浙江高考数学理科试卷完美版含答案

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浙江高考数学理科试卷完美版含答案

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理科)‎ ‎ 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页,选择题部分1至3页,非选择题部分4至5页。满分150分,考试时间120分钟。‎ ‎ 请考生按规定用笔将所在试题的答案涂、写在答题纸上。‎ 选择题部分(共50分)‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一个项是符合题目要求的。‎ ‎1.设集合,集合,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知是虚数单位,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.设,则“”是“直线:与直线:平行”的 ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是 ‎ ‎ ‎5.设,是两个非零向量 ‎ A.若,则 ‎ B.若,则 ‎ C.若,则存在实数,使得 ‎ D.若存在实数,使得,则 ‎6.若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 ‎ A.60种 B.63种 C.65种 D.66种 ‎7.设是公差为()的无穷等差数列的前项和,则下列命题错误的是 ‎ A.若,则数列有最大项 ‎ B.若数列有最大项,则 ‎ C.若数列是递增数列,则对任意,均有 ‎ D.若对任意,均有,则数列是递增数列 ‎8.如图,,分别是双曲线:的 左、右两焦点,是虚轴的端点,直线与的两条渐近 线分别交于,两点,线段的垂直平分线与轴交于点 ‎.若,则的离心率是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.设,‎ ‎ A.若,则 B.若,则 ‎ C.若,则 D.若,则 ‎10.已知矩形,,.将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折,在翻折过程中,‎ ‎ A.存在某个位置,使得直线与直线垂直 ‎ B.存在某个位置,使得直线与直线垂直 ‎ C.存在某个位置,使得直线与直线垂直 ‎ D.对任意位置,三对直线“与”,“与”,“与”均不垂直 非选择题部分(共100分)‎ 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分。‎ ‎11.已知某三棱锥的三视图(单位:)如图所示,则该三棱锥 的体积等于 .‎ ‎12.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 .‎ ‎13.设公比为的等比数列的前项和为.‎ 若,,则 .‎ ‎14.若将函数表示为 ‎,‎ 其中,,,…,为实数,则 .‎ ‎15.在中,是的中点,,,‎ 则 .‎ ‎16.定义:曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线 的距离.已知曲线:到直线:的距离等于曲线 ‎:到直线:的距离,则实数 .‎ ‎17.设,若时均有,‎ 则 .‎ 三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18.(本题满分14分)在中,内角,,的对边分别为,,.已知,.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若,求的面积.‎ ‎19.(本题满分14分)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从箱中任取(无放回,且每球取道的机会均等)3个球,记随机变量为取出此3球所得分数之和.‎ ‎(Ⅰ)求的分布列;‎ ‎(Ⅱ)求的数学期望.‎ ‎20.(本题满分15分)如图,在四棱锥中,底面是 边长为的菱形,,且平面,‎ ‎,,分别为,的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面;‎ ‎(Ⅱ)过点作,垂足为点,求二面角 的平面角的余弦值.‎ ‎21.(本题满分15分)如图,椭圆:的 离心率为,其左焦点到点的距离为,不过原点的 直线与相交于,两点,且线段被直线平分.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)求面积取最大值时直线的方程.‎ ‎22.(本题满分14分)已知,,函数.