【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第四章　第4讲　第2课时　三角函数的图象与性质（二）学案

【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第四章　第4讲　第2课时　三角函数的图象与性质（二）学案

第2课时　三角函数的图象与性质(二)‎ ‎　　　　　三角函数的周期性与奇偶性(师生共研)‎ ‎ (1)函数f(x)＝2cos2－1是(　　)‎ A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎(2)(2020·湖北宜昌联考)已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，则(　　)‎ A．ω＝2，θ＝　　　　　 B．ω＝，θ＝ C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝ ‎【解析】　(1)因为f(x)＝2cos2－1‎ ‎＝cos＝cos＝sin 2x.‎ 所以T＝＝π，f(x)＝sin 2x是奇函数．‎ 故函数f(x)是最小正周期为π的奇函数．‎ ‎(2)因为函数y＝2sin(ωx＋θ)的最大值为2，且其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，所以函数y＝2sin(ωx＋θ)的最小正周期是π.‎ 由＝π得ω＝2.‎ 因为函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，所以θ＝＋kπ，k∈Z.‎ 又0＜θ＜π，所以θ＝，故选A.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)A ‎(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，‎ 而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．‎ ‎(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为求解．‎ ‎1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(　　)‎ A．y＝sin　　　 B．y＝cos C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x 解析：选B.y＝sin＝cos 2x是偶函数，不符合题意；y＝cos＝－sin 2x是T＝π的奇函数，符合题意；同理C，D均不是奇函数．‎ ‎2．(2020·石家庄市质量检测)设函数f(x)＝sin 的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　)‎ A．f(x)在上单调递增 B．f(x)在上单调递减 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 解析：选A.f(x)＝sin，因为f(x)的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin.f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，所以φ－＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ＋(k∈Z)．因为|φ|＜，所以φ＝－，所以f(x)＝－cos 2x，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，故选A.‎ ‎　　　　　　三角函数的对称性(师生共研)‎ ‎ 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是(　　)‎ A. B. C. D． ‎【解析】　由题意可得＝π，所以ω＝2，‎ 可得f(x)＝Asin(2x＋φ)，‎ 再由函数图象关于直线x＝对称，‎ 故f＝Asin＝±A，故可取φ＝－.‎ 故函数f(x)＝Asin，令2x－＝kπ，k∈Z，‎ 可得x＝＋，k∈Z，故函数的对称中心为，k∈Z.‎ 所以函数f(x)图象的一个对称中心是.‎ ‎【答案】　B 三角函数图象的对称轴和 对称中心的求解思路和方法 ‎(1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sin x图象的对称轴和对称中心求解．‎ ‎(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．‎ ‎1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)‎ A．2 B. C．1 D． 解析：选A.依题意得函数f(x)的最小正周期T＝＝2×(－)＝π，解得ω＝2，选A.‎ ‎2．已知函数f(x)＝|sin x||cos x|，则下列说法错误的是(　　)‎ A．f(x)的图象关于直线x＝对称 B．f(x)的周期为 C．(π，0)是f(x)的一个对称中心 D．f(x)在区间上单调递减 解析：选A.f(x)＝|sin x||cos x|＝|sin xcos x|＝·|sin 2x|，则f＝|sin π|＝0，则f(x)的图象不关于直线x＝对称，故A错误；函数周期T＝×＝，故B正确；f(π)＝|sin 2π|＝0，则(π，0)是f(x)的一个对称中心，故C正确；当x∈时，2x∈，此时sin 2x＞0，且sin 2x为减函数，故D正确．‎ ‎　　　　三角函数的图象与性质的综合问题(师生共研)‎ ‎ 已知函数f(x)＝sin(2π－x)·sin－cos2x＋.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；‎ ‎(2)当x∈时，求f(x)的最小值和最大值．‎ ‎【解】　(1)由题意，得f(x)＝(－sin x)(－cos x)－cos2x＋＝sin xcos x－cos2x＋＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π；‎ 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，‎ 故所求图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．‎ ‎(2)当0≤x≤时，－≤2x－≤，‎ 由函数图象(图略)可知，－≤sin≤1，即0≤sin(2x－)＋≤.‎ 故f(x)的最小值为0，最大值为.‎ 解决三角函数图象与性质综合问题的方法 先将y＝f(x)化为y＝asin x＋bcos x的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ ‎)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．‎ ‎　已知函数f(x)＝2sin.‎ ‎(1)求函数的最大值及相应的x值的集合；‎ ‎(2)求函数f(x)的图象的对称轴方程与对称中心．‎ 解：(1)当sin＝1时，2x－＝2kπ＋，k∈Z，‎ 即x＝kπ＋，k∈Z，此时函数取得最大值为2；‎ 故f(x)的最大值为2，使函数取得最大值的x的集合为.‎ ‎(2)由2x－＝＋kπ，k∈Z，‎ 得x＝＋kπ，k∈Z.‎ 即函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z.‎ 由2x－＝kπ，k∈Z得x＝＋kπ，k∈Z，‎ 即对称中心为，k∈Z.‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1．函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C．π D．2π 解析：选C.因为y＝2＝‎ ‎2sin，所以T＝＝π.‎ ‎2．f(x)＝tan x＋sin x＋1，若f(b)＝2，则f(－b)＝(　　)‎ A．0 B．3‎ C．－1 D．－2‎ 解析：选A.因为f(b)＝tan b＋sin b＋1＝2，‎ 即tan b＋sin b＝1.‎ 所以f(－b)＝tan(－b)＋sin(－b)＋1‎ ‎＝－(tan b＋sin b)＋1＝0.‎ ‎3．若是函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ 解析：选C.