎ ‎30‎ ‎60‎ ‎81‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎110‎ ‎130‎ ‎146‎ ‎90‎ ‎100‎ ‎60‎ ‎81‎ ‎120‎ ‎140‎ ‎70‎ ‎81‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎100‎ ‎81‎ 整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：‎ 课外阅读时间x（min）‎ ‎0≤x＜40‎ ‎40≤x＜80‎ ‎80≤x＜120‎ ‎120≤x＜160‎ 等级 D C B A 人数 ‎3‎ ‎　5　‎ ‎8‎ ‎　4　‎ 分析数据：补全下列表格中的统计量：‎ 平均数 中位数 众数 ‎80‎ ‎　81　‎ ‎　81　‎ 得出结论：‎ ‎（1）用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为　B　；‎ ‎（2）如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有多少名？‎ ‎（3）假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，请你选择样本中的一种统计量估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书？‎ ‎【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；WA：统计量的选择．菁优网版权所有 ‎【专题】541：数据的收集与整理；542：统计的应用．‎ ‎【分析】根据中位数、众数的定义可以填表格，利用样本和总体之间的比例关系可以估计或计算得到（1）（2）（3）结果．‎ ‎【解答】解：（1）根据上表统计显示：样本中位数和众数都是81，平均数是80，都是B等级，‎ ‎ 故估计该校学生每周的用于课外阅读时间的情况等级为B．‎ ‎（2）∵=160‎ ‎∴该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有160名．‎ ‎（3）以平均数来估计：‎ ‎×52=26‎ ‎∴假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，以样本的平均数来估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读26本课外书．‎ ‎【点评】此题主要考查数据的统计和分析的知识．准确把握三数（平均数、中位数、众数）和理解样本和总体的关系是关键．‎ ‎　‎ ‎19．（8.00分）（2018•江西）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关．图2是其俯视简化示意图，已知轨道AB=‎120cm，两扇活页门的宽OC=OB=‎60m，点B固定，当点C在AB上左右运动时，OC与OB的长度不变．（所有的结果保留小数点后一位）‎ ‎（1）若∠OBC=50°，求AC的长；‎ ‎（2）当点C从点A向右运动‎60cm时，求点O在此过程中运动的路径长．‎ 参考数据：sn50°≈0.77．cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，π取3.14．‎ ‎【考点】O4：轨迹；PB：翻折变换（折叠问题）；T8：解直角三角形的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】11 ：计算题．‎ ‎【分析】（1）作OH⊥BC于H，如图2，利用等腰三角形的性质得BH=CH，在Rt△OBH中利用余弦定义计算出BH，从而得到BC的长，然后计算AB﹣BC即可；‎ ‎（2）先判断△OBC为等边三角形得到∠OBC=60°，再根据圆的定义得到点O在此过程中运动路径是以B点为圆心，BO为半径，圆心角为60°的弧，然后根据弧长公式计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）作OH⊥BC于H，如图2，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴BH=CH，‎ 在Rt△OBH中，∵cos∠OBH=，‎ ‎∴BH=60•cos50°=60×0.64=38.4，‎ ‎∴BC=2BH=2×38.4=76.8，‎ ‎∴AC=AB﹣BC=120﹣76.8=43.2．‎ 答：AC的长为‎43.2cm；‎ ‎（2）∵OB=OC=60，‎ 而BC=60，‎ ‎∴△OBC为等边三角形，‎ ‎∴∠OBC=60°，‎ ‎∴当点C从点A向右运动‎60cm时，点O在此过程中运动路径是以B点为圆心，BO为半径，圆心角为60°的弧，‎ ‎∴点O在此过程中运动的路径长==20π≈62.8（cm）．‎ ‎【点评】本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了解直角三角形的运用．‎ ‎　‎ ‎20．（8.00分）（2018•江西）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径做圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的廷长线于点D，且∠AOD=∠BAD．‎ ‎（1）求证：AB为⊙O的切线；‎ ‎（2）若BC=6，tan∠ABC=，求AD的长．‎ ‎【考点】ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形．菁优网版权所有 ‎【专题】14 ：证明题；‎55A：与圆有关的位置关系．‎ ‎【分析】（1）作OE⊥AB，先由∠AOD=∠BAD求得∠ABD=∠OAD，再由∠BOC=∠D=90°及∠BOC=∠AOD求得∠OBC=∠OAD=∠ABD，最后证△BOC≌△BOE得OE=OC，依据切线的判定可得；‎ ‎（2）先求得∠EOA=∠ABC，在Rt△ABC中求得AC=8、AB=10，由切线长定理知BE=BC=6、AE=4、OE=3，继而得BO=3，再证△ABD∽△OBC得=，据此可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，‎ ‎∵AD⊥BO于点D，‎ ‎∴∠D=90°，‎ ‎∴∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD+∠OAD=90°，‎ ‎∵∠AOD=∠BAD，‎ ‎∴∠ABD=∠OAD，‎ 又∵BC为⊙O的切线，‎ ‎∴AC⊥BC，‎ ‎∴∠BOC=∠D=90°，‎ ‎∵∠BOC=∠AOD，‎ ‎∴∠OBC=∠OAD=∠ABD，‎ 在△BOC和△BOE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△BOC≌△BOE（AAS），‎ ‎∴OE=OC，‎ ‎∵OE⊥AB，‎ ‎∴AB是⊙O的切线；‎ ‎（2）∵∠ABC+∠BAC=90°，∠EOA+∠BAC=90°，‎ ‎∴∠EOA=∠ABC，‎ ‎∵tan∠ABC=、BC=6，‎ ‎∴AC=BC•tan∠ABC=8，‎ 则AB=10，‎ 由（1）知BE=BC=6，‎ ‎∴AE=4，‎ ‎∵tan∠EOA=tan∠ABC=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴OE=3，OB==3，‎ ‎∵∠ABD=∠OBC，∠D=∠ACB=90°，‎ ‎∴△ABD∽△OBC，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴AD=2．‎ ‎【点评】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定、切线长定理、全等与相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用．