云南省昆明市中考数学试卷解析

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云南省昆明市中考数学试卷解析

‎2011年云南省昆明市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(每小题3分,满分27分)‎ ‎1.(3分)(2011•昆明)昆明小学1月份某天的气温为5℃,最低气温为﹣1℃,则昆明这天的气温差为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎4℃‎ B.‎ ‎6℃‎ C.‎ ‎﹣4℃‎ D.‎ ‎﹣6℃‎ 考点:‎ 有理数的减法.734448 ‎ 专题:‎ 应用题.‎ 分析:‎ 依题意,这天的温差就是最高气温与最低气温的差,列式计算.‎ 解答:‎ 解:这天的温差就是最高气温与最低气温的差,‎ 即5﹣(﹣1)=5+1=6℃.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题主要考查有理数的减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数.这是需要熟记的内容.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2011•昆明)如图是一个由相同的小正方体组成的立体图形,它的主视图是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 简单组合体的三视图.734448 ‎ 专题:‎ 几何图形问题.‎ 分析:‎ 找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.‎ 解答:‎ 解:从正面看易得第一层有2个正方形,第二层和第三层左上都有1个正方形.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2011•昆明)据2010年全国第六次人口普查数据公布,云南省常住人口为45966239人,45966239用科学记数法表示且保留两个有效数字为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎4.6×107‎ B.‎ ‎4.6×106‎ C.‎ ‎4.5×108‎ D.‎ ‎4.5×107‎ 考点:‎ 科学记数法与有效数字.734448 ‎ 分析:‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于1 048 576有7位,所以可以确定n=7﹣1=6.‎ 有效数字的计算方法是:从左边第一个不是0的数字起,后面所有的数字都是有效数字.‎ 用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关,与10的多少次方无关.‎ 解答:‎ 解:45 966 239=4.5966239×107≈4.6×107.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查科学记数法的表示方法,以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2011•昆明)小明在九年级进行的六次数学测验成绩如下(单位:分):76、82、91、85、84、85,则这次数学测验成绩的众数和中位数分别为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎91,88‎ B.‎ ‎85,88‎ C.‎ ‎85,85‎ D.‎ ‎85,84.5‎ 考点:‎ 众数;中位数.734448 ‎ 分析:‎ 根据众数的定义:出现次数最多的数,中位数定义:把所有的数从小到大排列,位置处于中间的数,即可得到答案.‎ 解答:‎ 解:众数出现次数最多的数,85出现了2次,次数最多,所以众数是:85,‎ 把所有的数从小到大排列:76,82,84,85,85,91,位置处于中间的数是:84,85,因此中位数是:(85+84)÷2=84.5,‎ 故选:D.‎ 点评:‎ 此题主要考查了众数与中位数的意义,关键是正确把握两种数的定义,即可解决问题.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2011•昆明)若x1,x2是一元二次方程2x2﹣7x+4=0的两根,则x1+x2与x1•x2的值分别是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎﹣,﹣2‎ B.‎ ‎﹣,2‎ C.‎ ‎,2‎ D.‎ ‎,﹣2‎ 考点:‎ 根与系数的关系.734448 ‎ 专题:‎ 推理填空题.‎ 分析:‎ 根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣,x1•x2=,代入即可求出答案.‎ 解答:‎ 解:2x2﹣7x+4=0,‎ x1+x2=﹣=,x1•x2==2.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题主要考查对根与系数的关系的理解和掌握,能熟练地运用根与系数的关系进行计算是解此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2011•昆明)下列各式运算中,正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎3a•2a=6a B.