2018届二轮复习（理） 不等式学案（全国通用）
第2讲 不等式
1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点．
2．一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围．
3．利用不等式解决实际问题．
热点一 不等式的解法
1．一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
2．简单分式不等式的解法
(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．
(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．
例1 (1)(2017届湖南衡阳八中月考)设f(x)＝ 则不等式f(x)>2的解集为( )
A．(1,2)∪(3，＋∞) B．(，＋∞)
C．(1,2)∪(，＋∞) D．(1,2)
答案 C
解析 令2ex－1>2(x<2)，解得1
2(x≥2)，解得x>，则不等式f(x)>2的解集为(1,2)∪(，＋∞)，故选C.
(2)(2017届安徽师大附中期中)已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－30的解集为______________．
答案
解析 根据题意可得＝－1，＝－6，∴a＝－5，b＝30，
∴bx2－5x＋a>0可化为6x2－x－1>0⇔(3x＋1)(2x－1)>0，∴不等式的解集为.
思维升华 (1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化．
(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．
(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．
跟踪演练1 (1)(2017届安徽淮北一中模拟)不等式≥0的解集是__________．
答案 {x|11的解集为________________．
答案 (－∞，－e)∪(e，＋∞)
解析 函数f(x)的解析式为f(x)＝
当x>0时，解f(x)＝ln x>1，得x>e，即x的取值范围是(e，＋∞)；当x<0时，解f(x)＝ln(－x)>1，
得x<－e，即x的取值范围是(－∞，－e)．
综上可得f(x)>1的解集为(－∞，－e)∪(e，＋∞)．
热点二 基本不等式的应用
利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值)．
例2 (1)若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
解析 由题意，得lg a＋lg b＝lg(a＋b)，
即ab＝a＋b⇒＋＝1.
因为a>0，b>0，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋
≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时取等号，故选B.
(2)(2017届甘肃肃南裕固族自治县一中月考)已知a>b，且ab＝1，则的最小值是________．
答案 2
解析 ＝＝a－b＋≥2，
当且仅当a－b＝时取得等号．
思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号成立的条件)的条件，否则会出现错误．
跟踪演练2 (1)(2017届昆明摸底统测)已知a>1，b>1，且ab＋2＝2(a＋b)，则ab的最小值为________．
答案 6＋4
解析 因为ab＋2＝2(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时取等号，所以(－2)2≥2.
因为a>1，b>1，所以≥2＋，ab≥6＋4.
即ab的最小值为6＋4.
(2)(2017届无锡市普通高中期中)已知正实数a，b满足a＋3b＝7，则＋的最小值为______．
答案
解析 ＋＝[(a＋1)＋3(2＋b)]
＝≥，当且仅当＝时取等号．
热点三 简单的线性规划问题
解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．
例3 (1)(2017·全国Ⅱ)设x，y满足约束条件 则z＝2x＋y的最小值是( )
A．－15 B．－9 C．1 D．9
答案 A
解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
将目标函数z＝2x＋y化为y＝－2x＋z，作出直线y＝－2x，并平移该直线知，当直线y＝－2x＋z经过点A(－6，－3)时，z有最小值，且zmin＝2×(－6)－3＝－15.故选A.
(2)若x，y满足且z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( )
A．(－1,2) B．(－2,4)
C．(－4,0] D．(－4,2)
答案 D
解析 作出不等式组对应的平面区域如图，当a＝0时，显然成立；当a>0时，直线ax＋2y－z＝0的斜率k＝－>kAC＝－1，计算得出a<2，即0－4，即－40，则的最小值为________．
答案 4
解析 ∵a，b∈R，ab＞0，
∴≥＝4ab＋≥2＝4，
当且仅当即时取得等号．
故的最小值为4.
押题预测
1．已知x，y为正实数，且x＋y＋＋＝5，则x＋y的最大值是( )
A．3 B. C．4 D.
押题依据 基本不等式在历年高考中的地位都很重要，已成为高考的重点和热点，用基本不等式求函数(和式或积式)的最值问题，有时与解析几何、数列等知识相结合．
答案 C
解析 由x＋y＋＋＝5，得5＝x＋y＋，
∵x>0，y>0，∴5≥x＋y＋＝x＋y＋，
当且仅当x＝y时取等号，∴(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0，
解得1≤x＋y≤4，∴x＋y的最大值是4.
2．在R上定义运算：＝ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为( )
A．－ B．－ C. D.
押题依据 不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考中是必考内容．往往与函数的单调性相结合，最后转化成一元一次不等式或一元二次不等式．
答案 D
解析 由定义知，不等式≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，
∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立．
∵x2－x＋1＝2＋≥，
∴a2－a≤，解得－≤a≤，
则实数a的最大值为.
3．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝4x＋y的最小值为( )
A．－6 B．6
C．7 D．8
押题依据 线性规划的实质是数形结合思想的应用，利用线性规划的方法求一些线性目标函数的最值是近几年高考的热点．
答案 C
解析 由x，y满足的约束条件画出可行域如图所示，当直线z＝4x＋y过点C(1,3)时，z取得最小值且最小值为4＋3＝7，故选C.
4．若不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是( )
A．(－4,2) B．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0，＋∞) D．(－2,0)
押题依据 “恒成立”问题是函数和不等式交汇处的重要题型，可综合考查不等式的性质，函数的值域等知识，是高考的热点．
答案 A
解析 不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，等价于不等式x2＋2xb⇔ac2>bc2；②a>b⇒<；③a>b>0，c>d>0⇒>；④a>b>1，c<0⇒ac0>b时，②不正确；由于c>d>0，所以>>0，所以>>0，③正确；由于a>b>1，当x<0时，ax0，b>0且a＋b＝1，则－－的上确界为( )
A. B．－ C. D．－4
答案 B
解析 －－＝－(a＋b)＝－≤－＝－，
当且仅当＝，即b＝2a＝时取等，
所以原式的上确界为－，故选B.
4．(2017届山东菏泽一中月考)已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
C．(－2,4) D．(－4,2)
答案 D
解析 ∵＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝时取等号.
∵x＋2y>m2＋2m恒成立，∴m2＋2m<8，求得－4b，二次三项式ax2＋2x＋b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax＋2x0＋b＝0成立，则的最小值为________．
答案 2
解析 由题意，得a>b，二次三项式ax2＋2x＋b≥0对于一切实数x恒成立，所以a>0，且Δ＝4－4ab≤0，所以ab≥1.由∃x0∈R，使ax＋2x0＋b＝0成立，可得Δ＝0，所以ab＝1，所以a>1，
所以＝＝>0，
所以2＝＝
＝＝，
令a2＋＝t>2，
则2＝
＝(t－2)＋＋4≥4＋4＝8，当且仅当t＝4时取等号，
所以2的最小值为8，
所以的最小值为2.
