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文档介绍
【数学】2021届一轮复习人教A版两角和与差的正弦余弦和正切公式学案
2021届一轮复习人教A版 两角和与差的正弦余弦和正切公式 学案 1.两角和的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。 (2)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。 (3)tan(α+β)=。 2.两角差的正弦、余弦、正切公式 (1)sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)。 (2)cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)。 (3)=tan(α-β)。 3.二倍角公式 (1)sin2α=2sinαcosα。 (2)cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α-sin2α。 (3)tan2α=。 4.常用公式的变化形式 (1)asinα+bcosα=sin(α+φ), 其中cosφ=,sinφ= 或asinx+bcosx=cos(x-θ), 其中cosθ=,sinθ=。 (2)tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)。 (3)=tan。 (4)=tan。 1.两角和与差的正切公式的变形: tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ)。 2.二倍角余弦公式的变形: sin2α=,cos2α=。 3.一般地,函数f (α)=asinα+bcosα(a,b为常数)可以化为f (α)=sin(α+φ)或f (α)=cos(α-φ)。 一、走进教材 1.(必修4P131练习T5改编)计算:sin108°cos42°-cos72°·sin42°=________。 解析 原式=sin(180°-72°)cos42°-cos72°sin42°=sin72°cos42°-cos72°sin42°=sin(72°-42°)=sin30°=。 答案 2.(必修4P137A组T5改编)已知sin=,α∈,则sinα的值为( ) A. B. C. D. 解析 因为α∈,所以α-∈,cos>0,cos==,所以sinα=sin=sincos+cossin=×+×=。故选D。 答案 D 二、走近高考 3.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan=,则tanα=________。 解析 tan===,解得tanα=。 解析:因为tan=,所以tanα=tan===。 答案 三、走出误区 微提醒:①不会逆用公式找不到思路;②不会合理配角出错;③忽视角的范围,用错公式。 4.化简:=________。 解析 原式====。 答案 5.若tanα=,tan(α+β)=,则tanβ=________。 解析 tanβ=tan[(α+β)-α]===。 答案 6.已知θ∈,且sin=,则tan2θ=________。 解析 sin=,得sinθ-cosθ=①,θ∈,①平方得2sinθcosθ=,可求得sinθ+cosθ=,所以sinθ=,cosθ=,所以tanθ=,tan2θ==-。 解析:因为θ∈且sin=,所以cos=,所以tan==,所以tanθ=,故tan2θ==-。 答案 - 考点一公式的基本运用 【例1】 (1)(2019·贵阳市监测考试)sin15°+cos15°的值为( ) A. B.- C. D.- (2)sin415°-cos415°=( ) A. B.- C. D.- (3)(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β )=________。 解析 (1)sin15°+cos15°=sin60°=。故选A。 解析:sin15°+cos15°====。 (2)sin415°-cos415°=(sin215°-cos215°)(sin215°+cos215°)=sin215°-cos215°=-cos30°=-。故选D。 (3)因为sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,所以sin2α+cos2β+2sinαcosβ=1 ①,cos2α+sin2β+2cosαsinβ=0 ②,①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1,所以sin(α+β)=-。 答案 (1)A (2)D (3)- 1.使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征。 2.使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值。 【变式训练】 (1)已知sinα=,α∈,则cos的值为( ) A. B. C. D. (2)计算的值为________。 解析 (1)因为sinα=,α∈,所以cosα=,sin2α=2sinαcosα=2××==,cos2α=1-2sin2α=1-2×2=1-=,所以cos=×-×=。故选A。 (2)====。 答案 (1)A (2) 考点二公式的逆用与变形 【例2】 (1)若α+β=-,则(1+tanα)(1+tanβ)=________。 (2)(2019·四省八校双教研联盟联考)f (x)=×(1+tanx)的最小正周期为______。 解析 (1)tan=tan(α+β)==1,所以1-tanαtanβ=tanα+tanβ,所以1+tanα+tanβ+tanαtanβ=2,即(1+tanα)(1+tanβ)=2。 (2)f (x)=×(1+tanx)=×=×=2(cosx+sinx)=4sin,则最小正周期T=2π。 