因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，‎ 由题意，知f＝sin＝0，所以＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝8k－2(k∈Z)，当k＝1时，ω＝6.‎ ‎4．关于函数y＝tan(2x－)，下列说法正确的是(　　)‎ A．是奇函数 B．在区间(0，)上单调递减 C．(，0)为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为π 解析：选C.函数y＝tan(2x－)是非奇非偶函数，A错；在区间(0，)上单调递增，B错；最小正周期为，D错；由2x－＝，k∈Z得x＝＋，当k＝0时，x＝，所以它的图象关于(，0)中心对称，故选C.‎ ‎5．已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　)‎ A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称 解析：选B.函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，即f(x)＝2sin.函数f(x)的对称轴为＋＝＋kπ，解得x＝π＋2kπ(k∈Z)；令k＝0得x＝π.函数f(x)的对称中心的横坐标为＋＝kπ，解得x＝2kπ－π(k∈Z)，令k＝1得f(x)的一个对称中心.‎ ‎6．若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为 ．‎ 解析：由题意知＋＝kπ＋(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，所以ωmin＝2.‎ 答案：2‎ ‎7．(2020·无锡期末)在函数①y＝cos|2x|；②y＝|cos 2x|；③y＝cos；④y＝tan 2x中，最小正周期为π的所有函数的序号为 ．‎ 解析：①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；②y＝cos 2x，最小正周期为π，由图象知y＝|cos 2x|的最小正周期为；③y＝cos的最小正周期T＝＝π；④y＝tan 2x的最小正周期T＝.因此①③的最小正周期为π.‎ 答案：①③‎ ‎8．已知函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为 ．‎ 解析：由函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，‎ 所以ω＝k＋，又ω∈(1，2)，所以ω＝，从而得函数f(x)的最小正周期为＝.‎ 答案： ‎9．已知函数f(x)＝2cos2＋2sin·sin.求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心．‎ 解：因为f(x)＝2cos2＋2sin·sin ‎＝cos＋1＋2sinsin ‎＝cos＋2sincos＋1‎ ‎＝cos 2x＋sin 2x＋sin＋1‎ ‎＝sin 2x－cos 2x＋1‎ ‎＝sin＋1，‎ 所以f(x)的最小正周期为＝π，图象的对称中心为，k∈Z.‎ ‎10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；‎ ‎(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．‎ 解：由f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，所以ω＝2，‎ 所以f(x)＝sin(2x＋φ)．‎ ‎(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)．‎ 所以sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)，‎ 展开整理得sin 2xcos φ＝0，‎ 已知上式对∀x∈R都成立，‎ 所以cos φ＝0.因为0<φ<，所以φ＝.‎ ‎(2)因为f＝，所以sin＝，‎ 即＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，‎ 故φ＝2kπ或φ＝＋2kπ(k∈Z)，‎ 又因为0<φ<，所以φ＝，‎ 即f(x)＝sin，‎ 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)得 kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 故f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(x∈R)，又f(α)＝2，f(β)＝2，且|α－β|的最小值是，则正数ω的值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选D.函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin.‎ 由f(α)＝2，f(β)＝2，且|α－β|的最小值是，‎ 所以函数f(x)的最小正周期T＝，‎ 所以ω＝＝4.‎ ‎2．(2020·江西八所重点中学联考)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，且关于直线x＝对称，则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(x)在上是减函数 B．若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则一定有f′(x0)≠0‎ C．f(x)≥1的解集是，k∈Z D．f(x)图象的一个对称中心是 解析：选D.由f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，得sin φ＝，又|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin.因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以存在m∈Z使得ω＋＝mπ＋，得ω＝＋(m∈Z)，又0＜ω＜1，所以ω＝，则f(x)＝2sin.令2nπ＋≤x＋≤2nπ＋，n∈Z，得4nπ＋≤x≤4nπ＋，n∈Z，故A错误；若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则f(x)在x＝x0处取得极值，所以一定有f′(x0)＝0，故B错误；由f(x)≥1得4kπ≤x≤4kπ＋，k∈Z，故C错误；因为f＝0，所以是其图象的一个对称中心，故D正确．选D.‎ ‎3．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；‎ ‎(2)讨论函数f(x)在上的单调性．‎ 解：(1)因为f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，所以ω＝2.于是，f(x)＝sin.令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z ‎)．‎ ‎(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．注意到x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；同理，其单调递减区间为.‎ ‎4．已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋.‎ ‎(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；‎ ‎(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．‎ 解：(1)f(x)＝cos xsin x－(2cos2x－1)‎ ‎＝sin 2x－cos 2x＝sin.‎ 当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.‎ ‎(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为x＝π＋kπ(k∈Z)，‎ 所以当x∈(0，π)时，对称轴为x＝π.‎ 又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2.‎ 所以x1＋x2＝π，则x1＝π－x2，‎ 所以cos(x1－x2)＝cos＝sin，‎ 又f(x2)＝sin＝，‎ 故cos(x1－x2)＝.‎