中考数学三轮真题集训冲刺知识点46新定义型pdf含解析

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1 / 10 一、选择题 1.（2019·岳阳）对于一个函数，自变量 x 取 a 时，函数值 y 也等于 a，我 们 称 a 为这个函数的不动点．如 果二次函数 y=x2+2x+c 有两个相异的不动点 x1、x2，且 x1＜1＜x2，则 c 的取值范围是（） A．c＜－3 B．c＜－2 C． 1 4c < D．c＜1 【答案】B 【解析】 当 y=x 时，x=x2+2x+c，即为 x2+x+c=0，由题意可知：x1，x2 是该方程的两个实数根，所以 12 12 1xx xx c +=−  ⋅= ∵x1＜1＜x2，∴（x1－1）（ x2－1）＜0， 即 x1x2－(x1＋x2) ＋1＜0， ∴c－(－1)＋1＜0， ∴c＜－2. 又知方程有两个不相等的实数根，故Δ＞0， 即 12－4c＞0， 解得：c＜ 1 4 . ∴c 的取值范围为 c＜－2 . 2.（2019·济宁）已知有理数 a≠1，我们把 1 1 a− 称为 a 的差倒数，如：2 的差倒数是 1 12− ＝−1，－1 的差倒数是 11 1 ( 1) 2 =−− ．如 果 a1＝－2，a2 是 a1 的差倒数，a3 是 a2 的差倒数，a4 是 a3 的差倒数，…， 依此类推，那么 a1＋a2＋…＋a100 的值是（） A．－7.5 B．7.5 C．5.5 D．－5.5 【答案】A 【解析】由题意知：a2＝ 1 1 ( 2)−− ＝ 1 3 ；a3＝ 1 11 3 − ＝ 3 2 ，a4＝ 1 31 2 − ＝－2；a5＝ 1 1 ( 2)−− ＝ 1 3 ；…； 可知经过 3 次开始循环，所以 a1＋a2＋…＋a100＝－2＋ 1 3 ＋ 3 2 －2＋ 1 3 ＋ 3 2 ＋…－2＝ 1 33 26 −× − ＝－7.5． 知识点 46——新定义型 2 / 10 二、填空题 1．（2019·娄底） 已知点 P(x0 , y0 ) 到直线 y = kx + b 的距离可表示为 0 0 1 2 kx b yd k +−= + ，例 如 ：点（ 0， 1）到直线 y＝2x+6 的距离 2 2061 5 12 d ×+−= = + ．据此进一步可得两平行直线 yx= 与 4yx= − 之间的距离为___________． 【答案】 22． 【解析】在直线 yx= 上任取点，不妨取（0，0），根据两条平行线之间距离的定义可知，（0，0）到直 线 4yx= − 的距离就是两平行直线 yx= 与 4yx= − 之间的距离． 2 040 4 22 211 d −−= = = + ④中的四边形 PMNQ 满足 MN∥PQ，设 P(m，0)（m＞0）， ∵ PM＝ ＝ ＋1， PQ＝ －(－1)＝ ＋1，∴PM＝PQ，故四边形 PMNQ 是广义菱形．综上所述正确的是①④． 3．（2019·陇南）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 k 称为这个等腰三角形的“特 征值”．若等腰△ABC 中，∠A＝80°，则它的特征值 k＝ ． 【答案】 8 5 或 1 4 ． 【解析】当∠A 是顶角时，底角是 50° ，则 k= 80 8 50 5 =   ；当 ∠ A 是底角时，则底角是 20°，k= 20 1 80 4 =   ， 故答案为： 8 5 或 1 4 ． 三、解答题 1.（2019·重庆 A 卷）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在 ． 2．（2019·常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形．根 据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互 相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若 M、N 的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，P 是二次函数 y＝ x2 的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线 y＝－1 于点 Q，则四边形 PMNQ 是广义菱形．