【数学】2019届一轮复习人教A版12-2　参数方程学案

【数学】2019届一轮复习人教A版12-2　参数方程学案

‎12.2　参数方程 ‎[知识梳理]‎ ‎1．曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．‎ ‎2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tanα(x－x0)‎ (t为参数)‎ 圆 x2＋y2＝r2‎ (θ为参数)‎ 椭圆 ＋＝1(a>b>0)‎ (φ为参数)‎ 提醒：直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．‎ ‎[诊断自测]‎ ‎1．概念思辨 ‎(1)直线(t为参数)的倾斜角α为30°.(　　)‎ ‎(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．(　　)‎ ‎(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．(　　)‎ ‎(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)‎ 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．教材衍化 ‎(1)(选修A4－4P39T1)直线(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　直线的普通方程为x－2y＋3＝0.‎ 圆的圆心为(0,0)，半径r＝3.‎ ‎∴圆心到直线的距离d＝＝.‎ ‎∴弦长为2＝.故选B.‎ ‎(2)(选修A4－4P24例2)已知点(x，y)满足曲线方程(θ为参数)，则的最小值是(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 答案　D 解析　曲线方程(θ为参数)化为普通方程得(x－4)2＋(y－6)2＝2，‎ ‎∴曲线是以C(4,6)为圆心，以为半径的圆，‎ ‎∴是原点和圆上的点的连线的斜率，‎ 如图，当原点和圆上的点的连线是切线OA时，取最小值，设过原点的切线方程为y＝kx，‎ 则圆心C(4,6)到切线y＝kx的距离：‎ d＝＝，即7k2－24k＋17＝0，‎ 解得k＝1或k＝，‎ ‎∴的最小值是1.故选D.‎ ‎3．小题热身 ‎(1)(2014·安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆 C截得的弦长为(　　)‎ A. B．‎2 C. D．2 答案　D 解析　由消去t，得x－y－4＝0，‎ 由ρ＝4cosθ⇒ρ2＝4ρcosθ，∴C：x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，∴C(2,0)，r＝2.‎ ‎∴点C到直线l的距离d＝＝，‎ ‎∴所求弦长＝2＝2.故选D.‎ ‎(2)(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________.‎ 答案　2 解析　直线l的直角坐标方程为y－3x＝0，曲线C的普通方程为y2－x2＝4.‎ 由得x2＝，即x＝±，‎ 则|AB|＝|xA－xB|＝×＝2.‎ 题型1　参数方程与普通方程的互化 　　(2014·全国卷Ⅰ)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ ‎(1)用公式法，代入消参法；(2)过P作PH⊥l，垂足为H，当|PH|最长时，|PA|取最大值．‎ 解　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．‎ 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点 P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为 d＝|4cosθ＋3sinθ－6|，‎ 则|PA|＝ ‎＝|5sin(θ＋α)－6|，‎ 其中α为锐角，且tanα＝.‎ 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.‎ 当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.‎ 方法技巧 将参数方程化为普通方程的方法 ‎1．‎ 将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．‎ ‎2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，一定要保持同解变形．‎ 冲关针对训练 已知直线l的方程为y＝x＋4，圆C的参数方程为(θ为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎(1)求直线l与圆C的交点的极坐标；‎ ‎(2)若P为圆C上的动点，求点P到直线l的距离d的最大值．‎ 解　(1)由题知直线l：y＝x＋4，圆C：x2＋(y－2)2＝4，‎ 联立 解得或 其对应的极坐标分别为，.‎ ‎(2)解法一：设P(2cosθ，2＋2sinθ)，‎ 则d＝＝，‎ 当cos＝1时，d取得最大值2＋.‎ 解法二：圆心C(0,2)到直线l的距离为＝，圆的半径为2，所以点P到直线l的距离d的最大值为2＋.‎ 题型2　参数方程的应用 　　(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.‎ ‎(1)方程组法；(2)代入点到直线的距离公式，采用分类讨论思想求解．‎ 解　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.‎ 当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.‎ 由 解得或 从而C与l的交点坐标为(3,0)，.‎ ‎(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝.‎ 当a≥－4时，d的最大值为.‎ 由题设得＝，所以a＝8；‎ 当a＜－4时，d的最大值为.‎ 由题设得＝，‎ 所以a＝－16.‎ 综上，a＝8或a＝－16.‎ 方法技巧 直线的参数方程在交点问题中的应用 ‎1．若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2‎ ‎，则||||＝|t1t2|，||＝|t2－t1|＝.‎ ‎2．若线段M‎1M2‎的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝.‎ ‎3．若直线l上的线段M‎1M2‎的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2<0.‎ 提醒：对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．‎ 冲关针对训练 ‎(2017·湘西模拟)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为(t为参数，0<α<π)，曲线C的极坐标方程为ρ·sin2θ＝2cosθ.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．‎ 解　(1)由ρ·sin2θ＝2cosθ，得 ‎(ρsinθ)2＝2ρcosθ，即y2＝2x.‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为y2＝2x.‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入y2＝2x，得 t2sin2α－2tcosα－1＝0.‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则 t1＋t2＝，t1t2＝－，‎ ‎∴|AB|＝|t1－t2|＝ ‎＝＝，‎ 当α＝时，|AB|的最小值为2.‎ ‎1．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ 解　(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，故C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．‎ 将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.