‎ ‎　‎ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）‎ ‎21．（9.00分）（2018•江西）某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．‎ ‎（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；‎ ‎（2）当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？‎ ‎（3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．‎ ‎【考点】HE：二次函数的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】12 ：应用题；536：二次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法求解可得；‎ ‎（2）根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式即可得出最大值；‎ ‎（3）求出在（2）中情况下，即x=19时的销售量，据此求得40天的总销售量，比较即可得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，‎ 将（10，200）、（15，150）代入，得：，‎ 解得：，‎ ‎∴y与x的函数关系式为y=﹣10x+300（8≤x≤30）；‎ ‎（2）设每天销售获得的利润为w，‎ 则w=（x﹣8）y ‎=（x﹣8）（﹣10x+300）‎ ‎=﹣10（x﹣19）2+1210，‎ ‎∵8≤x≤30，‎ ‎∴当x=19时，w取得最大值，最大值为1210；‎ ‎（3）由（2）知，当获得最大利润时，定价为19元/千克，‎ 则每天的销售量为y=﹣10×19+300=110千克，‎ ‎∵保质期为40天，‎ ‎∴总销售量为40×110=4400，‎ 又∵4400＜4800，‎ ‎∴不能销售完这批蜜柚．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系，据此列出二次函数的解析式，并熟练掌握二次函数的性质．‎ ‎　‎ ‎22．（9.00分）（2018•江西）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．‎ ‎（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是　BP=CE　，CE与AD的位置关系是　AD⊥CE　；‎ ‎（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；‎ ‎（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=2，BE=2，求四边形ADPE的面积．‎ ‎【考点】LO：四边形综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】152：几何综合题．‎ ‎【分析】（1）如图1中，结论：PB=EC，CE⊥AD．连接AC，想办法证明△BAP≌△CAE即可解决问题；‎ ‎（2）结论仍然成立．证明方法类似；‎ ‎（3）首先证明△BAP≌△CAE，解直角三角形求出AP，DP，OA即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，结论：PB=EC，CE⊥AD．‎ 理由：连接AC．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，‎ ‎∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，‎ ‎∵△APE是等边三角形，‎ ‎∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，‎ ‎∴△BAP≌△CAE，‎ ‎∴BP=CE，∠BAP=∠ACE=30°，‎ 延长CE交AD于H，‎ ‎∵∠CAH=60°，‎ ‎∴∠CAH+∠ACH=90°，‎ ‎∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．‎ 故答案为PB=EC，CE⊥AD．‎ ‎（2）结论仍然成立．‎ 理由：选图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，‎ ‎∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，‎ ‎∵△APE是等边三角形，‎ ‎∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，‎ ‎∴△BAP≌△CAE，‎ ‎∴BP=CE，∠BAP=∠ACE=30°，‎ ‎∵∠CAH=60°，‎ ‎∴∠CAH+∠ACH=90°，‎ ‎∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．‎ 选图3，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，‎ ‎∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，‎ ‎∵△APE是等边三角形，‎ ‎∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，‎ ‎∴△BAP≌△CAE，‎ ‎∴BP=CE，∠BAP=∠ACE=30°，‎ ‎∵∠CAH=60°，‎ ‎∴∠CAH+∠ACH=90°，‎ ‎∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．‎ ‎（3）∴△BAP≌△CAE，‎ 由（2）可知EC⊥AD，CE=BP，‎ 在菱形ABCD中，AD∥BC，‎ ‎∴EC⊥BC，‎ ‎∵BC=AB=2，BE=2，‎ 在Rt△BCE中，EC==8，‎ ‎∴BP=CE=8，‎ ‎∵AC与BD是菱形的对角线，‎ ‎∴∠ABD=∠ABC=30°，AC⊥BD，‎ ‎∴BD=2BO=2AB•cos30°=6，‎ ‎∴OA=AB=，DP=BP﹣BD=8﹣6=2，‎ ‎∴OP=OD+DP=5，‎ 在Rt△AOP中，AP==2，‎ ‎∴S四边形ADPE=S△ADP+S△AEP=×2×+×（2）2=8．‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ 六、（本大题共12分 ‎23．（12.00分）（2018•江西）小资与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：‎ 求解体验：‎ ‎（1）已知抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b=　﹣4　，顶点坐标为　（﹣2，1）　，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是　y=x2﹣4x+5　．‎ 抽象感悟：‎ 我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．‎ ‎（2）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．‎ 问题解决：‎ ‎（1）已知抛物线y=ax2+2ax﹣b（a≠0）‎ ‎①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2（b≠0），两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；‎ ‎②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1；其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为yn；其顶点为An…（n为正整数）求AnAn+1的长（用含n的式子表示）．