‎ ‎(Ⅰ)证明:当时,‎ ‎ (i)函数的最大值为;‎ ‎ (ii);‎ ‎(Ⅱ)若对恒成立,求的取值范围.‎ 数学(理科)试题参考答案 一、选择题:本题考察基本知识和基本运算。每小题5分,满分50分。‎ ‎1.B 2.D 3.A 4.A 5.C ‎6.D 7.C 8.B 9.A 10.B 二、填空题:本题考察基本知识和基本运算。每小题4分,满分28分。‎ ‎11.1 12. 13. 14.10‎ ‎15.-16 16. 17.‎ 三、解答题:本题共小题,满分72分。‎ ‎18.本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等知识,同时考查运算求解能力。满分14分。‎ ‎(Ⅰ)因为,,得 ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎(Ⅱ)由,得 ‎ ,,‎ ‎ 于是 ‎ .‎ ‎ 由及正弦定理,得 ‎ .‎ ‎ 设的面积为,则 ‎ .‎ ‎19.本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念,同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。‎ ‎(Ⅰ)由题意得取3,4,5,6,且 ‎ , ,‎ ‎ , .‎ ‎ 所以的分布列为 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ‎ .‎ ‎20.本题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空间想像能力和运算求解能力。满分15分。‎ ‎(Ⅰ)因为,分别是,的中点,所以是的中位线,所以 ‎ ‎ ‎ 又因为平面,所以 ‎ 平面.‎ ‎(Ⅱ)方法一:‎ ‎ 连结交于,以为原点,,所在直线为,轴,建立空间直角坐标系,如图所示 ‎ 在菱形中,,得 ‎ ,.‎ ‎ 又因为平面,所以 ‎ .‎ ‎ 在直角中,,,,得 ‎ ,.‎ ‎ 由此知各点坐标如下,‎ ‎ ,,‎ ‎ ,,‎ ‎ ,,‎ ‎ ,.‎ ‎ 设为平面的法向量.‎ ‎ 由,知 ‎ ‎ ‎ 取,得 ‎ ‎ ‎ 设为平面的法向量.‎ ‎ 由,知 ‎ ‎ ‎ 取,得 ‎ ‎ ‎ 于是 ‎ .‎ ‎ 所以二面角的平面角的余弦值为.‎ ‎ 方法二:‎ ‎ 在菱形中,,得 ‎ ,,‎ ‎ 有因为平面,所以 ‎ ,,,‎ ‎ 所以.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 而,分别是,的中点,所以 ‎ ,且.‎ ‎ 取线段的中点,连结,,则 ‎ ,,‎ ‎ 所以为二面角的平面角.‎ ‎ 由,,故 ‎ 在中,,,得 ‎ .‎ ‎ 在直角中,,得 ‎ ,,,‎ ‎ 在中,,得 ‎ .‎ ‎ 在等腰中,,,得 ‎ .‎ ‎ 在中,,,,得 ‎ .‎ ‎ 所以二面角的平面角的余弦值为.‎ ‎21.本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解体能力。满分15分。‎ ‎(Ⅰ)设椭圆左焦点为,则由题意得 ‎ ,‎ ‎ 得 ‎ 所以椭圆方程为 ‎ .‎ ‎(Ⅱ)设,,线段的中点为.‎ 当直线与轴垂直时,直线的方程为,与不过原点的条件不符,舍去.故可设直线的方程为 ‎,‎ 由消去,整理得 ‎, (1)‎ 则 ‎,‎ 所以线段的中点,‎ 因为在直线上,所以 ‎,‎ 得 ‎(舍去)或,‎ 此时方程(1)为,则 ‎,‎ 所以 ‎,‎ 设点到直线距离为,则 ‎,‎ 设的面积为,则 ‎,‎ 其中,‎ 令,‎ ‎,‎ 所以当且仅当,取到最大值,‎ 故当且仅当,取到最大值.‎ 综上,所求直线方程为.‎ ‎22.本题主要考查利用导函数研究函数的性质、线性规划等基础知识,同时考查推理论证能力,分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分14分。‎ ‎(Ⅰ)(i)‎ ‎ 当时,有,此时在上单调递增 ‎ 所以当时,‎ ‎ ‎ ‎ (ii)由于,故 ‎ 当时,‎ ‎ ‎ ‎ 当时,‎ ‎ 设,则 ‎ ,‎ ‎ 于是 ‎0‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎1‎ 减 极小值 增 ‎1‎ ‎ 所以,,‎ ‎ 所以 ‎ 当时,‎ ‎ 故 ‎ (Ⅱ)由(i)知,当,,所以 ‎ ‎ ‎ 若,则由(ii)知 ‎ ‎ ‎ 所以对任意恒成立的充要条件是 ‎ ,‎ ‎ 即,或(1)‎ ‎ 在直角坐标系中,(1)所表示的平面区域为如图所示的阴影部分,其中不包括线段,‎ ‎ 作一组平行直线,得 ‎ .‎ ‎ 所以的取值范围是.‎
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