【数学】2019届一轮复习人教A版数列中的探索性问题学案

【数学】2019届一轮复习人教A版数列中的探索性问题学案

专题五 数列 问题六 数列中的探索性问题 一、考情分析 近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的探索性问题，这类问题不仅考查 生的探索能力，而且给 生提供了创新思维的空间，而这类问题有下列三类题型 规律探索性问题；条件探索性问题；结论探索性问题.‎ 二、经验分享 ‎(1)对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件．另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件，因此，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答．‎ ‎(2)探索结论型问题是指那些题目结论不明确、或者答案不唯一，给同 们留有较大探索余地的试题．一般是由给定的已知条件求相应的结论。它要求同 们充分利用已知条件进行猜想、透彻分析，发现规律、获取结论，这一类问题立意于对发散思维能力的培养和考察，具有开放性，解法活、形式新，无法套用统一的解题模式，不仅有利于考查和区分同 们的数 素质和创新能力，而且还可以有效地检测和区分考生的 习潜能，因而受到各方面的重视，近年 已成为高考试题的一个新亮点．注意含有两个变量的问题，变量归一是常用的解题思想，一般把其中的一个变量转化为另一个变量，根据题目条件，确定变量的值．数列中大小关系的探索问题可以采用构造函数，根据函数的单调性进行证明，这是解决复杂问题常用的方法．‎ ‎(3)存在型探索性问题通常假定题中的数 对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．‎ ‎(4)处理规律探索性问题，应充分利用已知条件，先求出数列的前几项，根据前几项的特点透彻分析，发现规律、猜想结论．‎ 三、题型分析 ‎(一) 条件探索性问题 ‎【例1】已知数列为等差数列，，的前和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立．‎ ‎（Ⅰ）求数列、的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数 ，使成等比数列，若数列的公差为d，求d的所有可能取值之和．‎ ‎【分析】（Ⅰ）因为对任意的恒成立，所以取，又知为等差数列，为等比数列，设出首项，公差，公比解方程组即可；（Ⅱ））由，得，设，则不等式等价于，问题转化为求的最小值，因，利用知单调递增，求的最小值，再根据求解；（Ⅲ）特殊情况时，成立，当d＞0时，，，由等比中项知，化简得，整理得 ，由，所以，根据，故，从而，所以公差d的所有可能取值之和为．‎ ‎【解析】（Ⅰ）法1 设数列的公差为，数列的公比为．‎ 因为 令分别得，，，又 所以即，‎ 得或，经检验符合题意，不合题意，舍去．‎ 所以． ‎ ‎①当为奇数时，得； ‎ ‎② 当为偶数时，得，即． , , ]‎ 综上，，由是非零整数，可知存在满足条件．‎ ‎（Ⅲ）易知d=0，成立． ‎ 当d＞0时，，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，，‎ ‎，，所以公差d的所有可能取值之和为．……16分 ‎【点评】第一问采取特殊化的思想，转化为联立方程组求首项，公差公比问题，比较容易解决；第二问 会构造数列，将恒成立问题转化为求数列的最小值，选择做商的方法研究数列的单调性，进而求其最值，特别注意最后结果需要对分奇偶讨论；第三问通过等比中项，构造公差和项数的方程，利用项数是正整数，分析对公差的要求，进而得到的可能取值，此类问题虽然比较常见，但是对变形、运算、分析能力要求很高．‎ ‎【小试牛刀】【2017届河北武邑中 高三上 期调研】已知数列的前项和为,且,又数列满足．‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)当为何值时,数列是等比数列？并求此时数列的前项和的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ).‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，‎ 当时，；当时，，‎ 故数列的通项公式为 ‎(Ⅱ)由有则数列为等比数列，‎ 则首项为满足的情况，故，‎ 则 而是单调递增的，故[ . . ]‎ ‎(二) 结论探索性问题 ‎【例2】已知数列中，（为非零常数），其前n项和满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，且，求的值；‎ ‎（3）是否存在实数，使得对任意正整数，数列中满足的最大项恰为第项？‎ 若存在，分别求出与的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】(1)先由得， ，两式相减整理得，， 再相减化为，故是等差数列，；(2)先求出代入整理得，只有且，解得；(3)先排除的情况，再求得时有，再由对任意正数成立可得 ，最后验证得．‎ ‎【解析】（1）由已知，得，∴，‎ 则有，∴，‎ 即，，‎ 两式相加，得，‎ 即，‎ 故数列是等差数列，‎ 又，∴ ‎ ‎（3）由，得，‎ 若，则，不合题意，舍去；‎ 若，则．