2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1
1.4.2
充要条件
必备知识
·
自主学习
充要条件
(1)
定义
命题真假
“
若
p
，则
q”
和它的逆命题都是真命题
推出关系
既有
p⇒q
，又有
q⇒p
，记作
____
条件关系
p
既是
q
的充分条件，也是
q
的必要条件
名称
p
是
q
的
_________
条件，简称为
_____
条件
p⇔q
充分必要
充要
(2)
本质：当原命题、逆命题都是真命题时，命题的条件和结论互为充要条件，是等价的
.
(3)
应用：充要条件是数学中非常重要的概念，应用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容
.
【
思考
】
命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类？
提示：
①充分必要条件
(
充要条件
)
，即
p⇒q
且
q⇒p.
②
充分不必要条件，即
p⇒q
且
q p.
③
必要不充分条件，即
p q
且
q⇒p.
④
既不充分又不必要条件，即
p q
且
q p.
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”，错的打“
×”)
(1)
两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例
. (
)
(2)“p
是
q
的充要条件”与“
p
的充要条件是
q”
表达的意义相同
. (
)
(3)
若
p
是
q
的充要条件，
q
是
r
的充要条件，则
p
是
r
的充要条件
. (
)
提示：
(1)√.
由三角形相似的判定和性质可知
.
(2)×.p
是
q
的充要条件说明
p
是条件，
q
是结论
.
p
的充要条件是
q
说明
q
是条件，
p
是结论
.
(3)√.
因为
p⇔q
，
q⇔r
，所以
p⇔r
，所以
p
是
r
的充要条件
.
2.“x=1”
是“
x
2
-2x+1=0”
的
(
)
A.
充要条件
B.
充分而不必要条件
C.
必要而不充分条件
D.
既不充分也不必要条件
【
解析
】
选
A.
当
x=1
时，
x
2
-2x+1=0
成立，
由
x
2
-2x+1=0
，解得
x=1
，所以
“
x=1
”
是
“
x
2
-2x+1=0
”
的充要条件
.
3.(
教材二次开发：例题改编
)
设四边形
ABCD
的两条对角线为
AC
，
BD
，则“四边形
ABCD
为菱形”是“
AC⊥BD”
的
(
)
A.
充分不必要条件
B.
充要条件
C.
必要不充分条件
D.
既不充分也不必要条件
【
解析
】
选
A.
“
四边形
ABCD
为菱形
”
，则
“
AC⊥BD
”
；而
“
AC⊥BD
”
时
“
四边形
ABCD
不一定为菱形
”
，所以
“
四边形
ABCD
为菱形
”
是
“
AC⊥BD
”
的充分不必要条件
.
关键能力
·
合作学习
类型一 定义法判断充分条件、必要条件
(
逻辑推理
)
【
题组训练
】
1.(2020·
营口高一检测
)
设
a
，
b∈R
，则“
(a-b)a
2
<0”
是“
a
0
C.a
2
+b
2
=0 D.a
2
+b
2
>0
3.
下列各题中，哪些
p
是
q
的充要条件？
(1)p
：
x≠0
，
q
：
x+|x|>0.
(2)p
：
a
，
b∈R
，
|a-b|=|a|+|b|
，
q
：
a
，
b∈R
，
ab<0.
(3)p
：
x
1
，
x
2
是方程
x
2
+5x-6=0
的两个实数根，
q
：
x
1
+x
2
=-5.
(4)p
：
A⊆B
，
q
：
A∩B=A.
【
解析
】
1.
选
A.
由
“
(a-b)a
2
<0
”
一定可得出
“
a0
，则
a
，
b
不同时为零；
a
，
b
中至少有一个不为零，则
a
2
+b
2
>0.
3.(1)
因为由
x≠0
推不出
x+|x|>0
，如
x=-1
时，
x+|x|=0
，所以
p q
，
所以
p
不是
q
的充要条件
.
(2)
由
|a-b|=|a|+|b|
，两边平方得
a
2
-2ab+b
2
=a
2
+2|ab|+b
2
，即
|ab|=-ab
，
得
ab≤0
，即
“
|a-b|=|a|+|b|
”
等价于
“
ab≤0
”
，
所以
p q
，所以
p
不是
q
的充要条件
.
(3)
当
x
1
=-1
，
x
2
=-4
时，
x
1
+x
2
=-5
，而
-1
，
-4
不是方程
x
2
+5x-6=0
的两根
.
所以
q p
，所以
p
不是
q
的充要条件
.
(4)
由
A⊆B
，得
A∩B=A
；反过来，由
A∩B=A
，且
(A∩B)⊆B
，得
A⊆B
，
因此
“
A⊆B
”
是
“
A∩B=A
”
成立的充要条件，即
p
是
q
的充要条件
.
【
解题策略
】
定义法判断充分条件、必要条件
(1)
确定谁是条件，谁是结论；
(2)
尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件是结论的充分条件，否则条件就不是结论的充分条件；
(3)
尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件是结论的必要条件，否则条件就不是结论的必要条件
.
