【数学】2019届一轮复习人教A版(文)第四章第一节平面向量的概念及其线性运算学案

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【数学】2019届一轮复习人教A版(文)第四章第一节平面向量的概念及其线性运算学案

第一节平面向量的概念及其线性运算 ‎1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或称)‎ 平面向量是自由向量 零向量 长度为的向量 记作0,其方向是 ‎ 任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)‎ ‎0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等,不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 ‎0的相反向量为0‎ ‎2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ‎(1)交换律:a+b=b+a;‎ ‎(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)‎ 减法 求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b a-b=a+(-b)‎ 的差 三角形法则 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ‎(1)|λa|=|λ||a|;‎ ‎(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0‎ λ(μa)=(λμ)a;‎ ‎(λ+μ)a=λa+μa;‎ λ(a+b)=λa+λb ‎3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa.‎ ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量.(  )‎ ‎(2)|a|与|b|是否相等与a,b的方向无关.(  )‎ ‎(3)若向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.(  )‎ ‎(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.(  )‎ 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√‎ ‎2.如图,设P,Q两点把线段AB三等分,则下列向量表达式错误的是(  )‎ A.=       B.= C.=- D.= 解析:选D 由数乘向量的定义可以得到A、B、C都是正确的,只有D错误.‎ ‎3.设a,b都是非零向量,下列四个选项中,一定能使+=0成立的是(  )‎ A.a=2b B.a∥b C.a=-b D.a⊥b 解析:选C “+=0,且a,b都是非零向量”等价于“非零向量a,b共线且反向”,故答案为C.‎ ‎4.设D为△ABC所在平面内一点,=3,则(  )‎ A.=-+ B.=- C.=+ D.=- 解析:选A 由题意得=+=+=+-=-+.‎ ‎5.若菱形ABCD的边长为2,则|-+|=________.‎ 解析:|-+c|=|++|=||=2.‎ 答案:2‎ ‎6.已知a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-‎3a)共线,则λ=________.‎ 解析:由题意知存在k∈R,使得a+λb=k[-(b-‎3a)],所以解得 答案:-      ‎[考什么·怎么考]‎ 高考对本部分内容不会单独考查,多渗透到平面向量的线性运算中,难度较小.‎ ‎1.设a0为单位向量,下列命题中:①若a为平面内的某个向量,则a=|a|·a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0,假命题的个数是(  )‎ A.0          B.1‎ C.2 D.3‎ 解析:选D 向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.‎ 综上所述,假命题的个数是3.‎ ‎2.给出下列命题:‎ ‎①若a=b,b=c,则a=c;‎ ‎②若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;‎ ‎③a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;‎ ‎④若a∥b,b∥c,则a∥c.‎ 其中正确命题的序号是________.‎ 解析:①正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,‎ 又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,‎ ‎∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.‎ ‎②正确.∵=,∴||=||且∥,‎ 又A,B,C,D是不共线的四点,‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形;‎ 反之,若四边形ABCD为平行四边形,‎ 则∥且||=||,因此,=.