- 2021-05-24 发布 |
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文档介绍
2018届二轮复习第22讲三角恒等变换的方法学案(全国通用)
【知识要点】 一、同角的三大关系: 商数关系: 平方关系: 温馨提示: (1)求同角三角函数有知一求三规律,可以利用公式求解,最好的方法是利用画直角三角形速解. (2)利用平方关系求三角函数值时,注意开方时要结合角的范围正确取舍“”号. 二、诱导公式口诀:纵变横不变,符号看象限 用诱导公式化简,一般先把角化成的形式,然后利用诱导公式的口诀化简(如果前面 的角是纵轴(即轴)上的角,就是 “纵”,是横轴(即轴)上的角,就是“横”;符号看象限是,把看作是锐角,判断角在第几象限,在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”,就加在前面). 用诱导公式计算时,一般是先将负角变成正角,再将正角变成区间的角,再变到区间 的角,再变到区间的角计算. 三、和角与差角公式 : ; ; 变用:±= (±)(1) 四、二倍角公式: = . . 五、注意这些公式的来弄去脉,这些公式都可以由公式推导出来. 六、注意公式的顺用、逆用、变用. 如:逆用 变用 七、辅助角公式 (其中)(其中和点所在象限相同,且 ) 八、三角恒等变换方法 观察(角、名、式)→三变(变角、变名、变式) (1)“变角”主要指把未知的角向已知的角转化,把未知的角变成已知角的和差, 或者变成已知角与特殊角的和差.是变换的主线,如, ,,等. (2)“变名”指的是“切化弦”(正切余切化成正弦余弦. (3)“变式”指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂,利用和角和差角公式、辅助角公式展开和合 并等. 【方法讲评】 方法一 变角 使用情景 未知的角和已知的角之间有联系 解题步骤 先把未知的角转化成已知的角或特殊的角的关系,再代入公式求解. 【例1】 已知,,,,求的值. ∴ 【点评】(1)三角恒等变换首先要注意观察 “角”,因为“角”是三角的主角,注意观察未知的角和已知的角之间的“和”、“差”、“倍”、“半”的关系,再决定变形的方向.(2)该题中 ,所以要先通过诱导公式把 这样就和已知联系起来了.当然也可以把利用诱导公式变 再把学.科.网 【反馈检测1】设(-)=-,(-)=,且<<,0<β<,求 . 【例2】已知<<<, (Ⅰ)求的值.(Ⅱ)求. 【点评】(1)三角恒等变换中求角,一般转化成求角的某种三角函数,一般是余弦、正弦,有时是正切,要看具体的数学情景.(2)一个关键点. 【反馈检测2】如图,在平面直角坐标系中,以轴为始边作两个锐角,, 它们的终边分别与单位圆相交于两点,已知的横坐标分别为,. (1)求(+)的值;(2)求+2的值. 方法二 变名 使用情景 已知的三角函数种类比较多 解题步骤 先把正切余切化成正弦余弦(简称“切化弦”),再化简. 【例3】若 【点评】此题把化成是很关键的一个切入点,一般当三角函数的种类比较多,给化简带来了麻烦时,一般是把正切余切化成正弦和余弦,简称“切化弦”. 【反馈检测3】求·的值. 方法三 变式 使用情景 式子的次数有高有低,项数较多. 解题步骤 一般进行升幂或降幂、因式分解、辅助角公式,再化简. 【例4】已知函数 (Ⅰ)将函数化简成的形式,并指出的最小正周期;(Ⅱ)求函数上的最大值和最小值;(Ⅲ)如果在上恒成立,求的取值范围. (Ⅲ)在上恒成立,即 【点评】(1)由于已知的函数的次数是“2”次,但是目标函数是一次,所以首先必须利用降幂公式降幂.(2)辅助角公式是三角恒等变换经常用到的公式,它可以化二项式为单项式,所以一定要熟练准确地掌握. 【反馈检测4】已知函数. (Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)设,求的值域和单调递增区间. 【反馈检测5】已知,,令函数,且的最小正周期为. (1)求的值; (2)求的单调区间. 高中数学常见题型解法归纳反馈检测第22讲 : 三角恒等变换的方法参考答案 【反馈检测1答案】- 【反馈检测2答案】(1);(2)+2=. 【反馈检测2详细解析】由条件得=,=. ∵,为锐角, ∴==, ==. 因此==7, ==. (1)(+)===-3. (2)∵2===, ∴ (+2)===-1. ∵,为锐角,∴0<+2<,∴+2=. 【反馈检测3答案】 【反馈检测3详细解析】原式= 【反馈检测4答案】(1);(2).学.科.网 【反馈检测5答案】(1);(2)在上递增;同理可求递减区间为. 【反馈检测5详细解析】(1)∵,所以 ,即, ∴; (2)令,解之在上递增;同理可求递减区间为. 查看更多