【
补偿训练
】
下列各题中，哪些
p
是
q
的充要条件？
(1)p
：
x
2
=3x+4
；
q
：
x= .
(2)p
：
a
是自然数；
q
：
a
是正数
.
(3)p
：
a=1
；
q
：
a
的倒数是其本身
.
(4)p
：点
P(2-a
，
3a-2)
到两坐标轴距离相等；
q
：
a=1
或
a=0.
【
解析
】
(1)
当
x=-1
时，
x
2
=3x+4
，
但是
x=
成立的条件是
x≥0
，
所以
p q
，所以
p
不是
q
的充要条件
.
(2)0
是自然数，但是
0
不是正数，
所以
p q
，所以
p
不是
q
的充要条件
.
(3)
倒数是其本身的有
±1
，
所以
q p
，所以
p
不是
q
的充要条件
.
(4)
当
a=1
时，点
P(1
，
1)
到两坐标轴距离相等，
当
a=0
时，点
P(2
，
-2)
到两坐标轴距离相等，
当点
P(2-a
，
3a-2)
到两坐标轴距离相等时，
|2-a|=|3a-2|
，解得
a=1
或
a=0.
所以
p⇔q
，所以
p
是
q
的充要条件
.
类型二 充要条件的证明
(
逻辑推理
)
【
典例
】
求证：方程
mx
2
-2x+3=0
有两个同号不相等实根的充要条件是
0a
，
q
：
x>3.
(1)
若
p
是
q
的必要不充分条件，求
a
的取值范围
.
(2)
若
p
是
q
的充分不必要条件，求
a
的取值范围
.
(3)
若
a
是方程
x
2
-6x+9=0
的根，判断
p
是
q
的什么条件
.
【
思路导引
】
将
p
与
q
的条件关系转换为相应集合的关系，求
a
的取值范围
.
【
解析
】
设
A={x|x>a}
，
B={x|x>3}.
(1)
若
p
是
q
的必要不充分条件，则有
B A
，所以
a<3.
(2)
若
p
是
q
的充分不必要条件，则有
A B
，所以
a>3.
(3)
因为方程
x
2
-6x+9=0
的根是
3
，所以
a=3
，于是有
A=B
，所以
p
是
q
的充要条件
.
【
变式探究
】
将本题条件改为“
p
：
|x|≤2
，
q
：
x≤a”
，第
(2)
问如何解答？
【
解析
】
设
A={x||x|≤2}
，
B={x|x≤a}
，
则
A={x|-2≤x≤2}
，
若
p
是
q
的充分不必要条件，则有
A B
，所以
a≥2.
【
解题策略
】
从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
p
：
A={x|p(x)
成立
}
，
q
：
B={x|q(x)
成立
}.
【
题组训练
】
1.(2020·
辽阳高一检测
)“00)
，
q
：实数
x
满足
23
，解得
m>3.
答案：
{m|m>3}
4.“
反比例函数
y=
的图象与函数
y=x
的图象没有公共点”的充要条件是“
k∈A”
，则集合
A=_____.
【
解析
】
分
k>0
和
k<0
两种情况分别画出反比例函数
y=
与函数
y=x
的图象，如图所示，
由图可知，若它们的图象没有公共点，则
k<0
，即符合题意的集合
A={
k|k<0}.
答案
{
k|k<0}
5.
下列各题中，哪些
p
是
q
的充要条件？
(1)p
：同旁内角互补，
q
：两直线平行；
(2)p
：
x
2
=y
2
，
q
：
x+y=0
；
(3)p
：
m<-2
，
q
：方程
x
2
-x-m=0
无实根
.
(4)p
：
A∩B=A
，
q
：
∁
U
B⊆
∁
U
A
；
【
解析
】
(1)
两直线平行，同旁内角互补是真命题，此命题的逆命题也是
真命题，所以
p⇔q
，
所以
p
是
q
的充要条件
.
(2)
由
x
2
=y
2
可推出
x+y=0
，或
x-y=0
，推不出
x+y=0
，所以
p
不是
q
的充要条件
.
(3)
方程
x
2
-x-m=0
无实根等价于
Δ=1-4×(-m)<0
，所以
m<- .
m<-2⇒m<-
，
m<- m<-2
，
所以
p
不是
q
的充要条件
.
(4)
画出
Venn
图
(
如图
)
可得
.
A∩B=A⇔A⊆B⇔
∁
U
A⊇
∁
U
B
，故
p
是
q
的充要条件
.
充分条件与
必要条件
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
（
2
）集合法
:A⊆B, A
是
B
的充分条件，
B⊆A, A
是
B
的必要条件
.
（
1
）判断条件之间的关系时要注意条件之间关系的方向
（
2
）证明充要条件时，要分清哪个是条件，哪个是结论
逻辑推理：通过充分条件、必要条件的判断与证明，培养逻辑推理的核心素养
充分条件
必要条件
充要条件
判断与证明
应用