‎ ‎③不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.‎ ‎④不正确.考虑b=0这种特殊情况.‎ 综上所述,正确命题的序号是①②.‎ 答案:①②‎ ‎[怎样快解·准解]‎ 有关平面向量概念的6个注意点 ‎(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.‎ ‎(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.‎ ‎(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的移动混淆.‎ ‎(4)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量,-是与a反方向的单位向量.‎ ‎(5)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小.‎ ‎(6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合,易忽视重合这一条件.‎      ‎[考什么·怎么考]‎ 平面向量的线性运算是高考对平面向量考查的一个重点内容,主要考查三角形法则及平行四边形法则的应用,通常有两个考查角度:‎ ‎(1)向量的线性表示;‎ ‎(2)加(减)法运算几何意义的应用.‎ 考题多以选择题或填空题的形式出现,属于低档题目.‎ ‎1.(2018·武汉调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点,则+++等于(  )‎ A.           B.2 C.3 D.4 解析:选D 因为M是平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点,所以+=2,+=2,所以+++=4.‎ ‎2.(2018·广东五校协作体第一次诊断考试)设D是△ABC所在平面内一点,=2,则(  )‎ A.=- B.=- C.=- D.=- 解析:选A =+=-=--=-,选A.‎ ‎3.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2 (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2=________.‎ 解析:=+=+=+(+)=-+,所以λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=.‎ 答案: ‎[怎样快解·准解]‎ ‎1.用已知向量表示未知向量的方法 构造三角形,关键在于搞清构成三角形的三个向量间的相互关系,能熟练地找出图形中的相等向量,熟练运用相反向量将加减法相互转化.‎ ‎2.用已知向量表示未知向量的4步骤 ‎(1)观察各向量的位置;‎ ‎(2)寻找相应的三角形或多边形;‎ ‎(3)运用法则找关系;‎ ‎(4)化简结果.‎ ‎3.向量线性运算的2个常用结论 ‎(1)在△ABC中,D是BC的中点,则=(+);‎ ‎(2)O为△ABC的重心的充要条件是++=0.‎      向量共线问题常见题型有两种,一是根据条件证明三点共线,二是利用三点共线求参数的值.题目难度一般较小.‎ ‎[典题领悟]‎ 设两个非零向量a与b不共线,‎ ‎(1)若=a+b,=‎2a+8b,=3(a-b),‎ 求证:A,B,D三点共线;‎ ‎(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb同向.‎ 解:(1)证明:∵=a+b,=‎2a+8b,=‎3a-3b,‎ ‎∴=+=‎2a+8b+‎3a-3b=5(a+b)=5,‎ ‎∴,共线.又∵它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.‎ ‎(2)∵ka+b与a+kb同向,‎ ‎∴存在实数λ(λ>0),使ka+b=λ(a+kb),‎ 即ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b.‎ ‎∵a,b是不共线的两个非零向量,‎ ‎∴解得或 又∵λ>0,∴k=1.‎ ‎[解题师说]‎ ‎1.共线向量定理的3个应用 证明向量共线 对于向量a,b,若存在实数λ,使a=λb,则a与b共线 证明三点共线 若存在实数λ,使=λ,则A,B,C三点共线 求参数 的值 利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值 ‎2.求解向量共线问题的注意事项 ‎(1)向量共线的充要条件中,当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,注意待定系数法和方程思想的运用.‎ ‎(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线.‎ ‎(3)若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0.‎ ‎(4)直线的向量式参数方程,A,P,B三点共线⇔=(1-t)+t (O为平面内任一点,t∈R).