‎ a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上，‎ 所以a＝1.‎ ‎2．(2017·河南洛阳一模)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求圆C的普通方程；‎ ‎(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝5，射线OM：θ＝与圆C 的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．‎ 解　(1)因为圆C的参数方程为(φ为参数)，所以圆心C的坐标为(0,2)，半径为2，圆C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4.‎ ‎(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋(y－2)2＝4，‎ 得圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.‎ 设P(ρ1，θ1)，则由解得ρ1＝2，θ1＝.‎ 设Q(ρ2，θ2)，‎ 则由 解得ρ2＝5，θ2＝.‎ 所以|PQ|＝3.‎ ‎[基础送分 提速狂刷练]‎ ‎1．(2017·山西太原一模)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中φ为参数)，曲线C2：x2＋y2－2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)．‎ ‎(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)当0<α<时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围．‎ 解　(1)C1的普通方程为＋y2＝1，C1的极坐标方程为ρ2cos2θ＋2ρ2sin2θ－2＝0，C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.‎ ‎(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2＝，‎ 联立θ＝α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|2＝4sin2α，‎ 则|OA|2＋|OB|2＝＋4sin2α＝＋4(1＋sin2α)－4，‎ 令t＝1＋sin2α，‎ 则|OA|2＋|OB|2＝＋4t－4，当0<α<时，t∈(1,2)．设f(t)＝＋4t－4，易得f(t)在(1,2)上单调递增，‎ ‎∴|OA|2＋|OB|2∈(2,5)．‎ ‎2．(2017·辽宁模拟)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为(t为参数，0<α<π)，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P的直角坐标为P(2,1)，直线l与曲线C相交于A，B两点，并且|PA|·|PB|＝，求tanα的值．‎ 解　(1)将方程ρsin2θ＝4cosθ两边同乘以ρ，得 ρ2sin2θ＝4ρcosθ，‎ 由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得y2＝4x.‎ 经检验，极点的直角坐标(0,0)也满足此式．‎ 所以曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.‎ ‎(2)将代入y2＝4x，‎ 得sin2α·t2＋(2sinα－4cosα)t－7＝0，‎ 因为P(2,1)在直线l上，‎ 所以|t1t2|＝＝，所以sin2α＝，α＝或α＝，即tanα＝或tanα＝－.‎ ‎3．(2017·湖南长郡中学六模)已知曲线C1：‎ (t为参数)，C2：(θ为参数)．‎ ‎(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值．‎ 解　(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1，‎ C1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C2表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．‎ ‎(2)当t＝时，P(－4,4)，又Q(8cosθ，3sinθ)，‎ 故M，‎ 又C3的普通方程为x－2y－7＝0，则M到C3的距离 d＝|4cosθ－3sinθ－13|＝|3sinθ－4cosθ＋13|‎ ‎＝|5sin(θ－φ)＋13|，‎ 所以d的最小值为.‎ ‎4．(2017·宣城二模)已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ＝asinθ，直线l的参数方程是(t为参数)．‎ ‎(1)若a＝2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；‎ ‎(2)直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值．‎ 解　(1)当a＝2时，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1.‎ ‎∴圆C的圆心坐标为C(0,1)，半径r＝1.‎ 令y＝t＝0得t＝0，把t＝0代入x＝－t＋2得x＝2.∴M(2,0)．‎ ‎∴|MC|＝＝.‎ ‎∴|MN|的最大值为|MC|＋r＝＋1.‎ ‎(2)由ρ＝asinθ得ρ2＝aρsinθ，∴圆C的直角坐标方程是x2＋y2＝ay，即x2＋2＝.‎ ‎∴圆C的圆心为C，半径为，‎ 直线l的普通方程为4x＋3y－8＝0.‎ ‎∵直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，‎ ‎∴圆心C到直线l的距离为圆C半径的一半．‎ ‎∴＝，解得a＝32或a＝.‎ ‎5．(2017·锦州二模)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数)．‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝，求直线的倾斜角α的值．‎ 解　(1)∵ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，‎ ‎∴曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ可化为：‎ ρ2＝4ρcosθ，‎ ‎∴x2＋y2＝4x，‎ ‎∴(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)将代入圆的方程(x－2)2＋y2＝4得：‎ ‎(tcosα－1)2＋(tsinα)2＝4，‎ 化简得t2－2tcosα－3＝0.‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则 ‎∴|AB|＝|t1－t2|＝＝，‎ ‎∵|AB|＝，‎ ‎∴ ＝.‎ ‎∴cosα＝±.‎ ‎∵α∈[0，π)，‎ ‎∴α＝或α＝.‎ ‎∴直线的倾斜角α＝或α＝.‎ ‎6．(2017·湖北模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝.‎ ‎(1)求C的普通方程和l的倾斜角；‎ ‎(2)设点P(0,2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|.‎ 解　(1)由消去参数α得＋y2＝1，‎ 即C的普通方程为＋y2＝1.‎ 由ρsin＝，得ρsinθ－ρcosθ＝2，(*)‎ 将代入(*)，化简得y＝x＋2，‎ 所以直线l的倾斜角为.‎ ‎(2)由(1)，知点P(0,2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)，‎ 代入＋y2＝1并化简，得5t2＋18t＋27＝0，‎ Δ＝(18)2－4×5×27＝108>0，‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝－<0，t1t2＝>0，‎ 所以t1<0，t2<0，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝.‎