【数学】2020届一轮复习人教B版归纳推理与类比推理学案

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【数学】2020届一轮复习人教B版归纳推理与类比推理学案

微专题99 归纳推理与类比推理 一、基础知识:‎ ‎(一)归纳推理:‎ ‎1、归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳),简言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理 ‎2、处理归纳推理的常见思路:‎ ‎(1)利用已知条件,多列出(或计算出)几个例子,以便于寻找规律 ‎(2)在寻找规律的过程中,要注意观察哪些地方是不变的(形成通式的结构),哪些地方是变化的(找到变量),如何变化(变量变化的规律)‎ ‎(3)由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形,看是否符合题意 ‎3、常见的归纳推理类型:‎ ‎(1)函数的迭代:设是的函数,对任意,记,则称函数为的次迭代;对于一些特殊的函数解析式,其通常具备某些特征(特征与)有关。在处理此类问题时,要注意观察解析式中项的次数,式子结构以及系数的特点,以便于从具体例子中寻找到规律,得到的通式 ‎(2)周期性:若寻找的规律呈现周期性,则可利用函数周期性(或数列周期性)的特点求出某项或分组(按周期分组)进行求和。‎ ‎(3)数列的通项公式(求和公式):从数列所给的条件中,很难利用所学知识进行变形推导,从而可以考虑利用条件先求出几项,然后找到规律,猜出数列的通项公式(求和公式)‎ ‎(4)数阵:由实数排成一定形状的阵型(如三角形,矩形等),来确定数阵的规律及求某项。对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。横向为“行”,纵向为“列”,在项的表示上通常用二维角标进行表示,其中代表行,代表列。例如:表示第行第列。在题目中经常会出现关于某个数的位置问题,解决的方法通常为先抓住选取数的特点,确定所求数的序号,再根据每行元素个数的特点(数列的通项),求出前行共含有的项的个数,从而确定该数位于第几行,然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个,即列。‎ ‎(二)类比推理:‎ ‎1、类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理(简称类比)‎ ‎2、常见的类比类型及处理方法:‎ ‎(1)运算的类比:通常是运算级数相对应:‎ ‎① 加法乘法,‎ ‎② 数乘(系数与项的乘法)指数幂 ‎③ 减法除法 ‎(2)运算律的类比:在数学中的其它领域,如果满足加法,乘法的交换律,以及乘法的分配律,则代数表达式部分运算公式可推广到该领域中。例如 ‎①在向量数量积的运算中,满足交换律与分配律,则:‎ 代数中的平方差公式:,和差完全平方公式: 均可推广到向量数量积中:,‎ ‎②在复数的运算中,满足交换律与分配律,则实数中的运算公式可推广到复数中(甚至是二项式定理)‎ ‎(3)等差数列与等比数列的类比:等差数列的性质通常伴随着一,二级运算(加减,数乘),等比数列的性质通常伴随着二,三级运算(乘除,乘方)。所以在某些性质中体现出运算上的类比。例如:设为等差数列,公差为;为等比数列,公比为,则 ‎① 递推公式:‎ ‎② 通项公式: ‎ ‎③ 双项性质:‎ ‎④ 等间隔取项,在数列,中等间隔的取项:‎ 则成等差数列 成等比数列 ‎(4)维度的类比:平面几何(二维)的结论与立体几何(三维)的结论进行类比,当维度升高时,涉及的要素也将维度升高,例如:‎ ‎①位置关系:平面中的线的关系空间中的面的关系,线所成的角线面角或二面角,‎ ‎②度量:线段长度图形的面积,图形面积几何体体积,点到线的距离点到平面距离 ‎③衍生图形:内切圆内切球,外接圆外接球,面对角线体对角线 ‎(5)平面坐标与空间坐标的类比:平面直角坐标系坐标空间直角坐标系坐标,在有些坐标运算的问题中,只需加上竖坐标的运算即可完成推广,例如:‎ ‎① 线段中点坐标公式:‎ 平面:设,则中点 ‎ 空间:设,则中点 ‎② 两点间距离公式:‎ 平面:设,则 ‎ 空间:设,则 ‎3、同一个命题,不同的角度类比得到的结论可能不同,通常类比只是提供一个思路与方向,猜想出一个命题后通过证明才能保证其正确。在有关类比的题目中通常选择正确的命题作为类比的结论 二、典型例题:‎ 例1:已知,定义 ,经计算 照此规律,则( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:由定义可知:即为的导函数,通过所给例子的结果可以推断出,从而,所以 答案:C 例2:蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图,其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,第六幅图的蜂巢总数为( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:从所给图中可发现第个图可以视为在前一个图的基础上,外面围上一个正六边形,且这个正六边形的每条边有个小正方形,设第个图的蜂巢总数为,则可知比多的蜂巢数即为外围的蜂巢数。即 (每条边个,其中顶点被计算了两次,所以要减),所以有,联想到数列中用到的累加法,从而由,且 则 ‎。代入可得 答案:C 例3:将正整数排成数阵(如图所示),则数表中的数字出现在( )‎ A. 