【数学】2020届一轮复习人教A版第60课数列的概念及简单表示学案（江苏专用）

【数学】2020届一轮复习人教A版第60课数列的概念及简单表示学案（江苏专用）

第60课　数列的概念及简单表示 ‎1. 数列的概念及数列与函数的关系(A级要求).‎ ‎2. 数列的几种简单表示方法(列表、图象、通项公式)(A级要求).‎ ‎1. 阅读：必修5第31～34页.‎ ‎2. 解悟：①读懂数列的定义，并与函数的定义作比较；②写出数列的通项公式，就是寻找an与n的对应关系an＝f(n)；③重解第33页例3，体会方法.‎ ‎3. 践习：在教材空白处，完成第34页习题第7、8、9题.‎ ‎　基础诊断　‎ ‎1. 数列1，2，，，，…中的第26项为　2　.‎ 解析：因为a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，所以an＝，所以a26＝＝＝2.‎ ‎2. 下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为　an＝3n－1　　　.‎ ‎ ‎ ‎(1)　　　　　(2)　　　　　(3)　　　 　(4)‎ 解析：由图可知前4个图中着色三角形的个数分别为1，3，32，33，…，猜想第n个图的着色三角形的个数为3n－1，所以这个数列的通项公式为an＝3n－1.‎ ‎3. 已知在数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2)，则a16＝　　.‎ 解析：由题意知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，所以此数列是以3为周期的周期数列，所以a16＝a3×5＋1＝a1＝.‎ ‎4. 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝　　.　‎ 解析：当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，故an＝ ‎　范例导航　‎ 考向❶ 数列的通项公式 例1　根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：‎ ‎(1) －1，7，－13，19，…；‎ ‎ 解析：(1) 数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5).‎ ‎(2) 1，0，，0，，0，，…；‎ ‎ 解析：(2) 分母依次为1，2，3，4，5，6，7，…，分子依次为1，0，1，0，1，0，‎ ‎1，…，把数列改写成，，，，，，，…，因此数列的一个通项公式为an＝.‎ ‎(3) 0.9，0.99，0.999，….‎ ‎ 解析：(3) 数列可改写成1－，1－，1－，…，可得该数列的一个通项公式为an＝1－.‎ 数列，，－，，－，，…，的一个通项公式是　an＝(－1)n·　.‎ 解析：各项的分母分别为21，22，23，24，…，从第2项起，每一项的绝对值的分子分别比分母小3，因此把第1项变为－，原数列化为－，，－，，…，故an＝(－1)n·.‎ ‎【注】 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略：‎ ‎(1) 常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.‎ ‎(2) 具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*进行处理.‎ 考向❷ 由an与Sn的关系求通项公式 例2　已知下列数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式.‎ ‎(1) a1＝1，Sn＝an；‎ ‎(2) Sn＝3n＋b；‎ ‎(3) Sn＝an＋.‎ 解析：(1) 由题设知a1＝1.‎ 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－·an－1，整理得an＝an－1，‎ 于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…，an－1＝an－2，an＝an－1.‎ 将上面n个等式两端分别相乘，整理得an＝，‎ 显然，当n＝1时也满足上式.‎ 综上可知，数列{an}的通项公式an＝.‎ ‎(2) 当n＝1时，a1＝S1＝3＋b；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2×3n－1.‎ 当b＝－1时，a1＝2，满足上式；当b≠－1时，a1≠2，不满足上式，‎ 所以当b＝－1时，an＝2×3n－1；‎ 当b≠－1时，an＝ ‎(3) 由Sn＝an＋，得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，两式相减，得an＝an－an－1，‎ 所以当n≥2时，an＝－2an－1，即＝－2.‎ 又当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，即a1＝1，‎ 所以an＝(－2)n－1.‎ 已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝4－(n∈N*).‎ ‎(1) 求a3的值；‎ ‎(2) 求数列{an}的前n项和Tn.‎ 解析：(1) 由题意得3a3＝(a1＋2a2＋3a3)－(a1＋2a2)＝4－－＝，‎ 所以a3＝.‎ ‎(2) 由题设知当n≥2时，nan＝(a1＋2a2＋…＋nan)－[a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1]＝4－－＝，‎ 所以an＝.‎ 当n＝1时，a1＝4－＝1满足上式，‎ 所以an＝，‎ 所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，故Tn＝＝2－.‎ ‎【注】 已知Sn，求an的步骤：‎ ‎①当n＝1时，a1＝S1；‎ ‎②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；‎ ‎③对n＝1时的情况进行检验，若满足n≥2的通项公式则可以合并；若不满足则写成分段函数形式.‎ 这种转化是解决这种题型的基本思路，要重点掌握.‎ 考向❸ 数列的性质 例3　已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)·(n∈N*)，则数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，请说明理由.‎ 解析：因为an＋1－an＝·，‎ 所以当n<9时，an＋1>an；当n>9时，an＋19时，数列{an}是递减数列；‎ 当n＝9时，an＋1＝an，所以当n＝9或10时，数列取得最大项a9＝a10＝.‎ 设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是　0　.‎ 解析：因为an＝－3＋，由二次函数的性质，得当n＝2或3时，an最大，最大值为0.‎ ‎【注】 (1) 解决数列的单调性问题可用以下三种方法：‎ ‎①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列；‎ ‎②用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断；‎ ‎③结合相应函数的图象直观判断.‎ ‎(2) 解决数列周期性问题的方法：‎ 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.‎ ‎(3) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.‎ ‎　自测反馈　‎ ‎1. 数列0.8，0.88，0.888，…，的一个通项公式是　an＝　.‎ 解析：数列变为×(1－)，×，×，…，故an＝.‎ ‎2. 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为　an＝　‎ 解析：当n＝1时，a1＝S1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－1，所以an＝ ‎3. 已知数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝　　.‎ 解析：因为an＋1＝，所以an＋1＝＝＝＝＝1－＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，n≥3，所以数列{an}是以T＝(n＋1)－(n－2)＝3为周期的周期数列，所以a8＝a3×2＋2＝a2＝2.又a2＝，所以a1＝.‎ ‎4. 若数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2 015项为　　.‎ 解析：由已知可得a2＝2×－1＝，a3＝2×＝，a4＝2×＝，a5＝2×－1＝，所以数列{an}为周期数列且T＝4，所以a2 015＝a503×4＋3＝a3＝.‎ ‎1. 数列是一种特殊的函数，因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性.‎ ‎2. 通项公式an与前n项和Sn的关系是一个十分重要的考点，运用时，不要忘记对an＝Sn－Sn－1的条件的验证.‎ ‎3. 你还有那些体悟，写下来：‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