- 2021-05-24 发布 |
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文档介绍
圆的方程教案2
圆的方程 一、知识点 1、圆的标准方程 2、圆的一般方程 3、圆的参数方程 4、根据恰当的条件写出圆的方程 5、由圆的方程写出圆的半径和圆心 6、由直线方程和圆的方程讨论直线与圆的位置关系 7、由圆的方程讨论两个圆的位置关系 二、能力点 1、掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程 2、能根据恰当的条件写出圆的方程 3、会由圆的方程写出圆的半径和圆心 4、会由直线方程和圆的方程讨论直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程 5、会由圆的方程讨论两个圆的位置关系 6、进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力 7、培养学生设参数、消参数解决问题的能力 三、学法指导 1、求圆的方程可大致分为五种不同情形 ①给出圆的半径，隐含给出圆的圆心 ②给出圆的圆心，隐含给出圆的半径 ③给出圆经过两个定点及圆心通过某条已知直线 ④给定圆上三点 ⑤给出圆上一定点，一条圆的切线方程及圆心所在直线方程 2、直线与圆的位置关系的判断 ⑴方程观点：由圆的方程与直线的方程消去y(或x)后得到一个一元二次方程，用判别式Δ与0的大小来判别：Δ＞0时，直线与圆相交；Δ＝0时，直线与圆相切；Δ＜0时，直线与圆相离。 ⑵几何法(算出圆心到直线的距离d，然后比较d与半径R的关系)：当d＜R时直线与圆相交；d＝R时直线与圆相切；d＞R时直线与圆相离。 3、两圆的位置关系 用几何法较好，设两圆的圆心的距离为d，两圆的半径分别为R1、R2，则： ①d＞R1＋R2时两圆相离； ②d＝R1＋R2时两圆外切； ③d＜|R1－R2|时两圆内切； ④R1－R2＜d＜R1＋R2时两圆相交； ⑤d＜R1－R2两圆内含。 15 4、圆的参数方程是表示圆心为原点，半径为R的圆，由于圆的参数方程是由圆上动点坐标形式来表达的，用参数式求圆上的动点与某定点的距离，求圆上的动点与某定点所有连线的斜率范围等问题可化为三角求解，这样运算简洁，计算方便。 四、重点与难点 1、重点：圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导和应用 2、难点：直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论以及圆的相关性质的研究 五、课时安排 三课时 第一课时 圆的标准方程 ●教学目标 1．掌握圆的标准方程的形式特点； 2．能根据圆心坐标、半径熟练写出圆的标准方程； 3．能从圆的标准方程求出它的圆心和半径. ●教学重点 圆的标准方程 ●教学难点 根据条件建立圆的标准方程 ●教学方法 学导式 ●教学过程 设置情境：在初中的几何课本中，大家对圆的性质就比较熟悉，首先来回顾一下圆的定义。 平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆，定点就是圆心，定长就是半径. 按照求解曲线方程的一般步骤来求解圆的方程. 1．圆的标准方程： (x―a)2＋(y―b)2＝r2 其中圆心坐标为（a,b），半径为r 推导：如图7—32，设M（x,y）是圆上任意一点，根据定义，点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为 把①式两边平方，得(x―a)2＋(y―b)2＝r2 当圆心在原点，这时圆的方程是：x2＋y2＝r2 小结：由圆的标准方程知道，只要知道圆的圆心、半径就可以写出圆的方程。 课堂练习：1、P77 练习 1 15 写出下列各圆的方程 ⑴圆心在原点，半径是3； ⑵圆心在点C(3,4)，半径是5； ⑶圆心在点C(8,－3),经过点P(5,1)。 2、说出下列圆的圆心、半径 ⑴(x－2)2＋(y＋3)2＝25 ⑵(x＋2)2＋(y－1)2＝36 ⑶x2＋y2＝4 3、判断下列各点与圆(x＋1)2＋(y－1)2＝4的位置关系： ①A(1,1)；②B(0,1)；③C(3,1)。 小结：点P(x0,y0)与(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系是 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2等价于点P在圆上；(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2等价于点P在圆外； (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2等价于点P在圆内。 2．例题讲解： 例1 求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x－4y－7=0相切的圆的方程. 