‎ ‎=2﹣‎ C.‎ D.‎ ‎(2a+b)(2a﹣b)=2a2﹣b2‎ 考点:‎ 实数的性质;单项式乘单项式;多项式乘多项式;二次根式的加减法.734448 ‎ 分析:‎ 根据单项式乘单项式法则、绝对值的性质、二次根式的减法法则、平方差公式进行计算排除.‎ 解答:‎ 解:A、3a•2a=6a2,故本选项错误;‎ B、根据负数的绝对值是它的相反数,故本选项正确;‎ C、原式=4﹣=2,故本选项错误;‎ D、根据平方差公式,得原式=4a2﹣b2,故本选项错误.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 此题综合考查了单项式的乘法法则、多项式的乘法公式、二次根式的加减法则以及绝对值的化简计算.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2011•昆明)如图,在▱ABCD中,添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ AB=BC B.‎ AC⊥BD C.‎ BD平分∠ABC D.‎ AC=BD 考点:‎ 菱形的判定;平行四边形的性质.734448 ‎ 分析:‎ 根据菱形的判定定理,即可求得答案.注意排除法的应用.‎ 解答:‎ 解:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴A、当AB=BC时,根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形,可得▱ABCD是菱形,故本选项正确;‎ B、当AC⊥BD时,根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,可得▱ABCD是菱形,故本选项正确;‎ C、当BD平分∠ABC时,易证得AB=AD,根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形,可得▱ABCD是菱形,故本选项正确;‎ 由排除法可得D选项错误.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 此题考查了菱形的判定.熟记判定定理是解此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2011•昆明)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列说法正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ b2﹣4ac<0‎ B.‎ abc<0‎ C.‎ D.‎ a﹣b+c<0‎ 考点:‎ 二次函数图象与系数的关系.734448 ‎ 专题:‎ 压轴题.‎ 分析:‎ 由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.‎ 解答:‎ 解:由抛物线的开口向下知a<0,‎ 与y轴的交点为在y轴的正半轴上,‎ ‎∴c>0,‎ 对称轴为y轴,即 <﹣1,‎ A、应为b2﹣4ac>0,故本选项错误;‎ B、abc>0,故本选项错误;‎ C、即 <﹣1,故本选项正确;‎ D、x=﹣1时函数图象上的点在第二象限,所以a﹣b+c>0,故本选项错误.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题主要考查了二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定交点,难度适中.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2011•昆明)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=,AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点,垂足为E,则sin∠CAD=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 锐角三角函数的定义;线段垂直平分线的性质;勾股定理.734448 ‎ 专题:‎ 计算题;压轴题.‎ 分析:‎ 设AD=x,则CD=x﹣3,在直角△ACD中,运用勾股定理可求出AD、CD的值,即可解答出;‎ 解答:‎ 解:设AD=x,则CD=x﹣3,‎ 在直角△ACD中,(x﹣3)2+=x2,‎ 解得,x=4,‎ ‎∴CD=4﹣3=1,‎ ‎∴sin∠CAD==;‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查了线段垂直平分线的性质定理及勾股定理的运用,求一个角的正弦值,可将其转化到直角三角形中解答.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题3分,满分18分.)‎ ‎10.(3分)(2011•昆明)当x ≥5 时,二次根式有意义.‎ 考点:‎ 二次根式有意义的条件.734448 ‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 根据二次根式的性质意义,被开方数大于等于0,就可以求解.