2013年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

2013年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

‎2013年重庆市高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2013•重庆）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎{1，3，4}‎ B．‎ ‎{3，4}‎ C．‎ ‎{3}‎ D．‎ ‎{4}‎ 考点：‎ 交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．‎ 解答：‎ 解：∵A={1，2}，B={2，3}，‎ ‎∴A∪B={1，2，3}，‎ ‎∵全集U={1，2，3，4}，‎ ‎∴∁U（A∪B）={4}．‎ 故选D 点评：‎ 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2013•重庆）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 对任意x∈R，都有x2＜0‎ B．‎ 不存在x∈R，都有x2＜0‎ ‎　‎ C．‎ 存在x0∈R，使得x02≥0‎ D．‎ 存在x0∈R，使得x02＜0‎ 考点：‎ 命题的否定；全称命题．菁优网版权所有 专题：‎ 简易逻辑．‎ 分析：‎ 直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．‎ 解答：‎ 解：因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2013•重庆）（﹣6≤a≤3）的最大值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎9‎ B．‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ 考点：‎ 二次函数在闭区间上的最值．菁优网版权所有 专题：‎ 函数的性质及应用．‎ 分析：‎ 令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，利用二次函数的性质求得函数f（a）的最大值，‎ 即可得到所求式子的最大值．‎ 解答：‎ 解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得函数f（a）的最大值为 ，‎ 故（﹣6≤a≤3）的最大值为 =，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2013•重庆）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2，5‎ B．‎ ‎5，5‎ C．‎ ‎5，8‎ D．‎ ‎8，8‎ 考点：‎ 茎叶图．菁优网版权所有 专题：‎ 概率与统计．‎ 分析：‎ 求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．‎ 解答：‎ 解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；‎ ‎∴y=8；‎ 甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，‎ ‎∴x=5．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2013•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎200‎ D．‎ ‎240‎ 考点：‎ 由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 专题：‎ 空间位置关系与距离．‎ 分析：‎ 如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积．‎ 解答：‎ 解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，‎ 由图知V==200．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2013•重庆）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（a，b）和（b，c）内 B．‎ ‎（﹣∞，a）和（a，b）内 C．‎ ‎（b，c）和（c，+∞）内 D．‎ ‎（﹣∞，a）和（c，+∞）内 考点：‎ 函数零点的判定定理．菁优网版权所有 专题：‎ 函数的性质及应用．‎ 分析：‎ 由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．‎ 解答：‎ 解：∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0，‎ 由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；‎ 又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，‎ 因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2013•重庆）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎5﹣4‎ B．‎ ‎1‎ C．‎ ‎6﹣2‎ D．‎ 考点：‎ 圆与圆的位置关系及其判定；两点间的距离公式．菁优网版权所有 专题：‎ 直线与圆．‎ 分析：‎ 求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．‎ 解答：‎ 解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，‎ 圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，‎ 即：=5﹣4．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2013•重庆）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ k≤6‎ B．‎ k≤7‎ C．‎ k≤8‎ D．‎ k≤9‎ 考点：‎ 程序框图．菁优网版权所有 专题：‎ 图表型．‎ 分析：‎ 根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．‎ 解答：‎ 解：根据程序框图，运行结果如下：‎ ‎ S k ‎ 第一次循环 log23 3‎ 第二次循环 log23•log34 4‎ 第三次循环 log23•log34•log45 5‎ 第四次循环 log23•log34•log45•log56 6‎ 第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7‎ 第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8‎ 故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2013•重庆）4cos50°﹣tan40°=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2﹣1‎ 考点：‎ 两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用；二倍角的正弦．菁优网版权所有 专题：‎ 三角函数的求值．‎ 分析：‎ 原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=‎ ‎==‎ ‎===．‎ 故选C 点评：‎ 此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2013•重庆）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（0，]‎ B．‎ ‎（，]‎ C．‎ ‎（，]‎ D．‎ ‎（，]‎ 考点：‎ 向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；平面向量及应用．‎ 分析：‎ 建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．‎ 解答：‎ 解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），‎ 由=1，得，则 ‎∵||＜，∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，‎ ‎∴y2≤1‎ 同理x2≤1‎ ‎∴x2+y2≤2②‎ 由①②知，‎ ‎∵||=，∴＜||≤‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎11．（5分）（2013•重庆）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=　　．‎ 考点：‎ 复数求模．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：|z|===．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查复数的模的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2013•重庆）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=　64　．‎ 考点：‎ 等差数列的前n项和；等比数列的前n项和．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题；等差数列与等比数列．‎ 分析：‎ 依题意，a1=1，=a1•（a1+4d），可解得d，从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵{an}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，‎ ‎∴=a1•（a1+4d），又a1=1，‎ ‎∴d2﹣2d=0，公差d≠0，‎ ‎∴d=2．