回忆初中直线与圆的位置关系： ①设圆心到直线的距离d，圆的半径为r，则d＞r等价于直线与圆相离；d＝r等价于直线与圆相切；d＜r等价于直线与圆相交。 ②从交点个数来看：直线与圆没有交点等价于直线与圆相离；直线与圆只有一个点等价于直线与圆相切；直线与圆有两个点等价于直线与圆相交。 ③从方程的观点来看：由圆的方程与直线的方程消去y(或x)后得到一个一元二次方程，用判别式Δ与0的大小来判别：Δ＞0等价于直线与圆相交；Δ＝0等价于直线与圆相切；Δ＜0等价于直线与圆相离。 解：因为圆C和直线3x－4y－7=0相切，所以半径r等于圆心C到这条直线的距离. 根据点到直线的距离公式，得 因此，所求的圆的方程是 说明直线和圆相切的性质是解决圆的问题重要知识 例2 已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0， y0）的切线的方程. 解：如图，设切线的斜率为k，半径OM的斜率为k1,因为圆的切线 垂直于过切点的半径，于是 15 . 经过点M的切线方程是： 整理得： 因为点M（x0，,y0）在圆上，所以 所求切线方程为： 当点M在坐标轴上时，上述方程同样适用. 猜测：已知圆的方程是(x－a)2+(y－b)2=r2，则经过圆上一点M（x0， y0）的切线的方程是(x－a) (x0－a)+(y－b) (y0－b)=r2. 说明：例2结论要求学生熟记.，一题多解 例3 图7—34是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m）. 解：建立直角坐标系如图7—34所示. 圆心在y轴上，设圆心的坐标是（0，b），圆的半径是r,那么圆的方程是x2+(y－b)2=r2 因为P、B都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、（10，0）都是这个圆的方程的解.于是得到方程组. 解得b=－10.5, r2=14.52 所以这个圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52 把点P的横坐标x=－2代入圆方程得 答：支柱A2P2的长度约为. 说明：例3一方面让学生进一步熟悉求曲线方程的一般步骤，另一方面了解待定系数法确定曲线方程的思路. Ⅲ.课堂练习 课本P77 练习1，2，3，4 思考题： 1、圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的最小距离是__________。5 15 2．直线3x－4y+17=0被(x－2)2＋(y－2)2＝25所截得的弦长是_____________.8 ●归纳总结 1数学思想：数形结合， 2数学方法：解析法，图形法。 通过本节学习，要求大家熟练掌握圆的标准方程，了解待定系数法，进一步熟悉求曲线方程的一般步骤，并能解决一些简单的有关圆的实际问题.。要学会把圆的几何性质与解析法结合起来解决问题。 ●作业 习题7.7 1，2，3，4 15 第二课时 圆的一般方程 ●教学目标 1．掌握圆的一般方程的形式特点及与标准方程互化； 2．掌握二元二次方程表示圆的充要条件； 3．进一步熟悉并掌握待定系数法. ●教学重点 圆的一般方程应用 ●教学难点 待定系数法 教学过程 一、设置情境： 1、求下列各圆的标准方程 ⑴圆心在直线y＝－x上，且过两点(2,0),(0,－4)； ⑵圆心在直线2x＋y＝0上，且与直线x＋y－1＝0相切于点(2，－1)； ⑶圆心在直线5x－3y＝8上，且与坐标轴相切。 ⑴(x－3)2＋(y＋3)2＝10；⑵(x－1)2＋(y＋2)2＝2；⑶(x－4)2＋(y－4)2＝16 2、已知圆x2＋y2＝25，求： ⑴过点A(4，－3)的切线方程； 4x－3y－25＝0 ⑵过点B(－5，2)的切线方程。 21x－20y＋145＝0或x＝－5 2、圆的标准方程及其应用回顾： (x―a)2＋(y―b)2＝r2 其中圆心坐标为（a,b），半径为r 变形圆的标准方程 x2＋y2―2ax―2by＋a2＋b2－r2＝0 由此可见，任一个圆的方程都可以写成下面的形式： x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ① 反过来，我们研究形如①的方程的曲线是不是圆。 将①的左边配方，整理得 ② ⑴当D2+E2－4F＞0时，比较方程②和圆的标准方程，可以看出方程①表示以(―D/2,―E/2)为圆心，半径为的圆； ⑵当D2+E2－4F＝0时，方程①只有实数解x＝―D/2,y＝―E/2，所以表示一个点(―D/2,―E/2)； ⑶当D2+E2－4F＜0时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形。 二、解决问题 15 1、圆的一般方程： x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(D2+E2－4F＞0)，其中圆心(―D/2,―E/2)，半径为。 