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①④ 【解析】正方形和菱形满足一组对边平行，一组邻边相等，故都是广义菱形，故①正确；平行四边形虽 然满足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故②错误；对角线互相垂直，且 两组邻边分别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此不是广义菱形，故③错误； 1 4 2 221( 1)4mm+− 21 4 m 21 4 m 21 4 m 3 / 10 数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇 数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”． 定义：对于自然数 n，在 计 算 n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数 n 为“ 纯 数 ”， 例如：32 是”纯数”，因为计算 32＋33＋34 时，各数位都不产生进位；23 不是“纯数”，因为计算 23＋24＋25 时，个位产生了进位． （1）判断 2019 和 2020 是否是“纯数”？请说明理由； （2）求出不大于 100 的“纯数”的个数． 解：（1）2019 不是“纯数”，2020 是“纯数”，理由如下： ∵在计算 2019＋2020＋2021 时，个位产生了进位，而计算 2020＋2021＋2022 时，各 数位都不产生进位， ∴2019 不是“纯数”，2020 是“纯数”． （2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为 0、1、2 时，不会产生进位；其他位的数字为 0、1、2、3 时，不会产生进位．现分三种情况 讨论如下： ①当这个数为一位自然数时，只能是 0、1、2，共 3 个； ②当这个数为二位自然数时，十位只能为 1、2、3，个位只能为 0、1、2，即 10、11、 12、20、21、22、30、31、32 共 9 个； ③当这个数为 100 时，易知 100 是“纯数”． 综上，不大于 100 的“纯数”的个数为 3＋9＋1＝13． 2.（2019·重庆 B 卷）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自 然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等. 现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”. 定义：对于自然数 n ，在通过列竖式进行 ( ) ( )21 ++++ nnn 的运算时各位都不产生进位现象，则称这个 自然数 n 为“纯数”. 例如：32 是“纯数”，因为 343332 ++ 在列竖式计算时各位都不产生进位现象； 23不是“纯数”，因为 252423 ++ 在列竖式计算时个位产生了进位. ⑴请直接写出 1949 到 2019 之间的“纯数”； ⑵求出不大于 100 的“纯数”的个数，并说明理由. 解：（1）1949 到 2019 之间的“纯数”为 2000、2001、2002、2010、2011、2012 . （2）由题意：不大于 100 的“纯数”包含：一位数、两位数和三位数 100 若 n 为一位数，则有 n+（n+1）+（n+2）＜10，解得：n＜3，所以：小于 10 的“纯数数”有 0、1、2，共 3 个． 两位数须满足：十位数可以是 1、2、3，个位数可以是 0、1、2，列举共有 9 个分别是 10、11、12、20、 21、22、30、31、32；三位数为 100，共 1 个所以：不大于 100 的“纯数”共有 13 个. 3.（2019·衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y） 满是x= 3 ac+ ，y= 3 bd+ ，那么称点T是点A，B的融合点。 4 / 10 例如：A（-1，8），B（4，一2），当点T（x.y）满是x= 14 3 −+ =1，y= 8 ( 2) 3 +− =2时.则点T（1，2） 是点A，B的融合点。 （1）已知点A（-1，5），B（7，7）.C（2，4）。请说明其中一个点是另外两个点的融合点. （2）如图，点D（3，0）.点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点. ①试确定y与x的关系式. ②若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标. 解：（1）∵ 17 3 −+ =2， 57 3 + =4， ∴点C（2，4）是点A.B的融合点。..…3分 （2）①由融合点定义知x= 3 3 t+ ，得t=3x-3....4分 又∵y= 0 (2 3) 3 t++，得t= 33 2 y − ...