‎ 解答:‎ 解:根据题意知:x﹣5≥0,‎ 解得,x≥5.‎ 故答案是:x≥5.‎ 点评:‎ 考查了二次根式的意义和性质.概念:式子(a≥0)叫二次根式.性质:二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.‎ ‎ ‎ ‎11.(3分)(2011•昆明)如图,点D是△ABC的边BC延长线上的一点,∠A=70°,∠ACD=105°,则∠B= 35° .‎ 考点:‎ 三角形的外角性质.734448 ‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 由∠A=70°,∠ACD=105°,根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD=∠B+∠A,则∠B=∠ACD﹣∠A,然后代值计算即可.‎ 解答:‎ 解:∵∠ACD=∠B+∠A,‎ 而∠A=70°,∠ACD=105°,‎ ‎∴∠B=105°﹣70°=35°.‎ 故答案为35°.‎ 点评:‎ 本题考查了三角形的外角定理:三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)(2011•昆明)若点P(﹣2,2)是反比例函数y=的图象上的一点,则此反比例函数的解析式为 y=﹣ .‎ 考点:‎ 待定系数法求反比例函数解析式.734448 ‎ 专题:‎ 函数思想.‎ 分析:‎ 将点P(﹣2,2)代入反比例函数y=,求得k值,即利用待定系数法求反比例函数的解析式.‎ 解答:‎ 解:根据题意,得 ‎2=,‎ 解得,k=﹣4.‎ 故答案是:y=﹣.‎ 点评:‎ 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式.解答该题时,借用了反比例函数图象上点的坐标特征.‎ ‎ ‎ ‎13.(3分)(2011•昆明)计算:= a .‎ 考点:‎ 分式的混合运算.734448 ‎ 分析:‎ 首先对括号内的式子通分相减,然后把除法转化为乘法,约分计算即可.‎ 解答:‎ 解:原式=(+)•‎ ‎= •‎ ‎= ==a.‎ 故答案是:a 点评:‎ 本题主要考查分式的混合运算,通分、因式分解和约分是解答的关键.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)(2011•昆明)如图,在△ABC中,∠C=120°,AB=4cm,两等圆⊙A与⊙B外切,则图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为  cm2.(结果保留π).‎ 考点:‎ 扇形面积的计算;三角形内角和定理;等腰三角形的判定与性质;相切两圆的性质.734448 ‎ 专题:‎ 计算题;压轴题.‎ 分析:‎ 根据等圆的性质得出AD=BD,根据CD⊥AB求出∠A、∠B的度数,根据扇形的面积公式求出即可.‎ 解答:‎ 解:∵两等圆⊙A与⊙B外切,‎ ‎∴AD=BD=AB=2,‎ ‎∵∠C=120°‎ ‎∴∠CAB+∠CBA=60°‎ 设∠CAB=x°,∠CBA=y°‎ 则x+y=60‎ ‎∴图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为+===π,‎ 故答案为:π.‎ 点评:‎ 本题主要考查对三角形的内角和定理,等腰三角形的性质和判定,扇形的面积公式,相切两圆的性质等知识点的理解和掌握,正确利用扇形的面积公式是解此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)(2011•昆明)某公司只生产普通汽车和新能源汽车,该公司在去年的汽车产量中,新能源汽车占总产量的10%,今年由于国家能源政策的导向和油价上涨的影响,计划将普通汽车的产量减少10%,为保持总产量与去年相等,那么今年新能源汽车的产量应增加的百分数为 90% .‎ 考点:‎ 一元一次方程的应用.734448 ‎ 专题:‎ 压轴题.‎ 分析:‎ 这是一道关于和差倍分问题的应用题,设今年新能源汽车的产量应增加的百分数为x%,解这道的关键是根据“为保持总产量与去年相等”,而去年的总量未知,可以设为参数a,就可以表示出去年普通汽车和新能源汽车的产量分别为90%a和10%a,而几年的普通汽车和新能源汽车的产量分别为90%a(1﹣10%)和10%a(1+x%).就可以根据等量关系列出方程.‎ 解答:‎ 解:设今年新能源汽车的产量应增加的百分数为x%,去年的总产量为a,由题意,得 ‎90%a(1﹣10%)+10%a(1+x%)=a,‎ 解得:x=90.‎ 故答案为:90%.‎ 点评:‎ 本题考查了一元一次方程的运用.要求学生能熟练地掌握例一元一次方程解应用题的步骤.解一元一次方程的关键是找到等量关系.‎ ‎ ‎ 三、简答题(共10题,满分75.)‎ ‎16.(5分)(2011•昆明)计算:.‎ 考点:‎ 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.734448 ‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 根据二次根式、负指数幂、零指数幂的性质进行化简,然后根据实数运算法则进行计算即可得出答案.‎ 解答:‎ 解:原式=2+2﹣1﹣1=2.