‎ ‎(5)=λ+μ (λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1.‎ ‎[冲关演练]‎ ‎1.在四边形ABCD中,=a+2b,=-‎4a-b,=-‎5a-3b,则四边形ABCD的形状是(  )‎ A.矩形          B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对 解析:选C 由已知,得=++=-‎8a-2b=2(-‎4a-b)=2,故∥.又因为与不平行,所以四边形ABCD是梯形.‎ ‎2.(2018·贵州适应性考试)已知向量e1与e2不共线,且向量=e1+me2,=ne1+e2,若A,B,C三点共线,则实数m,n满足的条件是(  )‎ A.mn=1 B.mn=-1‎ C.m+n=1 D.m+n=-1‎ 解析:选A 因为A,B,C三点共线,所以一定存在一个确定的实数λ,使得=λ,所以有e1+me2=nλe1+λe2,由此可得所以mn=1.‎ ‎(一)普通高中适用作业 A级——基础小题练熟练快 ‎1.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=(  )‎ A.             B. C. D. 解析:选A 由题意得+=(+)+(+)=(+)=.‎ ‎2.已知O是正六边形ABCDEF的中心,则与向量平行的向量为(  )‎ A.+ B.++ C.++ D.++ 解析:选B ++==2=-2.‎ ‎3.设向量a,b不共线,=‎2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为(  )‎ A.-2 B.-1‎ C.1 D.2‎ 解析:选B 因为=a+b,=a-2b,所以=+=‎2a-b.又因为A,B,D三点共线,所以,共线.设=λ,所以‎2a+pb=λ(‎2a-b),所以2=2λ,p=-λ,即λ=1,p=-1.‎ ‎4.下列四个结论:‎ ‎①++=0;②+++=0;‎ ‎③-+-=0;④++-=0,‎ 其中一定正确的结论个数是(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 解析:选C ①++=+=0,①正确;②+++=+MO―→+=,②错误;③-+-=++=+=0,③正确;④++-=+=0,④正确,故①③④正确.‎ ‎5.(2018·广东东莞二模)如图所示,已知=3,=a,=b,=c,则下列等式中成立的是(  )‎ A.c=b-a ‎ B.c=2b-a C.c=‎2a-b ‎ D.c=a-b 解析:选A 因为=3,=a,=b,所以=+=+=+(-)=-=b-a,故选A.‎ ‎6.设平行四边形ABCD的对角线交于点P,则下列命题中正确的个数是(  )‎ ‎①=+;②=(+);‎ ‎③=-;④=.‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 解析:选C 由向量加法的平行四边形法则,知①=+,②=(+)都是正确的,由向量减法的三角形法则,知③=-是正确的,因为, 的大小相同,方向相反,所以④=是错误的.‎ ‎7.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=________.‎ 解析:因为向量λa+b与a+2b平行,‎ 所以可设λa+b=k(a+2b),则所以λ=.‎ 答案: ‎8.已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O,且=a,=b,则=________,=________.(用a,b表示)‎ 解析:如图,==-=b-a,=-=--=-a-b.‎ 答案:b-a -a-b ‎9.(2018·河南三市联考)在锐角△ABC中,=3,=x+y,则=________.‎ 解析:由题设可得+=3(-),‎ 即4=3+,‎ 亦即=+,‎ 则x=,y=,故=3.‎ 答案:3‎ ‎10.已知S是△ABC所在平面外一点,D是SC的中点,若=x+y+z,则x+y+z=________.‎ 解析:依题意得=-=(+)-=-++,因此x+y+z=-1++=0.‎ 答案:0‎ B级——中档题目练通抓牢 ‎1.已知在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点M是腰BC的中点,若 =λ+μ,则λ,μ的值分别为(  )‎ A., B., C.1, D., 解析:选A 因为=(+)=(++)=(++)=+,所以λ=,μ=.‎ ‎2.已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d共线反向,则实数λ的值为(  )‎ A.1 B.- C.1或- D.-1或- 解析:选B 由于c与d共线反向,则存在实数k使c=kd(k<0),于是λa+b=k.‎ 整理得λa+b=ka+(2λk-k)b.‎ 由于a,b不共线,所以有 整理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-.‎ 又因为k<0,所以λ<0,故λ=-.‎ ‎3.