答案 (1)2 (2)2π 运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形。公式的逆用和变形应用更能开拓思路,增强从正向思维向逆向思维转化的能力。 【变式训练】 (1)sin42°cos18°-cos138°cos72°=________。 (2)(1+tan20°)(1+tan21°)(1+tan24°)(1+tan25°)=________。 解析 (1)sin42°cos18°-cos138°cos72°=sin42°cos18°+cos42°sin18°=sin(42°+18°)=sin60°=。 (2)(1+tan20°)(1+tan25°)=1+tan20°+tan25°+tan20°tan25°=1+tan(20°+25°)(1-tan20°tan25°)+tan20°tan25°=2,同理可得(1+tan21°)(1+tan24°)=2,所以原式=4。 答案 (1) (2)4 考点三角的变换问题 【例3】 (2018·江苏高考)已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-。 (1)求cos2α的值; (2)求tan(α-β)的值。 解 (1)cos2α====-。 (2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π)。 又因为cos(α+β)=-, 所以sin(α+β)==, 因此tan(α+β)=-2。因为tanα=, 所以tan2α==-, 因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-。 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示。①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系。 2.常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=-,α=+,=-等。 【变式训练】 (1)(2019·南充模拟)已知α∈,β∈,且cosα=,cos(α+β)=-,则sinβ=________。 (2)设0°<α<90°,若sin(75°+2α)=-,则sin(15°+α)·sin(75°-α)=________。 解析 (1)因为已知α∈,β∈,且cosα=,cos(α+β)=-,所以sinα==,sin(α+β)==,则sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=×-×=。 (2)因为0°<α<90°,所以75°<75°+2α<255°。又因为sin(75°+2α)=-<0,所以180°<75°+2α<255°,角75°+2α为第三象限角,所以cos(75°+2α)=-。所以sin(15°+α)·sin(75°-α)=sin(15°+α)·cos(15°+α)=sin(30°+2α)=sin[(75°+2α)-45°]=[sin(75°+2α)cos45°-cos(75°+2α)·sin45°]=×=。 答案 (1) (2) 1.(配合例1使用)已知f (x)=sinx-cosx,实数α满足f ′(α)=3f (α),则tan2α=( ) A.- B.- C. D. 解析 由f ′(x)=cosx+sinx,所以f ′(α)=cosα+sinα。由f ′(α)=3f (α),得cosα+sinα=3sinα-3cosα,所以2sinα=4cosα,即tanα=2。所以tan2α===-。故选A。 答案 A 2.(配合例2使用)已知atanα+b=(a-btanα)tanβ,且α+与β的终边相同,则的值为( ) A. B. C. D. 解析 已知等式可化为atanα+b=atanβ-btanα·tanβ,即b(1+tanα·tanβ)=a(tanβ-tanα),所以==tan(β-α),又因为α+与β的终边相同,即β=2kπ+α+(k∈Z),所以tan(β-α)=tan=tan=,即=,故选B。 答案 B 3.(配合例3使用)已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-。 (1)求sinα; (2)求2α+β。 解 (1)因为所以sin2α=, 又因为α为锐角,所以sinα=。 (2)因为α,β为锐角,cos(α+β)=-<0。 所以α+β∈, 所以sin(α+β)==。 由(1)可知sinα=,cosα=, 所以sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=× +×=0, 又因为α∈,α+β∈, 所以2α+β∈,所以2α+β=π。 以黄金分割为背景的三角函数求值 众所周知,≈0.618叫做黄金分割比,黄金分割最早起源于几何学,是古希腊数学家毕达哥拉斯最早发现的。黄金分割的定义:把任一线段分割成两段,使=,如图,这样的分割叫黄金分割,这样的比值叫黄金比。 设此黄金比为x,不妨设全段长为1,则大段长为x,小段长为1-x,故有=,即x2+x-1=0,解得x=,其正根为x=≈0.618 034 0≈0.618为黄金分割比。 【典例】 公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法,发现了黄金分割,其比值约为0.618,这一数值也可以表示为m=2sin18°,若m2+n=4,则=( ) A.8 B.4 C.2 D.1 【解析】 由题设n=4-m2=4-4sin218°=4(1-sin218°)=4cos218°,====2。故选C。 【答案】 C 黄金分割之所以称为“黄金”分割,是比喻这种“分割”在视觉上给人极大的愉悦感,非常难得,如黄金一样珍贵。黄金分割比是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一,它表现了恰到好处的和谐。查看更多