….5分 ∴3x-3= 33 2 y − ，化简得y=2x-1.……6分 ②要使△DTH为直角三角形，可分三种情况讨论： （Ⅰ）当∠THD=90°时，如图1所示，设T（m，2m-1），则点E为（m，2m+3）. x y l 1 1 O D 5 / 10 由点T是点D，E的融合点， 可得m= 3 3 m + 或2m-1= (2 3) 0 3 m ++ 解得m= 3 2 ，∴点E1（ 3 2 ，6）.…7分 （Ⅱ）当∠TDH=90°时，如图2所示，则点T为（3，5）. 由点T是点D，E的融合点，可得点E2（6，15）。.……8分 （Ⅲ）当∠HTD=90°时，该情况不存在。……9分 （注：此类情况不写不扣分） x y l H T E 1 1 O D x y E T Hl O D 6 / 10 综上所述，符合题意的点为E1（ 3 2 ，6），E2（6，15）. ……10分 4.(2019·宁波)定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线. (1)如图 1,在△ABC 中,AB＝AC,AD 是△ABC 的角平分线,E,F 分别是 BD,AD 上的点.求证:四边形 ABEF 是邻余四边形; (2)如图2,在5×4的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F 在格点上; (3)如图 3,在(1)的条件下,取 EF 中点 M,连接 DM 并延长交 AB 于点 Q,延长 EF 交 AC 于点 N.若 N 为 AC 的中点,DE＝2BE,求邻余线 AB 的长. 解：(1)∵AB＝AC,AD 是△ABC 的角平分线,∴AD⊥BC,∴∠ADB＝90°,∴∠DAB+∠DBA＝90°, ∴∠FAB 与∠EBA 互余.∴四边形 ABEF 是邻余四边形; (2)如图所示,四边形 ABEF 即为所求.(答案不唯一) (3)∵AB＝AC,AD 是△ABC 的角平分线,∴BD＝CD,∵DE＝2BE,∴BD＝CD＝3BE,∴CE＝CD+DE＝ 5BE.∵∠EDF＝90°,M 为 EF的中点,∴DM＝ME.∴∠MDE＝∠MED.∵AB＝AC,∴∠B＝∠C,∴△DBQ ∽△ECN,∴ 3 5 QB BD NC CE = = ,∵QB＝3,∴NC＝5,∵AN＝CN,∴AC＝2CN＝10,∴AB＝AC＝10. 5.（2019·金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为 4，边 OA，OC 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，把正方形 OABC 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点 P 为抛物线 y＝ －（x－2）2＋m＋2 的顶点． （1）当 m＝0 时，求该抛物线下放（包括边界）的好点个数． （2）当 m＝3 时，求该抛物线上的好点坐标． （3）若点 P 在正方形 OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在 8 个好点，求 m 的取值范围． 7 / 10 解 ：（ 1）当 m＝0 时，二次函数的表达式为 y＝－x2＋2，画出函数图象（图 1）， ∵当 x＝0 时，y＝2；当 x＝1 时，y＝1； ∴抛物线经过点（0，2）和（1，1）． ∴好点有：（0，0），（0，1），（0，2）．（1，0）和（1，1）共 5 个． （2）当 m＝3 时，二次函数的表达式为 y＝－（x－3）2＋5，画出函数图象（图 2）， ∵当 x＝1 时，y＝1；当 x＝4 时，y＝4； ∴抛物线上存在好点，坐标分别是（1，1）和（4，4）． （3）∵抛物线顶点 P 的坐标为（m，m＋2）， ∴点 P 在直线 y＝x＋2 上． 由于点 P 在正方形内，则 0＜m＜2． 如图 3，点 E（2，1），F（2，2）． ∴当顶点 P 在正方形 OABC 内，且好点恰好存在 8 个时，抛物线与线段 EF 有交点（点 F 除外）． 当抛物线经过点 E（2，1）时，－（ 2－m）2＋m＋2＝1， 解得 m1＝ 5 13 2 − ，m2＝ 5 13 2 + （舍去）． 当抛物线经过点 F（2，2）时，－（ 2－m）2＋m＋2＝2， 解得 m1＝1，m2＝4（舍去）． ∴当 5 13 2 − ＜m＜1 时，点 P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8 个好点． 6.（2019·达州）箭头四角形模型规律如图 1，延长 CO 交 AB 于点 D，则∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B. 