‎ 点评:‎ 本题主要考查了二次根式、负指数幂、零指数幂的性质及实数运算法则,比较简单.‎ ‎ ‎ ‎17.(6分)(2011•昆明)解方程:.‎ 考点:‎ 解分式方程.734448 ‎ 分析:‎ 观察可得最简公分母是(x﹣2),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.‎ 解答:‎ 解:方程的两边同乘(x﹣2),得 ‎3﹣1=x﹣2,‎ 解得x=4.‎ 检验:把x=4代入(x﹣2)=2≠0.‎ ‎∴原方程的解为:x=4.‎ 点评:‎ 本题考查了分式方程的解法:(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.‎ ‎(2)解分式方程一定注意要验根.‎ ‎ ‎ ‎18.(5分)(2011•昆明)在▱ABCD中,E,F分别是BC、AD上的点,且BE=DF.求证:AE=CF.‎ 考点:‎ 平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质.734448 ‎ 专题:‎ 证明题.‎ 分析:‎ 根据平行四边形的性质得出AB=CD,∠B=∠D,根据SAS证出△ABE≌△CDF即可推出答案.‎ 解答:‎ 证明:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB=CD,∠B=∠D,‎ ‎∵BE=DF,‎ ‎∴△ABE≌△CDF,‎ ‎∴AE=CF.‎ 点评:‎ 本题主要考查对平行四边形的性质,全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握,能根据性质证出△ABE≌△CDF是证此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎19.(7分)(2011•昆明)某校在八年级信息技术模拟测试后,八年级(1)班的最高分为99分,最低分为40分,课代表将全班同学的成绩(得分取整数)进行整理后分为6个小组,制成如下不完整的频数分布直方图,其中39.5~59.5的频率为0.08,结合直方图提供的信息,解答下列问题:‎ ‎(1)八年级(1)班共有 50 名学生;‎ ‎(2)补全69.5~79.5的直方图;‎ ‎(3)若80分及80分以上为优秀,优秀人数占全班人数的百分比是多少?‎ ‎(4)若该校八年级共有450人参加测试,请你估计这次模拟测试中,该校成绩优秀的人数大约有多少人?‎ 考点:‎ 频数(率)分布直方图;用样本估计总体.734448 ‎ 分析:‎ ‎(1)由图知:39.5~59.5的学生共有4人,根据频率=可得到答案;‎ ‎(2)首先求出)69.5~79.5的频数,再画图.‎ ‎(3)80分及80分以上的人数为:18+8=26,再用×100%=百分比可得答案.‎ ‎(4)利用样本估计总体即可解决问题.‎ 解答:‎ 解:(1)4÷0.08=50,‎ ‎(2)69.5~79.5的频数为:50﹣2﹣2﹣8﹣18﹣8=12,如图:‎ ‎(3)×100%=52%,‎ ‎(4)450×52%=234(人),‎ 答:优秀人数大约有234人.‎ 点评:‎ 此题主要考查了看频数分布直方图,用样本估计总体,中考中经常出现,读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.‎ ‎ ‎ ‎20.(7分)(2011•昆明)在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示,请解答下列问题:‎ ‎(1)将△ABC向下平移3个单位长度,得到△A1B1C1,画出平移后的△A1B1C1;‎ ‎(2)将△ABC绕点O顺时针方向旋转180°,得到△A2B2C2,画出旋转后的△A2B2C2,并写出A2点的坐标.‎ 考点:‎ 作图-旋转变换;作图-平移变换.734448 ‎ 专题:‎ 作图题.‎ 分析:‎ ‎(1)将三角形的各点分别向下平移3个单位,然后顺次连接即可得出平移后的△A1B1C1;‎ ‎(2)根据题意所述的旋转角度、旋转中心及旋转方向依次找到各点旋转后的对应点,然后顺次连接即可得出旋转后的△A2B2C2,结合直角坐标系可写出A2点的坐标.‎ 解答:‎ 解:(1)所画图形如下:‎ ‎(2)所画图形如下:‎ ‎∴A2点的坐标为(2,﹣3).‎ 点评:‎ 本题考查了平移作图及旋转作图的知识,难度一般,解答此类题目的关键是掌握旋转及平移的特点,然后根据题意找到各点的对应点,然后顺次连接即可.‎ ‎ ‎ ‎21.(7分)(2011•昆明)如图,在昆明市轨道交通的修建中,规划在A、B两地修建一段地铁,点B在点A的正东方向,由于A、B之间建筑物较多,无法直接测量,现测得古树C在点A的北偏东45°方向上,在点B的北偏西60°方向上,BC=400m,请你求出这段地铁AB的长度.(结果精确到1m,参考数据:,≈1.732)‎ 考点:‎ 解直角三角形的应用-方向角问题.734448 ‎ 专题:‎ 几何综合题;压轴题.‎ 分析:‎ 过点C作CD⊥AB于D,则由已知求出CD和BD,也能求出AD,从而求出这段地铁AB的长度.‎ 解答:‎ 解:过点C作CD⊥AB于D,由题意知:‎ ‎∠CAB=45°,∠CBA=30°,‎ ‎∴CD=BC=200(m),‎ BD=CB•cos(90°﹣60°)=400×=200(m),‎ AD=CD=200(m),‎ ‎∴AB=AD+BD=200+200≈546(m),‎ 答:这段地铁AB的长度为546m.