【数学】2021届一轮复习人教A版两角和与差的正弦余弦和正切公式学案

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【数学】2021届一轮复习人教A版两角和与差的正弦余弦和正切公式学案

‎2021届一轮复习人教A版 两角和与差的正弦余弦和正切公式 学案 ‎1.两角和的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。‎ ‎(2)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。‎ ‎(3)tan(α+β)=。‎ ‎2.两角差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)。‎ ‎(2)cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)。‎ ‎(3)=tan(α-β)。‎ ‎3.二倍角公式 ‎(1)sin2α=2sinαcosα。‎ ‎(2)cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α-sin2α。‎ ‎(3)tan2α=。‎ ‎4.常用公式的变化形式 ‎(1)asinα+bcosα=sin(α+φ),‎ 其中cosφ=,sinφ= 或asinx+bcosx=cos(x-θ),‎ 其中cosθ=,sinθ=。‎ ‎(2)tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)。‎ ‎(3)=tan。‎ ‎(4)=tan。‎ ‎1.两角和与差的正切公式的变形:‎ tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ)。‎ ‎2.二倍角余弦公式的变形:‎ sin2α=,cos2α=。‎ ‎3.一般地,函数f (α)=asinα+bcosα(a,b为常数)可以化为f (α)=sin(α+φ)或f (α)=cos(α-φ)。‎ 一、走进教材 ‎1.(必修4P131练习T5改编)计算:sin108°cos42°-cos72°·sin42°=________。‎ 解析 原式=sin(180°-72°)cos42°-cos72°sin42°=sin72°cos42°-cos72°sin42°=sin(72°-42°)=sin30°=。‎ 答案  ‎2.(必修4P137A组T5改编)已知sin=,α∈,则sinα的值为(  )‎ A. B. C. D. 解析 因为α∈,所以α-∈,cos>0,cos==,所以sinα=sin=sincos+cossin=×+×=。故选D。‎ 答案 D 二、走近高考 ‎3.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan=,则tanα=________。‎ 解析 tan===,解得tanα=。‎ 解析:因为tan=,所以tanα=tan===。‎ 答案  三、走出误区 微提醒:①不会逆用公式找不到思路;②不会合理配角出错;③忽视角的范围,用错公式。‎ ‎4.化简:=________。‎ 解析 原式====。‎ 答案  ‎5.若tanα=,tan(α+β)=,则tanβ=________。‎ 解析 tanβ=tan[(α+β)-α]===。‎ 答案  ‎6.已知θ∈,且sin=,则tan2θ=________。‎ 解析 sin=,得sinθ-cosθ=①,θ∈,①平方得2sinθcosθ=,可求得sinθ+cosθ=,所以sinθ=,cosθ=,所以tanθ=,tan2θ==-。‎ 解析:因为θ∈且sin=,所以cos=,所以tan==,所以tanθ=,故tan2θ==-。‎ 答案 - 考点一公式的基本运用             ‎ ‎【例1】 (1)(2019·贵阳市监测考试)sin15°+cos15°的值为(  )‎ A. B.- C. D.- ‎(2)sin415°-cos415°=(  )‎ A. B.- C. D.- ‎(3)(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β ‎)=________。‎ 解析 (1)sin15°+cos15°=sin60°=。故选A。‎ 解析:sin15°+cos15°====。‎ ‎(2)sin415°-cos415°=(sin215°-cos215°)(sin215°+cos215°)=sin215°-cos215°=-cos30°=-。故选D。‎ ‎(3)因为sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,所以sin2α+cos2β+2sinαcosβ=1 ①,cos2α+sin2β+2cosαsinβ=0 ②,①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1,所以sin(α+β)=-。‎ 答案 (1)A (2)D (3)- ‎1.使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征。‎ ‎2.使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值。‎ ‎【变式训练】 (1)已知sinα=,α∈,则cos的值为(  )‎ A. B. C. D. ‎(2)计算的值为________。‎ 解析 (1)因为sinα=,α∈,所以cosα=,sin2α=2sinαcosα=2××==,cos2α=1-2sin2α=1-2×2=1-=,所以cos=×-×=。故选A。‎ ‎(2)====。‎ 答案 (1)A (2) 考点二公式的逆用与变形 ‎【例2】 (1)若α+β=-,则(1+tanα)(1+tanβ)=________。‎ ‎(2)(2019·四省八校双教研联盟联考)f (x)=×(1+tanx)的最小正周期为______。‎ 解析 (1)tan=tan(α+β)==1,所以1-tanαtanβ=tanα+tanβ,所以1+tanα+tanβ+tanαtanβ=2,即(1+tanα)(1+tanβ)=2。‎ ‎(2)f (x)=×(1+tanx)=×=×=2(cosx+sinx)=4sin,则最小正周期T=2π。