【数学】2020届一轮复习（文）通用版7-4基本不等式学案
第四节基本不等式
一、基础知识批注——理解深一点
在运用基本不等式及其变形时，一定要验证等号是否成立.
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
2．算术平均数与几何平均数
设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
和定积最大，积定和最小：两个正数的和为定值时，则可求其积的最大值；积为定值时，可求其和的最小值.
二、常用结论汇总——规律多一点
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)＋≥2(a，b∈R，且a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
三、基础小题强化——功底牢一点
(1)当a≥0，b≥0时，≥.( )
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．( )
(3)x＞0且y>0是＋≥2的充要条件．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
(二)选一选
1．设a>0，则9a＋的最小值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选C 因为a>0，所以9a＋≥2 ＝6，当且仅当9a＝，即a＝时，9a＋取得最小值6.故选C.
2．若x>0，y>0，且2(x＋y)＝36，则的最大值为( )
A．9 B．18
C．36 D．81
解析：选A 由2(x＋y)＝36，得x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．
3．“x>0”是“x＋≥2”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 当x>0时，x＋≥2 ＝2.因为x，同号，所以若x＋≥2，则x>0，>0，所以“x>0”是“x＋≥2”成立的充要条件，故选C.
(三)填一填
4．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
解析：x2＋2y2＝x2＋(y)2≥2x(y)＝2，
当且仅当x＝y且xy＝1时等号成立．
所以x2＋2y2的最小值为2.
答案：2
5．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，
由题知0
2，则a＋的最小值是( )
A．6 B．2
C．2＋2 D．4
(2)设00，y>0，且x＋2y＝1，则＋的最小值为________．
(4)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为________．
[解析] (1)拼凑法
因为a>2，所以a－2>0，所以a＋＝(a－2)＋＋2≥2 ＋2＝2＋2，当且仅当a－2＝，即a＝2＋时取等号．故选C.
(2)拼凑法
y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．
∵∈，
∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.
(3)常数代换法
∵x>0，y>0，且x＋2y＝1，
∴＋＝＋＝1＋2＋＋≥3＋2 ＝3＋2.
当且仅当＝且x＋2y＝1，即x＝－1，y＝1－时，取得等号．
∴＋的最小值为3＋2.
(4)拼凑法
因为x>0，y>0，
所以8＝x＋2y＋x·2y≤(x＋2y)＋2，
令x＋2y＝t，则
8≤t＋，即t2＋4t－32≥0，
解得t≥4或t≤－8，
即x＋2y≥4或x＋2y≤－8(舍去)，
当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时等号成立．
[答案] (1)C (2) (3)3＋2 (4)4
[解题技法] 基本不等式求最值的2种常用方法
拼凑法
拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件
常数代换法
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商
[题组训练]
1.若a>0，b>0且2a＋b＝4，则的最小值为( )
A．2 B.
C．4 D.
解析：选B 因为a>0，b>0，故2a＋b≥2(当且仅当2a＝b时取等号)．
又因为2a＋b＝4，∴2≤4⇒00，y>0，且x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是( )
A．40 B．10
C．4 D．2
解析：选D 因为x＋4y＝40，且x>0，y>0，
所以x＋4y≥2＝4.(当且仅当x＝4y时取“＝”)
所以4≤40.所以xy≤100.
所以lg x＋lg y＝lg xy≤lg 100＝2.
所以lg x＋lg y的最大值为2.
3.设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D a2＋＋＝(a2－ab)＋＋＋ab≥2＋2＝4，当且仅当a2－ab＝且＝ab，即a＝，b＝时取等号，故选D.
4.已知x>0，y>0，且x＋2y＝xy，则x＋y的最小值为________．
解析：由x>0，y>0，x＋2y＝xy，得＋＝1，
所以x＋y＝(x＋y)
＝3＋＋≥3＋2.
当且仅当x＝y时取等号．
答案：3＋2
[典例] 某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式．
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
[解] (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，依题意得：
当00)，即x＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．
答案：15
1．(2019·长春调研)“a>0，b>0”是“ab<2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选D 当a>0，b>0时，≥，即ab≤2，当a＝b时，ab<2不成立，故“a>0，b>0”不是“ab<2”的充分条件．当ab<2时，a，b可以异号，故a>0，b>0不一定成立，故“a>0，b>0”不是“ab<2”的必要条件．故“a>0，b>0”是“ab<2”的既不充分也不必要条件，故选D.
2．已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，则xy ( )
A．有最大值为1 B．有最小值为1
C．有最大值为 D．有最小值为
解析：选C 因为x>0，y>0，x＋2y＝2，
所以x＋2y≥2，即2≥2，xy≤，
当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时，等号成立．
所以xy有最大值，且最大值为.
3．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2
C．2 D．4
解析：选C 因为＋＝，所以a>0，b>0，
由＝＋≥2 ＝2 ，
所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，
所以ab的最小值为2.
4．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是
( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B 由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m＋n的最小值为4.
5．(2019·长春质量监测)已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为( )
A．8 B．9
C．12 D．16
解析：选B 由4x＋y＝xy得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)·＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时取“＝”，故选B.
6．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值为( )
A. B.
C. D．2
解析：选D 30＝4x2＋9y2＋3xy≥2＋3xy，
即30≥15xy，所以xy≤2，
当且仅当4x2＝9y2，即x＝，y＝时等号成立．
故xy的最大值为2.
7．设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为( )
A．0 B.
C．1 D.
解析：选A y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A.
8．已知x>1，y>1，且log2x，，log2y成等比数列，则xy有( )
A．最小值 B．最小值2
C．最大值 D．最大值2
解析：选A ∵x>1，y>1，∴log2x>0，log2y>0.又∵log2x，，log2y成等比数列，∴＝log2x·log2y，∴由基本不等式，得log2x＋log2y≥2＝，当且仅当log2x＝log2y时取等号，故log2(xy)≥，即xy≥.选A.
9．当3＜x＜12时，函数y＝的最大值为________．
解析：y＝＝
＝－＋15≤－2 ＋15＝3，
当且仅当x＝，即x＝6时，ymax＝3.
答案：3
10．(2018·南昌摸底调研)已知函数y＝x＋(x>2)的最小值为6，则正数m的值为________．
解析：∵x>2，m>0，∴y＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝2＋2，当x＝2＋时取等号，又函数y＝x＋(x>2)的最小值为6，∴2＋2＝6，解得m＝4.
答案：4
11．(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．
解析：∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6.
∴2a＋＝2a＋2－3b≥2
＝2＝2＝2×2－3＝.
当且仅当即时等号成立．
答案：
12．(2018·聊城一模)已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．
解析：由a>0，b>0,3a＋b＝2ab，得＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋，当且仅当b＝a时等号成立，则a＋b的最小值为2＋.
答案：2＋
13．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝
(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？
(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
解：(1)当x∈[50,80)时，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，
所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为×675＝9.
当x∈[80,120]时，函数y＝12－单调递减，故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－＝10.
因为9<10，所以当x＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h时，可使得每小时耗油量最少．
(2)设总耗油量为l L，由题意可知l＝y·，
①当x∈[50,80)时，l＝y·＝≥＝16，
当且仅当x＝，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16；
②当x∈[80,120]时，l＝y·＝－2为减函数，
所以当x＝120时，l取得最小值，最小值为10.
因为10<16，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少．