‎ 点评:‎ 本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题,可通过作辅助线构造直角三角形,再把条件和问题转化到直角三角形中,有公共直角边的可利用这条边进行求解.‎ ‎ ‎ ‎22.(8分)(2011•昆明)小昆和小明玩摸牌游戏,游戏规则如下:有3张背面完全相同,牌面标有数字1、2、3的纸牌,将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上,随机抽出一张,记下牌面数字,放回后洗匀再随机抽出一张.‎ ‎(1)请用画树形图或列表的方法(只选其中一种),表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果;‎ ‎(2)若规定:两次抽出的纸牌数字之和为奇数,则小昆获胜,两次抽出的纸牌数字之和为偶数,则小明获胜,这个游戏公平吗?为什么?‎ 考点:‎ 游戏公平性;列表法与树状图法.734448 ‎ 分析:‎ ‎(1)根据题意直接列出树形图或列表即可;‎ ‎(2)游戏是否公平,关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会,本题中即两纸牌上的数字之和为偶数或奇数时的概率是否相等,求出概率比较,即可得出结论.‎ 解答:‎ 解:(1)‎ ‎(2)不公平.‎ 理由:因为两纸牌上的数字之和有以下几种情况:‎ ‎1+1=2;2+1=3;3+1=4;1+2=3;2+2=4;3+2=5;1+3=4;2+3=5;3+3=6共9种情况,‎ 其中5个偶数,4个奇数.‎ 即小昆获胜的概率为,而小明的概率为,‎ ‎∴>,‎ ‎∴此游戏不公平.‎ 点评:‎ 本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平.‎ ‎ ‎ ‎23.(9分)(2011•昆明)A市有某种型号的农用车50辆,B市有40辆,现要将这些农用车全部调往C、D两县,C县需要该种农用车42辆,D县需要48辆,从A市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆300元和150元,从B市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆200元和250元.‎ ‎(1)设从A市运往C县的农用车为x辆,此次调运总费为y元,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;‎ ‎(2)若此次调运的总费用不超过16000元,有哪几种调运方案?哪种方案的费用最小?并求出最小费用?‎ 考点:‎ 一次函数的应用.734448 ‎ 专题:‎ 压轴题;函数思想.‎ 分析:‎ ‎(1)由已知用x表示出各种情况的费用,列出函数关系式,化简即得.根据已知列出不等式组求解.‎ ‎(2)根据(1)得出的函数关系,由此次调运的总费用不超过16000元,计算讨论得出答案.‎ 解答:‎ 解:(1)从A市运往C县的农用车为x辆,此次调运总费为y元,根据题意得:‎ y=300x+200(42﹣x)+150(50﹣x)+250(x﹣2),‎ 即y=200x+15400,‎ 所以y与x的函数关系式为:y=200x+15400.‎ 又∵,‎ 解得:2≤x≤42,且x为整数,‎ 所以自变量x的取值范围为:2≤x≤42,且x为整数.‎ ‎(2)∵此次调运的总费用不超过16000元,‎ ‎∴200x+15400≤16000‎ 解得:x≤3,‎ ‎∴x可以取:2或3,‎ 方案一:从A市运往C县的农用车为2辆,从B市运往C县的农用车为40辆,从A市运往D县的农用车为48辆,从B市运往D县的农用车为0辆,‎ 方案二:从A市运往C县的农用车为3辆,从B市运往C县的农用车为39辆,从A市运往D县的农用车为47辆,从B市运往D县的农用车为1辆,‎ ‎∵y=200x+15400是一次函数,且k=200>0,y随x的增大而增大,‎ ‎∴当x=2时,y最小,即方案一费用最小,‎ 此时,y=200×2+15400=15800,‎ 所以最小费用为:15800元.‎ 点评:‎ 此题考查的知识点是一次函数的应用,关键是使学生真切地感受到“数学来源于生活”,体验到数学的“有用性”.这样设计体现了《新课程标准》的“问题情景﹣建立模型﹣解释、应用和拓展”的数学学习模式.‎ ‎ ‎ ‎24.(9分)(2011•昆明)如图,已知AB是⊙O的直径,点E在⊙O上,过点E的直线EF与AB的延长线交于点F,AC⊥EF,垂足为C,AE平分∠FAC.‎ ‎(1)求证:CF是⊙O的切线;‎ ‎(2)∠F=30°时,求的值.‎ 考点:‎ 切线的判定与性质;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.734448 ‎ 专题:‎ 几何综合题;压轴题.‎ 分析:‎ ‎(1)连接OE,根据角平分线的性质和等边对等角可得出OE∥AC,则∠OEF=∠ACF,由AC⊥EF,则∠OEF=∠ACF=90°,从而得出OE⊥CF,即CF是⊙O的切线;‎ ‎(2)由OE∥AC,则△OFE∽△AFC,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方,从而得出的值.