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】15 ：综合题．‎ ‎【分析】求解体验：（1）利用待定系数法求出b的值，进而求出顶点坐标，在抛物线上取一点（0，﹣3），求出点（﹣2，1）和（0，﹣3）关于（0，1）的对称点坐标，利用待定系数法即可得出结论；‎ 抽象感悟：（2）求出抛物线的顶点坐标（﹣1，6），再在抛物线上取一点（0，5），求出此两点关于（0，m）的对称点（1，‎2m﹣6）和（0，‎2m﹣5），利用待定系数法求出衍生函数解析式，联立即可得出结论；‎ 问题解决：（1）①求出抛物线的顶点坐标和衍生抛物线的顶点坐标，分别代入抛物线解析式中，即可求出a，b的值，即可得出结论；‎ ‎②求出抛物线顶点关于（0，k+n2）和（0，k+（n+1）2）坐标，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：求解体验：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），‎ ‎∴﹣1﹣b﹣3=0，‎ ‎∴b=﹣4，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x﹣3=﹣（x+2）2+1，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），‎ ‎∴抛物线的顶点坐标（﹣2，1）关于（0，1）的对称点为（2，1），‎ 即：新抛物线的顶点坐标为（2，1），‎ 令原抛物线的x=0，‎ ‎∴y=﹣3，‎ ‎∴（0，﹣3）关于点（0，1）的对称点坐标为（0，5），‎ 设新抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，‎ ‎∵点（0，5）在新抛物线上，‎ ‎∴5=a（0﹣2）2+1，‎ ‎∴a=1，‎ ‎∴新抛物线解析式为y=（x﹣2）2+1=x2﹣4x+5，‎ 故答案为﹣4，（﹣2，1），y=x2﹣4x+5；‎ 抽象感悟：（2）∵抛物线y=﹣x2﹣2x+5=﹣（x+1）2+6①，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，6），‎ 抛物线上取点（0，5），‎ ‎∴点（﹣1，6）和（0，5）关于点（0，m）的对称点为（1，‎2m﹣6）和（0，‎2m﹣5），‎ 设衍生抛物线为y′=a（x﹣1）2+‎2m﹣6，∴‎2m﹣5=a+‎2m﹣6，‎ ‎∴a=1，‎ ‎∴衍生抛物线为y′=（x﹣1）2+‎2m﹣6=x2﹣2x+‎2m﹣5②，‎ 联立①②得，x2﹣2x+‎2m﹣5=﹣x2﹣2x+5，‎ 整理得，2x2=10﹣‎2m，‎ ‎∵这两条抛物线有交点，‎ ‎∴10﹣‎2m≥0，‎ ‎∴m≤5；‎ 问题解决：‎ ‎（1）①抛物线y=ax2+2ax﹣b=a（x+1）2﹣a﹣b，‎ ‎∴此抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣a﹣b），‎ ‎∵抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2=b（x﹣1）2+a2﹣b，‎ ‎∴此函数的顶点坐标为（1，a2﹣b），‎ ‎∵两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，‎ ‎∴，‎ ‎∴a=0（舍）或a=3，‎ ‎∴b=﹣3，‎ ‎∴抛物线y的顶点坐标为（﹣1，0），抛物线y的衍生抛物线的顶点坐标为（1，12），‎ ‎∴衍生中心的坐标为（0，6）；‎ ‎②抛物线y=ax2+2ax﹣b的顶点坐标为（﹣1，﹣a﹣b），‎ ‎∵点（﹣1，﹣a﹣b）关于点（0，k+n2）的对称点为（1，a+b+k+n2），‎ ‎∴抛物线yn的顶点坐标An为（1，a+b+k+n2），‎ 同理：An+1（1，a+b+k+（n+1）2）‎ ‎∴AnAn+1=a+b+k+（n+1）2﹣（a+b+k+n2）=2n+1．‎ ‎【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线顶点坐标的求法，新定义的理解和掌握，点的对称点坐标的求法，理解新定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ 考点卡片 ‎　‎ ‎1．绝对值 ‎（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．‎ ‎①互为相反数的两个数绝对值相等；‎ ‎②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．‎ ‎③有理数的绝对值都是非负数． ‎ ‎（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：‎ ‎①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；‎ ‎②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；‎ ‎③当a是零时，a的绝对值是零．‎ 即|a|={a（a＞0）0（a=0）﹣a（a＜0）‎ ‎　‎ ‎2．科学记数法—表示较大的数 ‎（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】‎ ‎（2）规律方法总结：‎ ‎①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ‎ ‎②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．‎ ‎　‎ ‎3．完全平方公式 ‎（1）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．‎ 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．‎ ‎（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．‎ ‎（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．‎ ‎　‎ ‎4．平方差公式 ‎（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．‎ ‎（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2‎ ‎（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：‎ ‎①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；‎ ‎②右边是相同项的平方减去相反项的平方；‎ ‎③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；‎ ‎④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．‎ ‎　‎ ‎5．分式有意义的条件 ‎（1）分式有意义的条件是分母不等于零．‎ ‎（2）分式无意义的条件是分母等于零．‎ ‎（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．‎ ‎（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．‎ ‎　‎ ‎6．分式的乘除法 ‎（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．‎ ‎（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．‎ ‎（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．‎ ‎（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．