2019届二轮复习　离散型随机变量的均值与方差课件（36张）

2019届二轮复习　离散型随机变量的均值与方差课件（36张）

　离散型随机变量的均值 学习目标 1. 通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值 . 2 . 理解离散型随机变量均值的性质 . 3 . 掌握两点分布、二项分布的均值 . 4 . 会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题 . 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 设有 12 个西瓜，其中 4 个重 5 kg , 3 个重 6 kg , 5 个重 7 kg. 思考 1 　 任取 1 个西瓜，用 X 表示这个西瓜的重量，试问 X 可以取哪些值？ 思考 2 　 X 取上述值时，对应的概率分别是多少？ 答案　 X ＝ 5,6,7. 知识点一　离散型随机变量的均值 思考 3 　 如何求每个西瓜的平均重量？ 梳理　 (1) 离散型随机变量的均值 若离散型随机变量 X 的分布列为 x 1 p 1 ＋ x 2 p 2 ＋ … ＋ x i p i ＋ … ＋ x n p n 平均水平 X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 则称 E ( X ) ＝ 为 随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值 的 . (2) 均值的性质 若 Y ＝ aX ＋ b ，其中 a ， b 为常数， X 是随机变量， ① Y 也是随机变量； ② E ( aX ＋ b ) ＝ . aE ( X ) ＋ b 1. 两点分布：若 X 服从两点分布，则 E ( X ) ＝ . 2. 二项分布：若 X ～ B ( n ， p ) ，则 E ( X ) ＝ . 知识点二　两点分布、二项分布的均值 p np 1. 随机变量 X 的均值 E ( X ) 是个变量，其随 X 的变化而变化 .( 　　 ) 2. 随机变量的均值与样本的平均值相同 .( 　 　 ) 3. 若随机变量 X 的均值 E ( X ) ＝ 2 ，则 E (2 X ) ＝ 4.( 　　 ) × × √ [ 思考辨析 判断正误 ] 题型探究 命题角度 1 　利用定义求随机变量的均值 例 1 　 袋中有 4 个红球， 3 个白球，从袋中随机取出 4 个球 . 设取出一个红球得 2 分，取出一个白球得 1 分，试求得分 X 的均值 . 类型一　离散型随机变量的均值 解答 解　 X 的所有可能取值为 5,6,7,8. X ＝ 5 时，表示取出 1 个红球 3 个白球， X ＝ 6 时，表示取出 2 个红球 2 个白球， X ＝ 7 时，表示取出 3 个红球 1 个白球， X ＝ 8 时，表示取出 4 个红球， 所以 X 的分布列为 反思与感悟　 求随机变量 X 的均值的方法和步骤 (1) 理解随机变量 X 的意义，写出 X 所有可能的取值 . (2) 求出 X 取每个值的概率 P ( X ＝ k ). (3) 写出 X 的分布列 . (4) 利用均值的定义求 E ( X ). 跟踪训练 1 　现有一个项目，对该项目每投资 10 万元，一年后利润是 1.2 万元， 1.18 万元， 1.17 万元的概率分别 为 ， 随机变量 X 表示对此项目投资 10 万元一年后的利润，则 X 的均值为 A.1.18 B.3.55 C.1.23 D.2.38 答案 解析 √ 解析　 因为 X 的所有可能取值为 1.2,1.18,1.17 ， 所以 X 的分布列为 命题角度 2 　两点分布、二项分布的均值 例 2 　 (1) 设 X ～ B (40 ， p ) ，且 E ( X ) ＝ 16 ，则 p 等于 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 √ 解析　 ∵ E ( X ) ＝ 16 ， ∴ 40 p ＝ 16 ， ∴ p ＝ 0.4. 故选 D. 答案 解析 (2) 一次单元测试由 20 个选择题组成，每个选择题有 4 个选项，其中仅有 1 个选项正确，每题选对得 5 分，不选或选错不得分 . 一学生选对任意一题的概率为 0.9 ，则该学生在这次测试中成绩的均值为 ______. 90 答案 解析 解析　 设该学生在这次测试中选对的题数为 X ，该学生在这次测试中成绩为 Y ，则 X ～ B (20,0.9) ， Y ＝ 5 X . 由二项分布的均值公式得 E ( X ) ＝ 20 × 0.9 ＝ 18. 由随机变量均值的性质得 E ( Y ) ＝ E (5 X ) ＝ 5 × 18 ＝ 90. 反思与感悟　 (1) 常见的两种分布的均值 设 p 为一次试验中成功的概率，则 ① 两点分布 E ( X ) ＝ p ； ② 二项分布 E ( X ) ＝ np . 熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度 . (2) 两点分布与二项分布辨析 ① 相同点：一次试验中要么发生要么不发生 . ② 不同点： a . 