【数学】2019届一轮复习人教A版数列的概念与简单表示法学案

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文档介绍

【数学】2019届一轮复习人教A版数列的概念与简单表示法学案

第1讲 数列的概念与简单表示法 板块一 知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1 数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.‎ 考点2 数列的分类 考点3 数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.‎ 考点4 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.‎ ‎[必会结论]‎ ‎1.若数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an,‎ 则an= ‎2.在数列{an}中,若an最大,则 若an最小,则 ‎3.数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列.‎ ‎[考点自测]                      ‎ ‎1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.(  )‎ ‎(2)数列:1,0,1,0,1,0,…,通项公式只能是an=.(  )‎ ‎(3)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.(  )‎ ‎(4)若数列用图象表示,则从图象上看都是一群孤立的点.(  )‎ 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√‎ ‎2.[课本改编]数列1,,,,,…的一个通项公式an是(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 由已知得,数列可写成,,,…,故该数列的一个通项公式为 .故选B.‎ ‎3.[课本改编]在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则的值是(  )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 由已知得a2=1+(-1)2=2,∴‎2a3=2+(-1)3,a3=,∴a4=+(-1)4,a4=3,∴‎3a5=3+(-1)5,∴a5=,∴=×=.故选C.‎ ‎4.已知f(1)=3,f(n+1)=(n∈N*).则f(4)=________.‎ 答案  解析 由f(1)=3,得f(2)=2,f(3)=,f(4)=.‎ ‎5.[2018·山东师大附中月考]已知数列{an}的前n项和Sn=,则a5+a6=________.‎ 答案  解析 a5+a6=S6-S4=-=-=.‎ ‎6.[课本改编]在数列{an}中,a1=2,an+1=an+,则数列an=________.‎ 答案 3- 解析 由题意,得an+1-an==-,‎ an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1‎ ‎=++…+++2=3-.‎ 板块二 典例探究·考向突破 考向 由数列的前几项求数列的通项公式                      ‎ 例1 写出下面各数列的一个通项公式:‎ ‎(1)-1,7,-13,19,…;‎ ‎(2),1,,,…;‎ ‎(3),,-,,-,,…;‎ ‎(4)1,3,6,10,15,…;‎ ‎(5)3,33,333,3333,….‎ 解 (1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5).‎ ‎(2)将数列统一为,,,,…,对于分子3,5,7,9,…,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,10,17,…,联想到数列1,4,9,16,…,即数列{n2},可得分母的通项公式为cn=n2+1,因此可得它的一个通项公式为an=.‎ ‎(3)各项的分母分别为21,22,23,24,…,易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为-,原数列可化为-,,-,,…,‎ 所以an=(-1)n·.‎ ‎(4)将数列改写为,,,,,…,因而有an=‎ eq f(n(n+1),2),也可用逐差法a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,…,an-an-1=n,各式累加得an=.‎ ‎(5)将数列各项改写为,,,,…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以an=(10n-1).‎ 触类旁通 观察法求通项公式的常用技巧 求数列的通项公式实际上是寻找数列的第n项与序号n之间的关系,常用技巧有:(1)借助于(-1)n或(-1)n+1来解决项的符号问题;(2)项为分数的数列,可进行恰当的变形,寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系;(3)对较复杂的数列的通项公式的探求,可采用添项、还原、分割等方法,转化为熟知的数列,如等差数列、等比数列等来解决.‎ 考向 由an与Sn的关系求通项an                      ‎ 例2 (1)已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,则an=________.‎ 答案 4n-5‎ 解析 a1=S1=2-3=-1,‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5,‎ 由于a1也适合此等式,∴an=4n-5.‎ ‎(2)设Sn为数列{an}的前n项的和,且Sn=(an-1)(n∈N*),则an=________.‎ 答案 3n 解析 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),整理,得an=3an-1,即=3,又a1=3,∴数列{an}是以3为首项,3为公比的等比数列,∴an=3n.‎ ‎(3)已知数列{an},满足a1+‎2a2+‎3a3+…+nan=2n,则an=________.‎ 答案  解析 当n=1时,由已知,可得a1=21=2,‎ 当n≥2时,a1+‎2a2+‎3a3+…+nan=2n, ①‎ 故a1+‎2a2+‎3a3+…+(n-1)an-1=2n-1, ②‎ 由①-②得nan=2n-2n-1=2n-1,∴an=.‎ 显然n=1时不满足上式,∴an= 触类旁通 给出Sn与an的递推关系,求an的常用思路:一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.