‎ ‎（5）规律方法总结：‎ ‎①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ‎ ‎②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ‎ ‎③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．‎ ‎　‎ ‎7．由实际问题抽象出二元一次方程组 ‎（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．‎ ‎（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．‎ ‎（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：‎ ‎①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．‎ ‎　‎ ‎8．根与系数的关系 ‎（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．‎ ‎（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．‎ ‎（3）常用根与系数的关系解决以下问题：‎ ‎①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．‎ ‎　‎ ‎9．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．‎ 以上步骤中，只有①去分母和⑤‎ 化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．‎ 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．‎ ‎　‎ ‎10．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 ‎（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．‎ ‎（2）判断正比例函数y=k1x和反比例函数y=在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：‎ ‎①当k1与k2同号时，正比例函数y=k1x和反比例函数y=在同一直角坐标系中有2个交点；‎ ‎②当k1与k2异号时，正比例函数y=k1x和反比例函数y=在同一直角坐标系中有0个交点．‎ ‎　‎ ‎11．二次函数的应用 ‎（1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．‎ ‎（2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．‎ ‎（3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．‎ ‎　‎ ‎12．二次函数综合题 ‎（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．‎ ‎（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．‎ ‎（3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．‎ ‎　‎ ‎13．平行线的性质 ‎1、平行线性质定理 ‎ 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．‎ ‎ 定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． ‎ ‎ 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．‎ ‎2、两条平行线之间的距离处处相等．‎ ‎　‎ ‎14．三角形的角平分线、中线和高 ‎（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．‎ ‎（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．‎ ‎（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．‎ ‎（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．‎ ‎（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．‎ ‎　‎ ‎15．等腰三角形的判定与性质 ‎1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．‎ ‎2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．‎ ‎3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．‎ ‎　‎ ‎16．勾股定理 ‎（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．‎ 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．‎ ‎（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．‎ ‎（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=，b=及c=．‎ ‎（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．‎ ‎　‎ ‎17．矩形的性质 ‎（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．‎ ‎（2）矩形的性质 ‎①平行四边形的性质矩形都具有；‎ ‎②角：矩形的四个角都是直角；‎ ‎③边：邻边垂直；‎ ‎④对角线：矩形的对角线相等；‎ ‎⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．‎ ‎（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．‎ ‎　‎ ‎18．正方形的性质 ‎（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．‎ ‎（2）正方形的性质 ‎①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；‎ ‎②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；‎ ‎③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．‎ ‎④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．‎ ‎　‎ ‎19．四边形综合题 四边形综合题．‎ ‎　‎ ‎20．切线的判定与性质 ‎（1）切线的性质 ‎①圆的切线垂直于经过切点的半径．‎ ‎②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．‎ ‎③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．‎ ‎（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．‎ ‎（3）常见的辅助线的：‎ ‎①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；‎ ‎②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．