‎ 答案 (1)2 (2)2π 运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形。公式的逆用和变形应用更能开拓思路,增强从正向思维向逆向思维转化的能力。‎ ‎【变式训练】 (1)sin42°cos18°-cos138°cos72°=________。‎ ‎(2)(1+tan20°)(1+tan21°)(1+tan24°)(1+tan25°)=________。‎ 解析 (1)sin42°cos18°-cos138°cos72°=sin42°cos18°+cos42°sin18°=sin(42°+18°)=sin60°=。‎ ‎(2)(1+tan20°)(1+tan25°)=1+tan20°+tan25°+tan20°tan25°=1+tan(20°+25°)(1-tan20°tan25°)+tan20°tan25°=2,同理可得(1+tan21°)(1+tan24°)=2,所以原式=4。‎ 答案 (1) (2)4‎ 考点三角的变换问题 ‎【例3】 (2018·江苏高考)已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-。‎ ‎(1)求cos2α的值;‎ ‎(2)求tan(α-β)的值。‎ 解 (1)cos2α====-。‎ ‎(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π)。‎ 又因为cos(α+β)=-,‎ 所以sin(α+β)==,‎ 因此tan(α+β)=-2。因为tanα=,‎ 所以tan2α==-,‎ 因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-。‎ ‎1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示。①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系。‎ ‎2.常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=-,α=+,=-等。‎ ‎【变式训练】 (1)(2019·南充模拟)已知α∈,β∈,且cosα=,cos(α+β)=-,则sinβ=________。‎ ‎(2)设0°<α<90°,若sin(75°+2α)=-,则sin(15°+α)·sin(75°-α)=________。‎ 解析 (1)因为已知α∈,β∈,且cosα=,cos(α+β)=-,所以sinα==,sin(α+β)==,则sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=×-×=。‎ ‎(2)因为0°<α<90°,所以75°<75°+2α<255°。又因为sin(75°+2α)=-<0,所以180°<75°+2α<255°,角75°+2α为第三象限角,所以cos(75°+2α)=-。所以sin(15°+α)·sin(75°-α)=sin(15°+α)·cos(15°+α)=sin(30°+2α)=sin[(75°+2α)-45°]=[sin(75°+2α)cos45°-cos(75°+2α)·sin45°]=×=。‎ 答案 (1) (2) ‎1.(配合例1使用)已知f (x)=sinx-cosx,实数α满足f ′(α)=3f (α),则tan2α=(  )‎ A.- B.- C. D. 解析 由f ′(x)=cosx+sinx,所以f ′(α)=cosα+sinα。由f ′(α)=3f (α),得cosα+sinα=3sinα-3cosα,所以2sinα=4cosα,即tanα=2。所以tan2α===-。故选A。‎ 答案 A ‎2.(配合例2使用)已知atanα+b=(a-btanα)tanβ,且α+与β的终边相同,则的值为(  )‎ A. B. C. D. 解析 已知等式可化为atanα+b=atanβ-btanα·tanβ,即b(1+tanα·tanβ)=a(tanβ-tanα),所以==tan(β-α),又因为α+与β的终边相同,即β=2kπ+α+(k∈Z),所以tan(β-α)=tan=tan=,即=,故选B。‎ 答案 B ‎3.(配合例3使用)已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-。‎ ‎(1)求sinα;‎ ‎(2)求2α+β。‎ 解 (1)因为所以sin2α=,‎ 又因为α为锐角,所以sinα=。‎ ‎(2)因为α,β为锐角,cos(α+β)=-<0。‎ 所以α+β∈,‎ 所以sin(α+β)==。‎ 由(1)可知sinα=,cosα=,‎ 所以sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=×‎ +×=0,‎ 又因为α∈,α+β∈,‎ 所以2α+β∈,所以2α+β=π。‎ 以黄金分割为背景的三角函数求值 众所周知,≈0.618叫做黄金分割比,黄金分割最早起源于几何学,是古希腊数学家毕达哥拉斯最早发现的。黄金分割的定义:把任一线段分割成两段,使=,如图,这样的分割叫黄金分割,这样的比值叫黄金比。‎ 设此黄金比为x,不妨设全段长为1,则大段长为x,小段长为1-x,故有=,即x2+x-1=0,解得x=,其正根为x=≈0.618 034 0≈0.618为黄金分割比。‎ ‎【典例】 公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法,发现了黄金分割,其比值约为0.618,这一数值也可以表示为m=2sin18°,若m2+n=4,则=(  )‎ A.8 B.4‎ C.2 D.1‎ ‎【解析】 由题设n=4-m2=4-4sin218°=4(1-sin218°)=4cos218°,====2。故选C。‎ ‎【答案】 C 黄金分割之所以称为“黄金”分割,是比喻这种“分割”在视觉上给人极大的愉悦感,非常难得,如黄金一样珍贵。黄金分割比是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一,它表现了恰到好处的和谐。‎
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