2、二元二次方程表示圆的充要条件： 由二元二次方程的一般形式： Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 和圆的一般方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的系数比较， （1）x2和y2的系数相同，且不等于0，即A=C≠0； （2）没有xy项，即B=0； （3）D2+E2－4AF＞0. 练习： 1、下列方程各表示什么图形？ ⑴x2 + y2 = 0 ⑵x2 + y2 －2x + 4y －6 = 0 ⑶x2 + y2 + 2ax－b2 = 0 2、求下列各圆的圆心与半径 ⑴x2 + y2 －6y = 0 ⑵x2 + y2 + 2by = 0 ⑶x2 + y2 －4x + 6y －12= 0 三、反思应用 例1 求过三点O（0，0）、M1（1，1）、M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标. 解：设所求圆的方程为x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 用待定系数法，根据所给条件来确定D、E、F、 因为O、M1、M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程，可得 解得 于是所求圆方程为：x2+y2－8x+6y=0 化成标准方程为：（x－4）2+[y－(－3)]2=52 所以圆半径r=5,圆心坐标为（4，－3） 说明：例4要求学生进一步熟悉待定系数法，并能将圆的一般方程化成标准形式，并求出相应半径与圆心半径. 例2 已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线. 15 解：在给定的坐标系里，设点M（x,y）是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合. 由两点间的距离公式，点M所适合的条件可以表示为， ① 将①式两边平方，得 化简得x2+y2+2x－3=0 ② 化为标准形式得：(x+1)2+y2 = 4 所以方程②表示的曲线是以C（－1，0）为圆心，2为半径的圆，它的图形如图7—35所示. 例3 求过原点及点A(1,1)且在x轴上截得的线段长为3的圆的方程。 解：设所求圆的方程为：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，则 又圆被x轴上截得的线段长为3，即|D|＝3 ∴D＝±3，当D＝3时，E＝－5，F＝0；当D＝－3时，E＝1，F＝0 故所求的圆的方程为：x2 + y2 + 3x －5y = 0或x2 + y2 －3x ＋y = 0 ●课堂小结 圆的一般方程，能化成标准方程，进一步熟悉待定系数法思路，熟练求解曲线方程. ●课后作业 习题7.7 5，6，7，8 15 第三课时 圆的方程 教学目标 ⑴进一步掌握圆的标准方程与一般方程 ⑵能根据条件选择适当的形式求出圆的方程 ⑶进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力，培养学生对数学知识的理解能力、运用能力、判断能力。 教学过程 知识掌握 A组： 1、点M在圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上，则点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为（ ） A、9 B、8 C、5 D、2 2、由点M(－1,4)向圆(x－2)2＋(y－3)2＝1所引的切线的长是（ ） A、3 D、5 3、过点M(2,3)且与圆x2＋y2＝4相切的直线方程是___________________. 4、若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点M(a,b)与圆的位置关系是____________. 5、求与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上且截直线y＝x所得弦长为的圆的方程。 答案：1、D；2、A；3、x＝2和5x－12y＋20＝0；4、圆外； 5、设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2 ∵圆心在直线x－3y＝0上,∴a＝3b① ∵圆与y轴相切，∴r＝|a|＝|3b|② ∵圆心(a,b)到直线y＝x的距离，即d2＝2b2 , 又圆截直线y＝x所得弦长为 ∴9b2＝2b2＋7③,由①②③解得：a=3,b=1,r=3或a=－3,b=－1,r=3 故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9 B组： 1、方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，则实数k的取值范围是（ ） A、k>－8/3 B、k<－8/3 C、－1查看更多