随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为 0,1 ，二项分布中随机变量的取值 X ＝ 0,1,2 ， … ， n . b . 试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行 n 次试验 . 跟踪训练 2 　 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5 ，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3 ，设各车主购买保险相互独立 . (1) 求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率； 解答 解　 设该车主购买乙种保险的概率为 p ，由题意知 p × (1 － 0.5) ＝ 0.3 ，解得 p ＝ 0.6. 设所求概率为 P 1 ，则 P 1 ＝ 1 － (1 － 0.5) × (1 － 0.6) ＝ 0.8. 故该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为 0.8. (2) X 表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求 X 的均值 . 解答 解　 每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率 为 ( 1 － 0.5) × (1 － 0.6) ＝ 0.2. ∴ X ～ B (100,0.2) ， ∴ E ( X ) ＝ 100 × 0.2 ＝ 20. ∴ X 的均值是 20. 例 3 　 已知随机变量 X 的分布列为： 若 Y ＝－ 2 X ，则 E ( Y ) ＝ ________. 类型二　离散型随机变量均值的性质 答案 解析 解析　 由随机变量分布列的性质，得 由 Y ＝－ 2 X ，得 E ( Y ) ＝－ 2 E ( X ) ， 引申探究 本例条件不变，若 ξ ＝ aX ＋ 3 ，且 E ( ξ ) ＝－ ， 求 a 的值 . 解答 所以 a ＝ 15. 反思与感悟　 若给出的随机变量 ξ 与 X 的关系为 ξ ＝ aX ＋ b ， a ， b 为常数 . 一般思路是先求出 E ( X ) ，再利用公式 E ( aX ＋ b ) ＝ aE ( X ) ＋ b 求 E ( ξ ). 也可以利用 X 的分布列得到 ξ 的分布列，关键由 X 的取值计算 ξ 的取值，对应的概率相等，再由定义法求得 E ( ξ ). 跟踪训练 3 　 已知随机变量 ξ 和 η ，其中 η ＝ 12 ξ ＋ 7 ，且 E ( η ) ＝ 34 ，若 ξ 的分布列如下表，则 m 的值为 答案 √ 解析 解析　 因为 η ＝ 12 ξ ＋ 7 ， 则 E ( η ) ＝ 12 E ( ξ ) ＋ 7 ， 达标检测 1. 已知离散型随机变量 X 的分布列为 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 答案 解析 2. 抛掷一枚硬币，规定正面向上得 1 分，反面向上得－ 1 分，则得分 X 的均值为 √ 1 2 3 4 5 3. 若 p 为非负实数，随机变量 ξ 的分布列为 √ 1 2 3 4 5 答案 解析 答案 解析 4. 若随机变量 ξ ～ B ( n, 0.6) ，且 E ( ξ ) ＝ 3 ，则 P ( ξ ＝ 1) 的值是 A.2 × 0.4 4 B.2 × 0.4 5 C.3 × 0.4 4 D.3 × 0.6 4 解析　 因为 ξ ～ B ( n, 0.6) ，所以 E ( ξ ) ＝ n × 0.6 ， 故有 0.6 n ＝ 3 ，解得 n ＝ 5. √ 1 2 3 4 5 解答 5. 袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n ( n ＝ 1,2,3,4) 个 . 现从袋中任取一球， ξ 表示所取球的标号 . (1) 求 ξ 的分布列、均值； 解 　 ξ 的分布列为 1 2 3 4 5 解答 (2) 若 η ＝ aξ ＋ 4 ， E ( η ) ＝ 1 ，求 a 的值 . 1 2 3 4 5 1. 求离散型随机变量均值的步骤： (1) 确定离散型随机变量 X 的取值； (2) 写出分布列，并检查分布列的正确与否； (3) 根据公式写出均值 . 2. 若 X ， Y 是两个随机变量，且 Y ＝ aX ＋ b ，则 E ( Y ) ＝ aE ( X ) ＋ b ；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值 . 规律与方法