‎ 解答:‎ ‎(1)证明:连接OE,‎ ‎∵AE平分∠FAC,‎ ‎∴∠CAE=∠OAE,‎ 又∵OA=OE,∠OEA=∠OAE,∠CAE=∠OEA,‎ ‎∴OE∥AC,‎ ‎∴∠OEF=∠ACF,‎ 又∵AC⊥EF,‎ ‎∴∠OEF=∠ACF=90°,‎ ‎∴OE⊥CF,‎ 又∵点E在⊙O上,‎ ‎∴CF是⊙O的切线;‎ ‎(2)解:∵∠OEF=90°,∠F=30°,‎ ‎∴ OF=2OE 又OA=OE,‎ ‎∴AF=3OE,‎ 又∵OE∥AC,‎ ‎∴△OFE∽△AFC,‎ ‎∴==,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=.‎ 点评:‎ 本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理,是基础知识要熟练掌握.‎ ‎ ‎ ‎25.(12分)(2011•昆明)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,AC:BC=4:3,点P从点A出发沿AB方向向点B运动,速度为1cm/s,同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动,速度为2cm/s,当一个运动点到达终点时,另一个运动点也随之停止运动.‎ ‎(1)求AC、BC的长;‎ ‎(2)设点P的运动时间为x(秒),△PBQ的面积为y(cm2),当△PBQ存在时,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;‎ ‎(3)当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似,请说明理由;‎ ‎(4)当x=5秒时,在直线PQ上是否存在一点M,使△BCM得周长最小?若存在,求出最小周长;若不存在,请说明理由.‎ 考点:‎ 相似三角形的判定与性质;二次函数的最值;勾股定理.734448 ‎ 专题:‎ 压轴题;动点型.‎ 分析:‎ ‎(1)由在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,AC:BC=4:3,设AC=4y,BC=3y,由勾股定理即可求得AC、BC的长;‎ ‎(2)分别从当点Q在边BC上运动时,过点Q作QH⊥AB于H与当点Q在边CA上运动时,过点Q作QH′⊥AB于H′去分析,首先过点Q作AB的垂线,利用相似三角形的性质即可求得△PBQ的底与高,则可求得y与x的函数关系式;‎ ‎(3)由PQ⊥AB,可得△APQ∽△ACB,由相似三角形的对应边成比例,求得△PBQ各边的长,根据相似三角形的判定,即可得以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似;‎ ‎(4)由x=5秒,求得AQ与AP的长,可得PQ是△ABC的中位线,即可得PQ是AC的垂直平分线,可得当M与P重合时△BCM得周长最小,则可求得最小周长的值.‎ 解答: ‎ 解:(1)设AC=4ycm,BC=3ycm,‎ 在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,‎ 即:(4y)2+(3y)2=102,‎ 解得:y=2,‎ ‎∴AC=8cm,BC=6cm;‎ ‎(2)①当点Q在边BC上运动时,过点Q作QH⊥AB于H,‎ ‎∵AP=xcm,‎ ‎∴BP=(10﹣x)cm,BQ=2xcm,‎ ‎∵△QHB∽△ACB,‎ ‎∴,‎ ‎∴QH=xcm,‎ y=BP•QH=(10﹣x)•x=﹣x2+8x(0<x≤3),‎ ‎②当点Q在边CA上运动时,过点Q作QH′⊥AB于H′,‎ ‎∵AP=xcm,‎ ‎∴BP=(10﹣x)cm,AQ=(14﹣2x)cm,‎ ‎∵△AQH′∽△ABC,‎ ‎∴,‎ 即:=,‎ 解得:QH′=(14﹣2x)cm,‎ ‎∴y=PB•QH′=(10﹣x)•(14﹣2x)=x2﹣x+42(3<x<7);‎ ‎∴y与x的函数关系式为:y=;‎ ‎(3)∵ AP=xcm,AQ=(14﹣2x)cm,‎ ‎∵ PQ⊥AB,‎ ‎∴△APQ∽△ACB,‎ ‎∴=,‎ 即:=,‎ 解得:x=,PQ=,‎ ‎∴PB=10﹣x=cm,‎ ‎∴==≠,‎ ‎∴当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似;‎ ‎(4)存在.‎ 理由:∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4cm,AP=x=5cm,‎ ‎∵AC=8cm,AB=10cm,‎ ‎∴PQ是△ABC的中位线,‎ ‎∴PQ∥BC,‎ ‎∴PQ⊥AC,‎ ‎∴PQ是AC的垂直平分线,‎ ‎∴PC=AP=5cm,‎ ‎∵AP=CP,‎ ‎∴AP+BP=AB,‎ ‎∴AM+BM=AB,‎ ‎∴当点M与P重合时,△BCM的周长最小,‎ ‎∴△BCM的周长为:MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16cm.‎ ‎∴△BCM的周长最小值为16cm.‎ 点评:‎ 本题考查了相似三角形的判定与性质,勾股定理,以及最短距离问题.此题综合性很强,难度较大,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.‎ ‎ ‎
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