‎ ‎∵不等式成立的最大正整数解为，‎ ‎∴，‎ 即对任意正整数都成立，‎ ‎∴，解得，‎ 此时，，解得，‎ 故存在实数满足条件，与的取值范围是，‎ ‎【点评】判定一个数列为等差数列的常见方法是 ①验证时为同一常数；②验证时，恒成立；③验证；④验证．本题（1）运用了方法②．‎ ‎【小试牛刀】【2017届河北武邑中 高三理周考】已知数列中，，且点在直线上．‎ ‎⑴求数列的通项公式；‎ ‎⑵若函数（，且），求函数的最小值；‎ ‎⑶设，表示数列的前项和，试问 是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．‎ ‎【答案】(1)；（2）；(3)，证明见解析.‎ ‎【解析】⑴点在直线上，即，且，‎ 数列是以为首项，为公差的等差数列，‎ ‎，也满足，‎ ‎⑵，‎ ‎，‎ ‎，‎ 是单调递增的，故的最小值是．‎ ‎⑶，，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎，．‎ 故存在关于的整式，使等式对于一切不小于的自然数恒成立．‎ 法二 先由的情况，猜想出，再用数 归纳法证明．‎ ‎(三) 存在型探索问题 通常假定题中的数 对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．‎ ‎【例3】【广东省茂名市五大联盟 校2018届高三3月联考】设数列的前n项和为，且满足（）.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）是否存在实数,使得数列为等差数列？若存在，求出的值,若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)；(2)答案见解析.‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，据此有.且（）.，故，整理可得.数列是以2为首项,2为公比的等比数列，.‎ ‎（2）由（1）知，，，必要条件探路，若为等差数列，则，，成等差数列，据此可得.经检验时，成等差数列，故的值为-2.‎ ‎【解析】（1）由（），‎ 可知当时，.‎ 又由（）.‎ 可得，‎ 两式相减，得，‎ 即，即.‎ 所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列 故.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以 若为等差数列，‎ 则，，成等差数列，‎ 即有，‎ 即，‎ 解得.‎ 经检验时，成等差数列，‎ 故的值为-2.‎ ‎【小试牛刀】【2017安徽六安一中上 期周检】已知数列的前n项和为，，是6与2的等差中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）是否存在正整数，使不等式恒成立，若存在，求出 的最大值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1)；(2)存在,.‎ ‎【解析】（1）解法一 因为是6与2的等差中项，‎ 所以，即，‎ 当时有 得，即对都成立 又根据有即，所以 所以.所以数列是首项为1，公比为的等比数列.‎ 解法二 因为是6与2的等差中项 所以，即，‎ 由此得，‎ 又，所以，‎ 所以数列是以为首项，为公比的等比数列.‎ 得，即，‎ 所以，当时，，‎ 又时，也适合上式，所以.‎ ‎（2）根据（1）的结论可知，‎ 数列是首项为1，公比为的等比数列，‎ 所以其前项和为 原问题等价于恒成立.‎ 当为奇数时，不等式左边恒为负数，右边恒为正数，所以对任意正整数不等式恒成立；‎ 当为偶数时，等价于恒成立，‎ 令，有，则等价于在恒成立，‎ 因为为正整数，二次函数的对称轴显然在轴左侧，‎ 所以当时，二次函数为增函数，故只须，解得，，所以存在符合要求的正整数，且最大值为11.‎ 四、迁移运用 ‎1．【2017福建厦门一中高二上 期期中】数列的前项和为，若，则符合的最小的值为（ ） ‎ A．8 B．7 C．6 D．5[ X X ]‎ ‎【答案】D ‎2．【2017届安徽淮北一中高三上 期四模】已知是等比数列, 公比为, 前项和是 ‎，若 成等差数列，则（ ）‎ A．时， B．时，‎ C. 时， D．时，‎ ‎【答案】B ‎【解析】成等差数列，即.，，，当时，，所以，选B.‎ ‎3．【2017届河北武邑中 高三周考】若数列满足，且数列的前项和为，若实数满足对于任意都有，则的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得 ‎，两式相减得，又时，，所以所以，在时单调递增，可得，由题意可得解得.‎ ‎4．【2017届安徽淮北一中高三上 期四模】已知数列与满足，若且对一切恒成立 ，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎5．【2017届山西临汾一中等五校高三联考】已知数列的通项公式，若对任意恒成立，则的取值范围是_____________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵对任意恒成立，∴时，，可得，解得．时，，化为 ，时，化为 ，解得；时，化为 ，解得．综上可得 ．∴的取值范围是．故答案为 ．‎ ‎6．