(2018·长春质检)在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且=+,则=(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B 如图,由已知得,点D在△ABC中与AB平行的中位线上,且在靠近BC边的三等分点处,从而有S△ABD=S△ABC,S△ACD=S△ABC,S△BCD=S△ABC=S△ABC,所以=. ‎ ‎4.已知a,b是非零向量,命题p:a=b,命题q:|a+b|=|a|+|b|,则p是q的__________条件(选填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”).‎ 解析:若a=b,则|a+b|=|‎2a|=2|a|,|a|+|b|=|a|+|a|=2|a|,即p⇒q.‎ 若|a+b|=|a|+|b|,由加法的运算法则知a与b同向共线,‎ 即a=λb,且λ>0,故q⇒/ p.‎ 所以p是q的充分不必要条件.‎ 答案:充分不必要 ‎5.在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点.若=λ+μ,则λ+μ=________.‎ 解析:法一:由=λ+μ,‎ 得=λ·(+)+μ·(+),‎ 则++=0,‎ 得++=0,‎ 得+=0.‎ 又因为,不共线,‎ 所以由平面向量基本定理得 解得所以λ+μ=.‎ 法二:连接MN并延长交AB的延长线于点T,‎ 由已知易得AB=AT,‎ ‎∴==λ+μ,‎ 即=λ+μ,‎ ‎∵T,M,N三点共线,∴λ+μ=1.∴λ+μ=.‎ 答案: ‎6.在△ABC中,D,E分别为BC,AC边上的中点,G为BE 上一点,且GB=2GE,设=a,=b,试用a,b表示,.‎ 解:=(+)=a+b.‎ =+=+=+(+)‎ ‎=+(-)‎ ‎=+ ‎=a+b.‎ ‎7.设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.‎ ‎(1)求证:A,B,D三点共线;‎ ‎(2)若=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.‎ 解:(1)证明:由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,‎ ‎∵=2e1-8e2,∴=2.‎ 又∵与有公共点B,∴A,B,D三点共线.‎ ‎(2)由(1)可知=e1-4e2,‎ ‎∵=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,‎ ‎∴存在实数λ,使=λ,‎ 即3e1-ke2=λe1-4λe2,‎ 得 解得k=12.‎ C级——重难题目自主选做 ‎1.如图,直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E,F两点,且交其对角线于K,其中,=,=,=λ,则λ的值为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A 因为=,=,‎ 则=,=2,‎ 由向量加法的平行四边形法则可知=+,‎ 所以=λ=λ(+)=λ=λ+2λ,由E,F,K三点共线可得λ+2λ=1,所以λ=.‎ ‎2.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若=+μ,则μ的取值范围是________.‎ 解析:由题意可求得AD=1,CD=,所以=2.‎ ‎∵点E在线段CD上,‎ ‎∴=λ (0≤λ≤1).‎ ‎∵=+,‎ 又=+μ=+2μ=+ ,‎ ‎∴=1,即μ=.‎ ‎∵0≤λ≤1,‎ ‎∴0≤μ≤.‎ 即μ的取值范围是.‎ 答案: ‎(二)重点高中适用作业 A级——保分题目巧做快做 ‎1.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=(  )‎ A.            B. C. D. 解析:选A 由题意得+=(+)+(+)=(+)=.‎ ‎2.(2018·合肥质检)已知O,A,B,C为同一平面内的四个点,若2+=0,则向量等于(  )‎ A.- B.-+ C.2- D.-+2 解析:选C 因为=-,=-,所以2+=2(-)+(-)=-2+=0,所以=2-.‎ ‎3.(2018·江西八校联考)在△ABC中,P,Q分别是边AB,BC上的点,且AP=AB,BQ=BC.若=a,=b,则=(  )‎ A.a+b B.-a+b C.a-b D.-a-b 解析:选A =+=+=+(-)=+=a+b,故选A.‎ ‎4.下列四个结论:‎ ‎①++=0;②+++=0;‎ ‎③-+-=0;④++-=0,‎ 其中一定正确的结论个数是(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 解析:选C ①++=+=0,①正确;②+++=++=,②错误;③-+-=++=+‎ eq o(DC,sup7(―→))=0,③正确;④++-=+=0,④正确.故①③④正确.‎ ‎5.已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d共线反向,则实数λ的值为(  )‎ A.1 B.- C.1或- D.-1或- 解析:选B 由于c与d共线反向,则存在实数k使c=kd(k<0),于是λa+b=k.‎ 整理得λa+b=ka+(2λk-k)b.‎ 由于a,b不共线,所以有 整理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-.