‎ ‎【变式训练】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn=3n+1,则an=________.‎ 答案  解析 当n=1时,a1=S1=3+1=4;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2×3n-1.‎ 当n=1时,2×31-1=2≠a1,‎ 所以an= ‎(2)[2018·广州模拟]设数列{an}满足a1+‎3a2+‎32a3+…+3n-1an=,则an=________.‎ 答案  解析 因为a1+‎3a2+‎32a3+…+3n-1an=,①‎ 则当n≥2时,‎ a1+‎3a2+‎32a3+…+3n-2an-1=,②‎ ‎①-②得3n-1an=,所以an=(n≥2).‎ 由题意知a1=,符合上式,所以an=.‎ ‎(3)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=________.‎ 答案 n-1‎ 解析 由已知Sn=2an+1,得Sn=2(Sn+1-Sn),‎ 即2Sn+1=3Sn,=,而S1=a1=1,‎ 所以Sn=n-1.‎ 考向 由递推公式求数列的通项公式                      ‎ 命题角度1 形如an+1=anf(n),求an 例3 在数列{an}中,a1=4,nan+1=(n+2)an,求数列{an}的通项公式.‎ 解 由递推关系得=,‎ 又a1=4,‎ ‎∴an=··…···a1=···…···4=·4=2n(n+1)(n∈N*).‎ 命题角度2 形如an+1=an+f(n),求an 例 4 (1)[2015·江苏高考]设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),求数列前10项的和.‎ 解 由题意可得,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2+3+…+n=,则==2,数列的前10项的和为++…+=2=.‎ ‎(2)若数列{an}满足:a1=1,an+1=an+2n,求数列{an}的通项公式.‎ 解 由题意知an+1-an=2n,‎ an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1==2n-1.‎ 命题角度3 形如an+1=Aan+B(A≠0且A≠1),求an 例5 已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求an.‎ 解 设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2(an-t),即an+1=2an-t,解得t=-3.‎ 故递推公式为an+1+3=2(an+3).‎ 令bn=an+3,则b1=a1+3=4,且==2.‎ 所以{bn}是以b1=4为首项,2为公比的等比数列.‎ 所以bn=4×2n-1=2n+1,即an=2n+1-3.‎ 命题角度4 形如an+1=(A,B,C为常数),求an 例6 已知数列{an}中,a1=1,an+1=,求数列{an}的通项公式.‎ 解 ∵an+1=,a1=1,∴an≠0,‎ ‎∴=+,即-=,又a1=1,则=1,‎ ‎∴是以1为首项,为公差的等差数列,‎ ‎∴=+(n-1)×=,∴an=(n∈N*).‎ 触类旁通 由递推关系式求通项公式的常用方法 ‎(1)已知a1且an-an-1=f(n),可用“累加法”求an.‎ ‎(2)已知a1且=f(n),可用“累乘法”求an.‎ ‎(3)已知a1且an+1=qan+b,则an+1+k=q(an+k)(其中k可由待定系数法确定),可转化为等比数列{an+k}.‎ ‎(4)形如an+1=(A,B,C为常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.‎ 核心规律 已知递推关系求通项,一般有以下方法:‎ ‎(1)算出前几项,再归纳、猜想;‎ ‎(2)累加法、累乘法、待定系数法.‎ 满分策略 ‎1.数列是一种特殊的函数,在利用函数观点研究数列时,一定要注意自变量的取值,如数列an=f(n)和函数y=f(x)的单调性是不同的.‎ ‎2.数列的通项公式不一定唯一.‎ ‎3.在利用数列的前n项和求通项时,往往容易忽略先求出a1,而是直接把数列的通项公式写成an=Sn-Sn-1的形式,但它只适用于n≥2的情形.‎ 板块三 启智培优·破译高考 数学思想系列 6——用函数思想解决数列的单调性问题 ‎[2018·南京段考]数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.‎ ‎(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值.‎ ‎(2)对于n∈N*,都有an+1>an.求实数k的取值范围.‎ 解题视点 (1)求使an<0的n值;从二次函数看an的最小值.(2)数列是一类特殊函数,通项公式可以看作相应的解析式f(n)=n2+kn+4.f(n)在N*上单调递增,可利用二次函数的对称轴研究单调性,但应注意数列通项中n的取值.‎ 解 (1)由n2-5n+4<0,解得1an知该数列是一个递增数列,‎ 又因为通项公式an=n2+kn+4,‎ 可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N*,‎ 所以-<,即得k>-3.‎ 答题启示 (1)在利用二次函数的观点解决该题时,一定要注意二次函数对称轴位置的选取.,(2)本题易错答案为k>-2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性,即自变量是正整数.                      ‎ 跟踪训练 已知数列{an}中,an=1+(n∈N*,a∈R,且a≠0).‎ ‎(1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值;‎ ‎(2)若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的取值范围.‎ 解 (1)∵an=1+(n∈N*,a∈R,且a≠0),‎ 又∵a=-7,∴an=1+.‎ 结合函数f(x)=1+的单调性,可知1>a1>a2>a3>a4,‎ a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*).‎ ‎∴数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.‎ ‎(2)an=1+=1+.‎ ‎∵对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,‎ 结合函数f(x)=1+的单调性,‎ 知5<<6,∴-10
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