【2017届湖南湘中名校教改联合体高三12月联考】对于数列，定义为的“优值”，现在已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可知，①，②，由①-②得 ，则，所以，令，，，解得 ，所以的取值范围是.‎ ‎7．【2017届江苏如东高级中 等四校高三12月联考】已知数列各项为正整数，满足．若，则所有可能取值的集合为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得；当时，，从而；当时，，因此当时，；当时，，综上所有可能取值的集合为 ‎8.设等差数列满足公差,,且数列中任意两项之和也是该数列的一项.若，则的所有可能取值之和为_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设设等差数列中的任意两项，由已知得，，，则，设是数列中的第项，则有，即，，故的所有可能取值为，其和为．‎ ‎9．【江苏省扬州市2017-2018 年度第一 期期末调研】已知各项都是正数的数列的前 项和为，且，数列满足，.‎ ‎（1）求数列、的通项公式；‎ ‎（2）设数列满足，求和；‎ ‎（3）是否存在正整数，，，使得，，成等差数列？若存在，求出所有满足要求的，，，若不存在，说明理由.‎ ‎【解析】（1）①，②，‎ ‎②-①得 ，即，‎ 因为是正数数列，所以，即，‎ 所以是等差数列，其中公差为1，‎ 在中，令，得，‎ 所以，‎ 由得，‎ 所以数列是等比数列，其中首项为，公比为， ‎ 所以. ‎ ‎（2），裂项得，‎ 所以，‎ ‎（3）假设存在正整数，使得成等差数列，则，即，‎ 因为，所以数列从第二项起单调递减，‎ 当时，，‎ 若，则，此时无解；‎ 若，则，因为从第二项起递减，故，所以符合要求，‎ 若，则，即，不符合要求，此时无解； ‎ 当时，一定有，否则若，则，即，矛盾，‎ ‎ 所以，此时，令，则，所以，，‎ 综上得 存在或，，满足要求.‎ ‎10．数列满足 ， ， ‎ ‎(Ⅰ)判断与的大小关系，并证明你的结论；‎ ‎(Ⅱ)求证 .‎ ‎【解析】‎ Ⅰ) 当n为奇数时， <；当n为偶数时， >. 证明如下 ‎ ‎，‎ 两边同取倒数得 ‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以数列是以为首项， 为公比的等比数列， ， ，所以当n为奇数时，‎ ‎，即<；当n为偶数时， ， >.‎ 当为偶数且时，‎ 要证，‎ 只需证，即证 ‎，‎ 令，则单调递减， ，‎ 当为奇数且时，‎ 要证，‎ 只需证，‎ 只需证，‎ 即证，令，‎ 则单调递减， ，‎ 所以成立，‎ 所以成立. - ‎ ‎11．【江苏省盐城中 2018届高三上 期期末】已知数列满足， ，其中， ， 为非零常数.‎ ‎（1）若， ，求证 为等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列是公差不等于零的等差数列.‎ ‎①求实数， 的值；‎ ‎②数列的前项和构成数列，从中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问 是否存在首项为的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当， 时， ，‎ ‎.‎ 又，不然，这与矛盾，‎ 为2为首项，3为公比的等比数列，‎ ‎， .‎ 经检验，满足题意.‎ 综上， ， ， .‎ ‎②由①知.‎ 设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.‎ ‎1°若三个奇数一个偶数，设， ， ， 是满足条件的四项，‎ 则 ，‎ ‎ ，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去.‎ ‎2°若一个奇数三个偶数，设， ， ， 是满足条件的四项，‎ 则 ， .‎ 由504为偶数知， ， ， 中一个偶数两个奇数或者三个偶数.‎ ‎1）若， ， 中一个偶数两个奇数，不妨设， ， ，‎ 则 ，这与251为奇数矛盾.‎ ‎2）若， ， 均为偶数，不妨设， ， ，‎ 则，继续奇偶分析知， ， 中两奇数一个偶数，‎ 不妨设， ， ，则 . ‎ 因为， 均为偶数，所以为奇数，不妨设，‎ 当时， ， ，检验得， ， ，‎ 当时， ， ，检验得， ， ，‎ 当时， ， ，检验得， ， ，‎ 即， ， ， 或者， ， ， 或者， ， ， 满足条件，‎ 综上所述， ， ， 为全部满足条件的四元子列.‎ ‎12．【西南名校联盟高三2018年元月考试】已知数列为等差数列，公差为，其前项和为，且， .‎ ‎（1）求数列的通项公式及前项和；‎ ‎（2）若数列满足， ，求满足的所有的值.‎ ‎【解析】 ‎ ‎（1）∵， ， ‎ ‎∴， ，得， ，∴， ‎ ‎∴ ，得，∴ ． ‎ ‎（2）∵， ，‎ ‎∴ ‎ ‎，‎ 又 ‎∴，‎ 故由得 ‎∴或．‎ ‎13．【2017届湖南长沙雅礼中 高三月考】已知首项为的等比数列的前项和为，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）对于数列，若存在一个区间，均有，则称为数列的“容值区间”.设，试求数列的“容值区间”长度的最小值.‎ ‎（注 区间的长度均为）‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）设等比数列的公比为，由题意知，‎ 则，化简得，‎ 解得，∴.‎ ‎（2）由（1）可知.‎ 当为偶数时，，易知随增大而增大，∴，此时；‎ 当为奇数时，，易知随增大而减小，∴，此时 ‎.