‎ 又因为k<0,所以λ<0,故λ=-.‎ ‎6.(2018·南宁模拟)已知e1,e2是不共线向量,a=me1+2e2,b=ne1-e2,且mn≠0,若a∥b,则=________.‎ 解析:∵a∥b,∴a=λb,即me1+2e2=λ(ne1-e2),则故=-2.‎ 答案:-2‎ ‎7.已知a,b是非零向量,命题p:a=b,命题q:|a+b|=|a|+|b|,则p是q的____________________条件(选填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”).‎ 解析:若a=b,则|a+b|=|‎2a|=2|a|,|a|+|b|=|a|+|a|=2|a|,即p⇒q.‎ 若|a+b|=|a|+|b|,由加法的运算法则知a与b同向共线,即a=λb,且λ>0,故q⇒/ p.‎ 所以p是q的充分不必要条件.‎ 答案:充分不必要 ‎8.已知S是△ABC所在平面外一点,D是SC的中点,若=x+y+z ‎,则x+y+z=________.‎ 解析:依题意得=-=(+)-=-++,因此x+y+z=-1++=0.‎ 答案:0‎ ‎9.已知D为三角形ABC边BC的中点,点P满足++=0,=λ,求实数λ的值.‎ 解:如图所示,由=λ且++=0,得P为以AB,AC为邻边的平行四边形的第四个顶点,‎ 因此=-2,所以λ=-2.‎ ‎10.设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.‎ ‎(1)求证:A,B,D三点共线;‎ ‎(2)若=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.‎ 解:(1)证明:由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,‎ ‎∵=2e1-8e2,‎ ‎∴=2.‎ 又∵与有公共点B,‎ ‎∴A,B,D三点共线.‎ ‎(2)由(1)可知=e1-4e2,‎ ‎∵=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,‎ ‎∴存在实数λ,使=λ,‎ 即3e1-ke2=λe1-4λe2,‎ 得 解得k=12.‎ B级——拔高题目稳做准做 ‎1.(2018·长春质检)在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且=+,则=(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B 如图,由已知得,点D在△ABC中与AB平行的中位线上,且在靠近BC边的三等分点处,从而有S△ABD=S△ABC,S△ACD=S△ABC,S△BCD=S△ABC=S△ABC,所以=. ‎ ‎2.(2018·河南中原名校联考)如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则=(  )‎ A.- B.- C.-+ D.-+ 解析:选C =+=+ ‎=-+(++)‎ ‎=-+ ‎=-+++(++)‎ ‎=-+.‎ ‎3.在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点.若=λ+μ,则λ+μ=________.‎ 解析:法一:由=λ+μ,‎ 得=λ·(+)+μ·(+),‎ 则++=0,‎ 得++=0,‎ 得+=0.‎ 又因为,不共线,‎ 所以由平面向量基本定理得 解得所以λ+μ=.‎ 法二:连接MN并延长交AB的延长线于T,‎ 由已知易得AB=AT,‎ ‎∴==λ+μ,‎ 即=λ+μ,‎ ‎∵T,M,N三点共线,∴λ+μ=1.‎ ‎∴λ+μ=.‎ 答案: ‎4.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若=+μ,则μ的取值范围是________.‎ 解析:由题意可求得AD=1,CD=,所以=2.‎ ‎∵点E在线段CD上,‎ ‎∴=λ (0≤λ≤1).‎ ‎∵=+,‎ 又=+μ=+2μ=+,‎ ‎∴=1,即μ=.‎ ‎∵0≤λ≤1,∴0≤μ≤.‎ 即μ的取值范围是.‎ 答案: ‎5.经过△OAB重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设=m,=n,m,n∈R,求+的值.‎ 解:设=a,=b,则=(a+b),‎ =-=nb-ma,‎ =-=(a+b)-ma=a+b.‎ 由P,G,Q共线得,存在实数λ使得=λ,‎ 即nb-ma=λa+λb,‎ 则消去λ,得+=3.‎ ‎6.已知O,A,B是不共线的三点,且=m+n(m,n∈R).‎ ‎(1)若m+n=1,求证:A,P,B三点共线;‎ ‎(2)若A,P,B三点共线,求证:m+n=1.‎ 证明:(1)若m+n=1,‎ 则=m+(1-m) ‎=+m(-),‎ ‎∴-=m(-),‎ 即=m,∴与共线.‎ 又∵与有公共点B,‎ ‎∴A,P,B三点共线.‎ ‎(2)若A,P,B三点共线,‎ 则存在实数λ,使=λ,‎ ‎∴-=λ(-).‎ 又=m+n.‎ 故有m+(n-1)=λ-λ,‎ 即(m-λ)+(n+λ-1)=0.‎ ‎∵O,A,B不共线,∴,不共线,‎ ‎∴∴m+n=1.‎
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