因为凹四边形 ABOC 形似箭头， 其四角具 有“∠BOC=∠A+∠C+∠B”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”. 模型应用 （1）直接应用：①如图 2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________ x y P C B AO x y 图1 P C B AO x y 图2 C B AO P x y 图3 F E P C B AO 8 / 10 . ②如图 3，∠ ABE、∠ ACE 的 2 等分线（即角平分线）BF、CF 交于点 F，已知∠BEC=120°∠BAC=50°， 则∠BFC=__________. ③如图 4，BO1 、CO 2 分别为∠ABO、∠ACO 的 2019 等分线（i=1，2，3，…，2017，2018），它们的 交点从上到下依次为 O1 ，O 2 ，O 3 ，… ，O 2018 . 已知∠BOC=m° ，∠ BAC=n°，则∠BO 1000 C=______ 度 （1）拓展应用：如图 5，在四边形 ABCD 中，BC=CD ，∠BCD=2∠BAD. O 是四边形 ABCD 内的 一点，且 OA=OB=OD. 求证：四边形 OBCD 是菱形. 解：（1）①∵∠A+∠B+∠C= α∠ ，∠D+∠E+∠F= α∠ ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2 α∠ ②∵∠BEC=∠A+∠ABC+∠ACB ∠BFC=∠A+ 2 1 ∠ABC+ 2 1 ∠ACB ∠BEC=120°∠BAC=50° ∴ 2 1 ∠BEC= 2 1 ∠A+ 2 1 ∠ABC+ 2 1 ∠ACB ∴60°=25°+ 2 1 ∠ABC+ 2 1 ∠ACB 9 / 10 ∴ 2 1 ∠ABC+ 2 1 ∠ACB=35° ∴∠BFC=∠A+ 2 1 ∠ABC+ 2 1 ∠ACB ＝50°＋35° ＝85° ∴∠BFC＝85° ③  nm 2019 1019 2019 1000 + （2） 7.（2019·济宁） 阅读下面材料： 如果函数 y＝f(x)满足：对于自变量 x 的取值范围内的任意 x1，x2， （1）若 x1＜x2，都有 f(x1) ＜f(x2)，则称 f(x)是增函数； （2）若 x1＜x2，都有 f(x1) ＞f(x2)，则称 f(x)是减函数． 10 / 10 例题：证明函数 f(x)＝ 6 x (x＞0)是减函数． 证明：设 0＜x1＜x2，f(x1) －f(x2)＝ 12 66 xx − ＝ ( )2121 12 12 666 .xxxx xx xx −− = ∵0＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1x2＞0． ∴ ( )21 12 6 xx xx − ＞0，即 f(x1) — f(x2)＞0．∴f(x1) ＞f(x2)，∴函数 f(x)＝ 6 x (x＞0)是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数 ( ) 2 1fx xx = + （x＜0）， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 1 171 1 0, 2 2 412 ff− = +− = − = +− =− −− （1）计算：f(－3)＝________，f(－4)＝________； （2）猜想：函数 ( ) 2 1fx xx = + （x＜0）是________函数（填“增”或“减”）； （3）请仿照例题证明你的猜想． 解： （1） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 1 26 1 633 3 ,4 49 1634 ff− = +− =− − = +− =− −− （2）增； （3）证明：设 x1＜x2＜0， f(x1) －f(x2)＝ 22 21 1 2 12 122 2 2 2 22 1 2 1 2 12 1 1 11 xxx x xx xxx x x x xx    −+ − + = − +− = +−      ( )( ) ( ) ( )( )2121 2121 2122 22 12 12 1xxxx xxxxxxxx xx + − − +−= −−= ． ∵x1＜x2＜0，∴x2—x1＞0，x1 2x2 2＞0，x2＋x1－1＜0， ∴ ( )( )2121 22 12 1xxxx xx − +−＜0，即 f(x1)－f(x2)＜0．∴f(x1) ＜f(x2)，∴函数 ( ) 2 1fx xx = + 是增函数．