‎ ‎∴其前8项和S8=8a1+×d=8+56=64．‎ 故答案为：64．‎ 点评：‎ 本题考查等差数列的前n项和，考查方程思想与运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2013•重庆）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是　590　（用数字作答）．‎ 考点：‎ 排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；概率与统计．‎ 分析：‎ 不同的组队方案：选5名医生组成一个医疗小组，要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有1人，方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，…，在每一类中都用分步计数原理解答．‎ 解答：‎ 解：直接法：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33C41C51=20种，‎ ‎1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C31C43C51=60种，‎ ‎1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C31C41C53=120种，‎ ‎2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C32C42C51=90种，‎ ‎1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C31C42C52=180种，‎ ‎2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C32C41C52=120种，‎ 共计20+60+120+90+180+120=590种 故答案为：590．‎ 点评：‎ 本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步．‎ ‎　‎ ‎14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：‎ ‎14．（5分）（2013•重庆）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为　5　．‎ 考点：‎ 与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 专题：‎ 直线与圆．‎ 分析：‎ 利用直角△ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的边角关系即可得出CD，BD．再利用切割线定理可得CD2=DE•DB，即可得出DE．‎ 解答：‎ 解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，∴BC=AB•sin60°=．‎ ‎∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°．‎ 在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=，BD=BC•sin60°=15．‎ 由切割线定理可得CD2=DE•DB，∴，解得DE=5．‎ 故答案为5．‎ 点评：‎ 熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2013•重庆）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=　16　．‎ 考点：‎ 点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式；参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；直线与圆．‎ 分析：‎ 先将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程，再代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标，最后利用两点间的距离公式即可得出|AB|．‎ 解答：‎ 解：将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程为x=4，代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标为（4，8），（4，﹣8），‎ 则|AB|=16．‎ 故答案为：16．‎ 点评：‎ 本题考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程间的转化，两点间的距离公式，考查转化、计算能力．‎ ‎　‎ ‎16．（2013•重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是　（﹣∞，8]　．‎ 考点：‎ 绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；不等式的解法及应用．‎ 分析：‎ 利用绝对值的意义求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，由此可得实数a的取值范围．‎ 解答：‎ 解：由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，‎ 再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，‎ 故答案为：（﹣∞，8]．‎ 点评：‎ 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，是解题的关键，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（13分）（2013•重庆）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．‎ ‎（1）确定a的值；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调区间与极值．‎ 考点：‎ 利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 专题：‎ 导数的综合应用．‎ 分析：‎ ‎（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；‎ ‎（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．‎ 解答：‎ 解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），‎ 令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，‎ ‎∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），‎ 由切线与y轴相交于点（0，6）．‎ ‎∴6﹣16a=8a﹣6，‎ ‎∴a=．‎ ‎（2）由（I）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），‎ f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，‎ 当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，‎ 当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，‎ 故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．‎ 点评：‎ 本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）（2013•重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：‎ 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 ‎3红1蓝 ‎200元 二等奖 ‎3红0蓝 ‎50元 三等奖 ‎2红1蓝 ‎10元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．‎ ‎（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；‎ ‎（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．‎ 考点：‎ 离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；概率与统计．‎ 分析：‎ ‎（1）从7个小球中取3的取法为，若取一个红球，则说明第一次取到一红2白，根据组合知识可求取球的种数，然后代入古典概率计算公式可求 ‎（2）先判断随机变量X的所有可能取值为200，50，10，0根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值 解答：‎ 解：（1）设Ai表示摸到i个红球，Bi表示摸到i个蓝球，则Ai与Bi相互独立（i=0，1，2，3）‎ ‎∴P（A1）==‎ ‎（2）X的所有可能取值为0，10，50，200‎ P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=‎ P（X=50）=P（A3）P（B0）==‎ P（X=10）=P（A2）P（B1）==‎ P（X=0）=1﹣=‎ ‎∴X的分布列为 x ‎0‎ ‎10‎ ‎50‎ ‎200‎ P EX==4元 点评：‎ 本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．‎ ‎　‎ ‎19．（13分）（2013•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．‎ ‎（1）求PA的长；‎ ‎（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．‎ 考点：‎ 用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．