‎ ‎　‎ ‎21．作图—复杂作图 复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．‎ 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．‎ ‎　‎ ‎22．轨迹 ‎　‎ ‎23．利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．‎ ‎　‎ ‎24．翻折变换（折叠问题）‎ ‎1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．‎ ‎2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．‎ ‎3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．‎ 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．‎ ‎　‎ ‎25．平移的性质 ‎（1）平移的条件 ‎ 平移的方向、平移的距离 ‎（2）平移的性质 ‎①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．　　②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．‎ ‎　‎ ‎26．旋转的性质 ‎（1）旋转的性质：‎ ‎　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．‎ ‎　‎ ‎27．相似三角形的判定与性质 ‎（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．‎ ‎（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．‎ ‎　‎ ‎28．解直角三角形 ‎（1）解直角三角形的定义 ‎ 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．‎ ‎（2）解直角三角形要用到的关系 ‎①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；‎ ‎②三边之间的关系：a2+b2=c2；‎ ‎③边角之间的关系：‎ sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．‎ ‎（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）‎ ‎　‎ ‎29．解直角三角形的应用 ‎（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．‎ 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．‎ ‎（2）解直角三角形的一般过程是：‎ ‎①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．‎ ‎②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．‎ ‎　‎ ‎30．简单组合体的三视图 ‎（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．‎ ‎（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．‎ ‎（3）画物体的三视图的口诀为：‎ 主、俯：长对正；‎ 主、左：高平齐；‎ 俯、左：宽相等．‎ ‎　‎ ‎31．用样本估计总体 用样本估计总体是统计的基本思想． ‎ ‎1、用样本的频率分布估计总体分布：‎ 从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． ‎ ‎2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．‎ 一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．‎ ‎　‎ ‎32．频数（率）分布表 ‎1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．‎ ‎2、列频率分布表的步骤：‎ ‎　　（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差． ‎ ‎　　（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）． ‎ ‎　　（3）将数据分组． ‎ ‎　　（4）列频率分布表．‎ ‎　‎ ‎33．频数（率）分布直方图 画频率分布直方图的步骤：‎ ‎（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图． ‎ ‎　　注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积=组距×频数组距=频率．②‎ 各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．‎ ‎　‎ ‎34．统计量的选择 ‎（1）一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定．但这并不是绝对的，有时多数数据相对集中，整体波动水平较小，但个别数据的偏离仍可能极大地影响极差、方差或标准差的值．从而导致这些量度数值较大，因此在实际应用中应根据具体问题情景进行具体分析，选用适当的量度刻画数据的波动情况，一般来说，只有在两组数据的平均数相等或比较接近时，才用极差、方差或标准差来比较两组数据的波动大小．‎ ‎（2）平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别：①数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数，描述了数据的离散程度．②极差和方差的不同点：极差表示一组数据波动范围的大小，一组数据极差越大，则它的波动范围越大；方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越大，数据的历算程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好．‎ ‎　‎ ‎35．随机事件 ‎（1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．‎ ‎（2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．‎ ‎（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，‎ ‎①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；‎ ‎②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；‎ ‎③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．‎ ‎　‎ ‎36．列表法与树状图法 ‎（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．‎ ‎（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．‎ ‎（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．‎ ‎（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．‎ ‎（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．‎ ‎　‎