第44行第78列 B. 第45行第78列 C. 第44行第77列 D. 第45行第77列 思路:从数阵中可发现每一行的末尾均为一个完全平方数,即第行最后一个数为,所以考虑离较近的完全平方数:,所以位于第行,因为是第44行的最后一个数,所以为第45行中第个数,即位于第45行第78列 答案:B 例4:已知结论:“在中,各边和它所对角的正弦比相等,即”,若把该结论推广到空间,则结论为:“在三棱锥中,侧棱与平面,平面所成的角为,则有( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 思路:本题为维度推广题,平面中的线段所成的夹角推广为线面角,所以可将正弦定理的边长(一维度量)类比推广为面积(二维度量),正弦定理中为角所对的边长,则在三棱锥中推广为线面角所对的侧面面积,即所对的侧面为平面,所对的侧面为平面 ‎,所以猜测,再考虑证明其正确性。证明过程如下:‎ 证明:分别过作平面,平面的垂线,垂足分别为 ‎ 由线面角的定义可知: ‎ ‎ ‎ 同理:‎ ‎ ‎ 得证 答案:C 例5:三角形的面积,其中为其边长,为内切圆半径,利用类比法可以得出四面体的体积为( )‎ A. (其中分别为四个面的面积,为内切球的半径)‎ B. (为底面面积,为四面体的高)‎ C. (其中分别为四个面的面积,为内切球的半径)‎ D. (为底面边长,为四面体的高)‎ 思路:本题为维度题,在三角形中,面积依靠内切圆半径与边长求解。则在四面体中,内切圆类比成内切球,边长类比为面积。所以四面体的体积与内切球半径与各面面积相关,即在A,C中挑选。考虑在三角形中,可通过连接内心与各顶点,将三角形分割为三个小三角形,底边为各边边长,高均为半径,所以面积,其中系数来源于三角形面积公式。进而类比到四面体中,可通过连接内切球的球心与各顶点,将四面体分割为4个小四面体,以各面为底面,内切球半径为高。从而。系数来源于棱锥体积公式 答案:C 例6:若数列是等比数列,且,则数列也是等比数列.若数列是等差数列,可类比得到关于等差数列的一个性质为( )‎ A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 是等差数列 D. 是等差数列 思路:考虑在等比数列中,很多性质为应用二三级运算(乘除法,乘方开方),到了等差数列中,很多性质可类比为一二级运算(加减,数乘)。在本题中所给等比数列用到了乘法与开方,所以可联想到类比等差数列,乘法运算对应类比为加法,开方运算对应类比为除法。所以该性质为:若数列是等差数列,则是等差数列。这个命题是正确的,证明如下:‎ 证明:设等差数列的公差为,则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 为等差数列 ‎ ‎ ‎ 为公差是的等差数列 答案:B 例7:对于大于1的自然数的三次幂可用奇数进行一下方式的“分裂”:,,,…,仿此,若的“分裂数”中有一个是,则的值是( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:观察这几个等式不难发现以下特征:(1)可分解为个连续奇数的和,(2)从开始这些奇数是按 顺次排列的。所以在第个数时,所用的奇数的总数为个。从3开始算起,是第个奇数。当,可知所用的奇数总数为个,当,可知所用的奇数总数为个。所以 ‎ 答案:C 例8:从1开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:当三角形在移动时,观察其规律,内部的数如果设第一行的数为,则第二行的数为,其和为,第三行的数为,其和为,所以这九个数的和为,代入到各个选项中看能否算出即可。通过计算可得:时,符合题意 答案:C 例9:某种游戏中,黑,白两个“电子狗”从棱长为1的正方体的顶点出发,沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”,黑“电子狗”爬行的路线是,白“电子狗”爬行的路线是,它们都遵循如下规则:所爬行的第段与第段所在直线必须是异面直线(其中),设黑“电子狗”爬完2012段,白“电子狗”爬完2011段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、白“电子狗”间的距离是_____________‎ 思路:首先根据题目中所给规则,观察“电子狗”所走路径的规律。会发现黑“电子狗”‎ 所走的路线为,然后周而复始,以6为周期;白“电子狗”所走的路线为,也是以6为周期。从而由周期性的规律可得:,则黑电子狗到达;,所以白电子狗到达,所以只需计算即可,由正方体性质可知 ‎ 答案: ‎ 例10:把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数阵,设是位于这个三角形数中从上往下数第行,从左往右数第列的数,如 若,则 ( )‎ A. 111 B. 110 C. 108 D. 105‎ 思路:观察三角形数阵可知奇数行中的数均为奇数,偶数行均为偶数。所以可知一定在奇数行中,先确定的值,因为奇数构成首项为1,公差为2的等差数列,所以第个奇数,因为,所以可得为第个奇数,考虑前面的奇数共占了多少行。由第行由个奇数可得:前个奇数行内奇数共有,前个奇数行内奇数共有,而,所以在第个奇数行中,即,再考虑的值,第31个奇数行最后一个奇数为,因为,所以为第32个奇数行的第47个数,即,从而 ‎ 答案:C
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