‎ 分析：‎ ‎（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，﹣3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2，从而得到=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；‎ ‎（II）由（I）的计算，得=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，，﹣2）和=（3，﹣，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值．．‎ 解答：‎ 解：（I）如图，连接BD交AC于点O ‎∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD 以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，‎ 建立空间直角坐标系O﹣xyz，‎ 则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．‎ 又∵OD=CDsin=，‎ ‎∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）‎ 由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）‎ ‎∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），‎ ‎∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，‎ ‎∴•=6﹣=0，解之得z=2（舍负）‎ 因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；‎ ‎（II）由（I）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），‎ 设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2），‎ ‎∵•=0且•=0，∴，取y1=得=（3，，﹣2），‎ 同理，由•=0且•=0，解出=（3，﹣，2），‎ ‎∴向量、的夹角余弦值为cos＜，＞===‎ 因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=‎ 点评：‎ 本题在三棱锥中求线段PA的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2013•重庆）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．‎ ‎（1）求C；‎ ‎（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．‎ 考点：‎ 余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数．菁优网版权所有 专题：‎ 解三角形．‎ 分析：‎ ‎（1）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；‎ ‎（2）已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，利用多项式乘多项式法则计算，由A+B的度数求出sin（A+B）的值，进而求出cos（A+B）的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A+B），将cosAcosB的值代入求出sinAsinB的值，将各自的值代入得到tanα的方程，求出方程的解即可得到tanα的值．‎ 解答：‎ 解：（1）∵a2+b2+ab=c2，即a2+b2﹣c2=﹣ab，‎ ‎∴由余弦定理得：cosC===﹣，‎ 又C为三角形的内角，‎ 则C=；‎ ‎（2）由题意==，‎ ‎∴（cosA﹣tanαsinA）（cosB﹣tanαsinB）=，‎ 即tan2αsinAsinB﹣tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2αsinAsinB﹣tanαsin（A+B）+cosAcosB=，‎ ‎∵C=，A+B=，cosAcosB=，‎ ‎∴sin（A+B）=，cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=﹣sinAsinB=，即sinAsinB=，‎ ‎∴tan2α﹣tanα+=，即tan2α﹣5tanα+4=0，‎ 解得：tanα=1或tanα=4．‎ 点评：‎ 此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．‎ 考点：‎ 圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）利用点A（﹣c，2）在椭圆上，结合椭圆的离心率，求出几何量，即可求得椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设出圆Q的圆心坐标及半径，由PQ⊥P'Q得到P的坐标，写出圆的方程后和椭圆联立，化为关于x的二次方程后由判别式等于0得到关于t与r的方程，把P点坐标代入椭圆方程得到关于t与r的另一方程，联立可求出t与r的值，经验证满足椭圆上的其余点均在圆Q外，结合对称性即可求得圆Q的标准方程．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）由题意知点A（﹣c，2）在椭圆上，则，即①‎ ‎∵离心率，∴②‎ 联立①②得：，所以b2=8．‎ 把b2=8代入②得，a2=16．‎ ‎∴椭圆的标准方程为；‎ ‎（Ⅱ）设Q（t，0），圆Q的半径为r，则圆Q的方程为（x﹣t）2+y2=r2，‎ 不妨取P为第一象限的点，因为PQ⊥P'Q，则P（）（t＞0）．‎ 联立，得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0．‎ 由△=（﹣4t）2﹣4（2t2+16﹣2r2）=0，得t2+r2=8‎ 又P（）在椭圆上，所以．‎ 整理得，．‎ 代入t2+r2=8，得．‎ 解得：．所以，．‎ 此时．‎ 满足椭圆上的其余点均在圆Q外．‎ 由对称性可知，当t＜0时，t=﹣，．‎ 故所求圆Q的标准方程为．‎ 点评：‎ 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2013•重庆）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．‎ ‎（1）求集合P7中元素的个数；‎ ‎（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．‎ 考点：‎ 集合中元素个数的最值；子集与交集、并集运算的转换．菁优网版权所有 专题：‎ 集合．‎ 分析：‎ ‎（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=4时，根据Pn中有3个数与In={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得集合P7中元素的个数．‎ ‎（2）先用反证法证明证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证P14满足要求，从而求得n的最大值．‎ 解答：‎ 解：（1）对于集合P7 ，有n=7．‎ 当k=1时，m=1，2，3…，7，Pn={1，2，3…，7}，7个数，‎ 当k=2时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，‎ 当k=3时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，‎ 当k=4时，Pn={|m∈In，k∈In}=Pn={，1，，2，，3，}中有3个数（1，2，3）‎ 与k=1时Pn中的数重复，‎ 当k=5时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，‎ 当k=6时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，‎ 当k=7时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，‎ 由此求得集合P7中元素的个数为 7×7﹣3=46．‎ ‎（2）先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．假设当n≥15时，‎ Pn 可以分成两个不相交的稀疏集的并集，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=Pn⊇In ．‎ 不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，‎ 但1+15=42，这与A为稀疏集相矛盾．‎ 再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集．‎ 事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，‎ 则A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14．‎ 当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，‎ 可以分为下列3个稀疏集的并：‎ A2={，，，}，B2={，，}．‎ 当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，…，，}，‎ 可以分为下列3个稀疏集的并：‎ A3={，，，，}，B3={，，，，}．‎ 最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，‎ 它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，‎ 因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14．‎ 综上可得，n的最大值为14．‎ 点评：‎ 本题主要考查新定义，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