‎ 又，∴.故数列的“容值区间”长度的最小值为.‎ ‎14．【2017届河南南阳一中高三上 期月考】已知数列的前项和满足（），设.‎ ‎（1）求证 数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）按以下规律构造数列，具体方法如下 ，，，…，第项由相应的中项的和组成，求数列的通项公式．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）在，①中，令，得，∴．‎ 当时，，②‎ ‎①②得 ，（），‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，∴，‎ 又，所以数列是等差数列，‎ ‎∴，又，∴．‎ ‎（2）由题意得，‎ 而，，，…，是首项为，公差为1的等差数列，‎ 设数列共有项，‎ 所以，．‎ ‎15．【2017届福建连城县二中高三上 期期中】数列的前项和为，，（）．‎ ‎（1）为何值时，数列是等比数列？‎ ‎（2）在（1）的条件下，若等差数列的前项和有最大值，且，又，，等比数列，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）∵，‎ ‎∴当时，，‎ 两式相减得，即，‎ ‎∴当时，数列是等比数列，‎ 要使数列是等比数列，‎ 当且仅当，即，从而．‎ ‎16．【2017届江西鹰潭一中高三上 期月考】设等差数列的前项和为，，，若，且，数列的前项和为，且满足（）．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式及数列的前项和；‎ ‎（Ⅱ）是否存在非零实数，使得数列为等比数列？并说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）不存在非零实数，使数列为等比数列，理由见解析．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设数列的公差为，由，，，得又解得，，因此数列的通项公式是（），所以，‎ 所以 ‎（Ⅱ）因为（）且可得，‎ 当时，；当时，，此时有，若是等比数列，则有，而，，彼此相矛盾，故不存在非零实数，使数列为等比数列．‎ ‎17．【2017届河南中原名校豫南九校高三上 期质检四】设等差数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求的通项公式；[ ]‎ ‎（2）若不等式对所有的正整数都成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎18．【2017届江苏南京市盐城高三一模】若存在常数、、，使得无穷数列满足 则称数列为“段比差数列”，其中常数、、分别叫做段长、段比、段差. 设数列为“段比差数列”.‎ ‎（1）若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3.‎ ‎①当时，求；‎ ‎②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）①6，②（Ⅱ）或.‎ ‎【解析】（1）①方法一 ∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，‎ ‎，，. ‎ 方法二 ∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，‎ ‎∴，，，，，，，‎ ‎∴当时，是周期为3的周期数列.‎ ‎∴. ‎ ‎②方法一 ∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，‎ ‎∴，‎ ‎∴是以为首项、6为公差的等差数列，‎ 又，‎ ‎， ‎ ‎，，设，则，‎ 又，‎ 当时，，；当时，，，‎ ‎∴，∴， ‎ ‎∴，得. ‎ 方法二 ∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，‎ ‎∴，∴，∴是首项为、公差为6的等差数列，‎ ‎∴，‎ 易知中删掉的项后按原 的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，‎ ‎，‎ ‎， ‎ 以下同方法一.‎ 方法二 设的段长、段比、段差分别为、、，‎ ‎①若，则，，，，‎ 由，得；由，得，‎ 联立两式，得或，则或，经检验均合题意. ‎ ‎②若，则，，，‎ 由，得，得，则，经检验适合题意.‎ 综上①②，满足条件的的通项公式为或. ‎ ‎19．【2017届江苏如东高级中 等四校高三12月联考】已知数列满足，，且对任意，都有．‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）设（）．‎ ‎①求数列的通项公式；‎ ‎②设数列的前项和，是否存在正整数，，且，使得，，成等比数列？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）①②，‎ ‎【解析】（1）由题意，令，，则，解得． ‎ 令，，则，解得． ‎ ‎（2）①以代替，得． ‎ 则，即．‎ 所以数列是以为公差的等差数列．‎ ‎，． ‎ ‎②因为．‎ 所以． ‎ 则，，．‎ 因为，，成等比数列，，即．‎ 所以，．．‎ 解得． ‎ 又，且，，则． - ‎ 所以存在正整数，，使得，，成等比数列． ‎