2021版高考数学一轮复习规范答题提升课一课件文北师大版

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规范答题提升课 ( 一 ) 函数与导数综合问题 【 考题 】 (12 分 )(2019· 全国卷 Ⅰ) 已知函数 f(x)=2sin x-xcos x-x ① f′(x) 为 f(x) 的导数 . (1) 证明 :f′(x) 在区间 (0,π) 存在唯一零点 ② (2) 若 x∈[0,π] 时 ,f(x)≥ax ， ③ 求 a 的取值范围 . 【 命题意图 】 该题主要考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围等问题 , 考查函数与方程思想、转化与化归思想以及数学抽象、数学运算以及逻辑推理等核心素养 . 【 模板流程与说明 】 【 规范解答 】 (1) 设 g(x)=f′(x), 则 g(x)=cos x+xsin x-1,g′(x)=xcos x. ………………………………………………………………………… 1 分 当 x∈ 时 ,g′(x)>0; 当 x∈ 时 ,g′(x)<0, …………………………………… 2 分 所以 g(x) 在 单调递增 , 在 单调递减 . ……………… 3 分 又 g(0)=0,g >0,g(π)=-2, 故 g(x) 在 (0,π) 存在唯一零点 . ………… 4 分 所以 f′(x) 在 (0,π) 存在唯一零点 . …………… 5 分 (2) 由题设知 f(π)≥aπ,f(π)=0, 可得 a≤0. …………… 6 分 由 (1) 知 ,f′(x) 在 (0,π) 只有一个零点 , 设为 x 0 , 且当 x∈(0,x 0 ) 时 ,f′(x)>0; 当 x∈(x 0 ,π) 时 ,f′(x)<0, …………………… 7 分 所以 f(x) 在 (0,x 0 ) 单调递增 , 在 (x 0 ,π) 单调递减 . …………………… 8 分 又 f(0)=0,f(π)=0, 所以 , 当 x∈[0,π] 时 ,f(x)≥0. ……………………… 10 分 又当 a≤0,x∈[0,π] 时 ,ax≤0, 故 f(x)≥ax. 因此 ,a 的取值范围是 (-∞,0]. ……………………… 12 分 【 得分要点 】 送分点 : 简单的求导过程 , 若导数求错 , 则该题不得分 . 易错点 : 分析导函数符号 , 判断函数单调性 . 该处易出现的问题是错误判断导函数的符号 , 导致单调性判断错误 , 造成扣分 . 得分点 : 根据函数值符号判断零点的存在性 , 依据就是零点存在性定理 . 该处只需判断 g(π)<0 即可 . 所以不需求值 , 只要判断准确函数值符号就不扣分 . 得分点 : 根据导函数符号判断函数单调性 , 该处需要结合 (1) 问的结论 , 如判断失误 , 不能确定单调区间 , 则后面解题过程不得分 . 易错点 : 不能正确判断 f(x) 的符号扣 1 分 . 易错点 : 该处失分点 , 易漏掉等号导致扣 1 分 . 【 考情分析 】 利用导数研究函数的单调性、零点等是历年高考命题的重点与热点 , 此类问题虽然设问方式或载体函数多变 , 但核心问题就是综合运用导数 . 这类题型应加强熟练程度 , 提高综合灵活解决这类题的能力 . 【 解题策略 】 　 　判断函数零点个数的常用方法 (1) 直接研究函数 , 求出极值以及最值 , 画出草图 . 函数零点的个数问题即是函数图像与 x 轴交点的个数问题 . (2) 分离出参数 , 转化为 a=g(x), 根据导数的知识求出函数 g(x) 在某区间的单调性 , 求出极值以及最值 , 画出草图 . 函数零点的个数问题即是直线 y=a 与函数 y=g(x) 图像交点的个数问题 . 只需要把 a 与函数 g(x) 的极值和最值进行比较即可 .